bab i pendahuluan
advertisement
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Salah satu teori dalam matematika analisis yang dipakai dalam ilmu-ilmu terapan adalah teori operator, baik operator linear maupun operator non linear. Operator superposisi merupakan bentuk operator non linear. Dalam penelitian matematika analisis, telah banyak peneliti yang membahas tentang operator superposisi pada beberapa ruang fungsi seperti ruang Holder, ruang Lebesgue, dan sebagainya. Ruang fungsi yang dimaksudkan adalah koleksi fungsi-fungsi dengan ketentuan tertentu. Salah satu topik mendasar dalam mempelajari matematika analisis adalah fungsi kontinu. Oleh karena itu perlu dibahas operator superposisi dalam ruang fungsi kontinu. Masalah tersebut pernah dibahas oleh Appell dan Zabrejko (1990), namun dalam pembahasannya, sifat-sifat dasar ruang fungsi kontinu dan syarat-syarat yang berlaku untuk operator superposisi yang dikenakan pada ruang fungsi kontinu tidak dibahas secara terperinci sehingga penulis tertarik untuk membahas hal tersebut dalam penelitian ini. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka dirumuskan permasalahan sebagai berikut : 1. Bagaimana sifat-sifat dasar ruang fungsi kontinu? 2. Apa sifat dari fungsi Caratheodory? 3. Apa syarat cukup dan syarat perlu agar operator superposisi pada ruang fungsi kontinu terbatas? 4. Apa syarat cukup dan syarat perlu agar operator superposisi memetakan ruang fungsi kontinu ke ruang fungsi kontinu? 5. Apa syarat cukup dan syarat perlu agar operator superposisi memetakan suatu ruang fungsi kontinu ke suatu ruang fungsi terukur? 1.3 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk: 1. Menyelidiki sifat-sifat dasar ruang fungsi kontinu. 2. Mengetahui sifat fungsi Caratheodory. 3. Membahas syarat cukup dan syarat perlu agar operator superposisi pada ruang fungsi kontinu, terbatas. 4. Membahas syarat cukup dan syarat perlu agar operator superposisi memetakan ruang fungsi kontinu ke ruang fungsi kontinu. 5. Membahas syarat cukup dan syarat perlu agar operator superposisi memetakan suatu ruang fungsi kontinu ke suatu ruang fungsi terukur. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat penelitian ini diharapkan dapat: 1. Memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan khususnya di bidang Matematika 2. Memperluas dan memperdalam wawasan tentang operator superposisi pada ruang fungsi kontinu. 3. Menjembatani peneliti yang lain untuk melakukan penelitian lanjutan yang berkaitan dengan operatos superposisi pada ruang fungsi kontinu bagi penulis tentang ruang fungsi kontinu. 2 1.5 Tinjauan Pustaka Pembahasan awal dalam tesis ini dimulai dengan ruang vektor atau ruang linear atas lapangan bilangan real R yang memuat pengertian ruang linear dan subruang linear. Kemudian dilanjutkan dengan konsep dasar tentang ruang metrik, ruang bernorma, kekompakan separabel yang mengacu pada Royden (1989) dalam bukunya yang berjudul Real Analysis. Konsep fungsi terukur yang dipakai berpatokan juga pada buku tersebut ditambah dengan buku milik Swartz (1994) yang berjudul Measure, Integration and Function Spaces. Ruang fungsi kontinu C(Ω) dibahas secara singkat oleh Appell dan Zabrejko (1990) dalam buku mereka yang berjudul Nonlinear superposition. Ruang fungsi kontinu C(Ω) merupakan koleksi semua fungsi kontinu pada Ω dengan Ω adalah ruang metrik kompak. Selain itu dibahas juga oleh Hunter dan Nachtergaele (2000) dalam buku mereka yang berjudul Applied Analysis. Dalam buku tersebut dibahas sifat-sifat dasar ruang fungsi kontinu serta konsep dasar tentang prekompak dan terbatas total. Untuk memperjelas pemahaman tentang terbatas total diperlukan pemahaman tentang net dan ε -net yang dibahas dalam buku karangan Mc Donald and Weiss (2005) dan Douglas (1972). Selanjutnya, dalam hubungannya dengan sifat ruang fungsi kontinu yang merupakan aljabar bernorma, dalam buku milik Erwin Kreyszig (1978) yang berjudul Introductory Functional Analysis With Applications dijelaskan bahwa aljabar X disebut suatu aljabar bernorma jika X merupakan ruang bernorma dengan norma . sehingga berlaku xy ≤ x y , untuk setiap x, y ∈ X . Dalam Appell dan Zabrejko juga dijelaskan bahwa tidak ada perbedaan penting dalam kasus F(C(Ω)) S(Ω) dan F(S(Ω)) S(Ω) dengan F(C(Ω)) S(Ω) menunjukan operator superposisi dari ruang fungsi kontinu C(Ω) ke ruang fungsi terukur S(Ω). Hal tersebut dikarenakan oleh sifat thick ruang fungsi kontinu C(Ω) pada ruang fungsi terukur S(Ω). 3 Pengalaman yang dimiliki para pembimbing juga sangat membantu dalam mengarahkan penulisan dalam penelitian ini. Semuanya itu dirangkum dalam tulisan yang menjadi hasil penelitian. 1.6 Metodologi Penelitian Penelitian ini dilakukan dengan metode studi literatur . Proses penelitian diawali dengan mengumpulkan jurnal dan buku teks yang berkaitan dengan konsep ruang fungsi kontinu maupun operator superposisi. Sifat-sifat yang berlaku pada ruang fungsi kontinu diteliti dengan memunculkannya sebagai teorema-teorema dan dibahas secara jelas dengan dikonsultasikan dengan pembimbing. Begitu juga dengan sifatsifat dari operator superposisi pada ruang fungsi kontinu. Hasilnya disajikan dalam bentuk hasil penelitian ini. 1.7 Sistematika Penulisan Tesis ini terdiri dari empat bab. Bab I Pendahuluan, berisi uraian latar belakang dan permasalahan, manfaat penelitian, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penelitian. Bab II Landasan Teori, memuat konsep dasar yang memudahkan untuk membaca bab selanjutnya. Konsep dasar tersebut meliputi ruang linear, ruang metrik dan ruang bernorma serta fungsi terukur. Bab III Pembahasan, memuat uraikan tentang ruang fungsi kontinu serta sifat-sifatnya, beberapa sifat fungsi Caratheodory dan dilanjutkan membahas tentang operator superposisi pada ruang fungsi kontinu, serta operator superposisi antara ruang fungsi kontinu dan ruang fungsi terukur. Bab IV Kesimpulan, memuat kesimpulan hasil penelitian. 4