Menentukan persamaan kurva fungsi kuadrat

Menentukan persamaan kurva fungsi kuadrat
1. Jika diketahui titik balik ( titik maksimun dan titik minimum ).
Misalkan (x p , y p ) titik balik, maka persamaan kurvanya adalah:
y = a (x − x p ) + y p
2
2. Jika diketahui titik potong dengan sumbu X.
Misalkan ( p1 ,0) dan ( p 2 ,0) titik potong dengan sumbu X, maka persamaan
kurvanya adalah y = a( x − p1 )( x − p 2 )
3. Jika diketahui tiga titik yang dilalui kurva.
Substitusi ketiga titik tersebut ke dalam persamaan kurva y = ax 2 + bx + c
Contoh untuk kasus pertama
1. Tentukan persamaan parabola jika grafiknya mempunyai koordinat titik balik
(1,4) dan melalui titik (0,3)
Jawab
Grafik fungsi mempunyai koordinat titik balik (1,4) sehingga x p = 1 dan
y p = 4 persamaan kurva:
y = a (x − x p ) + y p = a( x − 1) + 4
2
2
............(1)
Kurva melalui (0,3) memenuhi persamaan (1)
y = a( x − 1) + 4
2
3 = a(0 − 1) + 4
3=a+4
a = −1
2
Jadi, persamaan parabolanya adalah:
2
y = −1(x − 1) + 4
y = −1( x 2 − 2 x + 1) + 4
y = −x 2 + 2x + 3
2. Contoh untuk kasus kedua
Tentukan persamaan parabola jika grafiknya memotong sumbu X pada titik
(− 3,0) dan (1,0) serta melalui titik (− 2 − 6)
Jawab
Grafik memotong sumbu X di titik (− 3,0) dan (1,0) , maka p1 = −3 dan
p 2 = 1 merupakan akar-akar persamaan kurva
y = a( x − p1 )( x − p 2 )
y = a( x + 3)( x − 1)
.........(1)
1
Karena grafik melalui (− 2 − 6) , maka (− 2 − 6) memenuhi persamaan (1)
y = a( x + 3)( x − 1)
− 6 = a(− 2 + 3)(− 2 − 1)
a=2
Jadi persamaan parabolanya adalah:
y = 2( x + 3)( x − 1)
y = 2( x 2 + 2 x − 3
y = 2x 2 + 4x − 6
3. Contoh untuk kasus ketiga
Tentukan persamaan parabola, jika grafiknya melalui titik (0,2), (2,4), dan (3,8)
Jawab
Persamaan parabola y = ax 2 + bx + c melalui tiga titik.
(0,2)⇒ 2 = a.0 2 + b.0 + c
Grafik melalui titik
c = 2 ....................(1)
Grafik melalui titik (2,4)⇒ 4 = a.2 2 + b.2 + c
4 = 4a + 2b + c ........( 2)
Grafik melalui titik (3,8)⇒ 8 = a.3 2 + b.3 + c
8 = 9a + 3b + c ........( 3)
Dari (1),(2), dan (3) ditentukan nilai a,b,da c sebagai berikut
(2) 4a + 2b + c = 4 × 3 12a + 6b + 3c = 12
(3) 9a + 3b + c = 8 × 2 18a + 6b + 2c = 16
− 6 a + 0 + c = −4
− 6a + c = −4
Menurut (1), c = 2 ⇒ − 6a + c = −4
− 6 a + 2 = −4
a =1
Substitusikan nilai a=1 dan c=2 ke persamaan (2)
⇒ 4a + 2b + c = 4
4.1 + 2b + 2 = 4
b = −1
Jadi persamaan parabolanya adalah y = x 2 − x + 2
2
Latihan Soal:
1. Tentukan persamaan kurva jika diketahui grafiknya melalui
1⎞
⎛
a. Titik balik ⎜ − 5, ⎟ dan melalui (3,0)
2⎠
⎝
b. Titik balik (− 3,−2) dan melalui (0,0)
c. Titik balik (9,2) dan melalui (− 10,−10)
2. Tentukan persamaan kurva jika diketahui grafiknya:
a. Melalui titik (− 4,0); (4,0) dan (1,1)
⎛1 ⎞
⎛3 ⎞
b. Melalui titik ⎜ ,0 ⎟; (1,0 ) dan ⎜ ,2 ⎟
⎝2 ⎠
⎝4 ⎠
c. Melalui titik (3,3); (− 1,0) dan (9,2)
Nb:Dikerjakan sebagai tugas, untuk mengisi waktu libur, Semangat!!!!
3