Simplex Method (B)

Linear Programming
Simplex Method
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Lecture 4: Simplex Method (B)
Supaya terdapat penyelesaian basis awal yang fisibel, pada kendala berbentuk “=” dan “≥” perlu ditambahkan variabel semu (artificial variable)
pada ruas kiri bentuk standarnya, untuk siap ke tabel simpleks. Variabel
semu ini sifatnya sama seperti variabel slack pada kendala berbentuk “≥”
Untuk masalah maksimisasi (minimisasi) pada fungsi objektif, variabel
semu diberi koefisien –
( ) dengan
> 0 adalah konstanta yang
besar. Pada kondisi optimum, variabel semu mempunyai nilai 0. Terdapat
dua metode untuk membuat supaya pada kondisi optimum nilai variabel
semu sama dengan 0, yaitu
(1) Metode (Metode Penalti)
(2) Metode 2 Fase
A. Metode M (M-Method)
Jika suatu persamaan dalam model program linear, misal persamaan i,
tidak memuat variabel slack, maka pada persamaan tersebut ditambahkan
variabel semu, . Karena variabel semu bukan bagian dari model PL asli,
maka kita memberi “pinalti” pada variabel semu dalam fungsi objektif,
yaitu dengan memberi koefisien yang sangat besar (kecil). Sehingga
untuk selanjutnya, memaksa variabel semu agar bernilai 0 pada kondisi
optimum. Dengan kata lain,
“kita menggunakan variabel semu untuk memulai pemecahan, dan
meninggalkannya setelah misi terpenuhi”
Aturan pinalti pada variabel semu
Diberikan M, suatu konstanta positif yang sangat besar ( → ∞), koefisien
variabel semu pada fungsi objektif merepresentasikan suatu pinalti jika
Koefisien variabel semu =
, masalah minimisasi
− , masalah maksimisasi
Contoh. Diberikan masalah program linear
Minimumkan = 4 +
terhadap kendala
3 + =3
4 +3 ≥ 6
+2 ≤4
, ≥0
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Simplex Method
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Bentuk standar (sudah siap simpleks) dari model tersebut adalah
Minimumkan = 4 + + 0 +
+
+0
terhadap kendala
3 + +
=3
4 +3 − +
=6
+2 + =4
, , , , , ≥0
dengan
: variabel surplus,
: variabel slack,
,
: variabel semu.
Selanjutnya, kita harus “mengkondisikan” masalah tersebut sehingga
ketika menempatkannya dalam tabel simpleks, kolom sisi kanan akan
memberikan pemecahan awal secara langsung. Caranya dengan mensubstitusi keluar
dan
dalam fungsi tujuan.
Dari bentuk standar, diperoleh:
Kendala 1:
= 3−3 −
Kendala 2:
= 6−4 −3 +
Sehingga fungsi objektif menjadi
= 4 + + 0 + (3 − 3 −
)+
(6 − 4
−3
+
)+0
= (4 − 7 ) + (1 – 4 ) +
+ 9
Persamaan z tersebut sekarang terlihat dalam tabel seperti
− (4 − 7 ) − 1 – 4
−
= 9
Tabel Simpleks
Ingat bahwa dalam masalah minimisasi, kolom pivot harus memiliki
koefisien paling positif dalam persamaan z (baris fungsi objektif).
Solusi optimum dicapai ketika semua variabel nonbasis memiliki
koefisien z yang nonpositif (tidak ada yang positif lagi).
Tabel 4.1. Tabel simpleks iterasi 1
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Simplex Method
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Tabel 4.2. Tabel simpleks iterasi 2
Tabel 4.3. Tabel simpleks iterasi 3
Tabel 4.4. Tabel simpleks iterasi 4
Karena koefisien semua variabel nonbasis, yaitu , , dan , non
positif (tidak ada yang positif lagi), maka diperoleh solusi optimum:
= 2/5,
= 9/5, dan = 17/5.
B. Metode 2 Fase
Metode Fase terdiri dari 2 fase, yaitu
(1) Fase 1
(a) Tambahkan variabel semu pada kendala bertanda " ≥ " dan " = ",
sehingga terdapat penyelesaian basis fisibel awal.
(b) Bentuk fungsi objektif baru dengan meminimumkan penjumlahan variabel semu terhadap kendala semula yang sudah
ditambah variabel semu.
(c) Jika nilai minimum fungsi objektif sama dengan nol, maka masalah Program Linear mempunyai solusi fisibel, lanjutkan ke fase 2.
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Simplex Method
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
(d) Jika nilai minimum fungsi objektif adalah bilangan positif, maka
masalah Program Linear tidak mempunyai solusi fisibel, stop.
(2) Fase 2
Gunakan solusi basis fase 1 sebagai solusi awal (menjadi tabel awal)
masalah semula.
Contoh. Diberikan masalah program linear
Minimumkan = 4
terhadap kendala
3 + =3
4 +3 ≥ 6
+2 ≤4
, ≥0
+
Fase 1
Misalkan
adalah fungsi objektif baru yang merupakan jumlahan
variabel semu. Sehingga diperoleh
Minimumkan =
terhadap kendala
3 + +
4 +3 − +
+2 +
, , , , ,
+
= −7
−4
+
+9
=3
=6
=4
≥0
Persamaan r tersebut sekarang terlihat dalam tabel seperti
+7 +4 − =9
Tabel 4.1. Tabel simpleks iterasi 1
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Simplex Method
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Tabel 4.2. Tabel simpleks iterasi 2
Tabel 4.3. Tabel simpleks iterasi 3
Karena = 0, maka masalah Program Linear mempunyai solusi fisibel,
sehingga dilanjutkan ke fase 2.
Fase 2
Tabel optimal fase 1 menjadi tabel awal fase 2 (dengan fungsi objektif z).
Pada fase 2, kolom
dan
dihapus, karena =
+
= 0.
Minimumkan = 4
terhadap kendala
,
+
=
−
=
+
, ,
=1
≥0
+
Dari kendala 1:
= −
Dari kendala 2:
= +
Fungsi objektif
menjadi
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Simplex Method
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
=4
+
=4
−
+
+
=
−
Persamaan z tersebut sekarang terlihat dalam tabel seperti
+
=
Tabel 4.1. Tabel simpleks iterasi 1
Tabel 4.2. Tabel simpleks iterasi 2
Karena koefisien semua variabel nonbasis, yaitu
maka diperoleh solusi optimum:
= 2/5,
= 9/5, dan = 17/5.
Department of Mathematics FMIPA UNS
, non positif (≤ 0),