Model Binomial untuk Opsi Call Amerika

Bab 8. Minggu 14
Model Binomial untuk Opsi
Tujuan Pembelajaran
Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini ,
mahasiswa bisa :
 Menjelaskan model binomial dalam pergerakan harga
saham
 Menjelaskan model binomial untuk harga opsi call tipe
Eropa dan Amerika
 Menurunkan formula harga opsi call tipe Eropa dan
Amerika
Opsi Call Tipe Amerika
 Perbedaan Opsi call tipe Eropa dengan tipe
Amerika
adalah
pada
fleksibilitas
waktu
pelaksaaannya (exercise), yaitu:
 Tipe Eropa: opsi hanya dapat dijalankan pada
saat jatuh tempo.
 Tipe Amerika: opsi dapat dijalankan pada
sembarang waktu sampai jatuh tempo.
 Dalam praktek, banyak opsi di pasaran bertipe
Amerika
 Secara teori, harga opsi call tipe Amerika sama
dengan tipe Eropa
Model Binomial
 Mengasumsikan harga saham mengikuti proses
binomial multiplikatif
 Harga saham naik menjadi S*u dengan
probabilitas p atau turun sebesar S*d dengan
probabilitas 1-p (d<1<r<u)
Model Pohon Binomial Harga Saham
 Ilustrasi model pohon binomial harga saham untuk 4 periode
 Dari ilustrasi sebelumnya, maka diperoleh formula harga
saham di node tertentu, yaitu:
S *  S0u m d k
 Harga saham naik sebanyak m kali dan turun sebanyak k kali dari S0
 Cox, Ross, dan Rubinstein menentukan nilai u dan d
sedemikian rupa sehingga hasilnya cocok dengan model
Black-Scholes, yaitu:
1
ue
dan d   e  t
u
  volatilitas saham
n = banyak perubahan harga saham dalam waktu T
T
t =
n
 t
Probabilitas harga saham naik/ turun
 Jika kita berada di t0, maka ‘expected value’ harga saham pada waktu
Δt =t1 dapat ditentukan dengan:
E ( St1 )  pSu  (1  p) Sd
 Jika pohon binomial dalam kondisi risk neutral untuk memenuhi asumsi
random walk, maka harga saham bergerak dengan faktor erΔt setelah
waktu Δt, dengan r adalah suku bunga bebas resiko. Sehingga berlaku:
S0ert  pSu  (1  p) Sd ...*)
Dari persamaan *) dapat diperoleh nilai p
S0 e rt  pSu  (1  p ) S d
 S0 e rt  pS0u  (1  p ) S0 d
 S0 e rt  S0  pu  (1  p )d 
 e rt  p (u  d )  d
e rt  d
 p
ud
Nilai p merupakan fungsi dari data r, σ, dan ∆t
Prinsip : Kentungan opsi yang dipegang oleh
pembeli opsi = keuntungan penjual opsi yang
menginvestasikan uang premi opsi-nya ke dalam
suatu portofolio (B,S).
Uang premi opsi dibelikan portofolio pada waktu t0 :
 Saham: ∆S0
 Rekening bank: e-rΔtB
Pada waktu nol, modal V0 kita investasikan Δ saham dan e-rΔtB
rekening bank, sehingga pada periode berikutnya, portofolio kita akan
mempunyai dua kemungkinan nilai, seperti ilustrasi berikut:
Pohon Binomial Nilai Portofolio
Pohon Binomial Nilai Opsi
Samakan nilai portofolio dengan nilai opsi, sehingga diperoleh:
Su  B  Vu ....1)
Sd  B  Vd ....2)
 Dari persamaan 1) dan 2) yang diperoleh sebelumnya,
dilakukan eliminasi sehingga diperoleh:
Su  B  Vu
S d  B  Vd 
 ( Su  S d )  Vu  Vd
Vu  Vd

Su  S d
 Mensubstitusikan nilai Δ pada persamaan 1) diperoleh:
SuVd  SdVu
B
Su  S d
 Selanjutnya, nilai opsi pada waktu t0 dapat ditentukan sebagai
berikut:
V0  S0  e  rt B
=
Vu  Vd
S V  S dVu
S0  e  rt u d
Su  S d
Su  S d
(uVd  dVu ) S0
Vu  Vd
 r t
=
S0  e
(u  d ) S0
(u  d ) S0
Vu  Vd
 r t uVd  dVu
=
e
ud
ud
 r t
 r t
1

de
V

ue
 1Vd



u
=
ud
1  de 
ue



V 
 r t
V0
ud
e  rt  e rt  d 
 r t
 1
Vd
ud
e  rt  u  e rt 
=
Vu 
Vd
ud
ud
r t
  e rt  d 

u

e


 r t
e 
Vu 
Vd 
ud
 u  d

u
Dipunyai
ert  d
ert  d u  ert
p
dan q  1  p  1 

ud
ud
ud
 Harga opsi merupakan diskonto atau nilai sekarang
dari nilai ekspektasi atau nilai harapan keuntungan
opsi pada waktu jatuh tempo.
V0  e rt pVu  e rt qVd
= e  rt  pVu  qVd 
Opsi Eropa : Metode Backward
 Harga opsi dimulai dari nilai opsi pada waktu
jatuh tempo Nilai opsi pada akhir periode, tn,
untuk setiap kemungkinan harga saham adalah:
max(ST-K,0)
 Bergerak mundur, nilai opsi dicari pada waktu tn1,tn-2 dan seterusnya t2, t1 , t0, menggunakan
formula di atas.
 Nilai opsi pada waktu t0 adalah harga opsi yang
dicari.
Algoritma
Langkah-langkah untuk menghitung opsi eropa dengan
metode backward adalah sebagai berikut :
 Hitung harga saham pada Si,j = S0,0 uj di-j
 Hitung keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo
fN,j = maks ( SN,j-K,0)
 Lakukan langkah backward , hitung nilai opsi pada
node i,j dengan rumus fi,j = e-r∆t (pfi+1,j+1 + q fi+1,j) ,
untuk 0 ≤ i ≤ N-1.
 Lakukan langkah backward, sampai diperoleh nilai
atau harga opsi adalah f0,0.
Contoh
 Dipunyai S0 = $100 K (Strike Price) = $100 σ = .30 r =
.05 T = 1 year, n = 4; ∆t = ¼ = 0.25 ; u = e0.3√0.25 =
1.1618; d = 1/u = 0.8607 ; p = 0.5043. Berikut
perubahan harga saham dan keuntungan opsi :
 Dengan menggunakan metode backward dicari nilai
opsi pada node31 sebagai berikut
 Kita gunakan formula di atas untuk mendapatkan

V0
= e-r∆t (pVu+ q Vd)

= e-.05(.25)(.5043*82.21+(1 - .5043)*34.99)

= $58.07
 Dengan cara yang sama diperoleh nilai opsi pada tiaptiap node, dan harga opsi $13.53. Sedangkan harga
opsi B-S $14.23.
 Perbedaan ini terjadi karena dalam model binomial,
dalam waktu 1 tahun, kita memodelkan ada 4
perubahan harga saham. Kurang sesuai dengan
kenyataan di lapangan.
Opsi Amerika : Metode Backward
 Opsi amerika adalah opsi yang bisa dijalankan
setiap waktu sampai waktu jatuh tempo.
 Untuk itu perlu dilihat kondisi di tiap node tiap
waktu : Apakah menjalankan opsi sekarang lebih
menguntungkan dibandingkan dengan nilai
harapan jika opsi itu dilanjutkan…
(ST-K) > (e-rΔt(pVu +qVd) …?
Opsi Amerika : Metode Backward
 Harga opsi dimulai dari nilai opsi pada waktu
jatuh tempo, tn, untuk setiap kemungkinan harga
saham adalah: max(ST-K,0)
 Bergerak mundur, nilai opsi dicari pada waktu tn1,tn-2 dan seterusnya t2, t1 , t0, menggunakan
formula
max[e rt  pV *u  qV *d  , max( ST  K ,0)]
 Nilai opsi pada waktu t0 adalah harga opsi yang
dicari.
Contoh.
Opsi call pada contoh di atas akan dihitung dengan
menggunakan model amerika:
1. Pohon binomial perubahan harga saham
2. Pohon binomial nilai opsi pada
waktu jatuh tempo
Menentukan pohon binomial perubahan harga saham
dan nilai opsi pada waktu jatuh tempo
134.99 1.1618
116.18 1.1618
100 1.1618
100  0.8607
86.07  0.8607
74.08  0.8607
Contoh Perhitungan di node
Perhitungan nilai a
Formula “V0” diberikan seperti tipe
Eropa bernilai $58.07.
Nilai early exercise pada node tersebut
= max (156.83 – 100, 0) = $56.83
Sehingga nilai opsi pada node itu adalah
$58.07
Perhitungan nilai b
Formula “V0” diberikan seperti tipe Eropa bernilai $17,43.
Nilai early exercise pada node tersebut = max (116,18 – 100, 0) = $16.18
Sehingga nilai opsi pada node itu adalah $17.43
Hasil
 Proses perhitungan berlanjut sampai t0 , sehingga akan
diperoleh nilai opsi call Amerika, yaitu sebesar $13.53, sama
seperti perhitungan harga opsi call tipe Eropa
Terima Kasih