MEKANIKA TANAH Soil Mechanics

.
PROBABILITAS
BERSYARAT
Kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B
lebih dulu terjadi, dikatakan kejadian A
bersyarat B dan ditulis A/B.
Probabilitas terjadinya A bila kejadian B telah
terjadi disebut probabilitas bersyarat P(A/B).
Rumusnya :
PA  B
PA/B 
, PB  0
PB
Contoh :
Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi
menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai
berikut :
Bekerja
Menganggur
Jumlah
Laki-laki
Wanita
460
140
40
260
500
400
Jumlah
600
300
900
Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan
melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih
adalah
dalam
status
bekerja,
berapakah
probabilitasnya bahwa dia :
a. Laki-laki b. wanita
Jawab :
A=kejadian terpilihnya sarjana telah bekerja
B=kejadian bahwa dia laki-laki
a.
460
n A  B  460 maka PA  B 
900
n A   600 maka PA  
600
900
PA  B 460 23
PB/A  


PA 
600 30
b. Cari sendiri!
Bila A dan B dua kejadian dalam ruang sampel S
yang saling bebas dengan P(A)=0 dan P(B)=0
maka berlaku :
Bila
PA/B  PA dan PB/A   PB
PA  B
PA/B 
, maka
PB
PA  B  PA/B.PB
Untuk kejadian A,B, dan C maka :
PA  B  C  PA/B  C.PB/C.PC
Contoh :
Misal kita mengambil 3 kartu (diambil 3
kali) pada kartu bridge yang lengkap.
Setiap mengambil kartu, kartu yang
terpilih
tidak
dikembalikan
pada
kelompok kartu tersebut. Hal ini dikatakan
pengambilan kartu tanpa pengembalian.
Tentukanlah
probabilitas
untuk
memperoleh 3 kartu As!
Jawab :
S = kumpulan kartu dimana n(S) = 52
A = terpilih kartu As pada pengambilan
pertama
B/A = terpilih kartu As pada pengambilan
kedua dengan syarat pada pengambilan
pertama terpilih kartu As
C A  B = terpilih kartu As pada pengambilan
ketiga dengan syarat pada pengambilan
pertama dan kedua terpilih kartu As
Pengambilan 1 : n(A)=4 dan n(S)=52
Pengambilan 2 : n(B/A)=3 dan n(S)=51
Pengambilan 3 : n( C/A  B )=2 dan n(S)=50
Maka :
PA  B  C  PC/A  B.PB/A .PA 
2 3 4
1
 . . 
50 51 52 5.525
S A1
A2
A3
B
A1, A2, A3 adalah tiga kejadian yang saling lepas.
Maka kejadian B dapat ditentukan :
B  B  A1  B  A2  B  A3
maka probabilitas B adalah
PB  PB  A1  PB  A2  PB  A3
 PB/A1.PA1  PB/A2.PA2  PB/A3.PA3
3
  PB/Ai.PAi
i 1
Probabilitas kejadian bersyarat :
PB  A1 PB/A1.PA1
PA1/B 

PB
 PB/Ai.PAi
PB  A2 PB/A2.PA2
PA2/B 

PB
 PB/Ai.PAi
PB  A3 PB/A3.PA3
PA3/B 

PB
 PB/Ai.PAi
Secara umum bila A1,A2,…,An kejadian saling
lepas dalam ruang sampel S dan B adalah
kejadian lain yang sembarang dalam S, maka
probabilitas kejadian bersyarat Ai/B adalah :
PB  Ai
PB/Ai.PAi
PAi/B 
 n
PB
 PB/Ai.PAi
i 1
Contoh :
Ada 3 kotak yang masing-masing berisi 2 bola.
Kotak I berisi 2 bola merah, kotak II berisi 1 bola
merah dan 1 bola putih, dan kotak III berisi 2
bola putih.
Dengan mata tertutup anda diminta mengambil
satu kotak secara acak dan kemudian mengambil
bola 1 bola secara acak dari kotak yang terambil
tersebut. Anda diberitahu bahwa bola yang
terambil ternyata berwarna merah. Berapakah
peluangnya bola tersebut terambil dari kotak I,
II, dan III?
Jawab :
A1 = kejadian terambilnya kotak I
A2 = kejadian terambilnya kotak II
A3 = kejadian terambilnya kotak III
B = kejadian terambilnya bola merah
Ditanya : P(A1/B), P(A2/B), dan P(A3/B)
Karena diambil secara acak maka :
P(A1)=P(A2)=P(A3)=1/3
Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak I adalah
P(B/A1)=1.
Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak II
adalah P(B/A2)=1/2.
Probabilitas terambilnya bola merah dari kotak III
adalah P(B/A3)=0.
P(B)= P(B/A1).P(A1)+P(B/A2).P(A2)+P(B/A3).P(A3)
= 1.1/3 + 1/2.1/3 + 0.1/3
= 1/2
Jadi :
1 1 
PB  A1 PB/A1.PA1
2
3

  
PB
PB
3
1
 
2
 1  1 
  
PB  A2 PB/A2.PA2  2  3  1
PA2/B 



PB
PB
3
1
 
2
0 1 
PB  A3 PB/A3.PA3
3
PA3/B 

   0
PB
PB
1
 
2
PA1/B 
1. Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok diketahui:
a. Sarjana teknik wanita 1 orang
b. Sarjana teknik wanita 3 orang
c. Sarjana ekonomi pria 2 orang
d. Sarjana ekonomi wanita 4 orang
Dari 20 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang untuk menjadi manajer pemasaran.
a.
b.
c.
d.
Berapa cara yang dapat dibentuk jika diinginkan bahwa manajer harus sarjana teknik
Berapa peluang A jika A menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang wanita
Berapa peluang B jika B menyatakan kejadian bahwa manajer adalah sorang sarjana teknik
Hitunglah P(A|B) dan P(AUB)
2. Ada 3 kotak, yaitu 1, 2, dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan putih sebagai berikut
Kotak 1
Kotak 2
Kotak 3
Jumlah
Bola merah
5
7
8
20
Bola putih
4
3
6
13
Jumlah
9
10
14
33
Mula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak yang terpilih diambil satu bola juga
secara acak. Tiap kotak mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih.
a. Berapa peluang bahwa bola itu merah
b. Berapa peluang bahwa bola itu putih
3. Suatu survey atas 500 mahasiswa yang mengikuti satu atau beberapa mata kuliah (Matematika,
Statistika, dan Biologi) selama satu semester mengungkapkan banyaknya mahasiswa yang mengikuti
mata kuliah tersebut.
Matematika 329, matematika dan statistika 83
Statistika 186, matematika dan biologi 217
Biologi 295, statistika dan biologi 63
Berapa banyak mahasiswa yang mengikuti:
a. Tiga mata kuliah tersebut
b. Matematika, tetapi tidak biologi
c. Statistika, tetapi tidak matematika
d. Biologi, tetapi tidak statistika
e. Matematika atau biologi, tetapi tidak statistika
f. Matematika, tetapi tidak statistika atau biologi
4. Tiga kartu diambil secara acak (satu-satu) dari sekelompok 52 kartu brdge. Tentukan probabilitas
kejadian terambilnya:
a. 2 kartu jack dan 1 kartu king
b. 3 kartu dari satu jenis
c. 3 kartu berbeda jenis
d. Paling sedikit 2 kartu as
5. Satu kantong berisi 5 bola putih dan 3 bola merah. Satu kantong yang lain berisi 4 bola putih dan 5
bola merah. Jika dari setiap kantong diambil sebuah bola, tentukanlah probabilitas kejadian
terambilnya:
a. Dua bola putih
b. Dua bola merah
c. Satu bola putih dan satu bola merah