6 fungsi linear dan fungsi kuadrat

6
FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
KUADRAT
5.1. Fungsi Linear
Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang
variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear
adalah
f (x) = ax + b, dengan a, b ∈ R, dan a ≠ 0
(6.1)
Grafik fungsi linear berbentuk kurva garis lurus yang memotong sumbu-x di
(x, 0) dan sumbu-y di (0, y). Koefisien arah atau gradien m dari fungsi linear
merupakan nilai yang menentukan perbandingan dari perubahan nilai y dengan
perubahan nilai x, yang nilainya dapat berharga positif atau negatif. Jika m positif
berarti arah garis fungsi linear tersebut adalah dari kiri bawah ke kanan atas, dan
jika m negatif maka arah garis fungsi linear adalah dari kiri atas ke kanan bawah.
Perhatikan Gambar 6.1. berikut:
Gambar 6.1. Ruas garis AB.
Komponen y dari garis AB = y2 – y1. Sedangkan komponen x dari garis AB =
x2 – x1. Sehingga
Perubahan komponen y
m
Perubahan komponen x
m
y2  y1
x2  x1
Jika garis melalui titik pangkal (0, 0), maka gradien garisnya adalah
y
m
x
1 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
(6.2)
(6.3)
Contoh 1
Tentukan gradien garis yang melalui
a. Titik P(2, -5) dan titik Q(-9, 3)
b. Titik pangkal dan titik A(-2, -8).
Penyelesaian:
a. Melalui titik P(2, -5) dan titik Q(-9, 3)
P(2, -5) berarti x1 = 2, y1 = -5
Q(-9, 3) berarti x2 = -9, y2 = 3
y  y1 3  (5)
8
8
m 2



x2  x1
9  2 11
11
Jadi, gradien garis yang melalui titik P(2, -5) dan titik Q(-9, 3) adalah
8
m .
11
b. Melalui titik pangkal dan titik A(-2, -8)
y 8
m 
4
x 2
Jadi, gradien garis yang melalui titik pangkal dan titik A(-2, -8) adalah m = 4.
5.1.1. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Satu Titik
Perhatikan Gambar 6.2. di bawah ini:
y
B(x, y)
4
2
A(x1, y1)
x
-4
-2
2
4
-2
Gambar 6.2.-4 Persamaan garis lurus.
Pada garis l terdapat titik A dengan koordinat (x1, y1) dan titik B dengan
koordinat bebas, yaitu (x, y). Jika gradien garis l dinyatakan dengan m, maka AB
terdiri astas semua titik (x, y) dengan hubungan seperti berikut:
y  y1
m
x  x1
 y  y1  m ( x  x1 )
2 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
Artinya, persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1, y1)
adalah:
y – y1 = m(x – x1)
(6.4)
Contoh 2.
Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik A(-3, 4) dengan gradien -2.
Penyelesaian:
Titik A(-3, 4) berarti x1 = -3, y1 = 4.
Gradien -2 berarti m = -2.
Persamaan garis dengan gradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah:
y – y1 = m(x – x1)
⇔ y – 4 = -2 (x – (-3))
⇔ y – 4 = -2 (x + 3)
⇔ y – 4 = -2x – 6
⇔ y = -2x – 6 + 4
⇔ y = -2x – 2
Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(-3, 4) dan bergradien -2 adalah y = -2x
– 2.
5.1.2. Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik
Perhatikan kembali Gambar 6.1. Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan
y  y1
(x2, y2) adalah m  2
. Selanjutnya, dengan menggunakan Persamaan (6.4)
x2  x1
maka diperoleh:
y – y1 = m(x – x1)
y  y1
 y  y1  2
( x  x1 )
x2  x1
 y  y1  ( y2  y1 )

x  x1
x2  x1
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
Artinya, persamaan garis yang melalui dua titik yaitu titik (x1, y1) dan (x2, y2)
adalah:
y  y1
x  x1

(6.5)
y2  y1 x2  x1
3 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
Contoh 3
Perhatikan Gambar 6.3. berikut
y
8
B(5, 8)
6
4
A(3, 4)
2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
10
-2
-4
garis l
-6
-8
Gambar 6.3. Persamaan garis l.
-10
Tentukanlah persamaan garis l.
Penyelesaian:
Garis l melalui titik A(3, 4) dan titik B(5, 8).
A(3, 4), berarti x1 = 3, y1 = 4
B(5, 8), berarti x2 = 5, y2 = 8
Persamaan garis l yang melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2) adalah:
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
y 4 x3

84 53
y 4 x3


4
2
 2(y – 4) = 4(x – 3)
 2y – 8 = 4x – 12
 2y = 4x – 12 + 8
 2y = 4x – 4
 y = 2x – 2
Jadi, persamaan garis l yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah
y = 2x – 2.
∎

5.1.3. Hubungan Dua Buah Garis Lurus
Misalkan diketahui garis k : y = m1x + c1 dan garis l : y = m2x + c2, maka
berlaku:
a. Persamaan garis k sejajar dengan garis l jika m1 = m2.
b. Persamaan garis k tegak lurus dengan garis l jika m1 . m2 = -1.
c. Persamaan garis k berimpit dengan garis l jika m1 = m2 dan c1 = c2.
4 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
d. Persamaan garis k berpotongan dengan garis l jika kedua garis tersebut
memiliki sebuah titik persekutuan yang disebut titik potong. Titik potong
antara kedua persamaan garis diperoleh apabila k = l.
Contoh 4.
Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(6, 2) dan sejajar dengan garis yang
melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3).
Penyelesaian:
Garis yang melalui P(2, -5) dan Q(-6, 3).
P(2, -5) berarti x1 = 2, y1 = -5.
Q(-6, 3) berarti x2 = -6, y2 = 3.
Misalkan gradien garis yang melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3) adalah m1 maka:
y  y1 3  (5) 8
m1  2


 1
x2  x1
6  2 8
Misalkan pula gradien garis yang melalui titik A(6, 2) adalah m2.
Karena persamaan garis yang melalui titik A(6, 2) dengan garis yang melalui titik
P(2, -5) dan Q(-6, 3) adalah sejajar, maka
m1 = m2 = -1.
Sehingga persamaan garis dengan gradien m2 = -1 dan melalui titik A(6, 2) adalah:
y – y1 = m2 (x – x1)
⇔ y – 2 = -1(x – 6)
⇔ y – 2 = -x + 6
⇔ y = -x + 6 + 2
⇔ y = -x + 8
Jadi, persamaan garis yang melalui titik A(6, 2) dan sejajar dengan garis yang
melalui titik P(2, -5) dan Q(-6, 3) adalah y = -x + 8.
∎
Contoh 5.
Carilah titik potong y = 10 – 2x dan y = x + 2.
Penyelesaian:
Titik potong kedua persamaan diperoleh jika kedua persaman tersebut
dipersamakan. Sehingga:
10 – 2x = x + 2
⇔ 3x = 8
⇔ x = 8/3.
Untuk x = 8/3, maka diperoleh y = (8/3) + 2 = 14/3.
Sehingga diperoleh titik potong kedua persamaan tersebut adalah (8/3, 14/3).
Perhatikan Gambar 6.4. berikut:
5 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
y
8
y = 10 - 2x
y= x+ 2
6
(8/3, 14/3)
4
2
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
10
-2
-4
-6
Gambar 6.4. Persamaan
garis y = 10 – 2x dan y = x + 2.
∎
-8
-10
5.2. Fungsi Kuadrat
Fungsi f: R ⟶ R yang berbentuk f (x) = ax2 + bx + c, dengan a ≠ 0 disebut
fungsi kuadrat. Grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola dengan persamaan y =
ax2 + bx + c. Dalam grafik fungsi, akar fungsi dapat dilihat dari titik potongnya
terhadap sumbu-x.
Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk menentukan akar fungsi kuadrat
adalah dengan menggunakan rumus berikut:
b  D
, dengan D = b2 – 4ac
(6.6)
2a
Jika nilai D = 0, maka hanya terdapat satu akar fungsi kuadrat yaitu
b
x1  x1   . Artinya grafik hanya akan memotong sumbu-x di satu titik.
2a
x12 
Jika nilai D > 0, maka terdapat dua akar fungsi kuadrat x1 
x1 
b  D
dan
2a
b  D
. Artinya grafik fungsi memotong sumbu-x di dua titik.
2a
Jika D < 0, maka nilai D adalah imajiner (bernilai negatif) sehingga akar real
tidak ada atau grafik tidak memotong sumbu-x.
6 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
Perhatikan Gambar 6.5. berikut:
Gambar 6.5. Kurva fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c berdasarkan nilai a dan diskriminan D.
Fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c, selalu memiliki nilai ekstrim maksimum
atau nilai ekstrim minimum tergantung pada nilai a. Jika a > 0 maka parabola
terbuka ke atas dan mempunyai nilai minimum. Sedangkan jika a < 0 maka
parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai maksimum.
y
b2  4ac  ymax jika a  0

4a  ymin jika a  0
(6.7)
Contoh 6
1
Jika y  2 x 2  3x  m mempunyai nilai minimum -13/8, tentukanlah harga m.
2
Penyelesaian:
ymin
4
b 2  4ac

4a
 1 
32  4(2)   m 
13
 2 


8
4(2)
13 9  4m


8
8
 9 + 4m = 13
m=1
y
3
2
y = 2x^2 + 3x - 1/2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
4
-1
(-6/8, -13/8) -2
-3
Gambar 6.6. Gambar fungsi kuadrat y = 2x2 + 3x – ½
dengan nilai
minimum -13/8.
-4
7 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com
Soal Latihan
1. Tentukan titik potong dari
a. 4x + y = 12 dan 2x + y = 8.
b. 7x + 5y = 2 dan 5x + 7y = -2
2. Misalkan titik potong dari soal No.1 adalah (x0, y0), maka tentukanlah
a. x0 – y0
b. x0 + y0
3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat berikut:
a. y = x2 + 2x – 3
b. y = 4x – x2
4. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 – 6x – 5 = 0, maka
berapakah x12 + x22.
5. Jika grafik y = x2 + px + q mempunyai titik puncak (1, 2) maka tentukan nilai
p dan q tersebut.
8 | Matematika Ekonomi
aswhat.wordpress.com