Probabilitas dan Statistika

Probabilitas dan
Statistika
“Distribusi Peluang Kontinyu 1”
Adam Hendra Brata
Variabel Acak Kontinyu
Kovariansi
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
Variabel Acak Kontinyu
 Suatu variabel yang memiliki nilai pecahan
didalam range tertentu
 Distribusi variabel acak kontinu tidak dapat
disusun dalam tabel yang menyatakan nilai
probabilitas
 Nilai distribusi kontinu dinyatakan dalam
bentuk fungsi matematis, dihitung
menggunakan integral dan digambarkan
dalam bentuk kurva
Distribusi Uniform Kontinyu
Kovariansi
Distribusi Uniform Kontinyu
 Fungsi rapat probabilitas dari distribusi variabel
random X yang bersifat uniform dan kontinu
dalam interval [A,B] diberikan oleh :
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
ì
1
ï
f (x; A, B) = í (B - A)
ï
0
î
f(x)
A£x£B
lainnya
1/(B-A)
A
B
x
Distribusi Uniform Kontinyu
Distribusi Uniform Kontinyu
Kovariansi

A B

2
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
Mean

Variansi
2


B

A
2 
12
Distribusi Uniform Kontinyu
Contoh 1
Sebuah ruang rapat di suatu perusahaan hanya bisa dipakai tak
lebih dari 4 jam. Pemakaian ruang tersebut untuk rapat singkat
maupun panjang sama seringnya. Bisa diasumsikan bahwa jika
X menyatakan lamanya sebuah rapat di ruang tersebut.
a. Bentuklah fungsi rapat probabilitasnya?
b. Berapa probabilitasnya sebuah rapat di ruang tersebut
akan berlangsung paling lama 3 jam?
c. Berapakah lama rata-rata rapat di ruang tersebut?
Distribusi Uniform Kontinyu
Contoh 1
a. Fungsi rapat probabilitas
B = 4 dan A=0, maka (B-A) = 4 dan fungsi rapat
probabilitasnya adalah: f(x) = ¼ untuk 0 ≤ x ≤ 4 dan f(x)=0
untuk x di luar itu
b. Probabilitasnya sebuah rapat di ruang tersebut akan
berlangsung paling lama 3 jam ( P(x<3) )
3
3
0
0
P( x  3)   f ( x;0,4)dx  
1
dx  3 / 4
4
c. Rata - rata
A B 0 4


2
2
2
Distribusi Normal
Kovariansi
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
Distribusi Uniform Kontinyu
 Pada tahun 1733 DeMoivre menemukan
persamaan matematika kurva normal yang
menjadi dasar banyak teori statistika induktif
 Distribusi Normal sering pula disebut Distribusi
Gauss untuk menghormati Gauss (1777–1855)
 Distribusi Probabilitas normal adalah
distribusi probabilitas kontinu yang simetrik
 Distribusi normal berupa kurva berbentuk
lonceng setangkup yang melebar tak
berhingga pada kedua arah positif dan
negatifnya
 Dua parameter yang menentukan suatu bentuk
kurva normal adalah rata-rata dan standar
deviasi
Distribusi Normal
Kovariansi
Distribusi Normal
 Fungsi rapat probabilitas variabel random X
dengan mean μ dan variansi σ2 yang memiliki
distribusi normal adalah :
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
1
n( x;  ,  ) 
e
2 



1
2
2
(
x


)
2
X dapat bernilai - sampai +, dengan demikian nilai
distribusi normal tak terbatas
Dengan :
x = nilai dari distribusi variabel
μ = mean dari nilai-nilai distribusi variabel
σ = standar deviasi dari nilai-nilai distribusi
variabel
Nilai  = 3,14
Nilai e = 2,718
Distribusi Normal
Distribusi Normal
Kovariansi
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
Distribusi Normal
Kovariansi
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
Contoh Distribusi Normal
 Contoh variabel random yang memiliki Distribusi
Normal misalnya :
 Distribusi error dalam pengukuran
 Pengukuran dalam meteorologi
 Pengukuran curah hujan
 Sebagai pendekatan bagi distribusi binomial
dan distribusi hipergeometrik, dan lainnya
Distribusi Normal
Kovariansi
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
Sifat Distribusi Normal
 Sifat-Sifat Distribusi Normal :
 Rata-ratanya (mean) μ dan standard
deviasinya = σ
 Mode (maximum) terjadi di x = μ
 Bentuknya simetrik thd x = μ
 Titik belok tepat di x = μ±σ
 Kurva mendekati nol secara asimptotis
semakin x jauh dari x = μ
 Total luasnya = 1
 Bentuk kurva Distribusi Normal dipengaruhi
oleh μ dan σ
Distribusi Normal
Sifat Distribusi Normal
Kovariansi
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
Distribusi Normal
Kovariansi
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
Luas Di Bawah Kurva dan Probabibilitas
 P(x1< x < x2) = probabilitas variabel random x
memiliki nilai antara x1 dan x2
 P(x1< x < x2) = luas di bawah kurva normal
antara x = x1 dan x = x2
P( x1  x  x2 ) 
x2
 f ( x)dx
x1
Distribusi Normal
Luas Di Bawah Kurva dan Probabibilitas
Kovariansi
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi



P(x≤) = 0,5
P(x) = 0,5
Sehingga Luas kurva normal :

P (  x  ) 
 f ( x)dx  1

Distribusi Normal Standar
Kovariansi
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
Kurva Distribusi Normal Standar
 Dalam proses perhitungan distribusi normal,
seringkali ditemukan nilai – nilai yang susah
untuk dihitung secara manual
 Maka dari itu diperlukan suatu standar yang
menjadi acuan proses perhitungan tanpa
merubah substansi nilai – nilai yang dihitung
dengan distribusi normal
 Transformasi Z memetakan distribusi normal
menjadi distribusi normal standar, sebab
distribusi normal dengan variabel z ini memiliki
mean = 0 dan standard deviasi = 1
z
x

Distribusi Normal Standar
Kovariansi
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
Kurva Distribusi Normal Standar
 Distribusi normal standar adalah distribusi
normal dengan mean μ=0 dan standar deviasi
σ=1
 Transformasi Z memetakan distribusi normal
menjadi distribusi normal standar, sebab
distribusi normal dengan variabel z ini memiliki
mean = 0 dan standard deviasi = 1
 Transformasi ini juga mempertahankan luas
dibawah kurvanya, artinya :
Luas dibawah kurva
distribusi normal antara
x1 dan x2
z1 = (x1-μ)/σ
=
Luas dibawah kurva
distribusi normal standar
antara z1 dan z2
z2 = (x2-μ)/σ
Distribusi Normal Standar
Kovariansi
Korelasi
Regresi
- Regresi
Linier
- Analisis
Korelasi
Kurva Distribusi Normal Standar
 Dengan z1 = (x1-μ)/σ dan z2 = (x2-μ)/σ
Sehingga cukup dibuat tabel distribusi normal
standard kumulatif saja
Distribusi Normal Standar
Contoh 2
Pergunakanlah tabel distribusi normal standard untuk
menghitung luas daerah :
a. Di sebelah kanan z = 1.84
b. Antara z = -1.97 s/d z = 0.86
Ingat bahwa luas yang diberikan dalam tabel distribusi normal
kumulatif adalah luas dari z= - ∞ s/d z0 tertentu: P(z<z0)
a. Di sebelah kanan z = 1.84
P(z>1.84) = 1 – P(z≤1.84) = 1 -0.9671 = 0.0329
b. Antara z = -1.97 s/d z = 0.86
P(-1.97<z<0.86) = P(z<0.86) – P(z<-1.97) = 0.8051 –
0.0244 = 0.7807
Distribusi Normal Standar
Contoh 3
Sebuah perusahaan bolam (bola lampu) mengetahui
bahwa umur lampunya (sebelum putus) terdistribusi secara
normal dengan rata-rata umurnya 800 jam dan standard
deviasinya 40 jam. Carilah probabilitas bahwa sebuah
bolam produksinya akan berumur antara 778 jam dan 834
jam !
μ = 800 σ = 40, P(778 < x < 834)
x1= 778  z1 = (x1-μ)/σ = (778 - 800)/40 = -0.55
x2= 834  z2 = (x2-μ)/σ = (834 - 800)/40 = 0.85
P(778 < x < 834) = P(-0.55 < z < 0.85) = P(z < 0.85) - P(z<-0.55)
= 0.8023 – 0.2912 = 0.5111
Tugas 9
•
Mengerjakan soal – soal yang berada di lembar
soal yang terdapat di link materi pendukung secara
individu
 Cek adamhendrabrata.wordpress.com
•
Mengerjakan soal – soal tersebut dengan cara
menghitung dan ditulis di kertas
Dikumpulkan pada pertemuan berikutnya
•
• Kelas C : (Rabu minggu depan)
• Kelas D : (Kamis minggu depan)
Terimakasih dan Semoga
Bermanfaat v^^