Sesi 4.indd

Kurikulum 2013
matematika wajib
ATURAN SEGITIGA
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1.
Memahami aturan sinus dan kosinus, serta pembuktiannya.
2.
Dapat menerapkan aturan sinus dan kosinus dalam pemecahan masalah matematika
maupun masalah nyata.
3. Dapat menerapkan aturan sinus dan kosinus untuk menentukan luas segitiga.
4.
Dapat menyelesaikan masalah matematika maupun masalah nyata yang berkaitan
dengan luas segitiga.
?
1
L = ab sinC
2
EG
C
SS
LUA
IT I G A
A
b
AT
?
U RA
N SINUS
a
c
B
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
S
ATURAN KOSINU
cos C
2a
b
2
2
a
2
c=
+b
–
cos C =
2
+c2
cos A =
a
A
sin
b2 =
nB
1 ac si
L= 2
1 bc
L= 2
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
a2 + b 2 − c 2
2ab
– 2ac
b 2 + c 2 − a2
2bc
. cos B
cos B=
a2 + c 2 − b 2
2ac
K
e
l
a
s
X
A.
Aturan Sinus
Untuk sembarang segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan sudut-sudut A, B, C
berlaku aturan sinus berikut.
a
b
c
=
=
sin A sin B sin C
Pembuktian:
Perhatikan segitiga sembarang ABC dengan sisi AB = c, sisi BC = a, dan sisi AC = b. Pada sisi
AB, ditarik garis tinggi h seperti gambar berikut.
C
b
a
h
c
A
D
B
Pada segitiga ADC, berlaku:
sin A =
h
→ h = b ⋅ sin A
b
Pada segitiga BDC, berlaku:
sin B =
h
→ h = a ⋅ sin B
a
Dengan proses substitusi, akan didapatkan:
b ⋅ sin A = a ⋅ sin B
b
a
=
sin B sin A
Jika proses yang sama dilanjutkan dengan menggunakan garis tinggi pada AC, akan
didapatkan aturan sinus yang melibatkan semua sisi dan sudut. Syarat penggunaan aturan
ini adalah soal harus melibatkan dua pasang sudut-sisi yang saling berhadapan, dengan
salah satunya tidak diketahui.
2
Contoh Soal 1
Perhatikan gambar berikut!
C
8 cm
A
7 cm
10 cm
B
1
Jika nilai sin C = , nilai dari sin A dan sin B adalah ....
3
Pembahasan:
Berdasarkan aturan sinus berlaku:
AB
AC
=
sin C sin B
10
8
=
1 sin B
3
4
sin B =
15
Kemudian dengan menggunakan aturan yang sama, diperoleh:
AB
BC
=
sin C sin A
10
7
=
1 sin A
3
7
sin A =
30
Jadi, nilai sin A =
7
4
dan sin B =
.
30
15
3
Contoh Soal 2
Menara Pisa awalnya dibangun dengan
tinggi 56 meter. Oleh karena rentannya
tanah pada fondasi, maka terjadi
kemiringan. Jika pada jarak 44 meter dari
dasar menara diperoleh sudut elevasi
sebesar 55°, berapakah derajat kemiringan
menara Pisa dari posisi awalnya?
56 m
(soal aplikasi aturan sinus pada buku
“Algebra and Trigonometry edisi ketiga”
yang ditulis Cinthia Young)
55°
44 m
Pembahasan:
Persoalan aplikasi trigonometri di atas bisa disederhanakan menjadi segitiga berikut.
56 me
ter
C
x
55o
A
44 meter
B
Dengan menggunakan aturan sinus, akan didapatkan persamaan berikut.
AB
AC
=
sin C sin B
44
56
=
sin C sin 55°
44 ⋅ sin 55°
56
sin C = 0 , 6436
C = 40 , 06° ≈ 40°
sin C =
Dengan demikian, besar sudut A = 180° – (B + C) atau ∠A = 85°.
Jadi, besar derajat kemiringannya adalah x = 90° – A = 5°.
4
Contoh Soal 3
Pada saat yang sama, sebuah
balon udara terlihat oleh 2 orang
teman yang terpisah sejauh 1
mil tepat di hadapan balon. Jika
sudut elevasi dari dua orang ini
berturut-turut adalah 20,5° dan
25,5°, berapakah tinggi balon
udara pada saat itu? (soal aplikasi
aturan sinus pada buku “Algebra
and Trigonometry edisi ketiga”
yang ditulis Cinthia Young)
20,5o
25,5o
1 mil
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
C
x
25,5o
20,5o
A
1 mil
D
B
Oleh karena besar ∠ABC = 180° – 25,5° = 154,5°, maka besar ∠ACB =180° – (20,5° +
154,5°) = 5°.
Dengan menggunakan aturan sinus pada segitiga ABC, didapatkan persamaan
berikut.
AB
BC
=
sin C sin A
BC
1
=
sin 5° sin 20 , 5°
sin 20 , 5°
BC =
sin 5°
BC ≈ 4
5
Perhatikan segitiga BDC!
x
BC
x = BC ⋅ sin CBD
x = 4 ⋅ sin25, 5°
x ≈ 1, 7 mil
sin CBD =
Jadi, ketinggian balon pada saat itu mendekati 1,7 mil.
B.
Aturan Kosinus
Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan sudut-sudut A, B, C
berlaku aturan kosinus berikut.
a2 = b2 + c 2 − 2bc ⋅ c os A
b2 = a2 + c 2 − 2ac ⋅ c os B
c 2 = a2 + b2 − 2ab ⋅ c os C
Pembuktian:
Perhatikan segitiga berikut!
C
b
a
h
A
c
D
B
Pada segitiga siku-siku ADC, berlaku:
h2 = b2 – AD2
.... (1)
Pada segitiga siku-siku BDC, berlaku:
h2 = a2 – BD2
.... (2)
Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
b2 – AD2 = a2 – BD2
Oleh karena BD = c – AD, maka:
b2 − AD2 = a2 − (c − AD)2
b2 − AD2 = a2 − c 2 + 2 ⋅ c ⋅ AD − AD2
a2 = b2 + c 2 − 2 ⋅ c ⋅ AD
6
Pada segitiga ADC berlaku AD = b.cos A, sehingga persamaan di atas dapat dinyatakan
sebagai berikut.
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A.
Dengan cara yang sama, akan diperoleh aturan-aturan kosinus lainnya.
Contoh Soal 4
Perhatikan segitiga berikut!
C
m
10 c
A
30°
5 cm
B
Panjang sisi BC pada gambar tersebut adalah ....
Pembahasan:
C
b=
m
10 c
a
A
30°
c = 5 cm
B
Dengan menggunakan aturan kosinus, didapatkan:
BC2 = a2 = b2 + c2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
a2 = 102 + 52 − 2 ⋅10 ⋅ 5 ⋅ cos 30°
1
a2 = 125 − 100 ⋅ 3
2
a = 125 − 50 3
a = 5 5 − 2 3 cm
Jadi, panjang sisi BC adalah 5 5 − 2 3 cm.
7
Contoh Soal 5
Pada suatu segitiga ABC diketahui a = 8, b = 6, dan c = 7. Tentukan besar masingmasing sudutnya!
Pembahasan:
Sudut A dapat ditentukan dengan aturan kosinus berikut.
a2 = b2 + c2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
b 2 + c 2 − a2
2⋅b ⋅c
6 2 + 72 − 8 2
cos A =
2 ⋅ 6 ⋅7
cos A = 0 , 25
cos A =
A = cos−1(0 , 25)
A ≈ 76°
Sudut B juga dapat ditentukan dengan aturan kosinus berikut.
b2 = a2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos B
a2 + c 2 − b 2
2⋅a⋅c
2
8 + 72 − 6 2
cos B =
2 ⋅ 8 ⋅7
cos B = 0 , 6875
cos B =
B = cos−1(0 , 6875)
B ≈ 47°
Sudut C cukup ditentukan dengan menggunakan sifat segitiga berikut.
C = 180° − ( A + B)
C = 180° − (76° + 47°)
C = 57°
Jadi, besar masing-masing sudut adalah 76°, 47°, dan 57°.
8
Contoh Soal 6
Sinus sudut terbesar pada segitiga PQR yang memiliki ukuran sisi PQ = 6, QR = 4, dan
PR = 8 adalah ....
Pembahasan:
Diketahui sisi PQ = r = 6, QR = p = 4, dan PR = q = 8.
Sudut terbesar terletak di hadapan sisi terbesar. Oleh karena itu, sudut yang dicari
nilai sinusnya adalah ∠Q, dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh:
q2 = p2 + r 2 − 2 ⋅ p ⋅ r ⋅ cos Q
cos Q =
p +r −q
2⋅ p⋅r
2
2
R
2
4
8
4 2 + 62 − 82
2⋅4 ⋅6
1
cos Q = −
4
Q
cos Q =
6
P
Oleh karena yang dicari adalah nilai sinusnya, maka tidak perlu mengetahui besaran
sudutnya. Dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh:
sin Q = 1− cos2 Q
sin Q = 1−
sin Q =
1
16
1
15
4
Jadi, sinus sudut terbesarnya adalah
C.
1
15 .
4
Aplikasi Aturan Kosinus
Contoh Soal 7
Kapal laut A dan B berlayar dari titik M pada waktu yang bersamaan. Kapal A berlayar
dengan jurusan tiga angka 102° dan B berlayar dengan jurusan tiga angka 232°. Jika
kecepatan kapal A 30 km/jam dan kecepatan kapal B adalah 45 km/jam, hitunglah
jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 3 jam! (Soal pada buku pegangan
Matematika kurikulum 2013 Semester 1)
9
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi berikut!
utara
102° 232°
M
nB
da
pal A
ka
jarak
A
B
Oleh karena kecepatan A 30 km/jam, maka setelah 3 jam jarak yang telah ditempuh
adalah 90 km. Oleh karena kecepatan B 45 km/jam, maka setelah 3 jam jarak yang
telah ditempuh adalah 135 km. Di lain pihak, besaran ∠AMB = 232° − 102° = 130° .
Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh:
AB2 = AM2 + BM2 − 2 ⋅ AM ⋅ BM ⋅ cos M
AB2 = 902 + 1352 − 2 ⋅ 90 ⋅135 ⋅ cos 130°
AB = 204 , 8 km
Jadi, jarak kedua kapal tersebut adalah 204,8 km.
Contoh Soal 8
Lapangan Baseball berbentuk persegi dengan panjang setiap sisinya 90 kaki. Jika
tempat pelempar bola (pitcher) terletak 60,5 kaki dari tempat pemukul (home plate),
maka berapa jauh jarak dari pelempar bola ke basis ketiga (third base)? (Contoh soal
pada buku Algebra and Trigonometry edisi ketiga Cynthia Young)
10
basis kedua
90 kaki
90 kaki
tempat pelempar
bola
basis ketiga
?
?
60,5 kaki
90 kaki
45°
basis pertama
90 kaki
home plate
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
basis kedua
90 kaki
90 kaki
basis ketiga
tempat pelempar
bola
C
?
?
60,5 kaki
B
90 kaki
45o
basis pertama
90 kaki
A
home plate
Pada segitiga ABC, berlaku:
BC2 = AB2 + AC2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos 45°
1
BC2 = 902 + 60 , 52 − 2 ⋅ 90 ⋅ 60 , 5 ⋅ 2
2
BC ≈ 64 kaki
Jadi, jarak pelempar bola ke basis ketiga adalah 64 kaki.
11
Contoh Soal 9
Sebuah satelit (S) pada orbit
S
T
horison
lingkaran di sekitar Bumi terlihat
dari stasiun pengawasan T (lihat
gambar). Jika jarak TS yang
R
ditentukan dengan radar adalah
1.034 mil dan sudut elevasi di atas
ufuk adalah 32,4°, berapakah
C
jarak satelit dari pusat bumi (C)
pada saat terlihat? (Jari-jari bumi adalah 3.964 mil). (Soal di buku College Algebra with
Trigonometry 9th ed. - R. Barnett, et. al., McGraw-Hill, 2011)
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi berikut!
32,4o
S
T
horison
R
C
Diketahui ST = c = 1034 mil, CT = c = 3964 mil, CS = t, dan besar sudut STC:
∠STC = 90° + 32, 4°
∠STC = 122, 4°
Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh:
t 2 = c 2 + s2 − 2 ⋅ c ⋅ s ⋅ cos ∠ STC
t 2 = 1034 2 + 3964 2 − 2 ⋅1034 ⋅ 3964 ⋅ cos122, 4°
t ≈ 4601, 62 mil
Jadi, jarak satelit dari pusat bumi mendekati 4601,62 mil.
12
D.
Luas Segitiga
Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan sudut-sudut A, B, C
berlaku rumus luas segitiga berikut.
1
1
1
Luas ∆ABC = × ab ⋅ sin C = × bc ⋅ sin A = × ac ⋅ sin B
2
2
2
Pembuktian:
Perhatikan gambar berikut!
C
b
a
h
A
c
B
D
Luas segitiga di atas (L) dapat dinyatakan dengan rumus berikut.
1
L = × AB × CD
2
1
L = ×c×h
2
Pada segitiga ADC, berlaku:
sin A =
h
→ h = b sin A
b
1
Nilai h kamu substitusikan ke rumus luas, sehingga akan didapatkan: L = c ⋅ b ⋅ sin A
2
(terbukti).
Dengan cara yang sama dan dengan menggunakan aturan sinus, akan diperoleh rumus
luas segitiga yang lainnya.
13
Contoh Soal 10
Perhatikan segitiga berikut!
C
10
60o
A
14
B
Luas segitiga tersebut adalah ....
Pembahasan:
C
a = 10
60o
A
c = 14
B
1
L = ⋅ a ⋅ c ⋅ sin B
2
1
L = ⋅10 ⋅14 ⋅ sin 60°
2
L = 35 3 satuan luas
Jadi, luas segitiga di atas adalah 35 3 satuan luas.
Contoh Soal 11
Suatu segitiga ABC memiliki panjang sisi AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AC = 5 cm.
Luas segitiga ABC adalah ....
14
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
C
b == 5 cm
AC
cm,
a == 3 cm
AB = 2 cm, BC
A
cm, BC = 3 cm,
c == 2 cm
AB
B
1
Misalnya kamu hendak menggunakan rumus L = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A.
2
Nilai b dan c sudah diketahui, namun nilai sin A belum. Dengan menggunakan aturan
kosinus, diperoleh:
a2 = b2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
cos A =
b 2 + c 2 − a2
2⋅b ⋅c
( 5) + ( 2) −( 3)
cos A =
2
cos A =
cos A =
2
2
2⋅ 5 ⋅ 2
5+2−3
2 10
2
10
Dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh:
 2 
sin A = 1− 

 10 
sin A =
2
6 1
= 15
10 5
Dengan demikian, luas segitiga ABC adalah sebagai berikut:
1
L = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A
2
1
1
L = ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 15
2
5
1
L=
6 cm2
2
15
Jadi, luas segitiga ABC adalah
1
6 cm2 .
2
Contoh Soal 12
Sebuah ruang tamu berukuran 15 kaki × 25 kaki memiliki bentuk seperti balok
terbuka dengan atap yang membentuk segitiga pada sisi kanan dan kirinya. Jika dua
bagian dari atap membentuk sudut 50° dan 33° dengan bidang datar sebagaimana
dalam gambar, tentukan luas dari segitiga yang terbentuk tersebut! (Soal pada buku
Algebra and Trigonometry, edisi ketiga, Cynthia Young)
a
x
b
33°
15
kak
25
i
50°
ka
ki
Pembahasan:
Perhatikan segitiga yang terbentuk pada atap tersebut!
C
b
A
a
50°
33°
c = 15 kaki
16
B
Besar sudut C dapat ditentukan sebagai berikut.
C = 180° − (33° + 50°)
C = 97°
Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh:
c
b
=
sin C sin B
b
15
=
sin 97° sin50°
sin50°
b = 15 ×
sin 97°
b ≈ 12 kaki
Dengan demikian, luas segitiga tersebut adalah sebagai berikut:
1
L = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A
2
1
L = ⋅12 ⋅15 ⋅ sin33°
2
L ≈ 49 kaki2
Jadi, luas segitiga yang terbentuk tersebut adalah 49 kaki2.
17