Masalah Dua Benda - FMIPA Personal Blogs

Masalah Dua Benda
oleh
Dr. Suryadi Siregar
KK-Astronomi,ITB
SMA-BPK,Jakarta Barat, 16 Maret 2007
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
1
Hukum Gravitasi
→
G = konstanta gravitasi
mi massa ke – i
r jarak m1 ke m2
m1m2
F = −G 2
r
m
Uθ
Ur
θ
o
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
2
Momentum, momentum sudut, momen
dan gaya
→
→
p = mv
→
→
→
L = r xm v
→
→
→
N = r xF
∗
→
→
→
dL d ( r xm v)
d → → → → →
L=
=
= m (r x v) = r x F = N
dt
dt
dt
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
3
Kerja
W =
S
v (t )
S0
v(t 0)
∫ Fds = m ∫ vdv
1 2
1
mv + V ( s ) = mv02 + V ( s0 ) = E
2
2
16 Maret 2007
1 2
Mm 1
Mm
2
mv − G
= mv0 − G
2
s
2
s0
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
4
Potensial Bola Padat
r
F = −4πG ∫
0
a ρ
da
2
h
2
m(0,0,h)
p
r
M = 4π ∫ ρa 2 da
a
ϕ
0
θ
M
F = −G 2
h
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
5
z
Pers.gerak Dua Titik Massa
m1
1.Gaya gravitasi oleh m1 terhadap m2 ;
P
r2
m2
R
r1
→
m1m2
F21 = −G 2 U r
r
y
x
1.Gaya gravitasi oleh m2 terhadap m1 ;
∗∗
m2 m1 →
F12 = G 2 U r
r
∗∗
→
→
m1 r 1 + m2 r 2 = 0
→
→
→
→
m1 r 1 + m2 r 2 = c 1 t + c 2
→
16 Maret 2007
→
→
→
m1 r 1 + m2 r 2 c 1 t + c2
=
R=
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
m1 + m2
M 6
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
Massa dominan sebagai sumbu
koordinat
••
→
'
M →'
r = −G 3 r
r
z
••
x = −GMx( x 2 + y 2 + z 2 ) −3/ 2
m2
••
m1
y
y = −GMy ( x 2 + y 2 + z 2 ) −3/ 2
••
x
z = −GMz ( x 2 + y 2 + z 2 ) −3/ 2
a1 z + a 2 x + a3 y = 0
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
7
Orbit dalam bentuk polar
• Persamaan Dasar
m2
m2
1
Mm2
m2v 2 − G
−E =0
2
r
m1
m1
(a)
μ = GM
(c)
m2
m2
m1
(b)
m1
(d)
r=
1
u
1
m2 h 2u 2 − μm2u − E = 0
2
u12 =
16 Maret 2007
μ
h
2
±
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
μ
h2
2 Eh 2
1+ 2
μ m2
8
Satelit Sebagai Benda Langit
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
9
Sudut dan kecepatan lontar
2 2
2
r
V
Sin
θ ⎡ 2μ
2
2⎤
1− e =
−V ⎥
2
⎢
μ
⎣ r
⎦
Kecepatan Jatuh
Vf
2
1 2⎛ ε ⎞
−1
= V p ⎜ 1 + ⎟ (1 + ε )
2 ⎝ 2⎠
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
10
Persaman Lintasan
⎛2 1⎞
V = μ⎜ − ⎟
⎝r a⎠
2
1 → → 1
μ a(1 − e2 ) = rVSinθ
r xV =
2
2
2 2
2
θ ⎡ 2μ
r
V
Sin
2
2⎤
−
1− e =
V
⎢⎣ r
⎥⎦
μ2
⎛H⎞
ε =⎜ ⎟
16 Maret 2007
⎝R⎠
2
⎛V ⎞
y=⎜ ⎟
⎜V ⎟
p ⎠
S.Siregar,⎝Pelatihan
Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
11
Menentukan Kecepatan jatuh Satelit
a=
μ
⎛μ
⎞
2⎜ − V ⎟
⎝r
⎠
⎛ 1+ ε ⎞
1−η ≺ ⎜
⎟
⎝2+ε ⎠
⎤
1 ⎡ ε ε2 ε3
→η
+
+ ....⎥
⎢1 + +
2
a 1 ⎛1+ ε ⎞
⎟⎟
= ⎜⎜
R 2 ⎝1−η ⎠
2⎣
Agar tidak jatuh
a
R
H
1
+1 = 1+ ε
2R
2
1
1 ⎛1+ ε ⎞
⎜⎜
⎟⎟ > 1 + ε
2
216⎝Maret
1−η
2007
⎠
2
4
8
⎦
1 ⎡ ε⎤
→ η ≤ ⎢1 + ⎥
2 ⎣ 2⎦
1⎡ ε⎤
−1
y = ⎢1 + ⎥[1 + ε ]
2 ⎣ 2⎦
2
⎛V ⎞
1 ⎛ ε⎞
−1
y = ⎜⎜ ⎟⎟ → V 2 = V p2 ⎜1 + ⎟(1 + ε )
2 ⎝ 2⎠
S.Siregar, Pelatihan
Astronomi
12
⎝ Vp
⎠
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
Analisis Bentuk Lintasan
⎛H⎞
ε =⎜ ⎟
⎝R⎠
x = μ (Sinθ )
2
⎛V
y=⎜
⎜V
⎝ p
⎞
⎟
⎟
⎠
2
z = 1 – e2
z = 4 xy(1 + ε )[1 − (1 + ε ) y ]
η = (1 + ε ) y
z = 4xη[1 − η ]
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
13
Dapat diambil kesimpulan;
1. Dalam hal V 2 ≤ V f2
maka satelit jatuh ke
Bumi,bergerak dalam pola orbit ICM
(Intercontinental Missile). Tahanan udara dan
gangguan gravitasional maupun non-gravitasional
akan mempengaruhi bentuk lintasan.
2. Jika V 2 > V f2 satelit tidak akan jatuh dan
mengorbit mengelilingi Bumi dalam bentuk lintasan
tertentu. Gambar berikut meragakan berbagai
kasus untuk beberapa sudut lontar sebagai fungsi
rasio keceptan lontar kuadrat dan kecepatan
parabola kuadrat,
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
14
⎛V
16 Maret 2007
η =⎜
⎜ Vp
⎝
⎞
⎟⎟
⎠
2
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
15
Sudut lontar bukan 900 orbit lingkaran tidak
pernah terbentuk
Kecepatan Jatuh
1 ⎛ ε⎞
−1
V f 2 = V p2 ⎜1 + ⎟ (1 + ε )
2 ⎝ 2⎠
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
16
Persamaan Orbit Komet
f 1
M
⎛
3 f ⎞
Tan
+
Tan
=
k
t
−
T
( ) 3
⎜
⎟
2 3
2⎠
2q
⎝
2q
2⎛ f ⎞
r=
= qSec ⎜ ⎟
1 + Cosf
⎝2⎠
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
17
Orbit dalam ruang
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
18
Lingkaran bantu Kepler
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
19
Orbit Kohoutek
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
20
Bintang Ganda Visual ADS 1733
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
21
Pandangan Teleskopik
Ganda
S.Siregar, Pelatihan Bintang
Astronomi
16 Maret 2007
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
22
Jarak sudut terhadap epoch observasi
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
23
Sudut posisi terhadap epoch observasi
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
24
Profil sudut posisi dan jarak sudut sebagai fungsi epoch
observasi
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
25
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
26
Lintasan wahana disekitar planet tujuan (a)Misi flyby (b)misi orbiter [c] misi lander dan (d) misi
sample-return
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
27
Energi kinetis bertambah (pump-up) pada posisi (a).
Energi kinetis berkurang (pump-down) pada posisi (b)
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
28
Tekanan radiasi mengubah bentuk orbit
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
29
Efek tekanan radiasi pada lintasan satelit
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
30
Persamaan Irisan kerucut
•
•
•
•
•
•
•
•
Nilai ω = θ maka dan ini merupakan jarak r minimum
yang dapat dicapai oleh titik massa m2 terhadap m1
dalam lintasannya, diberi simbol rp
Nilai ω - θ = 1800 maka kita lihat bahwa ini adalah
jarak maksimum titik massa m2 terhadap m1 dalam
orbitnya, diberi simbol ra.
Tinjau pula bila pada ketentuan diatas kita ambil nilai
e untuk bermacam macam harga;
Eksentrisitas e =0 maka rp = ra titik terjauh sama
besarnya dengan jarak titik terdekat. Bentuk lintasan
seperti ini adalah suatu lingkaran
Eksentrisitas e =1 maka; dan ra → ∞ titik terjauh
berlokasi ditak terhingga. Bentuk lintasan seperti ini
dikenal sebagai suatu parabola
Eksentrisitas berada diantara 0 dan 1, 0 < e <1,
maka; rp < p dan
ra > 0
Eksentrisitas e > 1 maka rp < p dan ra < 0
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
d 2u
μ
+u = 2
2
dθ
h
u = ACos (θ − ω ) +
μ
h2
h2
r=
μ
Ah
2
μ
r=
Cos (θ − ω ) + 1
p
1 + eCos (θ − ω )
p=
h2
e=
h2
μ
μ
31
Parameter Orbit
.
2 Eh 2
e = 1+ 2
μ m2
•
•
h = r θ = GMa (1 − e )
2
2
•
2
Eh
2
h 2 = GMa(−
)
2
m2 μ
E=−
μm2
2a
1 1
V = 2GM ( − )
r 2a
2
16 Maret 2007
•
Energi total sistem E =
0 , maka e = 1 jadi orbit
berbentuk suatu
parabola
Energi total sistem E <
0 , maka e < 1 jadi orbit
berbentuk suatu elip
Energi total sistem E >
0 , maka e > 1 jadi orbit
berbentuk suatu
hiperbola
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
32
Persamaan dasar
dK 1 2 • 1
= r θ=
GMa (1 − e 2 )
dt 2
2
K=
1
GMa (1 − e 2 )t + K 0
2
1
πab =
GMa (1 − e 2 ) P
2
b
= (1 − e 2 )
a
16 Maret 2007
2πa 3 / 2
P=
GM
P 2 4π 2
=
3
a
GM
P12 P2 2
Pn 2
= 3 = .… = 3 = kons tan
3
a1
a2
an
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
33
Perjalanan ke Bulan
•
Skenario Perjalanan Wahana dari
Bumi ke Bulan
Bulan pada saat peluncuran
•
Transfer Orbit
Bumi pada saat
peluncuran
•
Parking Orbit
Bulan pada saat
kedatangan
Final Orbit
16 Maret 2007
sumbu panjang lintasan roket, ar yang
berbentuk elip merupakan setengah
sumbu panjang lintasan Bulan, ab
dengan demikian Jika kita misalkan PR
periode roket mengelilingi Bumi dan PB
periode Bulan. tempo yang diperlukan
Bulan untuk melengkapi putarannya
mengelilingi Bumi yaitu 27,32 hari.
Maka dapat dinyatakan bahwa;
2
2
P
PR
P
2
= B 3 → PR = B
3
8
aR
aB
2
(1-70)
Jadi PR= 9,65 hari. Ini merupakan
tempo yang diperlukan roket tadi untuk
melengkapi satu kali lintasannya.
Tempo yang diperlukan untuk
mencapai Bulan adalah setengah PR
atau 4,83 hari.
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
34
Kecepatan sebagai fungsi kecepatan lepas
a(1 - e 2 )
R 0 = rp =
= a (1 − e)
1+ e
⎡1 + e ⎤
V = 2GM ⎢
⎥
R
⎣ 0 ⎦
2
V 2 ⎡1 + e ⎤
=⎢
2
⎥
Ve
⎣ 2 ⎦
1+ e
V=
Ve
2
Ve =
16 Maret 2007
2GM
= 11,2km / det
R0
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
35
Tabel 1-1 Kecepatan roket untk menuju Bulan
dalam berbagai nilai eksentrisitas
e
V(km/det)
Ket
1
0
7.920
Lingkaran
2
0.2
8.675
Elip
3
0.5
9.699
Elip
4
0.9
10.916
Elip
5
1
11.200
Parabola
t
No
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
36
Gerak dan Momentum Roket
dm
dV
+m
=0
dp1 + dp2 = 0 → V
dt
dt
dp2
dm
dV = −Vg
m
t
m
mf
dm
∫0 dV = −Vg m∫ m
0
dm
dp1
16 Maret 2007
mf
V
= Exp(− )
m0
Vg
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
37
Tabel 1-2 Rasio mf /m0 untuk berbagai kecepatan dorong Vg dalam km/det,
sebagai fungsi dari h/R. Kolom tiga menunjukkan kecepatan
lingkaran. Vc dalam km/det
No
h/R
Vc
Vg=2
Vg= 3
Vg= 4
Vg=5
1
0
7.92
0.19
0.34
0.44
0.52
2
0.1
7.55
0.21
0.35
0.46
0.53
3
0.2
7.23
0.22
0.37
0.47
0.55
4
0.3
6.95
0.24
0.38
0.49
0.56
5
0.4
6.69
0.25
0.40
0.50
0.57
6
0.5
6.47
0.26
0.41
0.51
0.59
7
0.6
6.26
0.27
0.42
0.52
0.60
8
0.7
6.07
0.28
0.43
0.53
0.60
9
0.8
5.90
0.29
0.44
0.54
0.61
10
0.9
5.75
0.30
0.45
0.55
0.62
11
1
5.60
0.31
0.46
0.56
0.63
16 Maret 2007
S.Siregar, Pelatihan Astronomi
Guru SMA BPK-Penabur,Jakarta
38