BEBERAPA METODE ITERASI ORDE TIGA DAN

BEBERAPA METODE ITERASI ORDE TIGA DAN ORDE EMPAT
UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR
Neli Sulastri1∗
1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Kampus Bina Widya, Pekanbaru 28293, Indonesia
∗ [email protected]
ABSTRACT
This article discusses the iterative method by combining two Newton’s methods
where the second step of Newton’s method is given a weighted function. By providing specific requirements for this weighting function, it is shown using Taylor
expansion and geometric series that the iterative method have third and fourth order of convergence. By choosing specific weighting functions, some known iterative
methods are found. Then some numerical simulations are performed to compare the
number of iterations of each discussed method.
Keywords: Newton’s method, nonlinear equation, order of convergence, iterative
methods
ABSTRAK
Artikel ini mendiskusikan metode iterasi kombinasi dari dua metode Newton dimana metode Newton dilangkah kedua diberi fungsi bobot. Dengan memberikan
syarat tertentu untuk fungsi bobot ini ditunjukkan dengan menggunakan ekspansi
Taylor dan deret geometri bahwa metode iterasi ini memiliki konvergensi orde tiga
dan empat. Pemilihan fungsi bobot tertentu menghasilkan beberapa metode iterasi
yang telah dikenal sebelumnya. Selanjutnya dilakukan perbandingan terhadap
setiap metode iterasi dengan melihat jumlah iterasi dari setiap metode.
Kata kunci: Metode Newton, persamaan nonlinear, orde konvergensi, metode
iterasi
1. PENDAHULUAN
Masalah yang sering ditemui dalam bidang matematika salah satunya adalah
bagaimana menemukan solusi dari persamaan nonlinear f (x) = 0. Persamaan nonlinear tersebut dapat diselesaikan secara analitik dan metode numerik. Banyak
metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear
Repository FMIPA
1
diantaranya yaitu metode Newton yang memiliki konvergensi orde dua [2, h. 67]
dengan bentuk iterasi
f (xn )
xn+1 = xn − ′
,
f (xn )
metode Weerakoon dan Fernando yang memiliki konvergensi orde tiga dengan bentuk iterasi [7]
2f (xn )
xn+1 = xn+1 = xn − ′
,
(1)
f (yn ) + f ′ (xn )
metode Homeier yang memiliki konvergensi orde tiga dengan bentuk iterasi [4]
1
1
f (xn )
,
(2)
xn+1 = xn −
+
2
f ′ (xn ) f ′ (yn )
dan metode Chun dan Kim yang memiliki konvergensi orde tiga dengan bentuk
iterasi [3]
1
f ′ (yn ) f (xn )
xn+1 = xn −
3− ′
,
(3)
2
f (xn ) f ′ (xn )
f (xn )
.
f ′ (xn )
Pada artikel ini didiskusikan metode iterasi dua langkah yang dibentuk dengan
menggunakan langkah pertama metode Newton dan langkah kedua metode Newton
menggunakan fungsi bobot. Penekanan difokuskan pada syarat yang harus dipenuhi
fungsi bobot agar orede konvergensi metode yang terbentuk adalah tiga atau empat.
Pembahasan ini merupakan review sekaligus pendetailan tulisan Jaiswal [5].
Pembahasan dimulai dengan mengusulkan bentuk metode iterasi yang akan ditentukan syarat bobotnya di bagian dua. Dibagian tiga disajikan formula-formula
khusus yang dihasilkan dengan memilih bobot tertentu. Kemudian dilanjutkan di
bagian empat dengan mendiskusi beberapa contoh perbandingan numerik.
dengan yn = xn −
2. METODE ITERASI ORDE TIGA DAN ORDE EMPAT
Metode Iterasi Orde Tiga
Perhatikan persamaan (1), (2) dan (3) dimana masing-masing persamaannya dapat
dinyatakan berturut-turut sebagai berikut
f (xn )
2
xn+1 = xn − ′
,
(4)
f (xn ) f ′ (yn )
−1
f ′ (xn )
f ′ (xn )
f (xn ) 1
xn+1 = xn − ′
+
,
(5)
f (xn ) 2 2f ′ (yn )
f (xn ) 3
f ′ (yn )
−
.
(6)
xn+1 = xn − ′
f (xn ) 2 2f ′ (xn )
Repository FMIPA
2
Dari persamaan (4), (5), dan (6) secara umum metode iterasi orde tiga dapat ditulis

f (xn )


yn = xn − ′
,

f (xn )
(7)
f (xn ) 
, 
xn+1 = xn − A(tn ) ′

f (xn )
f ′ (yn )
dan A merupakan fungsi bobot. Sekarang akan ditentukan apa
f ′ (xn )
syarat dari A(tn ) pada persamaan (7) agar konvergensi orde tiga dipenuhi.
dengan tn =
Teorema 1 Misalkan terdapat fungsi yang terdiferensial secukupnya f : D ⊂ R →
R, dan mempunyai akar sederhana α ∈ D. Jika x0 cukup dekat dengan α, maka
pada persamaan (7) memiliki kekonvergenan orde tiga, ketika fungsi bobot A(tn )
memenuhi kondisi berikut:
A(1) = 1,
1
A′ (1) = − ,
2
|A′′ (1)| < +∞.
Bukti: Asumsikan α adalah akar sederhana dari persamaan f (x) = 0, maka f (α) =
0 dan f ′ (α) 6= 0. Misalkan en = xn − α, dengan menggunakan ekspansi Taylor [1,
h. 189] untuk f (xn ) dan f ′ (xn ) disekitar xn = α dan f (α) = 0 maka diperoleh
f (xn ) = f ′ (α)(en + c2 e2n + c3 e3n + c4 e4n ) + O(e5n ),
(8)
f ′ (xn ) = f ′ (α)(1 + 2c2 en + 3c3 e2n + 4c4 e3n ) + O(e4n ),
(9)
dan
f (xn )
f ( j)(α)
,
j
=
1,
2,
3,
4.
Kemudian
dihitung
dengan deret gej!f ′ (α)
f ′ (xn )
ometri [6, h. 500] maka setelah disederhanakan diperoleh
dengan cj =
f (xn )
= en − c2 e2n + (2c22 − 2c3 )e3n + (7c2 c3 − 4c32 − 3c4 )e4n + O(e5n ).
′
f (xn )
(10)
Kemudian substitusikan persamaan (10) ke persamaan (7) pada langkah pertama
sehingga diperoleh
yn = α + c2 e2n + (2c22 − 2c3 )e3n + O(e4n ).
(11)
Dengan cara yang sama gunakan ekspansi Taylor [1, h. 189] untuk f ′ (yn ) disekitar
α, diperoleh
f ′ (yn ) = f ′ (α) 1 + 2c22 e2n − (4c32 + 4c2 c3 )e3n + O(e4n ) .
(12)
Kemudian dihitung
f ′ (yn )
sebagaimana mendapatkan persamaan (10) diperoleh
f ′ (xn )
f ′ (yn )
= 2c2 en + (6c22 − 3c3 )e2n − (16c2 c3 − 16c32 )e3n + O(e4n ).
f ′ (xn )
Repository FMIPA
(13)
3
Selanjutnya menggunakan ekspansi Taylor [1, h. 189] untuk A(tn ) disekitar tn = t
dan disubstitusikan ke persamaan (7) pada langkah kedua dan setelah dilakukan
penyederhanaan didapat
f (xn )
1 ′′′
1 ′′′
5
3
A(tn ) ′
= A(t) − A (t)t + . . . + A (t) en + c2 A(t)t − A′′ (t)c2
f (xn )
6
6
2
1 2 ′′′
1
c A (t)t3
+ . . . + c2 A′′′ (t)t3 e2n −
6
3 2
5 ′′′
′′
2
2
+ 11A (t)c2 + . . . − A (t)c3 t e3n + O(e4n ).
2
(14)
Kemudian substitusikan persamaan (14) ke (7) pada langkah kedua, diperoleh
1 ′′′
1 ′′′
3
xn+1 = α + 1 − A(t) + A (t)t + . . . − A (t) en + − c2 A(t)t
6
6
1
1 2 ′′′
5 ′′
′′′
3
2
c A (t)t3
+ A (t)c2 − . . . − c2 A (t)t en +
2
6
3 2
5 ′′′
′′
2
2
− 11A (t)c2 − . . . + A (t)c3 t e3n + O(e4n ).
(15)
2
Karena en+1 = xn+1 −α dan mensubstitusikan t = 1 ke persamaan (15) maka setelah
dilakukan penyederhanaan diperoleh
en+1 = 1 − A(1) en + 2A′ (1)c2 + A(1)c2 e2n + − 2A′′ (1)c22
+ 3A′ (1)c3 − 8c22 A′ (1) − 2c22 A(1) + 2c3 A(1) e3n + O(e4n ).
(16)
1
Dari persamaan (16) terlihat bahwa dengan memilih A(1) = 1, A′ (1) = − , maka
2
persamaan (16) menjadi
1
en+1 = c3 − 4c22 (−1A′′ (1)) e3n + O(e4n ).
(17)
2
Jadi terlihat dari Persamaan (17) bahwa metode iterasi orde tiga memiliki
konvergensi orde tiga.
Metode Iterasi Orde Empat
Pada bagian ini, metode iterasi pada persamaan (7) dikembangkan agar dapat diperoleh orde yang lebih tinggi dengan menyatakan bentuk iterasi sebagai berikut

f (xn )


yn = xn − a ′
,

f (xn )
(18)
f (xn ) 
xn+1 = xn − P (tn ) × Q(tn ) ′
, 

f (xn )
f ′ (yn )
. Selanjutnya akan ditentukan nilai a, P (tn ) dan Q(tn ) yang
f ′ (xn )
sesuai agar metode iterasi ini berkonvergensi orde empat.
dengan tn =
Repository FMIPA
4
Teorema 2 Misalkan terdapat fungsi yang terdiferensial secukupnya f : D ⊂ R →
R, dan mempunyai akar sederhana α ∈ D. Jika x0 cukup dekat dengan α, maka
persamaan (18) mempunyai konvergensi orde empat, ketika a dan fungsi bobot P (tn )
dan Q(tn ) memenuhi kondisi berikut:
2
1
a = , P (1) = 1, P ′ (1) = − , |P ′′′ (1)| < ∞,
3
2
1
′
′′
′′
Q(1) = 1, Q (1) = − , Q (1) = 2 − P (1), |Q′′′ (1)| < ∞.
4
Bukti: Dengan menggunakan persamaan (11) dan mensubstitusikan ke persamaan
(18) pada langkah pertama, diperoleh
yn = α + 1 − a en + ac2 e2n + − 2ac22 + 2ac3 e3n + − 7ac2 c3 + 4ac32 + 3ac4 e4n
+ O(e5n ).
(19)
Dengan cara yang sama pada persamaan (12) sehingga diperoleh
′
′
f (yn ) = f (α) 1 + 2c2 − 2ac2 en + − 6ac3 + 3c3 + 2ac22 + 3c3 a2 e2n
+ 4c4 − 4ac32 + 12c4 a2 − 4c2 a3 − 12ac4 − 6c3 a2 c2
+ 10ac2 c3 e3n + 5c5 + 30c5 a2 − 20c5 a3 − 24c4 a2 c2
+ 8ac42 + 12c4 a3 c2 − 26ac22 c3 + 12ac23 + 5c5 a4 + 18c2 ac4
3 2 2 4
+ 15c3 a a c2 en + O(e5n ).
(20)
f ′ (yn )
sebagaimana mendapatkan persamaan (10) dan setelah
f ′ (xn )
disederhanakan diperoleh
f ′ (yn )
= 1 − 2c2 aen + 6ac22 + 3c3 a2 − 6ac3 e2n + − 16ac32 − 4c4 a3 + 28ac2 c3
′
f (xn )
+ 12c4 a2 − 12c3 a2 c2 − 12ac4 e3n + 30c5 a2 − 16c42 − 20c5 a3
+ 40ac42 + 30ac23 + 5c5 a4 − 20c5 a + 5c5 − 21a2 c23 − 48c4 a2 c2
+ 39c3 a2 c22 + 50c2 ac4 − 100ac22 c3 + 20c4 a3 c2 e4n + O(e5n ).
(21)
Kemudian hitung
Selanjutnya menggunakan ekspansi Taylor [1, h. 189] untuk P (tn ) dan Q(tn ) disekitar tn = t sehingga diperoleh berturut-turut
P (tn ) = P (t) + P ′ (t)(tn − t) +
+
P ′′ (t)
P ′′′ (t)
(tn − t)2 +
(tn − t)3
2!
3!
P (4) (t)
(tn − t)4 + O(tn − t)5 ,
4!
(22)
dan
Q(tn ) = Q(t) + Q′ (t)(tn − t) +
+
Repository FMIPA
Q′′ (t)
Q′′′ (t)
(tn − t)2 +
(tn − t)3
2!
3!
Q(4) (t)
(tn − t)4 + O(tn − t)5 .
4!
(23)
5
f (xn )
menggunakan persamaan (22), (23) ke
f ′ (xn )
persamaan (18) pada langkah kedua, setelah disederhanakan diperoleh
1 ′
5 ′′
f (xn )
(4)
5
′′′
= − P (t)Q (t)t + · · · − P (t)Q (t)t en
P (tn ) × Q(tn ) ′
f (xn )
24
12
1 ′
5
+
P (t)Q(4) (t)t5 c2 − · · · + aP (4) (t)Q′′ (t)
24
4
1
tc2 e2n + − P ′ (t)Q(4) (t)t5 c22 + · · ·
12
15 (4)
1 ′
′′
3
+ aP (t)Q (t)tc3 en +
P (t)Q(4) (t)t5
4
16
3
2 ′′′
2
2
c2 + · · · + 30a P (t)Q (t)t c4 e4n + O(e5n ).
(24)
Selanjutnya hitung
P (tn ) × Q(tn )
Kemudian persamaan (24) disubstitusikan ke persamaan (18) pada langkah kedua,
diperoleh
1 ′
5 ′′
(4)
′′′
5
xn+1 = α + 1 + P (t)Q (t)t − · · · + P (t)Q (t)t en
24
12
1 ′
5 (4)
(4)
′′
5
− P (t)Q (t)t c2 − · · · − aP (t)Q (t)tc2 e2n
24
4
15 (4)
1 ′
(4)
5 2
′′
P (t)Q (t)t c2 − · · · − aP (t)Q (t)tc3 e3n
12
4
1 ′
(4) 5 2
2 ′′′
′′
2
− P (t)Q t c2 − · · · − 30a P (t)Q (t)t c4 e4n + O(e5n ).
(25)
6
Karena en+1 = xn+1 − α dan mensubstitusikan t = 1 pada persamaan (25) maka
setelah dilakukan penyederhanaan diperoleh
en+1 = 1 − P (1)Q(1) en + 2aP (1)Q(1)c2 + 2aP ′ (1)Q′′ (1)c22
2
2
′
+ P (1)Q(1)P (1)c2 en + 2P (1)Q(1)c2 + · · · + 6aP (1)Q(1)c3 e3n
3
2
′′
(26)
+ 4P (1)Q(1)c2 + · · · − 12a Q(1)P (1)c2 c3 e4n + O(e5n ).
Persamaan (26) akan berorde empat jika koefisien pada suku en , e2n dan e3n diubah
1
1
menjadi nol dengan mensubtitusikan P (1) = 1, Q(1) = 1, P ′ (1) = − , Q′ (1) = − ,
2
4
2
′′
′′
Q (1) = 2 − P (1) dan a = , sehingga persamaan (26) menjadi
3
1
′′
′′′
′′′
en+1 =
− 81c2 c3 + 9c4 + 309 + 24P (1) + 32P (1)32Q (1) c23 e4n
81
+ O(e5n ).
(27)
Repository FMIPA
6
Persamaan (27) memiliki konvergensi orde empat.
3. BEBERAPA KASUS KHUSUS
Untuk metode iterasi orde tiga ini terdapat beberapa kasus yang perlu diperhatikan.
2
Kasus 1. Jika dipilih A(tn ) =
dan kemudian disubstitusikan ke dalam
(1 + tn )
persamaan (7), maka diperoleh
xn+1 = xn −
f ′ (y
2f (xn )
.
′
n ) + f (xn )
(28)
Persamaan (28) yang dikenal dengan metode Weerakoon dan Fernando yang
memiliki konvergensi orde tiga [7].
(tn + 1)
Kasus 2. Jika dipilih parameter A(tn ) =
dan kemudian disubstitusikan ke
2tn
dalam persamaan (7), maka diperoleh
1
f (xn )
1
xn+1 = xn −
+
.
(29)
2
f ′ (xn ) f ′ (yn )
Persamaan (29) yang dikenal dengan metode Homeier yang memiliki konvergensi
orde tiga [4].
(3 − tn )
dan kemudian disubstitusikan ke dalam
Kasus 3. Jika dipilih A(tn ) =
2
persamaan (7), maka diperoleh
1
f ′ (yn ) f (xn )
xn+1 = xn −
.
(30)
3− ′
2
f (xn ) f ′ (xn )
Persamaan (30) yang dikenal
konvergensi orde tiga [3].
Kasus 4. Jika dipilih A(tn ) =
dengan
metode Chun dan Kim yang memiliki
2tn
dan kemudian disubstitusikan ke dalam
(3tn − 1)
persamaan (7), maka diperoleh
xn+1 = xn −
2f ′ (yn )
f (xn )
.
′
′
3f (yn ) − f (xn ) f ′ (xn )
(31)
Persamaan (31) yang dikenal dengan metode baru orde tiga yang memiliki konvergensi orde tiga [5].
Demikian juga untuk metode iterasi orde empat ini terdapat beberapa kasus
yang perlu diperhatikan.
2
7
3
2
Kasus 1. Jika dipilih P (tn ) =
, Q(tn ) = 2 − tn + t2n dan a = dan
(1 + tn )
4
4
3
kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (18), maka diperoleh
2
7 f ′ (yn ) 3 f ′ (yn )
2f (xn )
xn+1 = xn − 2 −
+
× ′
.
(32)
′
′
4 f (xn ) 4 f (xn )
f (xn ) + f ′ (yn )
Repository FMIPA
7
Persamaan (32) yang dikenal dengan metode baru orde empat (M4.1) yang memiliki
konvergensi orde empat [5].
tn + 1
7
5
1
2
Kasus 2. Jika dipilih P (tn ) =
, Q(tn ) = − tn + t2n dan a =
dan
2tn
4
4
2
3
kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (18), maka diperoleh
2 !
f (xn )
1
7 5 f ′ (yn ) 1 f ′ (yn )
1
×
. (33)
xn+1 = xn −
−
+
+
4 4 f ′ (xn ) 2 f ′ (xn )
2
f ′ (xn ) f ′ (yn )
Persamaan (33) yang dikenal dengan metode baru orde empat (M4.2) yang memiliki
konvergensi orde empat [5].
3 − tn
9
9
2
Kasus 3. Jika dipilih P (tn ) =
, Q(tn ) = − tn + t2n dan a =
dan
2
4
4
3
kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (18), maka diperoleh
2 ! ′
9 9 f ′ (yn )
3
f ′ (yn )
f (xn )
f (yn )
xn+1 = xn −
−
×
− ′
+
.
(34)
′
′
4 4 f (xn )
f (xn )
2 2f (xn ) f ′ (xn )
Persamaan (34) yang dikenal dengan metode baru orde empat (M4.3) yang memiliki
konvergensi orde empat [5].
2tn
3 3
2
1
Kasus 4. Jika dipilih P (tn ) =
, Q(tn ) = − tn + t2n dan a = dan
(3tn − 1)
2 4
4
3
kemudian disubstitusikan ke dalam persamaan (18), maka diperoleh
2 ! 2f ′ (yn )
3 3 f ′ (yn ) 1 f ′ (yn )
f (xn )
−
+
×
. (35)
xn+1 = xn −
2 4 f ′ (xn ) 4 f ′ (xn )
3f ′ (yn ) − f ′ (xn ) f ′ (xn )
Persamaan (35) yang dikenal dengan metode baru orde empat (M4.4) yang memiliki
konvergensi orde empat [5].
4. KOMPUTASI NUMERIK
Pada bagian ini dilakukan perbandingan numerik untuk membandingkan kecepatan
dalam menemukan akar hampiran dari persamaan nonlinear antara metode Newton
(MN), metode Weerakoon dan Fernando (MW), metode Homeier (MH), metode
Chun dan Kim (MCK), Metode Baru Orde Tiga (M3), Metode Baru Orde Empat
(M4.1), (M4.2), (M4.3) dan (M4.4).
Berikut ini diberikan beberapa fungsi membandingkan metode-metode tersebut,
yaitu
x
1. f1 (x) = e−x − 1 +
5
2. f2 (x) =
x3 + 2.87x2 − 10.28
−x
π
3. f3 (x) =
x + cos(x)
π
Repository FMIPA
sin(x)
−
1
4
8
4. f4 (x) = xe−x − 0.1
Dalam menentukan solusi dari keempat fungsi di atas, maka perbandingan
komputasi ini melibatkan beberapa metode iterasi yang telah dibahas pada artikel
ini seperti (MN), (MW), (MH), (MCK), (M3), (M4.1), (M4.2), (M4.3) dan (M4.4).
Perbandingan komputasi ini menggunakan maple 13 dengan n adalah jumlah
iterasi dari setiap fungsi, x0 adalah tebakan awal, fi (x) adalah fungsi yang diberikan
secara berbeda, xn adalah akar pendekatan, |f (xn )| adalah nilai fungsi dan
terakhir |xn − xn−1 | merupakan akar hampiran atau error dari setiap metode yang
dibandingkan. Hasil dari perbandingan komputasi untuk ke empat fungsi di atas
ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1: Perbandingan Jumlah Iterasi dari Beberapa Metode Iterasi
fi (x)
f1 (x)
f2 (x)
f3 (x)
f4 (x)
x0
4.0
5.0
6.0
1.5
2.5
3.5
0.4
-0.5
0.8
0.1
0.3
-0.4
MN
7
6
6
8
8
9
6
8
8
6
8
9
MW
5
4
4
5
5
6
4
6
5
4
5
6
MH
5
4
5
5
5
5
4
6
5
4
5
5
MCK
5
4
4
6
5
6
4
6
6
4
6
6
M3
5
4
5
5
5
6
4
6
5
4
5
6
M4.1
6
3
6
5
4
5
6
8
8
4
5
5
M4.2
4
3
4
4
4
5
3
5
5
4
4
5
M4.3
4
3
4
5
4
5
3
5
5
4
5
5
M4.4
4
3
4
5
4
5
3
5
5
3
3
5
Berdasarkan jumlah iterasi dari tebakan awal yang berbeda untuk beberapa
metode pembanding seperti metode iterasi orde tiga dan metode iterasi orde
empat perbedaannya tidak begitu signifikan. Sedangkan pada metode Newton
memiliki konvergensi orde dua, jumlah iterasi yang lebih banyak dibandingkan
dengan metode-metode yang lainnya.
Dapat disimpulkan bahwa metode-metode dari orde tiga dan orde empat dapat
dijadikan metode alternatif untuk menyelesaikan persamaan nonlinear.
Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Dr. Imran M.,
M.Sc. dan Drs. Agusni yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam
penulisan skripsi yang menjadi acuan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bartle, R. G. & D. R. Sherbert. 2011. Introduction to Real Analysis, 4th Ed.
John Wiley dan Sons, New York.
Repository FMIPA
9
[2] Burden, R. & J. D. l Faires. 2011. Numerical Methods, 9th Ed. Brooks Cole,
New York.
[3] Chun, C. & Y. I. Kim. 2010. Several New Third Order Iterative Methods for
Solving Nonlinear Equations. Acta Applied Mathematics, 109: 1053–1063.
[4] Homeier, H. H. H. 2005. On Newton Type Methods with Cubic Convergence.
Journal of Computational and Applied Mathematics. 176: 425–432.
[5] Jaiswal, J. P. 2014. Some Class of Third-and Fourth-Order Iterative Methods
for Solving Nonlinear Equations. Journal of Applied Mathematics, 2014: 1-17.
[6] Stewart, J. 2010. Kalkulus Edisi 5 Buku 2. Terjemahan dari Calculus, 5th Ed,
Oleh Sungkuno. C. Salemba Teknika, Jakarta.
[7] Weerakoon, S & T. G. I. Fernando. 2000. A Variant of Newton’s Method with
Accelerated Third Order Convergence. Applied Mathematics Letters, 13: 87–93.
Repository FMIPA
10