Quadratic Interpolation Quadratic Interpolation

e-tp.ub.ac.id
Interpolasi
Interpolasi (I)
 Perkiraan suatu nilai tengah dari suatu set nilai yang
diketahui.
 Jika diketahui (x0,y0), (x1,y1) ……… (xn,yn), interpolasi adalah
mencari nilai ‘y’ untuk nilai ‘x’ diantara x0 dan xn.
Arif Hidayat
TPI4104 – Matematika Industri
Interpolasi vs Extrapolasi
•Interpolasi
: Data yang dicari terletak diantara/didalam
interval/range data yang diketahui.
•Extrapolasi
: Data yang dicari terletak diluar interval/range
data yang diketahui
Interpolasi vs. Regresi
Data sama, beda analisis kurva
1
Interpolasi Polinomial
Interpolasi Polinomial
First-order
Polinomial adalah model interpolasi yang paling banyak
digunakan. Polinomial mudah untuk di evaluasi, di
turunkan dan di integralkan
Persamaan polinomial untuk interpolasi dapat
dinyatakan dengan:
- Direct Method
- Newton Interpolation
- Lagrange Interpolation
f x
a0
a1 x
second-order
a2 x
2
...
an x
third-order
n
Gunakan persamaan untuk menentukan nilai-nilai a
Metode Langsung
Metode Langsung (Linier)
Jika diketahui sebuah set data sebanyak ‘n+1’ dalam
Contoh:
Jika diketahui sebuah fungsi f(x) = 1/x dengan data sbb
(x0,y0), (x1,y1) … (xn,yn),
 Masukkan persamaan polinomial pangkat ‘n’ dalam
f x
a0
a1 x
a2 x
2
...
an x
n
a : konstanta
X
3,40
3,50
Y
0,294118
0,285714
Lakukan interpolasi untuk mencari y
pada x=3,44
real
 Persiapkan ‘n+1’ persamaan untuk mencari ‘n+1’
konstanta
 Untuk mencari ‘y’ dari nilai ‘x’ yang diberikan,
substitusikan nilai tersebut ke dalam persamaan
Nilai exact dari f(3,44) = 1/3,44 = 0,290698.
Karena hanya 2 titik yang diketahui, maka dicari persamaan
polinomial linier
2
Metode Langsung (Linier)
Metode Langsung (Linier)
1. Masukkan data dalam persamaan polinomial
f x
a0
a1 x
a2 x
2
...
an x
n
a : konstanta
real
0,298507 = a0 + a1(3,40)
0,294118 = a0 + a1(3,50)
2. Selesaikan persamaan diatas:
a0 = 0.579854 dan a1 = - 0,0840400
Sehingga diperoleh persamaan
f(x) = 0.579854 - 0,0840400 x
3. Substitusikan nilai x=3,44 ke dalam persamaan
f(x) = 0.579854 - 0,0840400 (3,44)
= 0,290756
Error/penyimpangan hasil interpolasi linier dengan metode
langsung diatas adalah:
Error (3,44) = p (3,44) – f (3,44)
= 0,290698 – 0,290756
= 0,000058
Metode Langsung (Kuadrat)
Metode Langsung (Kuadrat)
Jika data bertambah menjadi 3 titik:
3. Substitusikan nilai x=3,44 ke dalam persamaan
f(x) = 0,876561 - 0,256080(3,44) + 0,0249333(3,44)2
= 0,290697
X
3,35
3,40
3,50
Y
0,298507
0,294118
0,285714
 Interpolasi kuadrat
(persamaan polinomial kuadratik)
1. Masukkan data dalam persamaan polinomial
0,298507 = a0 + a1(3,35) + a2(3,35)2
0,294118 = a0 + a1(3,40) + a2(3,40)2
0,285714 = a0 + a1(3,50) + a2(3,50)2
Error/penyimpangan hasil interpolasi kuadrat dengan metode
langsung diatas adalah:
Error (3,44) = p (3,44) – f (3,44)
= 0,290698 – 0,290697
= 0,000001
2. Selesaikan persamaan diatas, sehingga diperoleh:
f(x) = 0,876561 - 0,256080x + 0,0249333x2
3
Metode Langsung (cubic)
Jika data bertambah menjadi 4 titik:
X
Y
3,35
3,40
3,50
3,60
0,298507
0,294118
0,285714
0,277778
 Interpolasi cubic
(persamaan polinomial pangkat 3)
1. Masukkan data dalam persamaan polinomial
0,298507 = a0 + a1(3,35) + a2(3,35)2
0,294118 = a0 + a1(3,40) + a2(3,40)2
0,285714 = a0 + a1(3,50) + a2(3,50)2
0,277778 = a0 + a1(3,60) + a2(3,60)2
+ a3(3,35)3
+ a3(3,40)3
+ a3(3,50)3
+ a3(3,60)3
Metode Langsung (cubic)
3. Substitusikan nilai x=3,44 ke dalam persamaan
f(x) = 1,121066 - 0,470839(3,44) + 0,0878000(3,44)2 –
0,00613333(3,44)3
= 0,290698
Error/penyimpangan hasil interpolasi cubic dengan metode
langsung diatas adalah:
Error (3,44) = p (3,44) – f (3,44)
= 0,290698 – 0,290698
= 0,000000
2. Selesaikan persamaan diatas, sehingga diperoleh:
f(x) = 1,121066 - 0,470839x + 0,0878000x2 – 0,00613333x3
Order of Interpolation
Estimatesi nilai ln(2) dengan linear, quadratic dan cubic
Newton Interpolation
 Menggunakan beda hingga Newton (Newton’s Divided
Difference) dari nilai-nilai fungsi
fn 1 ( x )
b1
b2 ( x
bn ( x
x1 )
x 1 )( x
b3 ( x
x2 ) ( x
x 1 )( x
xn
x2 )

)
1
 Koefisien bi tidak berubah meskipun pangkat interpolasi
bertambah
Semakin tinggi pangkat interpolasi, semakin akurat nilai
estimasi
 Mudah digunakan meskipun data yang dimasukkan dan
pangkat interpolasi bertambah
4
Newton Linear Interpolation
Newton Linear Interpolation
Perbandingan segitiga:
f1 ( x )
x
f1 ( x )
BC
DE
AB
AD
f ( x1 )
f ( x1 )
x2
f1 x
C
x2
f ( x2 )
Formula interpolasi linier newton
E
f ( x2 )
x1

(x
f1 2
x1 )
A
B
D

x2
x
x1
e
e
1
5
e
1
2
1
2 . 7183
5 1
148 . 41
2 . 7183
1
36 . 423
4
Contoh 2: Interpolasikan e2 dengan data e1.5 and e2.5
f1 2
e
1 .5
e
2 .5
e
1 .5
2
1 .5
4 . 4817
2 .5 1 .5
Exact
Newton Linear Interpolation
f x1
x1
Contoh 1: interpolasikan e2 dengan data e1 and e5
x1
f ( x1 )
x1

f ( x1 )
f x2
f x1
12 . 1825
4 . 4817
0 .5
8 . 3321
1
e
2
7 . 3891
Accuracy of Interpolation
Fungsi logaritmik
Estimasi linier
fungsi ln(2)
Semakin kecil interval x semakin akurat nilai estimasi
5
Quadratic Interpolation
Quadratic Interpolation
Interpolasi kuadrat – Minimal 3 titik
f2 x
b1
b2 x
x1
b3 x
x1
x
3) Gunakan b1, b2, dan masukkan x = x3 untuk
mendapat b3
x2
Untuk mendapatkan nilai b:
1) Masukkan x = x1, sehingga b1 = f(x1)
f2 x1
b1
b2 x 1
x1
b3 x 1
x1
f2 x3
f x2
f x1
f x1
x2
x3
x1
f x3
x1
x2
b1
f x1
b3 x 3
f x2
x3
b3
x1
f x2
x2
x3
x2
f x3
f x1
x2
x3
x1
x1
x1
2) gunakan b1 dan masukkan x = x2 untuk mendapat b2
f2 x2
f x1
b2 x 2
x1
b3 x 2
f x2
b2
x1
x2
x2
f x2
f x1
x2
x1
Quadratic Interpolation
Quadratic Interpolation
Contoh: interpolasikan e2 dengan e1, e3, dan e5
Contoh: Gunakan nilai x yang lain. interpolasikan e2
dengan e1, e1.5, and e2.5
x1
1
f x1
2 . 7183
x2
3
f x2
20 . 086
x3
5
f x3
148 . 41
e
b1
f2 2
2 . 7183 ; b 2
2 . 7183
e
3
3
e
5
e
5
3
3
e
3
e
3
1
x1
1
x2
1 .5
f x1
f x2
2 . 7183
4 . 4817
x3
2 .5
f x3
12 . 1825
1
e
1
1
8 . 6836 ; b 3
8 . 6836 * 2
Exact
1
e
13 . 870 * 2
2
7 . 3891
5
13 . 870
1
1 2
3
2 . 4681
b1
2 . 7183 ; b 2
f2 2
2 . 7183
e
1 .5
1 .5
e
2 .5
e
1 .5
e
1 .5
e
1
1
1
3 . 5268 ; b 3
3 . 5268 * 2
Exact
1
e
2 .5
1 .5
2 .5
2 . 7827 * 2
2
1 .5
1
1 2
1
1 .5
2 . 7827
7 . 6365
7 . 3891
6
Quadratic Interpolation
Quadratic Interpolation
Newton’s Divided Difference
(Beda Hingga Newton)
Newton’s Divided Difference
(Beda Hingga Newton)

Bentuk umum
First finite difference
f xi
f xi , x j
fn
1
x
b1
b2 x
x1

bn x
x1
b1
b3 x
x
x2
x1
x
x
x3  x

xn
1

f x1
b2
f x2 , x1
b3
f x3 , x2 , x1

bn
x2
f xn , xn 1 , , x2 , x1
xi
Second finite difference
f xi , x j , xk

f xj
xj
f xi , x j
xi
f x j , xk
xk
The n-th finite difference
f xn , xn 1 , , x2 , x1
f xn , xn 1 , , x3 , x2
xn
f xn 1, xn
2
, , x2 , x1
x1
7
Newton’s Divided Difference
(Beda Hingga Newton)
fn 1 ( x )
b1
b2 ( x
b1
f ( x1 )
b2
f x2 , x1
b3
f x3 , x2 , x1
b4
x1 )
x 1 )( x

x2 )
x1 ) ( x
bn ( x
xn
1
fn 1 ( x )
)
f x1
bn
f x2
x2
x1
i
f x3 , x2
x3
x1
f x3 , x2 , x1
x4
x1
f x5 , x4 , x3 , x2
f x4 , x3 , x2 , x1
x5
x1
f ( xi )
1
0
1 . 000000
1 ,
x1 )
, x2 , x1
b3 ( x
x 1 )( x
xi
yi
f ( xi )
f xi 1, xi

x2 )
f xn , xn 1 , , x3 , x1
xn
f xi
2
, xi 1, xi
Second
f xi
bn ( x
x1 ) ( x
f xn 1, xn
3
2,
xn 1 )
 , x2 , x1
x1
, , xi
Third
f xi
4
, , xi
Fourth
1
x1
f ( x1 )
f x2 , x1
f x3 , x2 , x1
f x4 , x3 , x2 , x1
f x5 , x4 , x3 , x2 , x1
2
x2
f ( x2 )
f x3 , x2
f x4 , x3 , x2
f x5 , x4 , x3 , x2
f x6 , x5 , x4 , x3 , x2
f x6 , x5 , x4 , x3
3
x3
f ( x3 )
f x4 , x3
f x5 , x4 , x3
4
x4
f ( x4 )
f x5 , x4
f x6 , x5 , x4
f x6 , x5
5
x5
f ( x5 )
6
x6
f ( x6 )
Newton Interpolation Polynomial
Contoh
xi
b2 ( x
First
Tidak perlu menyelesaikan persamaan simultan yang
kompleks
i
f xn , xn
f x2 , x1
f x4 , x3 , x2
f x5 , x4 , x3 , x2 , x1
Estimasika n f(x)
b1
f x1
f x4 , x3 , x2 , x1
b5
b3 ( x
Newton’s Divided Difference
(Beda Hingga Newton)
x
e pada x
f xi 1, xi
f xi
1 . 718282
x
1
2
1
2 . 718282
17 . 29329
3
4
54 . 59815
34 . 51261
4
3
20 . 08554
x
x
4
3
2 using (x 1 , x 2 , x 3 , x 4 )
2
, xi 1, xi
f xi
3 . 893752
0
x
4
3
, xi
2
( 0 ,1, 4 , 3 )
, xi 1, xi
f(x) = ex,
Interpolation at [0 1 4 3 1.5 2.5]
1 . 571970
0
x
3
0
8 . 609662
1
x
3
1
4
f2 (2 )
1
1 . 718282 x
3 . 893752 x ( x
1)
12 . 22407
f3 (2 )
1
1 . 718282 x
3 . 893752 x ( x
1)
1 . 571970 x ( x
1 )( x
4)
5 . 936187
8
Latihan
Interpolasi Polinomial Lagrange
1. Susun tabel beda hingga newton dari data
berikut.
Tulis hasil hingga f4 (x) dengan 6 angka signifikan
X
3,35
3,40
3,50
3,60
Y
0,298507
0,294118
0,285714
0,277778

L2 ( x ) f ( x 2 )
Ln ( x ) f ( x n )
Li ( x ) f ( x i )
i 1
j 1
j i
(x
( xi
x
xj
Pi ( x )
xi
xj
Pi ( x i )
x 1 )( x
x 1 )( x i
x2 ) ( x
xi
1
)( x
x2 ) ( xi
xi
1
)( x i
xi
xi
1
) ( x
xn )
) ( xk
xn )
1
Linear Lagrange Interpolation
First-order Lagrange polynomial
f1 ( x )
L1 f ( x 1 )
L2 ( x ) f ( x 2 )
x
x2
x1
x2
f ( x1 )
x
x1
x2
x1
f ( x2 )
Second-order Lagrange polynomial
f2 ( x )

L1 ( x ) f ( x 1 )
Li ( x )
Interpolasi Polinomial Lagrange

n
fn 1 ( x )
n
2. Dengan data 3,35, 3,4 dan 3,5 hitung nilai
interpolasi untuk x = 3,44

Sama dengan interpolasi polinomial newton, hanya
pendekatan berbeda
(x
x 2 )( x
( x1
x 2 )( x 1
x3 )
x3 )
f ( x1 )
(x
x 1 )( x
( x2
x 1 )( x 2
x3 )
x3 )
f ( x2 )
(x
x 1 )( x
( x3
x 1 )( x 3
x2 )
x2 )
f ( x3 )
Third-order Lagrange polynomial
f4 ( x )
(x
x 2 )( x
x 3 )( x
( x1
x 2 )( x 1
x 3 )( x 1
(x
( x3
x 1 )( x
x 2 )( x
x 1 )( x 3
x 2 )( x 3
x4 )
x4 )
x4 )
x4 )
f ( x1 )
f ( x3 )
(x
( x2
(x
( x4
x 1 )( x
x 3 )( x
x 1 )( x 2
x 3 )( x 2
x 1 )( x
x 2 )( x
x 1 )( x 4
x 2 )( x 4
x4 )
x4 )
x3 )
x3 )
f ( x2 )
f ( x4 )
 Both L1(x) and L2(x) are straight lines
9
Quadratic Lagrange Interpolation
L3(x)f(x3)
L1(x)f(x1)
x1
x2
First-order Lagrange interpolation
f(x) = ex
Interpolation at [0 4]
x3
L2(x)f(x2)
Second-order Lagrange interpolation
Third-order Lagrange interpolation
f(x) = ex,
f(x) = ex,
Interpolation at [0 1 4]
Interpolation at [0 1 4 3]
10
Contoh
Latihan
Cari f(x) = exp(x) pada x = 2 dg (x0, x1, x2, x3 ) = (0,1,4,3)
 second-order: (x1, x2, x3 ) = (0,1,4)
f2 ( x )
f2 (2 )

(x
1 )( x
4)
(x
0 )( x
4)
(0
1 )( 0
4)
(1
0 )( 1
4)
(2
1 )( 2
4)
(2
0 )( 2
4)
(0
1 )( 0
4)
(1
0 )( 1
4)
f (0 )
( 1 .0 )
f ( 1)
(x
0 )( x
1)
(4
0 )( 4
1)
f (4 )
(2
0 )( 2
1)
(4
0 )( 4
1)
( 1 . 71828 )
( 54 . 5982 )
third order: (x1, x2, x3, x4 ) = (0,1,4,3)
f3 ( x )
f3 (2 )
(x
1 )( x
4 )( x
3)
(0
1 )( 0
4 )( 0
3)
(x
0 )( x
1 )( x
3)
(4
0 )( 4
1 )( 4
3)
2
12
( 1 .0 )
4
6
f (0 )
(x
0 )( x
4 )( x
3)
(1
0 )( 1
4 )( 1
3)
(x
0 )( x
1 )( x
4)
(3
0 )( 3
1 )( 3
4)
f (4 )
( 2 . 71828 )
2
12
( 54 . 5982 )
4
12 . 224067
Dari data berikut, interpolasikan nilai f(x) untuk
x= 3,44 dengan interpolasi lagrange linier,
kuadratik dan kubik
X
3,35
3,40
3,50
3,60
Y
0,298507
0,294118
0,285714
0,277778
f ( 1)
f (3)
( 20 . 08554 )
5 . 936187
6
11