gerak harmonik sederhana - Sapriesty Nainy Sari, ST., MT.

FISIKA 2
GETARAN HARMONIK
SEDERHANA
Sapriesty Nainy Sari, ST., MT.
Jurusan Teknik Elektro
Fakultas Teknik
Universitas Brawijaya
Mobil berosilasi naik-turun
ketika melewati lubang
benda di ujung pegas
Bandul jam dinding
2
Pengertian



GHS (Gerak Harmonik Sederhana) atau
gerak osilasi atau getaran selaras adalah
gerak bolak - balik benda melalui suatu
titik keseimbangan tertentu dengan
banyaknya getaran benda DALAM
SETIAP SEKON SELALU KONSTAN
Juga bisa di deskripsikan sebagai gerak
sebuah benda dimana grafik posisi
partikel sebagai fungsi waktu berupa
sinus (dapat dinyatakan dalam bentuk
sinus atau kosinus).
Memiliki ciri frekuensi getaran yang tetap.
Suatu balok diikat pada ujung pegas,
m : massa balok (kg)
k
: tetapan pegas (N/m)
O : adalah titik kesetimbangan (posisi pegas tidak tertarik atau
tertekan)
Dimanapun balok berada dari posisi setimbang maka balok cenderung
kembali ke posisi setimbang oleh gaya F. Gaya yang memiliki sifat
seperti ini disebut gaya pemulih (restoring force).
Bila balok ditarik ke posisi P, lalu
dilepaskan maka balok akan bergerak
bolak balik secara teratur dalam
lintasan
P – O - Q – O – P – O – Q - ...
demikian seterusnya.
Satu getaran adalah gerak balok dalam lintasan P – O - Q – O – P
Beberapa parameter yang menentukan karaktersitik
getaran:
Amplitudo ( A ) : simpangan maksimum atau terjauh (meter)
Perioda ( T )
: waktu untuk menempuh satu getaran (sekon)
Frekuensi ( f )
: jumlah getaran yang terjadi dalam satu satuan
waktu (Hertz)
Syarat Gerak Harmonik Sederhana

Syarat suatu gerak dikatakan getaran harmonik, antara lain :
1.
2.
3.
4.
Gerakannya periodik (bolak-balik).
Gerakannya selalu melewati posisi keseimbangan.
Percepatan atau gaya yang bekerja pada benda
sebanding dengan posisi/simpangan benda.
Arah percepatan atau gaya yang bekerja pada
benda selalu mengarah ke posisi keseimbangan.
Jenis-jenis GHS

Gerak Harmonik Sederhana Linier, pergerakannya
ada pada satu garis lurus vertikal maupun horizintal.
Misalnya penghisap dalam silinder gas, gerak osilasi air
raksa / air dalam pipa U, gerak horizontal / vertikal dari
pegas (pegas pada mobil), dan sebagainya.

Gerak Harmonik Sederhana Angular, pergerakannya
mengayun membentuk pola setengah lingkaran
ataupun bisa saja perputaran. Misalnya gerak bandul/
bandul fisis(bandul jam), osilasi ayunan torsi, dan
sebagainya.
Gerak Harmonik Sederhana Linier
Gerak Harmonik Sederhana
Angular
Gerak harmonik sederhana
Perhatikan sistem balok pegas di atas
permukaan horizontal tanpa gesekan. Bila
pegas tidak ditarik atau ditekan balok berada
pada posisi O (posisi kesetimbangan). Bila
balok ditarik ke kanan, maka pegas akan
menarik balok ke kiri dengan gaya:
F  kx
F  ma
kx  ma
k
a x
m
k = konstanta pegas (N/m)
m = massa beban (kg)
Percepatan (a) ~ perpindahan (x)
Arah a berlawanan dengan perpindahan.
Bila pada benda bekerja gaya yang arahnya
selalu berlawanan dengan arah
perpindahan maka benda akan mengalami
gerak harmonik sederhana (GHS).
12.2
Periode dan Frekuensi
 Periode adalah waktu yg diperlukan untuk melakukan satu kali gerak
bolak-balik.
 Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan dalam waktu 1
detik.
f 

1
1
atau T 
T
f
Untuk pegas yg memiliki konstanta gaya k yg bergetar karena
adanya beban bermassa m, periode getarnya adalah
m
T  2
k

Sedangkan pada ayunan bandul sederhana, jika panjang tali adalah
l, maka periodenya adalah
l
T  2
g
Solusi Persamaan Getaran
k
a x
m
d 2x
k
 x
2
dt
m
Jika (k/m) ditulis dengan ω2 maka persamaan menjadi
d 2x
2



x ... (1)
2
dt
Persamaan (1) disebut persamaan getaran. Salah satu fungsi yang memenuhi
persamaan ini adalah fungsi sinusoidal (sinus-cosinus).
x(t )  A cos t    ... (2)
Substitusi persamaan (2) ke (1)
dx d
 A cost     A sin t   
dt dt
d 2x
d
2



A
sin

t





A cos t   


2
dt
dt
d 2x
2



x
2
dt
Persamaan (2) memenuhi persamaan getaran dan disebut solusi
persamaan getaran.
x(t)
A
x(t )  A cos t   
T
t
-A
x : simpangan setiap saat (posisi terhadap titik setimbang) dlm meter.
A : Amplutudo atau simpangan maksimum dalam meter.
 : frekuensi sudut dalam radian/sekon
 : tetapan fasa atau sudut fasa dalam derjat atau radian
t    : fasa
x(t )  A cos t   
Persamanan getaran adalah fungsi trigonometri. Diketahui
bahwa fungsi triginometri periodik dan berulang terhadap
waktu dalam 2π rad. Perioda (T) adalah waktu untuk benda
menempuh satu siklus. Maka nilai x pada t akan sama dengan
nilai x pada ( t + T ). Sedangkan fasa naik 2π dalam waktu T
sehingga,
t    2    t  T   
2  T
T  2 / 
  2 / T  2 f
Solusi GHS

Telah ditunjukkan bahwa
mempunyai solusi x = A cos(t) .
d2x
2



x
dt 2

Ini bukan solusi tunggal, x = A sin(t) adalah juga solusi.

Solusi umum adalah kombinasi linier dari dua solusi ini
x = B sin(t)+ C cos(t)
dx
 B cost   C sint 
dt
d2x
2
2
2







B
sin

t


C
cos

t



x
2
dt
ok
Penurunan:
Kita gunakan solusi umum:
x = A cos(t + ) adalah sama dengan x = B sin(t)+ C cos(t)
x = A cos(t + )
= A cos(t) cos - A sin(t) sin
= C cos(t) + B sin(t)
dimana C = A cos() dan B = A sin()
It works!
Sehingga x = A cos(t + ) adalah solusi yang paling umum!
Solusi...


Penggambaran A cos(t )
A = amplitudo getaran
T = 2/
A


A



Solusi...

Penggambaran A cos(t + )






Solusi...

Penggambaran A cos(t - /2)
=
/2
A



= A sin(t)!


Amplitudo
Tiga getaran dengan fasa dan frekuensi yang sama tapi dengan
amplitudo berbeda, maka perbandingan grafik simpangannya terhadap
waktu adalah seperti gambar di bawah.
x
A3
A2
A1
t
20
Frekuensi dan Perioda
Dua getaran dengan amplitudo yang sama tapi dengan frekuensi yang
berbeda, maka perbandingan grafik simpangannya terhadap waktu
adalah seperti gambar di bawah.
x
T1
Getaran1
T2
Getaran
2
t
f 2  2 f1
T2  12 T1
21
Tetapan Fasa
Dua getaran dengan amplitudo yang sama tapi dengan tetapan fasa
yang berbeda, maka perbandingan grafik simpangannya terhadap waktu
adalah seperti gambar di bawah.
x
t
22
Kecepatan Gerak Harmonik Sederhana
Untuk benda yg pada saat awal θ0 = 0, maka kecepatannya adalah

dy d
v
 ( A cos ωt )  A sin ωt
dt dt
Nilai kecepatan v akan maksimum pada saat cos ωt = 1, sehingga
kecepatan maksimumnya adalah
vm  A
Kecepatan benda di sembarang posisi y adalah
v y   A2  y 2
Percepatan Gerak Harmonik Sederhana
Untuk benda yg pada saat awal θ0 = 0, maka percepatannya adalah

dv d
a
 (ωA sin ωt )   2 A cos ωt   2 y
dt dt
Nilai percepatan a akan maksimum pada saat sin ωt = 1, sehingga
percepatan maksimumnya adalah
am   2 A
Arah percepatan a selalu sama dengan arah gaya pemulihnya.
Energi dalam GHS

Untuk pegas dan bandul, kita dapat menurunkan solusi
GHS dengan menggunakan konservasi energi.

Energi total (K + P) dari suatu sistem
yang melakukan GHS akan selalu
konstan!

Ini bukan sesuatu yang mengejutkan
karena hanya gaya konservatif
yang bekerja, sehingga energi K+P -A
adalah tetap.
U
K
E
0
U
A
s
Energi potensial pegas
k
F
Posisi awal
Posisi
awal
F
Posisiawal
awal
Posisi
Energi potensial pegas dapat
dihitung dengan grafik hubungan
antara gaya F dengan
pertambahan panjang x
F
k
Usaha = Luas D yang diarsir
W = ½ F.x
= ½ k.x.x = ½ k.x2
Usaha gaya tarik (F) = Energi
potensial pegas
F
Ep = W
Ep = ½ k.x2
x
x
Energi Getaran Harmonis Sederhana
Energi Kinetik : K 
v  A sin t   
1 mv 2
2
K  12 m 2 A2 sin 2 (t   )
 12 kA2 sin 2 (t   )
k
x  A cos(t   )
Energi Potensial :U  12 kx 2
U  12 kA2 cos 2 (t   )
Energi Total :
E  K U
E  12 kA2


 12 kA2 sin 2 t     cos 2 t   
=1
Pada simpangan maksimum,
energi potensial maksimum, tapi
energi kinetik nol karena diam
Pada
titik
kesetimbangan,
energi potensial nol tapi energi
kinetik
maksimum,karena
kecepatannya maksimum
Pada saat simpangannya sembarang, maka energi totalnya
adalah
1 2 1
1
1
1
2
2
2
E  kx  mv  kA  mv maks  m(A) 2
2
2
2
2
2
Susunan Pegas
Untuk memperoleh konstanta pegas sesuai yang
diinginkan, pegas dapat disusun seri, paralel, dan seriparalel (campuran)
Pada susunan pegas seri, gaya tarik yang
dialami pegas sama besar
F1  F2  F3  ...  Fseri
x1  x2  x3  ...  xseri
F kx  x
F
k
xs  x1  x2  x3  ...
Fs F1 F2 F3
    ...
k s k1 k 2 k3
1 1 1 1
    ...
k s k1 k 2 k3
Pada susunan pegas paralel, gaya pegas sama dengan
jumlah gaya masing-masing pegas
F1  F2  F3  ...  Fparalel
x1  x2  x3  ...  x paralel
Fp  F1  F2  F3  ...
k p x p  k1 x1  k 2 x2  k3 x3  ...
k p  k1  k 2  k3  ...
Pada susunan pegas seri-parelel, konstanta pegas diperoleh
dengan mengkombinasikan susunan pegas seri dengen
susunan pegas paralel
Susunan Pegas
a. Susunan Seri
1
k s total
b. Susunan Paralel
1 1
1
1
    ... 
k1 k 2 k 3
kn
k p total  k1  k 2  k3  ...  k n
Soal 1:
1.
Sebuah benda melakukan gerak harmonik sederhana sepanjang
sumbu y. Simpangannya berubah terhadap waktu sesuai
persamaan y = 4 sin (πt+π/4), dgn y dalam meter dan t dalam
sekon.
a.
Tentukan amplitudo, frekuensi dan periode geraknya.
b.
Hitung kecepatan dan percepatan benda terhadap waktu
c.
Tentukan posisi, kecepatan dan percepatan benda pasa t = 1
sekon
d.
Tentukan kecepatan dan percepatan maksimum benda
e.
Tentukan perpindahan benda antara t = 0 dan t = 1 sekon.
2.
Sebuah gerak harmonik sederhana mempunyai amplitudo A = 6
cm. Berapakah simpangan getarannya ketika kecepatannya 1/3
kali kecepatan maksimum?
Soal 2:
1.
Sebuah benda bermassa m = 0,25 kg melakukan osilasi dengan
periode 0,2 sekon dan amplitudo A = 5x10-2 m. Pada saat
simpangannya y = 2x10-2 m, hitunglah (a) percepatan benda, (b)
gaya pemulih, (c) energi potensial, dan (d) energi kinetik benda!
2.
Sebuah balok bermassa mb = 1 kg dikaitkan pada pegas dgn
konstanta k = 150 N/m. Sebuah peluru yg bermassa mp = 10 g
bergerak dgn kecepatan kecepatan vp = 100 m/s mengenai dan
bersarang di dalam balok. Jika lantai dianggap licin, (a) hitung
amplitudo gerak harmonik sederhana yg terjadi, dan (b) nyatakan
persamaan simpangannya!
Soal 3:
 Tiga buah pegas identik dengan konstanta gaya 300
N/m disusun seperti gambar. Jika pegas diberi beban
bermassa 6 kg, pertambahan panjang masing-masing
pegas.... m (g = 10 m/s2)