listrik dan magnet
advertisement
BINOVATIF LISTRIK DAN MAGNET Hani Nurbiantoro Santosa, PhD [email protected] 2 BAB 2 MEDAN LISTRIK DAN HUKUM GAUSS Pendahuluan, Distribusi Muatan Kontinu, Mencari Medan Listrik Menggunakan Integral, Fluks Medan Listrik, Hukum Gauss, Simetri Silinder, Simetri Bola, Simetri Bidang, Hukum Gauss versi Differensial 3 Pendahuluan πΈ π π§ Medan listrik akibat π satu muatan titik: π πΈ π = π 2 4ππ0 π π dengan π π =π−π π π₯ +π π¦ Pendahuluan 4 5 Pendahuluan πΈ 6 Pendahuluan πΈ 7 Pendahuluan +2π −π Distribusi Muatan Kontinu ο΅ Kita bisa menghitung medan listrik akibat satu atau beberapa muatan titik. ο΅ Bagaimana cara menghitung medan listrik akibat distribusi muatan kontinu (muatan yang terdistribusi dalam bentuk bola, kawat lurus, cincin, pelat, dll)? Ada dua cara: ο΅ Integral (selalu bisa, tetapi perhitungannya kadang rumit) ο΅ Hukum Gauss (tidak selalu bisa, tetapi perhitungannya sederhana) + 8 9 dπ dπΈ π = π 2 4ππ0 π Medan listrik akibat distribusi muatan kontinu: π§ π π πΈ π = d π π 2 4ππ0 π π 3 π dπ dπ = π π d3 π π π π₯ π¦ dimana d3 π = dπ. dπ. dπ adalah elemen volume di tempat muatan sumber berada. 10 Integral ο΅ Kawat panjang semi infinite memiliki muatan per satuan panjang π. Hitunglah medan listrik pada titik π. π ++++++++++++++++++++++++++ β dπ ∞ πΈ= β ο΅ π dπΈ 1 dπ 1 π. dπ dπΈ = = 2 4ππ0 π 4ππ0 π 2 1 π. dπ 1 π = − 2 4ππ0 π 4ππ0 π ∞ β 1 π = 4ππ0 β Perhatikan: medan dπΈ akibat semua elemen dπ memiliki arah yang sama, sehingga bisa langsung diintegralkan. 11 dπΈ dπΈπ§ = dπΈ cos π π ο΅ Cincin dengan jari-jari π memiliki muatan total π. ο΅ Hitunglah medan listrik pada jarak π§ dari pusat cincin. ο΅ Perhatikan: medan listrik komponen π₯ dan π¦ dari semua elemen akan saling menghilangkan! dπΈπ₯ π π π§ π¦ π₯ π dπ π + 12 Integral π dπ dπ 1 dπΈ = 2 =π π 2 ; 2 2 π +π§ 2ππ π +π§ dπ dπΈπ§ = dπΈ cos π = π π 2ππ 2ππ πΈπ§ = 0 π π 2ππ π§ π 2 + π§ 2 3 2 cos π = π§ π 2 + π§ 2 π§ π 2 + π§ 2 3 2 πππ§ dπ = π 2 + π§ 2 3 2 13 Integral ο΅ Kawat panjang infinite memiliki muatan per satuan panjang π. Hitunglah medan listrik pada jarak π dari kawat. dπΈ π dπΈπ₯ = dπΈ sin π π dπΈπ¦ = dπΈ cos π π¦ π π₯ π dπ₯ +++++++++++++++++++++++++++++++++ π₯ ο΅ Perhatikan: komponen medan dπΈπ₯ (sejajar kawat) akibat semua elemen akan saling menghilangkan, sehingga hanya komponen medan dπΈπ¦ (tegak lurus kawat) yang tersisa. 14 Integral π dπ ππ dπ₯ dπΈ = 2 = 2 ; 2 2 π +π₯ π +π₯ cos π = πππ dπ₯ dπΈπ¦ = dπΈ cos π = 2 π₯ + π2 3 ∞ πΈπ¦ = −∞ πππ π₯2 + π2 π 3 2 π2 + π₯2 2 dπ₯ = β― Jika Anda kesulitan mengerjakan integral di atas, cobalah melakukan substitusi π₯ = π tan π. Pada akhirnya, Anda akan mendapatkan: π πΈπ¦ = 2πππ0 15 Fluks Medan Listrik ο΅ Fluks medan listrik didefinisikan sebagai banyaknya garis medan listrik yang menembus suatu permukaan. ο΅ π΄ adalah vektor luas: arahnya tegak lurus permukaan, dan besarnya sama dengan luas permukaan. ο΅ π΄ π πΈ adalah medan listrik. ππΈ = πΈ ⋅ π΄ = πΈπ΄ cos π πΈ 16 Fluks Medan Listrik π΄ π΄ π΄ π πΈ π = 0° ππΈ = πΈπ΄ cos 0° = πΈπ΄ Fluks maksimum πΈ π ≠ 0° ππΈ = πΈπ΄ cos π πΈ π = 90° ππΈ = πΈπ΄ cos 90° = 0 Fluks nol (tidak ada garis medan yang menembus permukaan) 17 Fluks Medan Listrik π΄ π΄ π πΈ⊥ π π π΄⊥ πΈ πΈ π΄⊥ π = π΄ πΈ cos π = π΄πΈ⊥ π = πΈ π΄ cos π = πΈπ΄⊥ Fluks = luas permukaan dikali komponen medan yang tegak lurus permukaan Fluks = medan dikali luas permukaan yang tegak lurus medan 18 Fluks Medan Listrik Untuk permukaan tertutup, vektor luas mengarah tegak lurus keluar. π΄2 π΄3 π΄1 π΄5 π΄4 19 Fluks Medan Listrik π΄2 π3 = πΈπ΄3 cos 0° = πΈπ΄3 π2 = πΈπ΄2 cos 90° = 0 (keluar permukaan) π΄1 π΄3 π1 = πΈπ΄1 cos 180° = −πΈπ΄1 πΈ (masuk permukaan) π΄5 π΄4 π4 = πΈπ΄4 cos 90° = 0 20 Fluks Medan Listrik Untuk medan listrik yang berubah-ubah dan/atau permukaan yang tidak beraturan, kita harus memakai integral: ππΈ = πΈ ⋅ dπ΄ 21 Hukum Gauss Fluks medan listrik total yang melewati suatu permukaan tertutup (permukaan Gauss) sebanding dengan muatan total yang “terbungkus”: ππ‘ππ‘ = πππ πΈ ⋅ dπ΄ = π0 22 π§ π dπ dπ΄ = π 2 sin π dπ dπ dπ΄ dΩ = 2 = sin π dπ dπ π π π π π₯ π¦ dπ dΩ = sin π dπ dπ dπ cos πΌ = dπ΄ = π 2 dΩ πΈ dπ 23 πΌ dπ = πΈ ⋅ dπ = πΈ dπ cos πΌ dπ πΌ π dπ cos πΌ π = = dΩ 2 4ππ0 π 4ππ0 Perhatikan bahwa dπ hanya bergantung pada dΩ! Integralkan hasil di atas untuk semua arah pada permukaan Gauss menghasilkan: π= π dπ = 4ππ0 π dΩ = π0 dπ΄ = π 2 dΩ π dΩ +π 24 Hukum Gauss πΈ βΩ dπ΄2 dπ΄1 1 +π π π1 = − ΔΩ 4ππ0 ππ‘ππ‘ = π1 + π2 = 0 βΌ 2 π π2 = + ΔΩ 4ππ0 25 Hukum Gauss π1 = 0 π1 π2 = 0 π4 π3 π2 −π π3 = π0 +π π4 = π0 Hukum Gauss ο΅ ο΅ Pada umumnya, Hukum Gauss bisa digunakan untuk mencari medan listrik dalam situasi-situasi berikut ini: ο΅ Simetri silinder (contoh: kawat panjang infinite) ο΅ Simetri bidang (contoh: bidang datar infinite) ο΅ Simetri bola (contoh: muatan titik) Langkah-langkah dalam menggunakan Hukum Gauss: ο΅ Carilah arah medan listrik di tiap-tiap titik menggunakan logika atau prinsip simetri. ο΅ Buatlah permukaan Gauss yang sesuai dengan simetrinya. Pastikan bahwa πΈ ⋅ dπ΄ pada permukaan tersebut mudah dihitung. ο΅ Hitunglah fluks medan listrik pada permukaan tersebut. 26 27 Simetri Silinder π¦ πΈ πΈ π₯ +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ ο΅ Kawat panjang infinite bermuatan π per satuan panjang. ο΅ Arah medan listrik tegak lurus kawat. Simetri Silinder 28 ο΅ Kita juga bisa menentukan bahwa arah medan listrik tegak lurus kawat menggunakan prinsip simetri sebagai berikut. ο΅ Misalnya arah medan listrik sejajar kawat ke kanan (sumbu π₯ positif). Jika ini benar, sesudah kawatnya kita putar 180° terhadap sumbu π¦, arah medan listrik akan berubah ke kiri. ο΅ Tetapi hal ini tidak masuk akal! Sesudah kawat diputar 180° terhadap sumbu π¦, kawat tetap sama seperti sebelumnya: tidak ada yang berubah dari posisi, orientasi, atau muatannya. Jadi, tidak masuk akal kalau sekarang arah medan berubah ke kiri! ο΅ Oleh karena itu, kesimpulan yang masuk akal adalah arah medan pasti tegak lurus kawat. Buatlah permukaan Gauss berbentuk silinder: 29 πΈ ππ = πΈ ⋅ π΄π = 0 π΄π ππ‘ = πΈ ⋅ π΄π‘ = 0 π΄π‘ β π ππ = ππ‘ππ‘ dπ΄π πΈ ⋅ dπ΄π = 2ππβπΈ 0 0 ππ‘ππ‘ = ππ + ππ + ππ‘ = ππ πππ πβ π = ππ = βΉ 2ππβπΈ = βΉ πΈ= π0 π0 2πππ0 Simetri Bidang ο΅ ο΅ Pelat infinite dengan muatan per satuan luas π. Kita bisa menggunakan logika atau prinsip simetri untuk menentukan bahwa arah medan listrik tegak lurus pelat. 30 31 Buatlah permukaan Gauss berbentuk silinder atau balok yang menembus pelat: ππ = πΈ ⋅ π΄π = πΈπ΄ ππ‘ = πΈ ⋅ π΄π‘ = πΈπ΄ π π π‘ ππ = πΈ ⋅ dπ΄π = 0 ππ‘ππ‘ = ππ + ππ‘ = 2πΈπ΄ ππ‘ππ‘ πππ π΄π π = βΉ 2πΈπ΄ = βΉ πΈ= π0 π0 2π0 32 Simetri Bola Arah medan listrik dan arah dπ΄ radial keluar. ο΅ Buatlah permukaan Gauss berbentuk bola. ο΅ π πΈ π dπ΄ ππ‘ππ‘ = πππ πΈ ⋅ dπ΄ = π0 π πΈ. 4ππ = π0 π πΈ= 4ππ 2 π0 2 Muatan titik π.
