METODE NEWTON BISECTRIX UNTUK

METODE NEWTON BISECTRIX UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN NONLINEAR
Daimah1∗
1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau
Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
∗ [email protected]
ABSTRACT
This article discusses about an Bisectrix Newton method to solve a nonlinear
equation. This Bisectrix Newton method obtained by using Bisectrix. We show
analytically that the Bisectrix Newton method is of order three for a simple root.
Numerical experiments show that the new method better than Newton method.
Keywords: iterative method, Bisectrix Newton Method , Newton’s Method, order
of convergence.
ABSTRAK
Artikel ini membahas tentang metode Newton bisectrix untuk menyelesaikan
persamaan nonlinear. Metode Newton bisectrix ini diperoleh dengan menerapkan
aturan bisectrix. Secara analitik dapat ditunjukkan bahwa metode yang dihasilkan
mempunyai kekonvergenan orde tiga. Hasil komputasi mendukung hasil kajian
analitik. Komputasi numerik menunjukkan metode Newton bisectrix lebih baik
dibandingkan metode Newton.
Kata kunci: metode iterasi, metode Newton bisectrix, metode Newton, orde kekonvergenan.
1. PENDAHULUAN
Sering dijumpai persoalan mencari solusi dari suatu persamaan. Persamaanpersamaan tersebut sering muncul dalam bentuk dan proses penyelesaian yang
rumit, yang kadangkala tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Oleh
karena itu dapat dilakukan penyelesaian menggunakan metode numerik. Solusi
yang diperoleh dari metode numerik merupakan solusi hampiran dari solusi eksak
atau solusi yang sebenarnya. Salah satu persoalan yang muncul adalah bagaimana
menentukan solusi atau akar-akar dari persamaan f (x) = 0, untuk kasus persamaan
nonlinear. Banyak metode numerik yang digunakan untuk mencari solusi dari
Repository FMIPA
1
persamaan nonlinear f (x) = 0, salah satu diantaranya yang paling sering digunakan
adalah metode Newton yang memiliki bentuk umum:
xn+1 = xn −
f (xn )
,
f ′ (xn )
n = 0, 1, 2 · · · .
(1)
Metode Newton telah banyak mengalami modifikasi dengan tujuan mempercepat iterasi atau memperkecil tingkat kesalahan (error ) dan meningkatkan orde
kekonvergenan.
2. METODE NEWTON BISECTRIX UNTUK MENYELESAIKAN
PERSAMAAN NONLINEAR
2.1 Metode Newton Bisectrix
Misalkan akardari persamaan nonlinear adalah x = α dengan fungsi f mempunyai
turunan pertama dan kedua yang kontinu sehingga grafik y = f (x) mempunyai
garis singgung di setiap titik (x, f (x)). Berdasarkan metode Newton dengan
bentuk iterasi pada persamaan (1) dimisalkan tebakan awal untuk menghampiri α
adalah xn , dengan n = 0, 1, 2, ... maka nilai xn+1 pada x1 dimisalkan sebagai yn ,
sehingga
f (xn )
yn = xn − ′
(2)
, n = 0, 1, 2 · · · .
f (xn )
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut
Gambar 1. Ilustrasi Geometri Metode Newton Bisectrix
Selanjutnya geser garis L2 yang sejajar melalui titik (xn , f (xn )) sebut garisnya
dengan L′2 . Misalkan φ adalah sudut dari garis L1 yang berpotongan pada sumbu
x maka
tan(φ) = f ′ (yn ).
(3)
Repository FMIPA
2
dan θ adalah sudut dari garis L′2 yang berpotongan pada sumbu x maka
tan(θ) = f ′ (xn ).
(4)
Untuk menentukan xn+1 digunakan Bisectrix dari perpotongan garis L1 dan L′2
pada titik (xn , f (xn )). Dengan menggunakan rumus trigonometri dapat ditentukan
kemiringan Bisectrix nya yaitu
(
)
φ+θ
1 − cos(φ + θ)
tan
.
=
2
sin(φ + θ)
1 − cos(φ) cos(θ) + sin(φ) sin(θ)
=
sin(φ) cos(θ) + sin(θ)cos(φ)
1
− 1 + tan(φ) tan(θ)
cos(φ) cos(θ)
=
tan(φ) tan(θ)
√
(
)
tan(φ) tan(θ) + (1 + tan2 φ)(1 + tan2 θ) − 1
φ+θ
tan
=
.
(5)
2
tan(φ) tan(θ)
Dengan menerapkan metode Newton, untuk menentukan iterasi ke n + 1 maka
xn+1 = xn −
f (xn )
(
).
tan φ+θ
2
(6)
Jika persamaan (5) disubstitusikan ke persamaan (6), maka diperoleh
xn+1 = xn −
xn+1 = xn −
f (x )
√ n2
tan(φ) tan(θ)+ (1+tan φ)(1+tan2 θ)−1
tan(φ) tan(θ)
(tan(φ) + tan(θ))f (xn )
√
.
tan(φ) tan(θ) + (1 + tan2 φ)(1 + tan2 θ) − 1
(7)
Selanjutnya substitusikan persamaan (3) dan persamaan (4) ke persamaan (7) menjadi
xn+1 = xn −
(f ′ (xn ) + f ′ (yn ))f (xn )
√
,
f ′ (xn )f ′ (yn ) + (1 + f ′ (xn )2 )(1 + f ′ (yn )2 ) − 1
n = 0, 1, 2 · · · . (8)
dengan yn seperti pada persamaan (2) Persamaan (8) adalah metode iterasi baru
yang disebut Metode Newton Bisectrix.
2.2 Kekonvergenan Metode Newton Bisectrix
Teorema 1 (Kekonvergenan Metode Newton Bisectrix ) [1].
Misalkan α ∈ I adalah fungsi turunan sederhana f : I → R untuk interval buka
I. Jika f (x) cukup halus pada daerah α, dan nilai awal x0 cukup dekat ke α,
maka metode iterasi pada persamaan (8) memiliki kekonvergenan orde tiga dengan
persamaan tingkat error, yaitu
Repository FMIPA
3
(
en+1 =
c22 c3
+
A
2
)
e3n + O(e4n ),
(9)
dengan
A=
1
.
1 + f ′ (α)2
Bukti. Misalkan α adalah akar dari persamaan nonlinear f (x) = 0 sehingga f (α) =
0, Karena f mempunyai akar sderhana maka f ′ (α) ̸= 0. Dengan menggunakan
ekspansi Taylor untuk f (xn ) di sekitar xn = α, diperoleh
xn+1 = F (xn ) =F (α) + F ′ (α)(xn − α) +
F ′′ (α)
(xn − α)2
2!
F ′′′ (α)
+
(xn − α)3 + O((xn − α)4 ).
3!
(10)
Perhatikan bahwa
xn+1 = xn −
(f ′ (xn ) + f ′ (yn ))f (xn )
√
,
f ′ (xn )f ′ (yn ) + (1 + f ′ (xn )2 )(1 + f ′ (yn )2 ) − 1
n = 0, 1, 2 · · · .
(11)
Sedangkan untuk xn = α, maka seperti pada pembuktian analisa kekonvergenan
metode Newton akan ditentukan F ′ (α), F ′′ (α), dan F ′′′ (α) menggunakan software Maple 13 (Lampiran 3) diperoleh
F ′ (α) = 0.
F ′′ (α) = 0.
1 3(f ′′ (α))2 + f ′ (α)f ′′′ (α) + (f ′ (α))3 f ′′′ (α)
′′′
F (α) =
.
2
(f ′ (α))2 (1 + f ′ (α)2 )
Misalkan A =
1
1+f ′ (α)2
f ′′ (α)
2f ′ (α)
(14)
maka persamaan (14) menjadi
F ′′′ (α) =
Misalkan c2 =
(12)
(13)
dan c3 =
1 f ′ (α)f ′′′ (α)A + 3(f ′′ (α))2
.
2
(f ′ (α))2 A
f ′′′ (α)
,
6f ′ (α)
(15)
sehingga dari persamaan (15)diperoleh
F ′′′ (α)
=
3!
(
c22 c3
+
A
2
)
.
(16)
Selanjutnya substitusikan persamaan (12), persamaan (13), dan persamaan (16) ke
persamaan (10), maka diperoleh
( 2
)
c2 c3
xn+1 = α +
+
(xn − α)3 + O((xn − α)4 ).
(17)
A
2
Repository FMIPA
4
Karena xn − α = en maka persamaan (17) menjadi
( 2
)
c2 c3
+
xn+1 = α +
(e3n ) + O(e4n )
A
2
( 2
)
c2 c3
+
xn+1 − α =
(e3n ) + O(e4n )
A
2
( 2
)
c2 c3
en+1 =
+
(e3n ) + O(e4n ).
A
2
(18)
Persamaan (18) merupakan persamaan error metode Newton Bisectrix sehingga
berdasarkan definisi teorema kekonvergenan [4] persamaan (18) memiliki orde kekonvergenan tiga.
3. KOMPUTASI NUMERIK Pada bagian ini dilakukan perbandingan numerik untuk membandingkan metode Newton dengan metode Newton Bisectrix
dalam menghampiri nilai akar suatu persamaan.
Dalam melakukan perbandingan antara metode Newton dengan metode Newton
Bisectrix persamaan nonlinear yang digunakan adalah
f1 (x) = x3 − 4x2 + 10
f2 (x) = sin2 (x) − x2 + 1
f3 (x) = x2 − ex − 3x + 2
f4 (x) = cos(x) − x
f5 (x) = (x − 1)3 − 1
f6 (x) = x3 − 10
2
f7 (x) = xex − sin2 (x) + 3 cos(x) + 5
2
f8 (x) = x2 sin2 (x) + e(x cos(x) sin(x)) − 28
2
f9 (x) = e(x +7x−30) − 1
Hasil dari simulasi numerik terhadap contoh-contoh di atas, ditunjukkan pada
tabel 1. Pada tabel 1 dapat dilihat, n menunjukkan jumlah iterasi, x0 menunjukkan tebakan awal, metode Newton disingkat dengan MN dan metode Newton
Bisectrix MB, kolom pertama merupakan contoh 1 sampai 9 buah contoh yang
berbeda. Pada tabel 1 juga ditunjukkan akar dan tingkat error dari setiap metode
yang dibandingkan.
Repository FMIPA
5
Tabel 1: Perbandingan Hasil Komputasi dari Metode Newton dan metode Newton
Bisectrix
fi
x0
1.0
f1 (x)
2.0
1.0
f2 (x)
3.0
2.0
f3 (x)
3.0
1.0
f4 (x)
1.7
2.5
f5 (x)
3.5
1.5
f6 (x)
2.0
−2.0
f7 (x)
−1.5
4.5
f8 (x)
5.0
3.25
f9 (x)
3.5
Metode
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
MN
MB
Repository FMIPA
n
5
3
5
3
5
3
5
3
4
3
5
4
4
2
4
3
5
3
6
4
5
3
4
2
8
5
5
3
7
4
9
4
8
5
11
6
xn
1.3652300134140968
1.3652300134140968
1.3652300134140968
1.3652300134140968
1.4044916482156470
1.4044916482153412
1.4044916482273824
1.4044916482151533
0.2575302854397621
0.2575302854399079
0.2575302854390579
0.2575302854398608
0.7390851332151606
0.7390851332168300
0.7390851332151609
0.7390851332151606
2.0000000000000114
2.0000000000000000
2.0000000000287757
2.0000000000000000
2.1544346900319186
2.1544346900318837
2.1544346900318837
2.1544346900318453
−1.2076478271309189
−1.2076478271309189
−1.2076478271310888
−1.2076478271309332
4.6221041635528383
4.6221041635528383
3.4374717434217703
50.1597928914583544
3.0000000000000000
3.0000000000000000
3.0000000000002531
3.0000000000058081
|f (xn )|
3.662513e − 21
1.200000e − 30
2.040551e − 18
5.836886e − 23
7.591621e − 13
1.806240e − 23
2.989181e − 11
4.665666e − 13
3.729249e − 13
1.782682e − 13
3.033628e − 12
1.772859e − 22
1.069528e − 20
2.793879e − 12
3.924473e − 16
1.462402e − 20
3.413731e − 14
5.903669e − 17
8.632700e − 11
8.528849e − 23
4.855187e − 13
6.291642e − 22
3.142559e − 17
5.351808e − 13
5.538944e − 20
5.000000e − 31
3.450122e − 12
2.903136e − 13
4.678718e − 18
9.954394e − 19
1.290783e − 12
5.113490e − 20
8.078556e − 17
6.150000e − 28
3.289894e − 12
7.550555e − 11
|xn − xn−1 |
2.126976e − 11
2.641513e − 11
5.020498e − 10
4.840961e − 08
6.247206e − 07
3.829462e − 08
3.920076e − 06
1.131976e − 04
1.027638e − 06
1.174681e − 04
2.930963e − 06
1.172552e − 07
1.701233e − 10
4.319850e − 04
3.258805e − 08
7.499811e − 07
1.066729e − 07
4.194472e − 06
5.364286e − 06
4.741693e − 08
2.740790e − 07
1.068748e − 07
2.205030e − 09
1.012682e − 04
4.261204e − 11
3.004858e − 11
3.363069e − 07
2.421676e − 05
6.041938e − 11
6.424903e − 08
2.639444e − 08
6.103873e − 08
9.720393e − 10
1.472156e − 10
1.961587e − 07
7.314073e − 05
6
Tabel 1 merupakan tabel perbandingan hasil komputasi dari metode Newton dengan metode Newton Bisectrix. Fungsi fn menyatakan fungsi persamaan
nonlinear, x0 merupakan tebakan awal iterasi, n merupakan banyaknya iterasi, xn
merupakan akar hampiran yang diperoleh dari setiap metode, |f (xn )| merupakan nilai mutlak dari fungsi untuk akar hampiran ke-n dan |xn − xn−1 | merupakan selisih
nilai mutlak antara dua akar hampiran yang berdekatan.
Berdasarkan Tabel 1 diperoleh bahwa metode Newton memerlukan iterasi yang
lebih banyak dibandingkan metode Newton Bisectrix untuk hampir semua contoh
fungsi dari persamaan nonlinear yang diberikan. Untuk fungsi f1 (x) = x3 − 4x2 + 10
dengan tebakan awal x0 = 1.0 metode Newton menemukan akar sampai 5 iterasi,
sedangkan metode Newton Bisectrix menemukan akar 3 iterasi, dan pada tebakan
awal x0 = 2.0 metode Newton menemukan akar sampai 5 iterasi, sedangkan metode
Newton Bisectrix menemukan akar 3 iterasi.
Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Supriadi Putra,
M.Si. dan Musraini M, M.Si. yang telah memberikan arahan dan bimbingan dalam
penulisan skripsi yang menjadi acuan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Ardelean, G. A New Third-Order Newton-Type Iterative Method for Solving
Nonlinear Equations, Appl. Math. Comput. 219:9856–9864.
[2] Atkinson, K. E. 1993. Elementary Numerical Analysis, 2nd Ed. John Wiley &
Sons, Inc., New York.
[3] Bartle, R. G. & Shebert, R. D. 1999. Introduction to Real Analysis, 3rd Ed.
John Wiley & Sons, Inc., New York.
[4] Mathews, J. H. 1987. Numerical Method for Mathematical Science and Engineer. Prentice-Hall International, U.S.A.
[5] Stewart, J. 2003. Kalkulus Edisi Kelima: Jilid 2. Terjemahan dari Calculus,
5th Ed, oleh Sungkono. C. Penerbit Salemba Teknika, Jakarta.
[6] Weerakoon, S & Fernando, T. G. I. 2000. A Variant of Newton’s Method with
Accelerated Third Order Convergence. Applied Mathematics Letters, 13:87–93.
Repository FMIPA
7