filsafat matematika - Biarkan semua berjalan apa adanya……

FILSAFAT MATEMATIKA
http://plato.stanford.edu/entries/philosophy-mathematics/
Jika matematika dianggap sebagai ilmu, maka filsafat matematika dapat dianggap sebagai cabang dari
filsafat ilmu, di samping disiplin ilmu seperti filsafat fisika dan filsafat biologi.Namun, karena pokok
permasalahannya, filsafat matematika menempati tempat khusus dalam filsafat ilmu. Sedangkan ilmu
alam menyelidiki entitas yang berada dalam ruang dan waktu, itu sama sekali tidak jelas bahwa ini juga
kasus yang berhubungan dengan objek yang dipelajari dalam matematika. Selain itu, metode investigasi
matematika berbeda dari metode-metode penyelidikan dalam ilmu alam. Sedangkan yang terakhir
memperoleh pengetahuan umum menggunakan metode induktif, pengetahuan matematika tampaknya
diperoleh dengan cara yang berbeda, yaitu, dengan deduksi dari prinsip-prinsip dasar. Status
pengetahuan matematika juga tampaknya berbeda dari status pengetahuan dalam ilmu alam. Teoriteori ilmu-ilmu alam tampaknya kurang yakin dan lebih terbuka untuk revisi dari teori
matematika. Untuk matematika alasan menimbulkan masalah dari jenis yang cukup khusus untuk
filsafat. Oleh karena itu filsuf telah diberikan perhatian khusus untuk pertanyaan-pertanyaan ontologis
dan epistemologis tentang matematika.
1. Filsafat Matematika, Logika, dan Yayasan Matematika
Di satu sisi, filsafat matematika berkaitan dengan masalah yang terkait erat dengan masalah sentral
metafisika dan epistemologi.Pada blush pertama, matematika muncul untuk belajar entitas abstrak. Hal
ini membuat orang bertanya-tanya apa sifat dari entitas matematika terdiri dan bagaimana kita dapat
memiliki pengetahuan tentang entitas matematika. Jika masalah ini dianggap sebagai terselesaikan,
maka salah satu mungkin mencoba untuk melihat apakah benda-benda matematis entah bagaimana
bisa milik dunia beton setelah semua.
Di sisi lain, ternyata bahwa sampai batas tertentu itu adalah mungkin untuk membawa metode
matematis untuk menanggung pada pertanyaan filosofis tentang matematika. Pengaturan di mana ini
telah dilakukan adalah bahwa logika matematika ketika secara luas dianggap sebagai bukti terdiri dari
teori, teori model, Teori himpunan, dan teori komputabilitas sebagai subbidang. Sehingga abad kedua
puluh telah menyaksikan penyelidikan matematika dari konsekuensi dari apa yang di bawah teori
filosofis tentang sifat matematika.
Ketika matematikawan profesional prihatin dengan dasar subjek mereka, mereka dikatakan terlibat
dalam penelitian dasar. Ketika filsuf profesional menyelidiki pertanyaan filosofis tentang matematika,
mereka dikatakan untuk berkontribusi pada filosofi matematika. Tentu saja perbedaan antara filsafat
matematika dan dasar-dasar matematika tidak jelas, dan interaksi yang lebih ada antara filsuf dan ahli
logika matematika bekerja pada pertanyaan yang berkaitan dengan sifat matematika, semakin baik.
2. Empat Sekolah
Prospek filosofis dan ilmiah yang umum di abad kesembilan belas cenderung ke arah empiris. Platonistic
aspek teori rasionalistik matematika dengan cepat kehilangan dukungan. Terutama sekali sangat-
memuji fakultas intuisi rasional ide dianggap dengan kecurigaan. Oleh karena itu menjadi tantangan
untuk merumuskan teori filosofis matematika yang bebas dari unsur-unsur platonistic.Pada dekade
pertama abad kedua puluh, tiga account non-platonistic matematika dikembangkan: logicism,
formalisme, dan intuisionisme. Ada muncul pada awal abad kedua puluh juga program keempat:
predicativism. Karena keadaan historis kontingen, potensi sesungguhnya tidak dibawa keluar sampai
tahun 1960-an. Namun, cukup layak mendapat tempat di samping tiga sekolah tradisional.
2.1 Logicism
Proyek logicist terdiri dalam upaya untuk mengurangi matematika untuk logika. Karena logika
seharusnya netral tentang hal-hal ontologis, proyek ini tampaknya selaras dengan suasana antiplatonistic waktu.
Gagasan bahwa logika matematika adalah menyamar kembali ke Leibniz. Tetapi upaya sungguhsungguh untuk melaksanakan program logicist secara rinci dapat dilakukan hanya bila pada abad
kesembilan belas prinsip dasar teori matematika pusat tersebut disampaikan (oleh Dedekind dan
Peano) dan prinsip-prinsip logika yang ditemukan (oleh Frege).
Frege mengabdikan sebagian besar karirnya untuk mencoba untuk menunjukkan bagaimana
matematika dapat direduksi menjadi logika (Frege 1884). Dia berhasil menurunkan prinsip-prinsip
(kedua-order) aritmatika Peano dari hukum dasar dari sistem logika orde kedua. derivasi-Nya
sempurna. Namun, ia mengandalkan satu prinsip yang ternyata tidak menjadi prinsip logis setelah
semua. Lebih buruk lagi, hal ini tidak bisa dipertahankan. Prinsip yang dimaksud adalah Frege Dasar
Hukum V:
{X | Fx} = {x | Gx} ∀ ≡ x (Fx ≡ Gx),
Dengan kata: set dari Fs identik dengan set iff Gs para Fs adalah justru Gs. Dalam sebuah surat yang
terkenal kepada Frege, Russell menunjukkan bahwa Frege Dasar Hukum V memerlukan suatu
kontradiksi (Russell 1902). Argumen ini telah datang dikenal sebagai paradoks Russell (lihat Bagian 2.4).
Russell sendiri kemudian mencoba untuk mengurangi matematika untuk logika dengan cara lain. Frege
Dasar Hukum V mensyaratkan bahwa sesuai dengan setiap properti entitas matematika, ada kelas
entitas matematika memiliki sifat itu. Ini jelas terlalu kuat, karena itu persis konsekuensi yang
menyebabkan paradoks Russell. Jadi Russell mendalilkan bahwa hanya sifat benda matematika yang
telah terbukti ada, menentukan kelas. Predikat yang secara implisit mengacu pada kelas yang mereka
untuk menentukan apakah kelas tersebut ada, tidak menentukan sebuah kelas. Jadi struktur diketik
properti diperoleh: sifat-sifat objek tanah, properti kedua objek tanah dan kelas obyek tanah, dan
sebagainya. Struktur diketik sifat menentukan alam semesta berlapis obyek matematika, mulai dari
obyek tanah, melanjutkan ke kelas obyek tanah, kemudian ke kelas kedua objek tanah dan kelas obyek
tanah, dan sebagainya.
Sayangnya, Russel menemukan bahwa prinsip-prinsip logika nya diketik tidak cukup untuk
menyimpulkan bahkan undang-undang dasar aritmatika. Russell diperlukan, antara lain, untuk
meletakkan sebagai prinsip dasar yang terdapat koleksi benda-benda tanah tak terbatas. Hal ini tidak
bisa dianggap sebagai prinsip logis.Dengan demikian upaya kedua untuk mengurangi matematika untuk
logika juga tersendat.
Dan ada hal-hal berdiri selama lebih dari lima puluh tahun. Pada tahun 1983, buku Crispin Wright pada
teori Frege dari alam nomor muncul (Wright 1983). Di dalamnya, Wright meniupkan kehidupan baru ke
dalam proyek logicist. Dia mengamati bahwa Frege derivasi dari kedua orde Peano Aritmetika dapat
dipecah menjadi dua tahap. Pada tahap pertama, Frege menggunakan Undang-Undang Dasar tidak
konsisten V untuk mendapatkan apa yang kemudian dikenal sebagai Hume Prinsip:
Jumlah Fs = jumlah Gs ≡ F ≈ G,
dimana F ≈ G berarti bahwa Fs dan Gs berdiri di satu-ke-satu korespondensi dengan satu sama lain. (Ini
hubungan antara satu-ke-satu korespondensi dapat dinyatakan dalam logika orde kedua.) Kemudian,
dalam tahap kedua, prinsip-prinsip orde kedua Peano Aritmatika berasal dari Hume Prinsip dan prinsipprinsip diterima logika orde kedua. Secara khusus, Dasar Hukum V tidak diperlukan pada bagian kedua
dari derivasi. Selain itu, Wright menduga bahwa dalam kontras dengan Frege Dasar Hukum V, Prinsip
Hume konsisten. George Boolos dan lain-lain mengamati bahwa Prinsip Hume memang konsisten
(Boolos 1987). Wright melanjutkan untuk mengklaim bahwa Prinsip Hume bisa dianggap sebagai
kebenaran logika. Jika demikian, maka setidaknya aritmatika Peano orde kedua ini diturunkan ke logika
saja. Jadi bentuk baru logicism lahir; hari pandangan ini dikenal sebagai neo-logicism (Hale & Wright
2001).
Kebanyakan filsuf keraguan hari ini matematika yang Hume Prinsip adalah prinsip logika. Memang,
bahkan Wright dalam beberapa tahun terakhir berusaha untuk memenuhi syarat klaim ini. Namun
demikian, karya Wright telah menarik perhatian filsuf matematika untuk jenis prinsip-prinsip yang Dasar
Hukum V dan Prinsip Hume adalah contoh. Prinsip-prinsip ini disebut prinsip abstraksi. Saat ini, filsuf
matematika upaya untuk membangun teori-teori umum prinsip abstraksi yang menjelaskan prinsipprinsip abstrak yang diterima dan yang tidak, dan mengapa (Bendung 2003).
2.2 intuisionisme
Intuisionisme berasal dalam karya matematikawan LEJ Brouwer (van Atten 2004). Menurut
intuisionisme, matematika pada dasarnya adalah suatu kegiatan konstruksi. Nomor alam merupakan
konstruksi mental, bilangan real merupakan konstruksi mental, bukti dan teorema merupakan
konstruksi mental, yang berarti matematika merupakan konstruksi mental, .... Matematika konstruksi
diproduksi oleh matematikawan ideal, yaitu, disarikan dari kontingen, keterbatasan fisik matematika
kehidupan nyata.Tetapi bahkan ahli matematika yang ideal tetap menjadi terbatas sedang. Dia tidak
pernah dapat menyelesaikan suatu konstruksi yang tak terbatas, meskipun dia dapat menyelesaikan
secara sewenang-wenang hingga besar bagian awal dari itu.(Pengecualian dibuat oleh Brouwer untuk
intuisi kita garis nyata.) Intuisionisme ini mensyaratkan bahwa untuk sebagian besar menolak
keberadaan aktual (atau selesai) tak terbatas; kebanyakan hanya koleksi potensial tidak terbatas
diberikan dalam kegiatan konstruksi. Contoh dasar pembangunan berturut-turut dalam waktu dari alam
nomor individu.
Dari pertimbangan-pertimbangan umum tentang sifat matematika, intuitionists menyimpulkan untuk
sikap revisionis dalam logika dan matematika. Mereka menemukan bukti adanya non-konstruktif dapat
diterima. bukti adanya non-konstruktif adalah bukti yang dimaksudkan untuk menunjukkan keberadaan
entitas matematika memiliki properti tertentu tanpa bahkan secara implisit mengandung sebuah
metode untuk menghasilkan contoh dari suatu entitas. Intuisionisme menolak keberadaan bukti nonkonstruktif sebagai 'teologis' dan 'metafisik'. Fitur karakteristik bukti adanya non-konstruktif adalah
bahwa mereka memanfaatkan penting dari prinsip dikecualikan tengah,
φ ∨ ¬ φ,
atau salah satu setara, seperti prinsip negasi ganda,
¬ ¬ φ → φ.
Dalam logika klasik, prinsip-prinsip ini berlaku. Logika matematika intuitionistic diperoleh dengan
membuang prinsip tengah dikecualikan (dan setara kas) dari logika klasik. Hal ini tentu saja mengarah
ke revisi pengetahuan matematika. Sebagai contoh, teori klasik aritmatika dasar, Peano aritmatika,
tidak bisa lagi diterima. Sebaliknya, teori intuitionistic aritmatika (disebut Heyting aritmatika) adalah
usulan yang tidak mengandung prinsip dikecualikan tengah. Meskipun aritmatika dasar intuitionistic
lebih lemah dari aritmatika dasar klasik, perbedaan tersebut tidak semua yang besar. Ada ada
terjemahan sintaksis sederhana yang menerjemahkan semua teorema klasik aritmatika menjadi
teorema yang intuitionistically dapat dibuktikan.
Pada dekade pertama abad kedua puluh, bagian dari komunitas matematika sangat simpati terhadap
kritik intuitionistic matematika klasik dan alternatif yang diusulkan. Situasi ini berubah ketika menjadi
jelas bahwa dalam matematika lebih tinggi, alternatif intuitionistic agak berbeda drastis dari teori
klasik.Sebagai contoh, analisis matematis intuitionistic adalah teori yang cukup rumit, dan ini sangat
berbeda dari analisis matematika klasik. Ini dibasahi antusiasme masyarakat matematika untuk proyek
intuitionistic. Namun demikian, pengikut Brouwer terus mengembangkan matematika intuitionistic ke
hari ini (Troelstra & van Dalen 1988).
2.3 Formalisme
David Hilbert setuju dengan intuitionists bahwa ada rasa di mana bilangan asli merupakan dasar dalam
matematika. Namun tidak seperti intuitionists, Hilbert tidak mengambil alam nomor menjadi konstruksi
mental. Sebaliknya, ia berpendapat bahwa bilangan asli dapat diambil untuk menjadi simbol. Simbol
adalah entitas abstrak, tapi mungkin entitas fisik dapat memainkan peran alam nomor. Sebagai contoh,
kita dapat mengambil tinta beton jejak formulir | menjadi angka 0, tinta konkret menyadari jejak | |
untuk menjadi nomor 1, dan seterusnya. Hilbert pikir itu yang terbaik diragukan bahwa matematika
lebih tinggi bisa langsung ditafsirkan dengan sama langsung dan bahkan mungkin dengan cara beton.
Berbeda dengan intuitionists, Hilbert tidak siap untuk mengambil sikap revisionis terhadap tubuh ada
pengetahuan matematika.Sebaliknya, ia mengadopsi sikap instrumentalis sehubungan dengan
matematika yang lebih tinggi. Dia berpikir bahwa matematika yang lebih tinggi tidak lebih dari
permainan formal.Laporan matematika tingkat tinggi yang uninterpreted string simbol. Membuktikan
pernyataan tersebut tidak lebih dari sebuah permainan di mana simbol-simbol yang dimanipulasi sesuai
dengan aturan tetap. Inti dari 'permainan matematika yang lebih tinggi' yang terdiri, dalam pandangan
Hilbert, dalam membuktikan laporan aritmatika dasar, yang memang memiliki interpretasi langsung
(Hilbert 1925).
Hilbert berpikir bahwa tidak ada keraguan tentang kesehatan dari Arithmetic Peano klasik - atau
setidaknya tentang kesehatan dari subsistem itu yang disebut primitif algoritma aritmatika (Tait
1981). Dan dia berpikir bahwa setiap pernyataan aritmatika yang dapat dibuktikan dengan membuat
jalan memutar melalui matematika yang lebih tinggi, juga dapat dibuktikan langsung di Peano
aritmatika. Bahkan, ia diduga kuat bahwa setiap masalah aritmatika dasar dapat diputuskan dari
aksioma Peano Aritmetika. Tentu saja pemecahan masalah aritmatika dalam aritmatika yang dalam
beberapa kasus praktis tidak mungkin.Sejarah matematika telah menunjukkan bahwa membuat "jalan
memutar" melalui matematika yang lebih tinggi kadang-kadang dapat menyebabkan bukti pernyataan
aritmatika yang jauh lebih pendek dan yang memberikan wawasan lebih dari bukti murni aritmatika dari
pernyataan yang sama.
Hilbert menyadari, meskipun agak samar-samar, bahwa sebagian dari keyakinannya sebenarnya bisa
dianggap dugaan matematika. Untuk bukti dalam sistem formal matematika yang lebih tinggi atau
aritmatika dasar adalah objek kombinatorial terbatas yang dapat, modulo coding, dianggap nomor
alami. Tapi di tahun 1920-an rincian coding bukti sebagai bilangan asli belum sepenuhnya dipahami.
Pada pandangan formalis, persyaratan minimal sistem formal matematika lebih tinggi adalah bahwa
mereka paling tidak konsisten. Jika setiap pernyataan dari aritmatika dasar dapat dibuktikan di
dalamnya. Hilbert juga melihat (lagi, samar-samar) bahwa konsistensi sistem matematika yang lebih
tinggi mensyaratkan bahwa sistem ini setidaknya sebagian deret hitung suara. Jadi Hilbert dan muridmuridnya berangkat untuk membuktikan pernyataan seperti konsistensi standar dalil-dalil analisis
matematis. Tentu saja pernyataan seperti itu harus dibuktikan di bagian 'aman' matematika, seperti
aritmatika. Jika bukti tidak meningkatkan keyakinan kita dalam konsistensi dari analisis matematis. Dan,
untungnya, tampaknya mungkin pada prinsipnya untuk melakukan hal ini, karena dalam laporan analisis
konsistensi final, lagi modulo coding, laporan aritmatika. Jadi, tepatnya, Hilbert dan murid-muridnya
berangkat untuk membuktikan konsistensi, misalnya, aksioma analisis matematis dalam aritmatika
Peano klasik. Proyek ini dikenal sebagai program Hilbert (Zach 2006). Ternyata lebih sulit dari yang
mereka harapkan. Pada kenyataannya, mereka bahkan tidak berhasil membuktikan konsistensi aksioma
Peano Aritmetika di Peano aritmatika.
Kemudian Kurt Gödel membuktikan bahwa terdapat laporan aritmatika yang diputuskan dalam Peano
Aritmetika (Gödel 1931).Ini dikenal sebagai Teorema ketidaklengkapan Gödel pertama. Ini tidak
pertanda baik untuk program Hilbert, tetapi dibiarkan terbuka kemungkinan bahwa konsistensi
matematika yang lebih tinggi tidak salah satu dari laporan diputuskan. Sayangnya, Gödel lalu cepatcepat menyadari bahwa, kecuali (melarang Allah!) Peano aritmatika tidak konsisten, konsistensi Peano
Aritmetika adalah independen dari Peano Aritmetika. Ini adalah kedua teorema ketidaklengkapan
Gödel. teorema ketidaklengkapan Gödel ternyata secara umum berlaku untuk semua teori rekursif
axiomatizable cukup kuat tetapi konsisten. Bersama-sama, mereka memerlukan bahwa program Hilbert
gagal. Ternyata bahwa matematika yang lebih tinggi tidak dapat diinterpretasikan dalam cara yang
murni instrumental. matematika lebih tinggi dapat membuktikan kalimat aritmatika, seperti laporan
konsistensi, yang berada di luar jangkauan Peano Aritmetika.
Semua ini tidak berarti akhir formalisme. Bahkan dalam menghadapi teorema ketidaklengkapan, adalah
koheren untuk mempertahankan bahwa matematika adalah ilmu dari sistem formal. Satu versi
pandangan ini diusulkan oleh Curry (1958).Pada pandangan ini, matematika terdiri dari kumpulan
sistem formal yang tidak memiliki interpretasi atau subjek. (Curry sini membuat pengecualian untuk
metamathematics.) Sehubungan dengan suatu sistem formal, dapat dikatakan bahwa sebuah
pernyataan adalah benar jika dan hanya jika diturunkan dalam sistem. Tetapi pada tingkat dasar, semua
sistem matematika pada nominal. Ada dapat di alasan yang paling pragmatis untuk memilih satu sistem
atas yang lain. sistem tidak konsisten dapat membuktikan semua laporan dan karena itu cukup
berguna. Jadi, ketika sistem ditemukan tidak konsisten, itu harus diubah. Ini hanyalah sebuah pelajaran
dari teorema ketidaklengkapan Gödel bahwa sistem konsisten cukup kuat tidak dapat membuktikan
konsistensi sendiri.
Ada keberatan kanonik terhadap posisi formalis Curry.Matematikawan pada kenyataannya tidak
memperlakukan semua sistem formal yang konsisten sebagai sejajar. Kebanyakan dari mereka tidak
mau mengakui bahwa preferensi sistem aritmetika di mana kalimat aritmetika mengungkapkan
konsistensi Peano Aritmetika yang diturunkan atas orang yang negasi adalah diturunkan, misalnya, pada
akhirnya
dapat
dijelaskan
dalam
istilah
murni
pragmatis. Banyak
matematikawan
ingin
mempertahankan bahwa kebenaran dirasakan (ketidaktepatan) dari sistem formal tertentu akhirnya
harus dijelaskan dengan fakta bahwa mereka benar (salah) menjelaskan materi tertentu.
Detlefsen telah menekankan bahwa teorema ketidaklengkapan tidak menghalangi bahwa konsistensi
bagian dari matematika yang lebih tinggi yang dalam prakteknya digunakan untuk memecahkan
masalah aritmatika yang matematikawan tertarik bisa deret hitung didirikan (Detlefsen 1986). Dalam
hal ini, sesuatu yang mungkin bisa diselamatkan dari api bahkan jika instrumentalis sikap Hilbert menuju
seluruh matematika yang lebih tinggi pada akhirnya tidak bisa dipertahankan.
Upaya lain untuk menyelamatkan bagian dari program Hilbert pernah dilakukan oleh Isaacson
(1987). Dia membela pandangan bahwa dalam arti tertentu, Peano Aritmetika mungkin lengkap setelah
semua. Dia berpendapat bahwa kalimat benar diputuskan dalam Peano Aritmetika hanya dapat
dibuktikan melalui konsep-konsep tingkat tinggi. Misalnya, konsistensi Peano Aritmetika dapat
dibuktikan dengan induksi sampai nomor urut transfinite (Gentzen 1938). Tapi gagasan mengenai
nomor urut adalah sebuah konsep set-teoritis, dan karenanya non-aritmatika,. Jika satunya cara untuk
membuktikan konsistensi aritmatika memanfaatkan penting dari pengertian yang dapat dikatakan milik
matematika tingkat tinggi, maka konsistensi aritmatika, meskipun dapat dinyatakan dalam bahasa
Peano Arithmetic, adalah masalah non-aritmatika. Dan generalisasi dari ini, kita dapat bertanya-tanya
apakah Hilbert menduga bahwa setiap masalah aritmatika dapat diputuskan dari aksioma Peano
Aritmetika mungkin masih benar.
2.4 Predicativism
Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, predicativism tidak biasanya digambarkan sebagai salah satu
sekolah. Tapi itu hanya untuk alasan kontingen bahwa sebelum kedatangan predicativism perang dunia
kedua tidak naik ke tingkat keunggulan dari sekolah lain.
Asal-usul predicativism terletak pada karya Russell. Pada isyarat dari Poincaré, ia tiba di diagnosis
berikut paradoks Russell. Untuk negara paradoks Russell, C koleksi semua entitas matematika yang
memuaskan ¬ x ∈ x didefinisikan. Paradoksnya kemudian mulai dengan menanyakan apakah C itu
sendiri memenuhi kondisi ini, dan berasal kontradiksi. Diagnosis Poincaré-Russell dari menyatakan
paradoks bahwa definisi C tidak memilih koleksi sama sekali: tidak mungkin untuk mendefinisikan
sebuah koleksi S dengan suatu kondisi yang secara implisit mengacu pada S itu sendiri. Hal ini disebut
prinsip lingkaran setan. Definisi yang melanggar prinsip lingkaran setan disebut impredicative. Definisi
suara koleksi hanya merujuk kepada badan usaha yang ada secara independen dari koleksi
ditetapkan. definisi seperti ini disebut predikatif. Seperti Gödel kemudian menunjukkan, seorang
Platonis yakin akan menemukan baris ini penalaran tidak meyakinkan. Jika koleksi matematika ada
secara independen dari tindakan mendefinisikan, maka tidak segera jelas mengapa ada tidak bisa
koleksi yang hanya dapat didefinisikan impredicatively.
Semua ini menyebabkan Russell untuk mengembangkan sederhana dan teori bercabang jenis, di mana
pembatasan sintaksis dibangun di mana membuat definisi impredicative sakit-terbentuk. Dalam teori
tipe sederhana, variabel bebas dalam menentukan rumus rentang selama entitas yang koleksi harus
didefinisikan bukan milik. Dalam teori tipe bercabang, diperlukan, di samping itu, bahwa rentang
variabel terikat dalam mendefinisikan formula tidak termasuk koleksi yang akan ditetapkan. Ini
ditunjukkan dalam Bagian 2.1 bahwa teori jenis Russell tidak dapat dilihat sebagai pengurangan
matematika dengan logika. Tetapi bahkan selain dari itu, diamati sejak awal bahwa teori jenis terutama
bercabang tidak cocok untuk merumuskan argumen matematika biasa.
Ketika Russell berbalik ke area lain dari filsafat analitis, Hermann Weyl mengambil penyebab
predicativist (Weyl 1918). Seperti Poincaré, Weyl tidak berbagi Russell keinginan untuk mengurangi
matematika untuk logika. Dan kanan dari awal ia melihat bahwa akan mustahil dalam praktek untuk
bekerja di suatu teori tipe bercabang. Weyl mengembangkan sikap filosofis yang dalam arti antara
antara intuisionisme dan Platonisme. Ia mengambil kumpulan bilangan asli sebagai unproblematically
diberikan sebagai yang tak terbatas yang sebenarnya. Tapi konsep subset sewenang-wenang dari alam
nomor tidak diambil untuk segera diberikan dalam intuisi matematika. Hanya mereka subset yang
ditentukan oleh predikat orde pertama aritmatika yang dianggap menjadi predicatively diterima.
Di satu sisi, hal itu muncul bahwa banyak definisi standar dalam analisis matematika
impredicative. Sebagai contoh, penutupan minimal operasi pada himpunan yang biasanya didefinisikan
sebagai persimpangan dari semua set yang tertutup di bawah aplikasi operasi. Tetapi penutupan
minimal sendiri adalah salah satu set yang tertutup di bawah aplikasi operasi. Jadi definisi ini
impredicative. Dengan cara ini, perhatian berangsur-angsur bergeser jauh dari kekhawatiran tentang
paradoks set-teoritis untuk peran impredicativity dalam matematika mainstream. Di sisi lain, Weyl
menunjukkan bahwa sering mungkin untuk bekerja di sekitar gagasan impredicative. Bahkan muncul
bahwa sebagian besar analisis matematis mainstream abad kesembilan belas dapat dibuktikan secara
predikatif (Feferman 1988).
Pada tahun 1920, sejarah campur. Weyl dimenangkan ke lebih radikal proyek intuitionistic
Brouwer. Sementara itu, ahli matematika menjadi yakin bahwa teori himpunan sangat impredicative
transfinite dikembangkan oleh penyanyi dan Zermelo kurang akut terancam oleh paradoks Russell dari
sebelumnya dicurigai. Faktor-faktor ini menyebabkan predicativism untuk terjerumus ke dalam keadaan
tidak aktif selama beberapa dekade.
Membangun kerja menurut teori rekursi umum, Salomo Feferman memperpanjang proyek predicativist
pada 1960-an (Feferman 2005). Dia menyadari bahwa strategi Weyl itu bisa iterasi ke transfinite. Juga
yang set angka yang dapat didefinisikan dengan menggunakan kuantifikasi atas set yang Weyl dianggap
sebagai predicatively dibenarkan, harus dihitung sebagai predicatively diterima, dan sebagainya. Proses
ini dapat diperbanyak di sepanjang jalur ordinal. Jalan ini membentang sejauh ordinal ke transfinite
sebagai predikatif ordinals mencapai, di mana ordinal adalah predikatif jika mengukur panjang yang
dapat dibuktikan baik pemesanan alam nomor. Ini kalibrasi kekuatan matematika predikatif, yang
karena Feferman dan (independen) Schutte, dewasa ini cukup berlaku umum. Feferman kemudian
diteliti
berapa
banyak
analisis
matematis
standar
dapat
dilakukan
dalam
kerangka
predicativist. Penelitian Feferman dan lain-lain (terutama Harvey Friedman) menunjukkan bahwa
sebagian besar analisis abad kedua puluh dapat diterima dari sudut pandang predicativist.
3. Platonisme
Pada tahun-tahun sebelum perang dunia kedua itu menjadi jelas bahwa keberatan berat telah diajukan
terhadap masing-masing dari tiga program anti-Platonis dalam filsafat matematika.Predicativism adalah
pengecualian, tapi pada saat program tanpa pembela. Dengan demikian ruang diciptakan untuk suatu
minat baru dalam prospek pandangan platonistic tentang sifat matematika. Pada konsepsi platonistic,
materi pelajaran matematika terdiri dari entitas abstrak.
3.1 Gödel's Platonisme
Gödel adalah seorang Platonis berkenaan dengan objek matematika dan dalam kaitannya dengan
konsep-konsep matematika (Gödel 1944, 1964). Tapi melihat platonistic nya lebih canggih daripada
matematikawan di jalan.
Gödel menyatakan bahwa ada paralelisme kuat antara teori-teori yang masuk akal objek matematika
dan konsep-konsep di satu sisi, dan teori masuk akal benda fisik dan properti di sisi lain.Seperti bendabenda fisik dan sifat, objek matematika dan konsep yang tidak dibangun oleh manusia. Seperti bendabenda fisik dan sifat, objek matematika dan konsep yang tidak dapat direduksi kepada badan
mental. Matematika objek dan konsep adalah sebagai tujuan sebagai objek fisik dan sifat. Matematika
objek dan konsep adalah, seperti benda-benda fisik dan sifat, didalilkan dalam rangka untuk
mendapatkan suatu teori yang memuaskan dari pengalaman kami. Memang, dengan cara yang analog
dengan hubungan persepsi kita untuk benda-benda fisik dan sifat, melalui intuisi matematika kita
berdiri dalam suatu hubungan kuasi-persepsi dengan objek dan konsep matematika.Persepsi kita
tentang objek fisik dan konsep bisa salah dan dapat diperbaiki. Dengan cara yang sama, intuisi
matematika tidak bodoh-bukti - sebagai sejarah Frege Dasar Hukum V menunjukkan - tetapi dapat
dilatih dan ditingkatkan. Tidak seperti benda-benda fisik dan sifat, benda-benda matematis tidak ada
dalam ruang dan waktu, dan konsep-konsep matematika tidak instantiated dalam ruang atau waktu.
intuisi matematika kami memberikan bukti intrinsik untuk prinsip-prinsip matematika. Hampir semua
pengetahuan matematika kita bisa dideduksi dari aksioma Zermelo-Fraenkel Teori himpunan dengan
Aksioma of Choice (ZFC). Dalam pandangan Gödel, kita memiliki bukti intrinsik yang meyakinkan untuk
kebenaran aksioma ini. Tapi ia juga khawatir bahwa intuisi matematis mungkin tidak cukup kuat untuk
memberikan bukti yang menarik bagi aksioma yang secara signifikan melebihi kekuatan ZFC.
Selain dari bukti intrinsik, adalah dalam pandangan Gödel juga mungkin untuk memperoleh bukti
ekstrinsik untuk prinsip-prinsip matematika. Jika prinsip-prinsip matematika yang sukses, kemudian,
bahkan jika kami tidak dapat memperoleh bukti intuitif bagi mereka, mereka mungkin dianggap sebagai
mungkin benar.Gödel mengatakan bahwa "sukses di sini berarti berbuah di konsekuensi, terutama di
'diverifikasi' konsekuensi, yaitu konsekuensi diverifikasi tanpa aksioma baru, yang bukti-bukti dengan
bantuan dari aksioma baru, bagaimanapun, adalah jauh lebih sederhana dan lebih mudah untuk
menemukan, dan yang membuat mungkin untuk kontrak menjadi satu bukti banyak berbeda bukti [...]
Tidak mungkin ada aksioma sangat banyak di konsekuensi diverifikasi mereka, shedding cahaya begitu
banyak di seluruh bidang, seperti menghasilkan metode yang kuat untuk memecahkan masalah [...] itu,
tidak peduli atau tidak mereka secara intrinsik perlu, mereka harus diterima sedikitnya dalam arti sama
dengan teori fisika yang mapan "(Gödel 1947, 477). Gödel ini terinspirasi untuk mencari aksioma baru
yang dapat ekstrinsik termotivasi dan yang dapat memutuskan pertanyaan-pertanyaan seperti hipotesis
kontinum, yang sangat independen dari ZFC (lih. Bagian 5.1).
Gödel Hilbert berbagi keyakinan bahwa semua pertanyaan matematika memiliki jawaban yang
pasti. Tapi Platonisme dalam filsafat matematika tidak boleh dianggap ipso facto berkomitmen untuk
memegang bahwa semua dalil set-teoretis memiliki nilai kebenaran tentu. Ada versi Platonisme yang
menjaga, misalnya, bahwa semua teorema ZFC dibuat benar oleh fakta set-teoritis menentukan, tetapi
bahwa tidak ada fakta set-teori yang membuat pernyataan tertentu yang sangat independen dari ZFC
kebenaran-tentu. Tampaknya set teori terkenal Paul Cohen diadakan beberapa pandangan seperti
(Cohen 1971).
3.2 Naturalisme dan Indispensability
Quine diartikulasikan kritik metodologis filsafat tradisional. Dia menyarankan metodologi filosofis yang
berbeda daripada yang telah menjadi dikenal sebagai naturalisme (Quine 1969). Menurut naturalisme,
teori-teori kita yang terbaik adalah teori ilmiah terbaik kami. Jika kita ingin mendapatkan jawaban
terbaik yang tersedia untuk pertanyaan filosofis seperti Apa yang kita ketahui? dan yang jenis entitas
ada?, kita seharusnya tidak menarik bagi teori epistemologis dan metafisik tradisional. Kita juga harus
menahan diri dari memulai penyelidikan epistemologis atau metafisik fundamental mulai dari prinsipprinsip pertama. Sebaliknya, kita harus berkonsultasi dan menganalisis teori-teori ilmiah yang
terbaik. Mereka berisi, meskipun seringkali secara implisit, rekening kami saat ini terbaik dari apa yang
ada, apa yang kita tahu, dan bagaimana kita tahu itu.
Putnam diterapkan sikap naturalistik Quine untuk ontologi matematika (Putnam 1972). Sejak Galileo,
teori-teori kita terbaik dari ilmu-ilmu alam secara matematis dinyatakan. Teori gravitasi Newton,
misalnya, sangat bergantung pada teori klasik dari bilangan real. Jadi komitmen ontologis terhadap
entitas matematika tampaknya melekat pada teori-teori ilmiah terbaik kami. Garis penalaran ini bisa
diperkuat oleh menarik tesis Quinean dari holisme confirmational. Bukti empiris tidak memberikan
kekuasaan konfirmatori pada setiap hipotesis satu orang. Sebaliknya, pengalaman global menegaskan
teori di mana hipotesis individu tertanam. Karena teori matematika adalah bagian dan bingkisan dari
teori-teori ilmiah, mereka juga sudah dikonfirmasi oleh pengalaman. Jadi, kami telah konfirmasi empiris
untuk teori matematika. Bahkan lebih muncul benar. Tampaknya bahwa matematika sangat diperlukan
untuk teori-teori ilmiah terbaik kami: itu sama sekali tidak jelas bagaimana kita bisa mengekspresikan
mereka tanpa menggunakan kosa kata matematika. Oleh karena itu sikap naturalis memerintahkan kita
untuk menerima entitas matematika sebagai bagian dari ontologi filosofis kita. Baris ini argumentasi
disebut argumen indispensability (Colyvan 2001).
Jika kita mengambil matematika yang terlibat dalam teori-teori ilmiah yang terbaik pada nilai
nominalnya, maka kita tampaknya berkomitmen untuk bentuk Platonisme. Tetapi merupakan bentuk
yang lebih sederhana Platonisme dari Platonisme Gödel's. Untuk tampak bahwa ilmu alam dapat
bertahan dengan (sekitar) fungsi ruang di bilangan real. Daerah yang lebih tinggi teori himpunan
transfinite tampaknya sangat tidak relevan bahkan teori-teori kita paling maju dalam ilmu alam. Namun
demikian, Quine pikir (di beberapa titik) bahwa set yang didalilkan oleh ZFC dapat diterima dari sudut
pandang naturalistik, mereka dapat dianggap sebagai pembulatan murah hati-off dari matematika yang
terlibat dalam teori-teori ilmiah kita. Quine penilaian tentang masalah ini tidak diterima secara
universal. Feferman, misalnya, berpendapat bahwa semua teori matematika yang pada dasarnya
digunakan dalam teori-teori ilmiah saat ini yang terbaik adalah predicatively direduksi (Feferman 2005).
Dalam filsafat Quine's, ilmu-ilmu alam adalah penengah utama tentang keberadaan dan kebenaran
matematika matematika. Hal ini menyebabkan Charles Parsons ke objek bahwa gambar ini membuat
kejelasan matematika dasar agak misterius (Parsons 1980). Sebagai contoh, pertanyaan apakah setiap
nomor alamiah memiliki penerus akhirnya tergantung, dalam pandangan Quine, pada teori empiris
yang terbaik, namun entah bagaimana fakta ini muncul lebih cepat dari itu. Dalam semangat yang sama,
catatan Maddy bahwa matematikawan tidak menganggap diri mereka berada dalam cara apapun
dibatasi dalam kegiatan mereka dengan ilmu-ilmu alam. Memang, orang mungkin bertanya-tanya
apakah matematika tidak harus dianggap sebagai ilmu dalam dirinya sendiri, dan apakah komitmen
ontologis matematika tidak harus dinilai bukan berdasarkan metode rasional yang tersirat dalam
praktek matematika.
Termotivasi oleh pertimbangan, Maddy berangkat untuk menyelidiki standar eksistensi tersirat dalam
praktek matematika, dan ke dalam komitmen ontologis implisit matematika yang mengikuti dari
standar (Maddy 1990). Dia difokuskan pada teori himpunan, dan pada pertimbangan metodologis yang
dibawa untuk menanggung oleh komunitas matematika pada pertanyaan yang aksioma-kardinal besar
dapat diambil untuk menjadi kenyataan. Jadi pandangannya lebih dekat dengan yang Gödel
dibandingkan dengan yang Quine. Dalam karyanya yang lebih baru, dia isolat dua pepatah yang
tampaknya akan membimbing teori set ketika merenungkan prinsip penerimaan set-teori baru:
menyatukan dan memaksimalkan (Maddy 1997). Pepatah itu "menyatukan" adalah dorongan bagi teori
himpunan untuk menyediakan sistem tunggal di mana semua objek matematika dan semua struktur
matematika dapat instantiated atau dimodelkan. pepatah The "memaksimalkan" berarti bahwa teori
himpunan harus mengadopsi prinsip-prinsip teoritis set-yang sebagai kuat dan berbuah matematis
mungkin.
3.3 mengempis Platonisme
Bernays mengamati bahwa ketika seorang matematikawan sedang bekerja dia "naif" memperlakukan
benda-benda dia berurusan dengan cara platonistic. Setiap matematikawan bekerja, katanya, adalah
sebuah Platonis (Bernays 1935). Tetapi ketika matematikawan adalah tertangkap tugas oleh seorang
filsuf yang kuis tentang komitmen ontologis, ia cenderung untuk kaki shuffle dan menarik diri ke posisi
non-platonistic samar-samar. Ini telah diambil oleh beberapa orang untuk menunjukkan bahwa ada
sesuatu yang salah dengan pertanyaan-pertanyaan filosofis tentang sifat objek matematika dan
pengetahuan matematika.
Carnap memperkenalkan perbedaan antara pertanyaan yang internal untuk kerangka kerja dan
pertanyaan-pertanyaan yang bersifat eksternal dengan kerangka kerja (Carnap 1950). Tait telah bekerja
secara rinci bagaimana hal seperti perbedaan ini dapat diterapkan untuk matematika (Tait 2005). Ini
telah menghasilkan apa yang mungkin dianggap sebagai versi deflasi dari Platonisme.
Menurut Tait, pertanyaan keberadaan entitas matematika hanya dapat diminta bijaksana dan cukup
menjawab dari dalam (aksiomatik) kerangka matematis. Jika seseorang bekerja di teori bilangan,
misalnya, maka kita dapat bertanya apakah ada bilangan prima yang memiliki properti
tertentu. Pertanyaan semacam ini kemudian akan diputuskan atas dasar murni matematika.
Filsuf memiliki kecenderungan untuk langkah di luar kerangka matematika dan bertanya "dari luar"
apakah objek matematika benar-benar ada dan apakah proposisi matematika adalah benar.Dalam
pertanyaan ini mereka meminta supra-dasar matematika atau metafisik untuk kebenaran matematika
dan klaim eksistensi.Tait berpendapat bahwa sulit untuk melihat bagaimana akal dapat dibuat
pertanyaan eksternal seperti. Dia mencoba untuk menurunkan mereka, dan membawa mereka kembali
ke tempat mereka berada: untuk berlatih matematika itu sendiri. Tentu saja tidak semua orang setuju
dengan Tait pada titik ini. Linsky dan Zalta telah mengembangkan cara sistematis menjawab tepat jenis
pertanyaan eksternal yang Tait pendekatan dengan jijik (Linsky & Zalta 1995).
Ia datang tidak mengejutkan bahwa Tait memiliki sedikit digunakan untuk menarik Gödelian untuk
intuisi matematika dalam filsafat matematika, atau untuk tesis filosofis bahwa obyek matematika ada
"di luar ruang dan waktu". Secara umum, Tait berpendapat bahwa matematika tidak memerlukan
landasan filosofis, ia ingin membiarkan matematika berbicara sendiri.Dalam hal ini, posisinya
mengingatkan pada (dalam arti Wittgensteinian) sikap ontologis alam yang dianjurkan oleh Arthur Fine
dalam perdebatan realisme dalam filsafat ilmu.
3.4 Benacerraf's epistemologis Masalah
Benacerraf dirumuskan masalah epistemologis untuk berbagai posisi platonistic dalam filsafat ilmu
(Benacerraf 1973). Argumen ini secara khusus ditujukan terhadap rekening intuisi matematika seperti
yang dari Gödel. argumen Benacerraf dimulai dari premis bahwa teori terbaik kita pengetahuan adalah
teori kausal pengetahuan. Hal ini kemudian dicatat bahwa menurut Platonisme, benda-benda abstrak
tidak spasial atau temporal lokal, sedangkan daging-dan-darah matematikawan secara spasial dan
temporal lokal. Teori terbaik epistemologis kami kemudian memberitahu kita bahwa pengetahuan
entitas matematika harus dihasilkan dari interaksi kausal dengan entitas tersebut. Tapi sulit
membayangkan bagaimana ini bisa terjadi.
Hari ini beberapa epistemologists berpendapat bahwa teori kausal pengetahuan adalah teori
pengetahuan terbaik kami. Tapi ternyata bahwa masalah Benacerraf adalah sangat kuat di bawah
variasi teori epistemologis. Sebagai contoh, mari kita asumsikan demi argumen bahwa reliabilism
adalah teori pengetahuan terbaik kami. Kemudian masalah menjadi untuk menjelaskan bagaimana kita
berhasil mendapatkan kepercayaan yang dapat diandalkan tentang entitas matematika.
Hodes telah merumuskan varian semantical masalah epistemologis Benacerraf's (Hodes 1984). Menurut
teori kami saat ini terbaik dari referensi, koneksi kausal-historis antara manusia dan dunia concreta
memungkinkan kata-kata kita untuk merujuk kepada badan fisik dan sifat. Menurut Platonisme,
matematika mengacu pada entitas abstrak. Platonis Karena itu berhutang kita account masuk akal
tentang bagaimana kita (secara fisik diwujudkan manusia) dapat merujuk kepada mereka.Di wajah itu,
tampak bahwa teori kausal acuan tidak akan mampu untuk memasok kita dengan account yang
dibutuhkan dari 'mikro acuan' wacana matematika.
3.5 Plenitudinous Platonisme
Sebuah versi dari Platonisme telah dikembangkan yang dimaksudkan untuk memberikan solusi untuk
masalah epistemologis Benacerraf's (Linsky & Zalta 1995; Balaguer 1998).Posisi ini dikenal sebagai
plenitudinous Platonisme. Tesis sentral dari teori ini adalah bahwa setiap teori matematika secara logis
konsisten harus mengacu pada suatu entitas abstrak. Apakah matematika yang dirumuskan teori tahu
bahwa itu merujuk atau tidak tahu ini, sebagian besar material. Dengan menghibur sebuah teori
matematis yang konsisten, matematika secara otomatis memperoleh pengetahuan tentang subyek
teori. Jadi, pada pandangan ini, tidak ada masalah epistemologis untuk memecahkan lagi.
Dalam versi Balaguer's, Platonisme plenitudinous mendalilkan aneka ragam alam semesta matematika,
masing-masing sesuai dengan teori matematika konsisten. Jadi, pertanyaan seperti masalah kontinum
tidak menerima jawaban yang unik: di beberapa set alam semesta teoritis hipotesis kontinum
memegang, di lain itu gagal terus. Namun, tidak semua orang setuju bahwa gambar ini dapat
dipertahankan. Martin telah dikembangkan argumen untuk menunjukkan bahwa alam semesta
beberapa dapat selalu "akumulasi" ke dalam alam semesta tunggal (Martin 2001).
Dalam versi Linsky dan Zalta tentang Platonisme plenitudinous, entitas matematika yang dipostulasikan
oleh teori matematika yang konsisten telah persis sifat matematika yang dikaitkan kepadanya oleh
teori. Entitas abstrak yang berhubungan dengan ZFC, misalnya, adalah parsial dalam arti bahwa hal itu
tidak membuat hipotesis kontinum benar atau salah. Alasannya adalah bahwa ZFC tidak memerlukan
hipotesis kontinum ataupun penyangkalan. Ini tidak berarti bahwa semua cara konsisten memperluas
ZFC berada di setara. Beberapa cara mungkin akan berbuah dan kuat, yang lain kurang begitu. Tapi
melihat tidak menyangkal bahwa cara-cara yang konsisten tertentu memperluas ZFC yang lebih baik
karena mereka terdiri dari prinsip-prinsip sejati sedangkan yang lain mengandung prinsip-prinsip palsu.
4. Strukturalisme dan Nominalisme
pekerjaan Benacerraf's termotivasi filsuf untuk mengembangkan kedua teori strukturalis dan nominalis
dalam filsafat matematika (Reck & Harga 2000). Dan sejak 1980-an, kombinasi strukturalisme dan
nominalisme juga telah dikembangkan.
4.1 Bilangan Apa yang Tidak Bisa Jadi
Seolah-olah saddling Platonisme dengan satu masalah sulit tidak cukup (Bagian 3.4), Benacerraf
merumuskan suatu tantangan bagi Platonisme set-teoritis (Benacerraf 1965). Tantangan mengambil
formulir berikut.
Terdapat tak terhingga banyak cara mengidentifikasi bilangan asli dengan set murni. Mari kita
membatasi, tanpa kehilangan penting dari umum, diskusi kami dengan dua cara seperti:
I:
0=∅
1 = {∅}
2 = {{∅}}
3 = {{{∅}}}
...
II:
0=∅
1 = {∅}
2 = {∅, {∅}}
3 = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
...
Pertanyaan sederhana yang Benacerraf bertanya adalah:
Yang ini hanya terdiri laporan identitas sejati: I atau II?
Sepertinya sangat sulit untuk menjawab pertanyaan ini. Hal ini tidak sulit untuk melihat bagaimana
fungsi pengganti dan penambahan dan operasi perkalian dapat didefinisikan pada calon nomor I dan
nomor calon II sehingga semua laporan aritmetika yang kita ambil untuk menjadi kenyataan keluar
benar.Memang, jika hal ini dilakukan dengan cara yang alami, maka kita sampai pada struktur isomorfik
(dalam arti teoritis set-kata), dan struktur isomorfik membuat kalimat yang sama benar (mereka
elementarily setara). Hanya ketika kita mengajukan pertanyaan ekstra-aritmatika, seperti 1 ∈ 3? bahwa
dua account dari alam nomor menghasilkan jawaban divergen. Jadi tidak mungkin bahwa kedua
rekening sudah benar. Menurut cerita saya, 3 = {{{∅}}}, padahal menurut cerita II, 3 = {∅, {∅}, {∅,
{∅}}}. Jika kedua account itu benar, maka transitivitas identitas akan menghasilkan kesalahan set-teori
murni.
Menyimpulkan, kita sampai pada situasi berikut. Di satu sisi, ada tampaknya tidak ada alasan mengapa
satu account lebih unggul dari yang lain. Di sisi lain, account tidak bisa keduanya benar.keadaan ini
kadang-kadang disebut label identifikasi masalah Benacerraf's.
Kesimpulan yang tepat untuk menarik dari teka-teki ini tampaknya bahwa akun saya atau akun II adalah
benar. Karena pertimbangan serupa akan muncul dari membandingkan upaya akal-mencari lain untuk
mengurangi jumlah alami untuk set, tampak bahwa bilangan asli tidak set setelah semua. Jelas, apalagi,
bahwa argumen yang sama dapat dirumuskan untuk nomor rasional, bilangan real, ....Benacerraf
menyimpulkan bahwa mereka juga, tidak set sama sekali.
Ini sama sekali tidak jelas apakah Gödel, misalnya, berkomitmen untuk mengurangi angka alami untuk
set murni. Tampaknya Platonis harus bisa menegakkan klaim bahwa angka-angka alam dapat tertanam
ke alam semesta set-teori sambil mempertahankan bahwa embedding tidak harus dilihat sebagai
pengurangan ontologis. Memang, kita telah melihat bahwa pada account Platonis plenitudinous Linsky
dan Zalta's, alam nomor tidak memiliki sifat luar yang diberikan ke mereka dengan teori kita dari alam
nomor (Peano aritmatika). Tapi tampaknya Platonis harus mengambil garis yang sama sehubungan
dengan angka rasional, bilangan kompleks, .... Sedangkan mempertahankan bahwa angka-angka alam
sui generis diakui memiliki daya tarik beberapa, mungkin kurang alami untuk mempertahankan bahwa
bilangan kompleks, misalnya, juga sui generis. Dan, bagaimanapun, bahkan jika nomor alam, bilangan
kompleks, ... yang dalam arti tertentu tidak dapat direduksi ke sesuatu yang lain, seseorang mungkin
bertanya-tanya apakah ada cara lain untuk menjelaskan sifat mereka.
4.2 Ante Rem Strukturalisme
Shapiro menarik pembedaan yang bermanfaat antara teori matematika aljabar dan non-aljabar (Shapiro
1997). Kira-kira, teori non-aljabar adalah teori yang muncul pada pandangan pertama tentang model
unik: model dimaksudkan teori. Kita telah melihat contoh teori seperti: aritmatika, analisis matematis
.... teori aljabar, sebaliknya, tidak membawa tuntutan prima facie untuk menjadi tentang model
unik. Contohnya adalah teori grup, topologi, teori graph, ....
tantangan Benacerraf bisa dipasang untuk objek yang non-aljabar teori muncul untuk
menggambarkan. Namun tantangan tidak berlaku untuk teori aljabar. teori aljabar tidak tertarik pada
objek matematika per se, mereka tertarik pada aspek struktural objek matematika. Benacerraf ini
menyebabkan berspekulasi apakah sama tidak bisa benar juga teori non-aljabar. Mungkin pelajaran
yang bisa ditarik dari masalah identifikasi Benacerraf adalah bahwa bahkan aritmatika tidak
menggambarkan benda-benda matematis tertentu, tetapi hanya menjelaskan hubungan struktural?
Shapiro dan Resnik berpendapat bahwa semua teori matematika, bahkan yang non-aljabar,
menjelaskan struktur. Posisi ini dikenal sebagai strukturalisme (Shapiro 1997; Resnik 1997). Struktur
terdiri dari tempat-tempat yang berdiri dalam hubungan struktural satu sama lain. Dengan demikian,
derivatively, teori matematika menjelaskan tempat atau posisi dalam struktur. Tapi mereka tidak
menggambarkan objek. Nomor 3, misalnya, akan pada pandangan ini tidak menjadi obyek tetapi
tempat dalam struktur alam nomor.
Sistem instantiations struktur. Sistem yang instantiate struktur yang dijelaskan oleh teori non-aljabar
isomorfik satu sama lain, dan dengan demikian, untuk tujuan teori, sama baiknya. Sistem I dan II yang
dijelaskan dalam Bagian 4.1 dapat dilihat sebagai instantiations dari struktur alam nomor. Set {{{∅}}}
dan {∅, {∅}, {∅, {∅}}} sama-sama cocok untuk memainkan peran nomor tiga.Tapi satu tidak adalah
nomor 3. Untuk nomor 3 merupakan tempat terbuka di struktur alam nomor, dan tempat ini terbuka
tidak memiliki struktur internal. Sistem biasanya berisi properti atas dan di atas mereka yang relevan
untuk struktur yang mereka dibawa ke instantiate.
pertanyaan identitas Masuk akal adalah mereka yang bisa diajukan dari dalam struktur. Mereka adalah
pertanyaan-pertanyaan yang dapat dijawab berdasarkan aspek struktural struktur. pertanyaan Identitas
yang melampaui struktur tidak masuk akal. Satu dapat mengajukan pertanyaan apakah 3, ∈ 4 tetapi
tidak cogently: pertanyaan ini melibatkan kesalahan kategori.Pertanyaan campuran dua struktur yang
berbeda: ∈ adalah gagasan set-teoritis, sedangkan 3 dan 4 adalah tempat di struktur alam nomor. Hal
ini tampaknya merupakan jawaban yang memuaskan untuk tantangan Benacerraf's.
Dalam pandangan Shapiro, struktur ontologis tidak tergantung pada keberadaan sistem yang instantiate
mereka. Bahkan jika tidak ada sistem yang tak terbatas dapat ditemukan di alam, struktur dari alam
nomor akan ada. Jadi struktur sebagai Shapiro memahami mereka adalah abstrak, entitas
platonis. merek Shapiro strukturalisme sering dicap strukturalisme rem ante.
Dalam buku teks pada teori himpunan kita juga menemukan gagasan struktur. Secara kasar, definisi setteoritis mengatakan bahwa struktur adalah memerintahkan n-tuple yang terdiri dari satu set, sejumlah
hubungan di set ini, dan sejumlah elemen dibedakan dari himpunan ini. Tapi ini tidak dapat gagasan
struktur yang strukturalisme dalam filsafat matematika dalam pikiran. Untuk gagasan set-teori struktur
mengandaikan konsep set, yang menurut strukturalisme, harus sendiri dijelaskan secara
struktural.Atau, untuk menempatkan titik berbeda, struktur set-teoritis hanyalah sebuah sistem yang
instantiates struktur yang ontologis sebelum itu.
Tampaknya ante strukturalisme rem menjelaskan pengertian struktur dengan cara yang agak
melingkar. susunan A digambarkan sebagai tempat yang berdiri dalam hubungan satu sama lain, tetapi
tempat yang tidak dapat digambarkan secara independen dari struktur mana ia berasal. Namun ini
belum tentu masalah. Untuk strukturalis rem ante, gagasan struktur adalah konsep primitif, yang tidak
dapat didefinisikan dalam istilah yang lebih mendasar lainnya. Paling-paling, kita dapat membangun
sebuah teori aksiomatik struktur matematika.
Tapi masalah epistemologis Benacerraf masih tampaknya mendesak. Struktur dan tempat-tempat
dalam struktur mungkin tidak objek, tetapi mereka adalah abstrak. Jadi, adalah wajar untuk bertanyatanya bagaimana kita berhasil dalam mendapatkan pengetahuan dari mereka. Masalah ini telah diambil
oleh filsuf tertentu sebagai alasan untuk mengembangkan teori nominalis matematika dan kemudian
untuk mendamaikan teori ini dengan prinsip dasar strukturalisme.
4.3 Matematika Tanpa Entitas Abstrak
Goodman dan Quine mencoba awal menggigit peluru dan memulai sebuah proyek untuk merumuskan
teori dari ilmu pengetahuan alam tanpa memanfaatkan entitas abstrak (Goodman & Quine
1947). Rekonstruksi nominalistic teori-teori ilmiah terbukti menjadi tugas yang sulit. Quine, untuk satu,
ditinggalkan setelah upaya awal ini. Dalam dekade terakhir banyak teori telah diajukan yang
dimaksudkan untuk memberikan rekonstruksi nominalistic matematika. Burgess & Rosen 1997 berisi
diskusi kritis baik dari pandangan tersebut.
Dalam rekonstruksi nominalis matematika, entitas beton akan harus memainkan peran yang entitas
abstrak bermain di rekening platonistic matematika. Tapi di sini masalah muncul. Sudah Hilbert
mengamati bahwa, mengingat diskritisasi alam dalam mekanika kuantum, ilmu-ilmu alam mungkin di
akhir mengklaim bahwa hanya ada entitas konkrit banyak finitely (Hilbert 1925). Namun tampaknya kita
akan membutuhkan banyak tak terhingga dari mereka untuk memainkan peran bilangan asli - pernah
pikiran bilangan real. Manakah nominalis menemukan koleksi yang diperlukan entitas beton?
Lapangan melakukan upaya sungguh-sungguh untuk melaksanakan rekonstruksi nominalistic mekanika
Newton (Field 1980). Ide dasarnya adalah ini. Field ingin menggunakan pengganti beton dari bilangan
real dan fungsi pada mereka. Ia mengadopsi sikap realis menuju kontinum spasial. Dia mengambil
daerah ruang untuk menjadi seperti fisik nyata sebagai kursi dan meja. Dan ia mengambil daerah ruang
haruslah konkrit: setelah semua, mereka secara spasial berada. Jika kita juga menghitung yang sangat
terputus, maka ada banyak daerah adalah sebagai ruang Newtonian karena ada subset dari bilangan
real. Dengan cara ini terdapat cukup entitas konkrit untuk memainkan peran nomor alam, bilangan real,
dan fungsi pada bilangan real. Dan teori bilangan real dan fungsi pada mereka adalah semua yang
diperlukan untuk merumuskan mekanika Newton. Tentu saja akan lebih menarik untuk melakukan
rekonstruksi nominalistic dari teori ilmiah yang benar-benar kontemporer seperti mekanika
kuantum.Tetapi mengingat bahwa proyek dapat dilakukan untuk mekanika Newton, beberapa derajat
optimisme awal tampaknya dibenarkan.
Proyek ini jelas memiliki keterbatasan. Ini mungkin untuk nominalistically menafsirkan teori ruang
fungsi pada real, mengatakan. Tapi tampaknya terlalu berlebihan untuk berpikir bahwa garis-garis
Fieldian interpretasi nominalistic teori himpunan dapat ditemukan. Namun demikian, jika berhasil
dalam batas-batas tersebut, maka program Field benar-benar mencapai sesuatu. Untuk itu akan berarti
bahwa ia telah demikian mengambil langkah penting menuju meruntuhkan argumen indispensability
untuk Platonisme Quinean sederhana dalam matematika - sampai batas tertentu, entitas matematika
tampaknya dibuang setelah semua.
Strategi Field hanya memiliki kesempatan untuk bekerja jika takut Hilbert yang dalam arti yang sangat
mendasar teori-teori ilmiah yang terbaik mungkin memerlukan bahwa hanya ada entitas konkrit finitely
banyak, sakit-didirikan. Jika seseorang bersimpati dengan keprihatinan Hilbert tetapi tidak percaya
adanya entitas abstrak, maka orang mungkin menggigit peluru dan mengklaim bahwa hanya ada entitas
matematis finitely banyak, sehingga bertentangan dengan prinsip-prinsip dasar aritmatika dasar. Ini
mengarah ke posisi yang telah disebut ultra-finitism. Pada sebagian besar laporan, ini mengarah, seperti
intuisionisme, untuk revisionisme dalam matematika. Untuk itu akan terlihat bahwa satu maka akan
mengatakan bahwa ada beberapa alam terbesar, misalnya. Hal ini perlu untuk mengatakan bahwa
banyak menemukan konsekuensi seperti sulit ditelan. Tapi Lavine telah mengembangkan bentuk
canggih dari set-teoritis finitism ultra-yang secara matematis non-revisionis (Lavine 1994). Dia telah
mengembangkan rekening rinci tentang bagaimana prinsip-prinsip ZFC dapat diambil untuk menjadi
prinsip yang menggambarkan determinately set terbatas, jika ini diambil untuk memasukkan yang
tanpa batas besar.
4.4 Dalam Strukturalisme Rebus
fisikalis interpretasi Field aritmatika dan analisis tidak hanya melemahkan argumen indispensability
Quine-Putnam. Ini
juga
sebagian
menyediakan
jawaban
atas
tantangan
epistemologis
Benacerraf's. Diakui itu bukan tugas sederhana untuk memberikan penjelasan tentang bagaimana
manusia mendapatkan pengetahuan tentang daerah ruang-waktu. Tapi daerah ruang-waktu setidaknya
adalah fisik. Jadi kita tidak lagi diperlukan untuk menjelaskan bagaimana daging-dan-darah
matematikawan berdiri di kontak dengan entitas non-fisik. Tapi masalah Benacerraf identifikasi
jenazah. Orang mungkin bertanya-tanya mengapa satu titik ruang-waktu atau wilayah, bukan yang lain
memainkan peran π nomor, misalnya.
Menanggapi masalah identifikasi, tampaknya menarik untuk menggabungkan pendekatan strukturalis
dengan nominalisme Field. Hal ini menyebabkan versi strukturalisme nominalis, yang dapat dijelaskan
sebagai berikut. Mari kita fokus pada analisis matematis. Strukturalis nominalis menyangkal bahwa
setiap sistem fisik beton adalah interpretasi dimaksudkan unik dari analisis. Semua sistem fisik beton
yang memenuhi prinsip-prinsip dasar Analisis Real (RA) akan melakukan sama baiknya. Jadi isi dari φ
kalimat bahasa analisis adalah (kasar) yang diberikan oleh:
Setiap sistem beton S yang membuat RA benar, juga membuat φ benar.
Ini mensyaratkan bahwa, seperti strukturalisme rem ante, hanya aspek struktural yang relevan dengan
kebenaran atau kepalsuan laporan matematika. Tapi tidak seperti strukturalisme rem ante, tidak ada
struktur abstrak dipostulasikan di atas dan di luar sistem beton.
Menurut dalam strukturalisme rebus, tidak ada struktur abstrak ada atas dan di atas sistem yang
instantiate mereka; struktur hanya ada di sistem yang instantiate mereka. Untuk alasan ante nominalis
strukturalisme rem kadang-kadang digambarkan sebagai "strukturalisme tanpa struktur". nominalis
strukturalisme adalah bentuk di rebus strukturalisme. Namun dalam strukturalisme rebus tidak habis
oleh strukturalisme nominalis.Bahkan versi Platonisme yang mengambil matematika menjadi sekitar
struktur dalam arti set-teori dari kata tersebut dapat dilihat sebagai bentuk dalam strukturalisme rebus.
Jika khawatir Hilbert baik-didirikan dalam arti bahwa tidak ada sistem fisik beton yang membuat
postulat analisis matematis benar, maka rendering nominalis-strukturalis di atas isi dari φ kalimat
bahasa analisis mendapatkan kondisi kebenaran seperti kalimat yang salah. Untuk kemudian untuk
setiap φ kalimat universal diukur, parafrase yang akan keluar vacuously benar. Jadi asumsi eksistensial
yang menyatakan bahwa terdapat sistem fisik beton yang dapat melayani sebagai model untuk RA
dibutuhkan untuk mendukung analisis di atas dari isi pernyataan matematika.Mungkin sesuatu seperti
konstruksi Field sesuai tagihan.
Putnam menyadari sejak awal bahwa jika penjelasan di atas isi dari kalimat matematika dimodifikasi
sedikit, latar belakang asumsi yang secara substansial lebih lemah adalah cukup untuk mendapatkan
kondisi kebenaran yang benar (Putnam 1967).Putnam mengusulkan render modal berikut isi dari φ
kalimat bahasa analisis:
Tentu, setiap sistem beton S yang membuat RA benar, juga membuat φ benar.
Ini adalah pernyataan kuat dari render non-modal yang disajikan sebelumnya. Tapi tampaknya samasama masuk akal. Dan keuntungan dari rendering ini adalah bahwa latar belakang asumsi berikut
modal-eksistensial adalah cukup untuk membuat kondisi kebenaran laporan matematika keluar benar:
Ada kemungkinan bahwa ada suatu sistem fisik beton yang dapat berfungsi sebagai model untuk RA.
('Ada kemungkinan bahwa' di sini berarti 'Hal ini atau mungkin telah terjadi bahwa'.) Sekarang
perhatian Hilbert tampaknya ditangani. Untuk pada account Putnam's, kebenaran kalimat matematika
tidak lagi tergantung pada asumsi fisik tentang dunia nyata.
Sekali lagi, hal ini diakui tidak mudah untuk memberikan penjelasan memuaskan tentang bagaimana
kita tahu bahwa ini asumsi modal-eksistensial terpenuhi. Tapi mungkin diharapkan bahwa tugas kurang
menakutkan dari tugas menjelaskan bagaimana kita berhasil mengetahui fakta-fakta tentang entitas
abstrak. Dan tidak boleh dilupakan bahwa aspek strukturalis dari posisi ini nominalis (modal) membuat
tantangan identifikasi Benacerraf di teluk.
Strategi Putnam juga memiliki keterbatasan. Chihara berusaha untuk menerapkan strategi Putnam tidak
hanya untuk aritmatika dan analisis, tetapi juga untuk menetapkan teori (Chihara 1973).Kemudian versi
kasar asumsi modal-eksistensial relevan menjadi:
Ada kemungkinan bahwa terdapat sistem fisik beton yang dapat melayani sebagai model untuk ZFC.
Parsons telah mencatat bahwa ketika dunia mungkin diperlukan yang berisi koleksi entitas fisik yang
memiliki kardinalitas transfinite besar atau mungkin bahkan terlalu besar untuk memiliki nomor
kardinal, menjadi sulit untuk melihat beton mungkin atau sistem fisik (Parsons 1990). Kita tampaknya
tidak memiliki alasan untuk percaya bahwa mungkin ada dunia fisik yang berisi entitas-transfinitelysangat banyak.
(Diskusi Hellman 1989 akan disediakan untuk bagian 5.2, ketika gagasan categoricity diperkenalkan.)
4.5 Fictionalism
Menurut proposal sebelumnya, laporan matematika biasa adalah benar saat tepat, yaitu,
nominalistically, diinterpretasikan.Rekening nominalistic matematika yang sekarang akan dibahas
menyatakan bahwa semua laporan matematika eksistensial adalah palsu hanya karena tidak ada entitas
matematika. (Untuk alasan yang sama semua pernyataan matematis universal akan secara trivial
benar.)
Fictionalism menyatakan bahwa teori matematika seperti cerita fiksi seperti dongeng dan novel. teori
Matematika menggambarkan entitas fiksi, dengan cara yang sama yang fiksi sastra menggambarkan
tokoh fiksi. Posisi ini pertama kali diartikulasikan dalam bab pendahuluan Lapangan 1989, dan telah
dalam beberapa tahun terakhir telah mendapatkan popularitas.
Bahkan paling kejam dari deskripsi dari posisi fictionalist segera membuka pertanyaan seperti apa
entitas entitas fiksi. Ini adalah masalah metafisik-ontologis yang mendalam. Matematika fictionalists
sampai sekarang tidak menyumbang banyak kepada resolusi pertanyaan ini.
Jika tesis fictionalist benar, maka satu tuntutan yang harus dikenakan pada teori matematika pasti
konsistensi. Namun lapangan ini menambah persyaratan kedua: matematika harus konservatif atas ilmu
alam. Ini berarti, secara kasar, bahwa setiap kali pernyataan dari teori empiris dapat diturunkan dengan
menggunakan matematika, dapat secara prinsip juga diturunkan tanpa menggunakan teori
matematika. Jika ini tidak terjadi, maka argumen indispensability bisa dimainkan melawan
fictionalism.Apakah matematika sebenarnya konservatif atas fisika, misalnya, saat ini masalah
kontroversi. Shapiro telah merumuskan argumen ketidaklengkapan itu bermaksud untuk menyangkal
pernyataan Field (Shapiro 1983).
Jika memang ada ada entitas matematika, sebagai fictionalist yang berpendapat, maka masalah
epistemologis Benacerraf's tidak muncul. Fictionalism saham keuntungan ini lebih dari kebanyakan
bentuk Platonisme dengan rekonstruksi nominalistic matematika. Tetapi pada saat yang sama saham
dengan keuntungan dari Platonisme menghormati permukaan bentuk logis pernyataan matematika.
Apakah masalah identifikasi Benacerraf adalah dipecahkan tidak sepenuhnya jelas. Secara umum,
fictionalism adalah sebuah account non-reduksionis. Apakah entitas dalam satu teori matematika
identik dengan entitas yang terjadi dalam teori lain biasanya dibiarkan tak tentu dengan matematika
"cerita". Namun Burgess telah benar menekankan bahwa matematika berbeda dari fiksi sastra pada
kenyataan bahwa tokoh fiksi biasanya terbatas pada satu karya fiksi, sedangkan entitas matematika
yang sama muncul dalam teori matematika yang beragam (Burgess 2004). Setelah semua, entitas
dengan nama yang sama (seperti π) muncul dalam teori yang berbeda. Mungkin fictionalist dapat
mempertahankan bahwa ketika matematikawan mengembangkan teori baru di mana sebuah "tua"
entitas matematika terjadi, entitas tersebut dibuat lebih tepat. Lebih menentukan sifat yang dianggap
berasal daripada sebelumnya, dan ini adalah semua hak sepanjang konsistensi secara keseluruhan tetap
terjaga.
Keberatan kanonik untuk formalisme tampaknya juga berlaku untuk fictionalism. The fictionalists harus
menemukan beberapa penjelasan untuk fakta bahwa memperluas teori matematika dalam satu cara
adalah sering dianggap lebih baik atas terus dengan cara lain yang tidak sesuai dengan yang
pertama. Ada sering setidaknya penampilan bahwa ada cara yang tepat untuk memperpanjang sebuah
teori matematika.
5. Topik Khusus
Dalam beberapa tahun terakhir, subdisiplin dari filosofi matematika mulai timbul. Mereka berevolusi
dengan cara yang tidak sepenuhnya ditentukan oleh "perdebatan besar" tentang sifat
matematika. Dalam bagian penutup, kita melihat beberapa disiplin ilmu ini.
5.1 Filsafat Teori
Banyak hal Teori himpunan sebagai dasar matematika.Tampaknya bahwa hampir setiap bagian dari
matematika dapat dilakukan dalam teori himpunan, meskipun kadang-kadang pengaturan canggung
untuk melakukannya. Dalam beberapa tahun terakhir, filsafat teori himpunan yang muncul sebagai
disiplin filosofis sendiri. Ini bukan untuk mengatakan bahwa dalam debat khusus dalam filsafat teori
himpunan tidak dapat membuat perbedaan besar apakah salah satu pendekatan dari titik formalistic
melihat atau dari sudut pandang platonistic, misalnya.
Satu pertanyaan yang telah penting dari awal kekhawatiran teori himpunan perbedaan antara set dan
kelas yang tepat. Argumen diagonal Cantor memaksa kita untuk mengakui bahwa alam semesta setteoritis secara keseluruhan tidak dapat dianggap sebagai satu set. Teorema Cantor menunjukkan bahwa
himpunan daya (yaitu himpunan semua subset) dari himpunan memiliki kardinalitas yang lebih besar
daripada yang diberikan mengatur dirinya sendiri. Sekarang anggaplah bahwa alam semesta set-teoritis
bentuk satu set: himpunan semua set. Lalu power set dari himpunan semua set harus subset dari
himpunan semua set. Hal ini akan bertentangan dengan kenyataan bahwa power set dari himpunan
semua set akan memiliki kardinalitas lebih besar daripada himpunan semua set. Jadi kita harus
menyimpulkan bahwa alam semesta set-teoretis tidak bisa membentuk set.
Penyanyi yang disebut kemajemukan yang terlalu besar untuk dianggap sebagai multiplicities konsisten
set (penyanyi 1932).Hari ini, multiplicities konsisten penyanyi disebut kelas yang tepat.Beberapa filsuf
matematika berpendapat bahwa kelas-kelas yang tepat masih merupakan kesatuan, dan karenanya
dapat dilihat sebagai semacam koleksi. Mereka adalah, dalam semangat Cantorian, hanya koleksi yang
terlalu besar untuk set. Namun demikian, ada masalah dengan pandangan ini. Sama seperti tidak ada
himpunan semua set, tidak untuk alasan diagonalisasi juga tidak menjadi kelas yang tepat dari semua
kelas yang tepat.Jadi pandangan yang tepat kelas tampaknya dipaksa untuk mengakui di samping
sebuah dunia kelas super-tepat, dan sebagainya. Untuk alasan ini, Zermelo mengklaim bahwa kelaskelas yang tepat sama sekali tidak ada. Posisi ini kurang aneh daripada yang terlihat pada pandangan
pertama. Pada pemeriksaan dekat, orang melihat bahwa dalam ZFC orang tidak pernah perlu
menghitung lebih dari entitas yang terlalu besar untuk set (meskipun terdapat sistem teori himpunan
yang menghitung lebih dari kelas yang tepat). Pada pandangan ini, alam semesta set-teoritis adalah
potensial tidak terbatas secara mutlak dari kata itu. Tidak pernah ada secara keseluruhan selesai, tetapi
selamanya tumbuh, dan karenanya selamanya belum selesai.Cara berbicara mengungkapkan bahwa
dalam upaya kita untuk memahami gagasan tak terhingga potensial mutlak, kita ditarik untuk metafora
temporal. Tidaklah mengherankan bahwa metafora temporal menyebabkan beberapa filsuf matematika
ketidaknyamanan akut.
Sebuah subyek kedua dalam filsafat keprihatinan teori himpunan pembenaran prinsip-prinsip dasar
matematika yang diterima, yaitu aksioma ZFC. Sebuah studi kasus yang penting sejarah adalah proses di
mana Aksioma Pilihan datang untuk diterima oleh komunitas matematika dalam dekade-dekade awal
abad kedua puluh (Moore 1982). Pentingnya studi kasus ini terutama disebabkan oleh fakta bahwa
diskusi terbuka dan eksplisit penerimaan yang diadakan dalam komunitas matematika. Dalam diskusi
ini, alasan umum untuk menerima atau menolak untuk menerima prinsip sebagai aksioma dasar datang
ke permukaan.Di sisi sistematis, dua konsepsi gagasan set telah diuraikan yang bertujuan untuk
membenarkan semua aksioma ZFC dalam satu kali kejadian. Di satu sisi, ada konsepsi berulang set, yang
menjelaskan bagaimana alam semesta set-teoritis dapat dianggap sebagai yang dihasilkan dari set
kosong dengan cara operasi mengatur daya (Boolos 1971). Di sisi lain, ada batasan-konsepsi-ukuran set,
yang menyatakan bahwa setiap penagihan yang tidak terlalu besar untuk mengatur, adalah satu set
(Hallett 1984). Konsepsi iteratif memotivasi beberapa aksioma ZFC sangat baik (aksioma ditetapkan
listrik, misalnya), tetapi tarif kurang baik berkenaan dengan aksioma lain (seperti aksioma
pengganti). Keterbatasan-konsepsi-ukuran memotivasi aksioma lain yang lebih baik (seperti aksioma
pemahaman terbatas).Banyak filsuf matematika percaya bahwa kita sekarang ini tidak memiliki
konsepsi seragam yang jelas-jelas membenarkan semua aksioma ZFC.
Motivasi dari aksioma putatif yang melampaui ZFC merupakan keprihatinan sepertiga dari filsafat teori
himpunan (Maddy 1988; Martin 1998). Salah satu kelas seperti prinsip didasari oleh aksioma-kardinal
besar. Saat ini, hipotesis besar-kardinal benar-benar diambil untuk berarti beberapa jenis embedding
sifat antara alam semesta dan model teoritis ditetapkan dalam teori himpunan. Sebagian besar waktu,
prinsip-kardinal besar memerlukan adanya set yang lebih besar daripada set yang dapat dijamin oleh
ZFC ada.
Gödel berharap bahwa berdasarkan aksioma besar-kardinal seperti itu, pertanyaan-pertanyaan terbuka
yang penting dalam teori himpunan akhirnya bisa diselesaikan. Masalah set-teoritis yang paling penting
adalah masalah kontinum. Hipotesis kontinum diusulkan oleh penyanyi pada akhir abad kesembilan
belas. Hal ini menyatakan bahwa tidak ada set S yang terlalu besar untuk ada menjadi korespondensi
satu-ke-satu antara S dan nomor alam, tapi terlalu kecil untuk di sana ada sebuah korespondensi satuke-satu antara S dan bilangan real . Meskipun usaha keras, semua upaya untuk menyelesaikan masalah
kontinum gagal. Gödel datang untuk mencurigai bahwa hipotesis kontinum tidak tergantung pada
prinsip-prinsip teori himpunan diterima. Sekitar 1940, ia berhasil menunjukkan bahwa hipotesis
kontinum konsisten dengan ZFC. Beberapa dekade kemudian, Paul Cohen membuktikan bahwa negasi
dari hipotesis kontinum juga konsisten dengan ZFC. Jadi dugaan Gödel tentang kemerdekaan hipotesis
kontinum akhirnya dikonfirmasi.
Tapi berharap Gödel bahwa aksioma-kardinal besar dapat memecahkan masalah kontinum ternyata
tidak berdasar.Hipotesis kontinum adalah independen dari ZFC bahkan dalam konteks aksioma besarkardinal yang paling. Namun demikian, prinsip-kardinal besar telah berhasil menyelesaikan versi
terbatas dari hipotesis kontinum (dengan persetujuan). Keberadaan kardinal Woodin disebut
memastikan bahwa set didefinisikan dalam analisis baik dapat dihitung atau ukuran kontinum. Dengan
demikian masalah kontinum diuraikan diselesaikan.
Dalam beberapa tahun terakhir, upaya telah difokuskan untuk menemukan prinsip-prinsip dari jenis
yang berbeda yang mungkin dibenarkan dan yang belum dapat menentukan hipotesis kontinum
(Woodin 2001a, 2001b). Salah satu pertanyaan filosofis yang lebih umum yang muncul dari penelitian
ini adalah sebagai berikut: kondisi yang harus dipenuhi dalam rangka untuk prinsip untuk menjadi
aksioma dasar putative matematika?
Banyak para peneliti yang berusaha untuk memutuskan hipotesis kontinum berdasarkan aksioma baru
berpikir bahwa sudah ada bukti yang signifikan untuk tesis bahwa hipotesis kontinum adalah
palsu. Tetapi ada juga teori banyak diatur dan filsuf matematika yang percaya bahwa hipotesis
kontinum tidak hanya diputuskan dalam ZFC tapi benar-benar diputuskan, yaitu, bahwa itu adalah tidak
dapat dibuktikan (dalam arti kata informal) atau disprovable (dalam arti informal kata tersebut). Hal ini
terkait dengan pertanyaan yang lebih umum apakah ada batas-batas yang wajar dapat ditempatkan
pada perluasan konsep provability informal.Saat ini, wilayah penelitian terbuka lebar.
5.2 Categoricity
Dalam paruh kedua abad kesembilan belas Dedekind membuktikan bahwa aksioma dasar aritmatika
miliki, sampai isomorfisma, tepat satu model, dan bahwa hal yang sama berlaku untuk aksioma dasar
Analisis Real. Jika teori memiliki, hingga isomorfisma, tepat satu model, maka dikatakan kategoris. Jadi
isomorphisms modulo, aritmatika dan analisis masing-masing memiliki tepat satu model
dimaksudkan. Setengah abad kemudian Zermelo membuktikan bahwa prinsip-prinsip teori himpunan
adalah "hampir" kategoris atau kuasi-kategoris: untuk setiap dua model M1 dan M2 prinsip-prinsip teori
himpunan, baik M1 isomorfis untuk M2, atau M1 isomorfik ke kuat peringkat tidak dapat diakses dari
M2, atau M2 isomorfik ke peringkat yang sangat tidak dapat diakses M1. Baru-baru ini, McGee telah
menunjukkan bahwa jika kita mempertimbangkan Teori himpunan dengan Urelements, maka teori itu
sepenuhnya kategoris sehubungan dengan set murni jika kita berasumsi bahwa hanya ada set-banyak
Urelements (McGee 1997).
Pada saat yang sama, teorema Löwenheim-Skolem mengatakan bahwa setiap orde pertama teori
formal yang memiliki setidaknya satu model dengan domain yang tak terbatas, harus memiliki model
dengan domain dari semua kardinalitas terbatas. Karena prinsip aritmatika, analisis dan teori himpunan
lebih baik memiliki setidaknya satu model yang tak terhingga, teorema Löwenheim-Skolem tampaknya
berlaku untuk mereka. Apakah ini tidak dalam ketegangan dengan teorema categoricity Dedekind's?
Solusi dari teka-teki ini terletak pada kenyataan bahwa Dedekind bahkan tidak implisit bekerja dengan
formalizations order pertama dari prinsip-prinsip dasar aritmatika dan analisis. Sebaliknya, ia secara
informal bekerja dengan formalizations orde kedua. Hal yang sama berlaku untuk Zermelo dan McGee.
Mari kita fokus pada aritmatika untuk melihat apa jumlah ini. Dalil-dalil dasar aritmatika berisi aksioma
induksi. Dalam formalizations order pertama dari aritmatika, hal ini dirumuskan sebagai skema: untuk
setiap orde pertama formula aritmatika dengan satu variabel bebas, sebuah instance dari prinsip
induksi dimasukkan dalam formalisasi aritmatika. Dasar pertimbangan kardinalitas menunjukkan bahwa
ada banyak sifat tak terbatas bilangan asli yang tidak dinyatakan dengan formula orde pertama. Tapi
secara intuitif, tampaknya bahwa prinsip induksi berlaku untuk semua sifat-sifat alam nomor. Jadi
dalam bahasa orde pertama, kekuatan penuh dari prinsip induksi matematika tidak bisa
diungkap. Untuk alasan ini, sejumlah filsuf matematika bersikeras bahwa dalil-dalil aritmatika harus
dirumuskan dalam bahasa orde kedua (Shapiro 1991). Kedua-order bahasa mengandung tidak hanya
orde pertama bilangan yang berkisar lebih dari unsur-unsur dari domain, tetapi juga orde kedua
bilangan yang berkisar lebih dari sifat (atau himpunan bagian) dari domain. Dalam logika orde kedua
penuh, bersikeras bahwa bilangan orde kedua rentang atas semua himpunan bagian dari domain. Jika
prinsip-prinsip aritmatika dirumuskan dalam bahasa kedua-order, maka argumen Dedekind's berjalan
melalui dan kami memiliki teori kategoris.Untuk alasan yang sama, kami juga mendapatkan teori
kategoris jika kita merumuskan prinsip-prinsip dasar Analisis Real dalam bahasa orde kedua, dan
perumusan kedua-order teori himpunan ternyata menjadi kuasi-kategoris.
Ante rem strukturalisme, serta penafsiran strukturalis nominalis modal matematika, dapat mengambil
manfaat dari formulasi orde kedua. Jika strukturalis rem ante ingin menegaskan bahwa struktur alam
jumlahnya tetap sampai dengan isomorfisma oleh aksioma Peano, maka dia akan ingin merumuskan
aksioma Peano dalam logika orde kedua. Dan strukturalis nominalis modal akan ingin menegaskan
bahwa sistem beton yang relevan untuk aritmatika adalah mereka yang membuat orde kedua Peano
aksioma yang benar (Hellman 1989). Demikian pula untuk analisis matematika dan teori
himpunan. Dengan demikian menarik bagi logika orde kedua muncul sebagai langkah terakhir dalam
proyek strukturalis dari mengisolasi model dimaksudkan matematika.
Namun menarik bagi logika orde kedua dalam filsafat matematika tidak berarti tidak
kontroversial. Suatu keberatan yang pertama adalah bahwa komitmen ontologis logika orde kedua lebih
tinggi dari komitmen ontologis logika orde pertama. Setelah semua, penggunaan logika orde kedua
tampaknya berkomitmen kami untuk keberadaan benda abstrak: kelas. Menanggapi masalah ini, Boolos
telah diartikulasikan interpretasi logika orde kedua yang menghindari ini komitmen untuk entitas
abstrak (Boolos 1985).Penafsirannya merinci klausul kebenaran untuk bilangan orde kedua dalam hal
ekspresi jamak, tanpa memanggil kelas.Misalnya, ekspresi kedua-order bentuk ∃ XF (X) ditafsirkan
sebagai: "ada beberapa hal-hal seperti F yang memegang dari mereka". Penafsiran ini disebut
penafsiran jamak dari logika orde kedua. (Lihat entri pada kuantifikasi plural.) Jelas bahwa banding
sedemikian penafsiran logika kedua order akan menggoda untuk versi nominalis strukturalisme.
Suatu keberatan yang kedua terhadap logika orde kedua dapat ditelusuri kembali ke Quine (Quine
1970). Ini menyatakan keberatan bahwa interpretasi logika orde kedua penuh dihubungkan dengan setpertanyaan teoritis. Hal ini sudah ditunjukkan oleh fakta bahwa kebanyakan regimentations logika orde
kedua mengadopsi versi aksioma pilihan sebagai salah satu aksioma nya. Tetapi yang lebih
mengkhawatirkan adalah kenyataan bahwa orde kedua logika ini erat terkait dengan masalah
mendalam dalam teori himpunan, seperti hipotesis kontinum. Untuk teori-teori seperti aritmatika, yang
bermaksud untuk menggambarkan koleksi benda-benda yang tak terbatas, bahkan materi sebagai dasar
sebagai pertanyaan kardinalitas kisaran quantifiers orde kedua setara dengan masalah kontinum.Juga,
ternyata bahwa ada suatu kalimat yang merupakan orde kedua kebenaran logis jika dan hanya jika
hipotesis kontinum memegang (Boolos 1975). Kita telah melihat bahwa masalah kontinum tidak
tergantung pada prinsip-prinsip yang berlaku saat ini teori himpunan. Dan banyak peneliti percaya
bahwa itu benar-benar kebenaran berharga. Jika demikian, maka ada ketidakpastian melekat dalam
gagasan tentang model orde kedua tak terbatas. Dan banyak filsuf kontemporer matematika
mengambil yang terakhir tidak memiliki nilai kebenaran tentu. Oleh karena itu, berpendapat, gagasan
tentang model (tak terbatas) logika orde kedua penuh secara inheren tak tentu.
Jika salah satu tidak ingin menarik logika orde kedua penuh, maka ada cara lain untuk memastikan
categoricity teori matematika. Satu ide akan memanfaatkan bilangan yang entah pertengahan antara
orde pertama dan orde kedua bilangan.Misalnya, satu mungkin memperlakukan "ada banyak finitely x"
sebagai quantifier primitif. Hal ini akan memungkinkan satu, misalnya, untuk membangun sebuah
axiomatization kategori aritmatika.
Tapi categoricity memastikan teori matematika tidak memerlukan memperkenalkan pembilang lebih
kuat. Pilihan lain akan mengambil konsep informal komputabilitas algoritmik sebagai gagasan primitif
(Halbach & Horsten 2005). Sebuah teorema Tennenbaum menyatakan bahwa semua model pertamaorder Peano Aritmetika di mana penjumlahan dan perkalian adalah fungsi komputasi, isomorfik satu
sama lain. Sekarang operasi kami penambahan dan perkalian adalah komputasi: jika kita tidak pernah
bisa belajar operasi ini. Ini, kemudian, adalah cara lain di mana kita mungkin dapat mengisolasi model
dimaksudkan prinsip kita aritmatika. Terhadap account ini, bagaimanapun, mungkin menunjukkan
bahwa tampaknya bahwa categoricity model dimaksudkan untuk analisis riil, misalnya, tidak dapat
dipastikan dengan cara ini. Untuk perhitungan pada model prinsip analisis riil, kita tidak memiliki
teorema yang memainkan peran teorema Tennenbaum's.
5.3 Perhitungan dan Bukti
Sampai akhir-akhir ini, subjek perhitungan tidak menerima banyak perhatian dalam filsafat
matematika. Hal ini mungkin disebabkan sebagian fakta bahwa dalam axiomatizations Hilbert-gaya teori
bilangan, perhitungan dikurangi menjadi bukti dalam Peano aritmatika. Tapi situasi ini telah berubah
dalam beberapa tahun terakhir. Tampaknya bahwa seiring dengan meningkatnya pentingnya
perhitungan matematis dalam praktek, refleksi filosofis pada gagasan perhitungan akan menempati
tempat yang lebih menonjol dalam filsafat matematika di tahun-tahun mendatang.
Gereja Tesis menempati tempat sentral dalam teori komputabilitas. Ia mengatakan bahwa setiap fungsi
algoritma komputasi pada bilangan asli dapat dihitung oleh mesin Turing.
Sebagai sebuah prinsip, Gereja Tesis memiliki status agak aneh.Ini tampaknya menjadi prinsip dasar. Di
satu sisi, prinsip ini hampir secara universal dianggap benar. Di sisi lain, sulit untuk melihat bagaimana
hal itu bisa dibuktikan secara matematis.Alasannya adalah bahwa yg yang berisi gagasan informal
(komputabilitas algoritmik), sedangkan konsekuensi yang berisi gagasan murni matematika (Turing
komputabilitas mesin).Matematika bukti hanya bisa terhubung gagasan murni matematika - atau
sepertinya begitu. Pandangan yang diterima adalah bahwa bukti kita untuk Tesis Gereja adalah kuasiempiris.Upaya untuk menemukan tandingan meyakinkan untuk Tesis Gereja menyebabkan siasia. Mandiri, berbagai proposal telah dibuat untuk menangkap matematis fungsi algoritma komputasi di
alam nomor. Daripada mesin Turing komputabilitas, pengertian tentang recursiveness umum,
komputabilitas Herbrand-Gödel, lambda-definability, ... telah diusulkan. Namun gagasan matematika
semua berubah menjadi setara. Jadi, untuk menggunakan Gödelian terminologi, kami telah
mengumpulkan bukti ekstrinsik untuk kebenaran Tesis Gereja.
Kreisel lama menunjukkan bahwa bahkan jika tesis tidak dapat dibuktikan secara formal, masih
dimungkinkan untuk memperoleh bukti intrinsik untuk itu dari analisis yang ketat tetapi informal
gagasan intuitif (Kreisel 1967). Kreisel menyebut latihan di kekakuan informal. beasiswa Detil oleh Sieg
mengungkapkan bahwa artikel seminalis Turing (Turing 1936) merupakan contoh indah hanya semacam
ini analisis konsep intuitif komputabilitas algoritmik (Sieg 1994).
Saat ini, mata pelajaran yang paling aktif penyelidikan dalam domain yayasan dan filosofi perhitungan
tampaknya berikut.Pertama, energi telah diinvestasikan dalam mengembangkan teori perhitungan
algoritmik pada struktur lain dari alam nomor. Secara khusus, upaya telah dilakukan untuk
mendapatkan analog Tesis Gereja untuk perhitungan algoritmik pada berbagai struktur. Dalam konteks
ini, kemajuan substansial telah dibuat dalam beberapa dekade terakhir dalam mengembangkan teori
komputasi berlaku pada bilangan real (Pour-El 1999). Kedua, upaya telah dilakukan untuk menjelaskan
pengertian tentang komputabilitas selain komputabilitas algoritmik oleh manusia. Salah satu bidang
minat tertentu di sini adalah bidang perhitungan kuantum (Deutsch et al. 2000).
Beberapa dekade terakhir telah menyaksikan bukti kejadian pertama matematika di mana komputer
tampaknya memainkan peran penting. Teorema empat warna adalah salah satu contoh. Ia mengatakan
bahwa untuk setiap peta, hanya empat warna yang dibutuhkan untuk warna negara sedemikian rupa
sehingga tidak ada dua negara yang memiliki perbatasan bersama menerima warna yang
sama. teorema ini terbukti tahun 1976 (Appel et al 1977.). Tapi buktinya membedakan banyak kasus
yang diverifikasi oleh komputer. Verifikasi ini komputer terlalu lama untuk dicek dua kali oleh
manusia. Bukti dari teorema empat warna menimbulkan perdebatan tentang pertanyaan sejauh mana
bukti-bukti yang dibantu komputer dianggap sebagai bukti dalam arti sebenarnya dari kata tersebut.
Pandangan yang diterima mengatakan bahwa bukti matematika menghasilkan pengetahuan
apriori. Namun ketika kita bergantung pada komputer untuk menghasilkan (bagian dari) bukti, kita
tampaknya mengandalkan berfungsinya perangkat keras komputer dan pada kebenaran program
komputer. Ini tampaknya menjadi faktor empiris. Jadi seseorang tergoda untuk menyimpulkan bahwa
bukti komputer menghasilkan pengetahuan kuasi-empiris (Tymoczko 1979). Dengan kata lain, melalui
munculnya bukti komputer gagasan bukti telah kehilangan murni yang karakter apriori. Lain
berpendapat bahwa faktor-faktor empiris yang kita bergantung saat kita menerima bukti komputer
tidak muncul sebagai premis dalam argumen. Oleh karena itu, bukti komputer dapat menghasilkan
pengetahuan apriori setelah semua (Burge 1998).
Sumber ketidaknyamanan yang matematikawan pengalaman ketika dihadapkan dengan bukti-bukti
komputer tampaknya berikut. Sebuah "baik" bukti matematika harus melakukan lebih dari untuk
meyakinkan kita bahwa pernyataan tertentu adalah benar. Ini juga harus menjelaskan mengapa laporan
tersebut berlaku. Dan ini dilakukan dengan mengacu pada hubungan yang mendalam antara konsepkonsep matematika dalam yang sering ngelink domain matematika yang berbeda (Manders
1989).Sampai saat ini, bukti komputer biasanya hanya menggunakan konsep matematika tingkat
rendah. Mereka terkenal lemah untuk mengembangkan konsep-konsep yang mendalam pada mereka
sendiri, dan memiliki kesulitan dengan menghubungkan konsep-konsep dari bidang matematika yang
berbeda. Semua ini membawa kita ke sebuah pertanyaan filosofis yang baru saja mulai menerima
perhatian yang layak: apa pengertian matematika?
DAFTAR PUSTAKA

Appel, K., Haken, W. & Koch, J., 1977. ‘Every Planar Map is Four Colorable’, Illinois Journal of
Mathematics, 21: 429–567.

Balaguer, M. 1998. Platonism and Anti-Platonism in Mathematics, Oxford: Oxford University
Press.

Benacerraf, P., 1965. ‘What Numbers Could Not Be’, in Benacerraf & Putnam 1983, 272–294.

Benacerraf, P., 1973. ‘Mathematical Truth’, in Benacerraf & Putnam 1983, 403–420.

Benacerraf, P. & Putnam, H. (eds.), 1983. Philosophy of Mathematics: Selected Readings,
Cambridge: Cambridge University Press, 2nd edition.

Bernays, P., 1935. ‘On Platonism in Mathematics’, in Benacerraf & Putnam 1983, 258–271.

Boolos, G., 1971. ‘The Iterative Conception of Set’, in Boolos 1998, 13–29.

Boolos, G., 1975. ‘On Second-Order Logic’, in Boolos 1998, 37–53.

Boolos, G., 1985. ‘Nominalist Platonism’, in Boolos 1998, 73–87.

Boolos, G., 1987. ‘The Consistency of Frege's Foundations of Arithmetic’, in Boolos 1998, 183–
201.

Boolos, G., 1998. Logic, Logic, and Logic, Cambridge: Harvard University Press.

Burge, T., 1998. ‘Computer Proofs, A Priori Knowledge, and Other Minds’, Noûs, 32: 1–37.

Burgess, J. & Rosen, G., 1997. A Subject with No Object: Strategies for Nominalistic
Interpretation of Mathematics, Oxford: Clarendon Press.

Burgess, J., 2004. ‘Mathematics and Bleak House’, Philosophia Mathematica, 12: 37–53.

Cantor, G., 1932. Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, E. Zermelo (ed.),
Berlin: Julius Springer.

Carnap, R., 1950. ‘Empiricism, Semantics and Ontology’, in Benacerraf & Putnam 1983, 241–
257.

Chihara, C., 1973. Ontology and the Vicious Circle Principle, Ithaca: Cornell University Press.

Cohen, P., 1971. ‘Comments on the Foundations of Set Theory’, in D. Scott (ed.) Axiomatic Set
Theory (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Volume XIII, Part 1), American
Mathematical Society, 9–15.

Colyvan, M., 2001. The Indispensability of Mathematics, Oxford: Oxford University Press.

Curry, H., 1958. Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics, Amsterdam: North-Holland.

Detlefsen, M., 1986. Hilbert's Program, Dordrecht: Reidel.

Deutsch, D., Ekert, A. & Luppacchini, R., 2000. ‘Machines, Logic and Quantum Physics’, Bulletin
of Symbolic Logic, 6: 265–283.

Feferman, S., 1988. ‘Weyl Vindicated: Das Kontinuum seventy years later’, reprinted in S.
Feferman, In the Light of Logic, New York: Oxford University Press, 1998, 249–283.

Feferman, S., 2005. ‘Predicativity’, in S. Shapiro (ed.), The Oxford Handbook of Philosophy of
Mathematics and Logic, Oxford: Oxford University Press, pp. 590–624.

Field, H., 1980. Science without Numbers: a defense of nominalism, Oxford: Blackwell.

Field, H., 1989. Realism, Mathematics & Modality, Oxford: Blackwell.

Frege, G., 1884. The Foundations of Arithmetic. A Logico-mathematical Enquiry into the Concept
of Number, J.L. Austin (trans.), Evanston: Northwestern University Press, 1980.

Gentzen, G., 1938. ‘Die gegenwärtige Lage in der mathematischen Grundlagenforschung. Neue
Fassung des Widerspruchsfreiheitsbeweises für die reine Zahlentheorie’, in Forschungen zur
Logik und zur Grundlegung der exakten Wissenschaften (Neue Folge/Heft 4), Leipzig: Hirzel.

Gödel, K., 1931. ‘On Formally Undecidable Propositions in Principia Mathematica and Related
Systems I’, in van Heijenoort 1967, 596–616.

Gödel, K., 1944. ‘Russell's Mathematical Logic’, in Benacerraf & Putnam 1983, 447–469.

Gödel, K., 1947. ‘What is Cantor's Continuum Problem?’, in Benacerraf & Putnam 1983, 470–
485.

Goodman, N. & Quine, W., 1947. ‘Steps Towards a Constructive Nominalism’, Journal of
Symbolic Logic, 12: 97–122.

Halbach, V. & Horsten, L., 2005. ‘Computational Structuralism’, Philosophia Mathematica, 13:
174–186.

Hale, B. & Wright, C., 2001. The Reason's Proper Study: Essays Towards a Neo-Fregean
Philosophy of Mathematics, Oxford: Oxford University Press.

Hallett, M., 1984. Cantorian Set Theory and Limitation of Size, Oxford: Clarendon Press.

Hellman, G., 1989. Mathematics without Numbers, Oxford: Clarendon Press.

Hilbert, D., 1925. ‘On the Infinite’, in Benacerraf & Putnam 1983, 183–201.

Hodes, H., 1984. ‘Logicism and the Ontological Commitments of Arithmetic’, Journal of
Philosophy, 3: 123–149.

Isaacson, D., 1987. ‘Arithmetical Truth and Hidden Higher-Order Concepts’, in The Paris Logic
Group (eds.), Logic Colloquium '85, Amsterdam: North-Holland, 147–169.

Kreisel, G., 1967. ‘Informal Rigour and Completeness Proofs’, in I. Lakatos (ed.), Problems in the
Philosophy of Mathematics, Amsterdam: North-Holland.

Lavine, S., 1994. Understanding the Infinite, Cambridge, MA: Harvard University Press.

Linsky, B. & Zalta, E., 1995. ‘Naturalized Platonism vs. Platonized Naturalism’, Journal of
Philosophy, 92: 525–555.

Maddy, P., 1988. ‘Believing the Axioms I, II’, Journal of Symbolic Logic, 53: 481–511, 736–764.

Maddy, P., 1990. Realism in Mathematics, Oxford: Clarendon Press.

Maddy, P., 1997. Naturalism in Mathematics, Oxford: Clarendon Press.

Manders, K., 1989. ‘Domain Extensions and the Philosophy of Mathematics’, Journal of
Philosophy, 86: 553–562.

Martin, D.A., 1998. ‘Mathematical Evidence’, in H. Dales & G. Oliveri (eds.), Truth in
Mathematics, Oxford: Clarendon Press, pp. 215–231.

Martin, D.A., 2001. ‘Multiple Universes of Sets and Indeterminate Truth Values’ Topoi, 20: 5–16.

McGee, V., 1997. ‘How we Learn Mathematical Language’, Philosophical Review, 106: 35–68.

Moore, G., 1982. Zermelo's Axiom of Choice: Its Origins, Development, and Influence, New York:
Springer Verlag.

Parsons, C., 1980. ‘Mathematical Intuition’, Proceedings of the Aristotelian Society, 80: 145–
168.

Parsons, C., 1983. Mathematics in Philosophy: Selected Essays, Ithaca: Cornell University Press.

Parsons, C., 1990. ‘The Structuralist View of Mathematical Objects’, Synthese, 84: 303–346.

Pour-El, M., 1999. ‘The Structure of Computability in Analysis and Physical Theory’, in E. Griffor
(ed.), Handbook of Computability Theory, Amsterdam: Elsevier, pp. 449–471.

Putnam, H., 1967. ‘Mathematics without Foundations’, in Benacerraf & Putnam 1983, 295–311.

Putnam, H., 1972. Philosophy of Logic, London: George Allen & Unwin.

Quine, W.V.O., 1969. ‘Epistemology Naturalized’, in W.V.O. Quine, Ontological Relativity and
Other Essays, New York: Columbia University Press, pp. 69–90.

Quine, W.V.O., 1970. Philosophy of Logic, Cambridge, MA: Harvard University Press, 2nd
edition.

Reck, E. & Price, P., 2000. ‘Structures and Structuralism in Contemporary Philosophy of
Mathematics’, Synthese, 125: 341–383.

Resnik, M., 1997. Mathematics as a Science of Patterns, Oxford: Clarendon Press.

Russell, B., 1902. ‘Letter to Frege’, in van Heijenoort 1967, 124–125.

Shapiro, S., 1983. ‘Conservativeness and Incompleteness’, Journal of Philosophy, 80: 521–531.

Shapiro, S., 1991. Foundations without Foundationalism: A Case for Second-order Logic, Oxford:
Clarendon Press.

Shapiro, S., 1997. Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology, Oxford: Oxford
University Press.

Sieg, W., 1994. ‘Mechanical Procedures and Mathematical Experience’, in A. George
(ed.), Mathematics and Mind, Oxford: Oxford University Press.

Tait, W., 1981. ‘Finitism’, reprinted in Tait 2005, 21–42.

Tait, W., 2005. The Provenance of Pure Reason: Essays in the Philosophy of Mathematics and its
History, Oxford: Oxford University Press.

Troelstra, A. & van Dalen, D., 1988. Constructivism in Mathematics: An Introduction (Volumes I
and II), Amsterdam: North-Holland.

Turing, A., 1936. ‘On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem’,
reprinted in M. Davis (ed.), The Undecidable: Basic Papers on Undecidable Propositions and
Uncomputable Functions, Hewlett: Raven Press, 1965, pp. 116–151.

Tymoczko, T., 1979. ‘The Four-Color Problem and its Philosophical Significance’, Journal of
Philosophy, 76: 57–83.

van Atten, M., 2004. On Brouwer, London: Wadsworth.

van Heijenoort, J., 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic (1879–
1931), Cambridge, MA: Harvard University Press.

Weir, A., 2003. ‘Neo-Fregeanism: An Embarrassment of Riches’, Notre Dame Journal of Formal
Logic, 44: 13–48.

Weyl, H., 1918. The Continuum: A Critical Examination of the Foundation of Analysis, S. Pollard
and T. Bole (trans.), Mineola: Dover, 1994.

Woodin, H., 2001a. ‘The Continuum Hypothesis. Part I’, Notices of the American Mathematical
Society, 48: 567–578.

Woodin, H., 2001b. ‘The Continuum Hypothesis. Part II’, Notices of the American Mathematical
Society, 48: 681–690.

Wright, C., 1983. Frege's Conception of Numbers as Objects (Scots Philosophical Monographs,
Volume 2), Aberdeen: Aberdeen University Press.

Zach, R., 2006. ‘Hilbert's Program Then and Now’, in D. Jacquette (ed.), Philosophy of
Logic (Handbook of the Philosophy of Science, Volume 5), Amsterdam: Elsevier, pp. 411–447.