PENGANTAR MODEL PROBABILITAS

PENGANTAR MODEL PROBABILITAS
(PMP, Minggu 1-7)
Sri Haryatmi Kartiko
Universitas Gadjah Mada
Juni 2014
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Outline
1
Minggu 1:HIMPUNAN
Operasi Himpunan
Sifat-Sifat Operasi Himpunan
2
Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE
Permutasi dan Kombinasi
3
Minggu 3:PROBABILITAS
Probabilitas
4
Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT
Independensi
5
Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA
Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit
Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Outline
1
Minggu 1:HIMPUNAN
Operasi Himpunan
Sifat-Sifat Operasi Himpunan
2
Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE
Permutasi dan Kombinasi
3
Minggu 3:PROBABILITAS
Probabilitas
4
Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT
Independensi
5
Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA
Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit
Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Outline
1
Minggu 1:HIMPUNAN
Operasi Himpunan
Sifat-Sifat Operasi Himpunan
2
Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE
Permutasi dan Kombinasi
3
Minggu 3:PROBABILITAS
Probabilitas
4
Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT
Independensi
5
Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA
Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit
Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Outline
1
Minggu 1:HIMPUNAN
Operasi Himpunan
Sifat-Sifat Operasi Himpunan
2
Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE
Permutasi dan Kombinasi
3
Minggu 3:PROBABILITAS
Probabilitas
4
Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT
Independensi
5
Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA
Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit
Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Outline
1
Minggu 1:HIMPUNAN
Operasi Himpunan
Sifat-Sifat Operasi Himpunan
2
Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE
Permutasi dan Kombinasi
3
Minggu 3:PROBABILITAS
Probabilitas
4
Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT
Independensi
5
Minggu 6,7:VARIABEL RANDOM DAN DISTRIBUSINYA
Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit
Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Minggu 1:HIMPUNAN
Himpunan S adalah koleksi obyek yang diberi notasi s.
Dengan kata lain, s adalah anggota S, elemen S, atau dimiliki oleh
S diekspresikan dengan tulisan s ∈ S. Negasi pernyataan tersebut
diekspresikan dengan menulis s ∈
/ S. Dikatakan S 0 adalah
himpunan bagian dari S atau bahwa S 0 termuat dalam S, ditulis
S 0 ⊆ S, bila setiap s ∈ S 0 , berakibat s ∈ S. S 0 dikatakan
himpunan bagian sejati dari S dan ditulis S 0 ⊂ S, bila S 0 ⊆ S dan
terdapat s ∈ S sedemikian hingga s ∈
/ S 0.
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Operasi Himpunan
Komplemen terhadap S dari himpunan A ditulis dengan notasi Ac
didefinisikan sebagai
Ac = {s ∈ S; s ∈
/ A}
Union dari himpunan Aj ,
(1)
j = 1, 2, . . . , n, diberi notasi
A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An
or
n
[
Aj
j=1
didefinisikan sebagai
n
[
Aj = {s ∈ S; s ∈ Aj untuk paling sedikit satu j = 1, 2, . . . , n}
j=1
(2)
Definisi dapat diperluas untuk banyaknya himpunan tak berhingga,
sehingga untuk banyaknya himpunan denumerabel dapat ditulis
∞
[
Aj = {s ∈ S; s ∈ Aj untuk paling sedikit satu j = 1, 2, . . . }
j=1
(3)
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Operasi Himpunan
Interseksi dari himpunan Aj ,
j = 1, 2, . . . , n, diberi notasi
A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An
or
n
\
Aj
j=1
didefinisikan sebagai
n
\
Aj = {s ∈ S; s ∈ Aj untuk semua j = 1, 2, . . . , n}
(4)
j=1
Definisi dapat diperluas untuk banyaknya himpunan tak berhingga,
sehingga untuk banyaknya himpunan denumerabel dapat ditulis
∞
\
Aj = {s ∈ S; s ∈ Aj untuk semua j = 1, 2, . . . }
(5)
j=1
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Operasi Himpunan
Difference
dari A1 − A2 didefinisikan sebagai
A1 − A2 = {s ∈ S; s ∈ A1 , s ∈
/ A2 }
(6)
A2 − A1 = {s ∈ S; s ∈ A2 , s ∈
/ A1 }
(7)
Secara simetris,
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Operasi Himpunan
Berikut ini berapa hal penting mengenai himpunan:
1 Himpunan yang tidak memuat satu elemenpun disebut
himpunan kosong dan diberi notasi ∅.
2 Dua himpunan A , A disebut disjoint atau saling asing bila
1
2
A1 ∩ A2 = ∅.
3 Dua himpunan A , A , disebut sama, ditulis A = A , bila
1
2
1
2
A1 ⊆ A2 dan A2 ⊆ A1 .
4 Himpunan A , j = 1, 2, . . . disebut sepasang-sepasang atau
j
mutually disjoint jika Ai ∩ Aj = ∅ untuk semua i 6= j. Dalam
hal ini, biasa ditulis
n
∞
X
X
A1 +A2 , A1 +· · ·+An =
Aj , dan A1 +A2 +· · · =
Aj
j=1
j=1
sebagai pengganti
A1 ∪ A2 ,
n
[
Aj , dan
j=1
Dapat ditulis
[
X
Aj ,
Aj ,
j
j
\
j
Aj (atau
∞
[
Aj
j=1
[
j
Aj ,
X
Aj ,
j
\
Aj )
j
.
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Sifat-Sifat Operasi Himpunan
1
2
3
4
5
6
7
S c = ∅, ∅c = S, (Ac )c = A
S ∪ A = S, ∅ ∪ A = A, A ∪ Ac = S, A ∪ A = A
S ∩ A = A, ∅ ∩ A = ∅, A ∩ Ac = ∅, A ∩ A = A
∅ ⊆ A untuk semua himpunan bagian A dari S.
A1 ∪ (A2 ∪ A3 ) = (A1 ∪ A2 ) ∪ A3
A1 ∩ (A2 ∩ A3 ) = (A1 ∩ A2 ) ∩ A3
yang disebut hukum Assosiatif.
A1 ∪ (A2 ∩ A3 ) = (A1 ∪ A2 ) ∩ (A1 ∪ A3 )
A1 ∩ (A2 ∪ A3 ) = (A1 ∩ A2 ) ∪ (A1 ∩ A3 )
yang disebut hukum Distributif.
Perluasannya
adalah
Tn
T
A ∪ (Si=1 Bi ) = Sni=1 (A ∪ Bi )
A ∩ ( ni=1 Bi ) = ni=1 (A ∩ Bi )
Hukum de Morgan
(A1 ∪ A2 )c = Ac1 ∩ Ac2
(A1 ∩ A2 )c = Ac1 ∪ Ac2
Perluasan
Hukum
Sn
Tn de cMorgan
c
(Ti=1 Ai ) = Si=1 Ai
( ni=1 Ai )c = ni=1 Aci
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Sifat-Sifat Operasi Himpunan
Contoh 1.1
Misalkan S adalah suatu himpunan dan misalkan A, B, C adalah
himpunan-himpunan bagian dari S. Tunjukkan bahwa
A ∩ (B ∪ C ) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )
Bukti:
s ∈ A ∩ (B ∪ C ) ⇔ s ∈ A dan s ∈ B ∪ C
⇔ (s ∈ A) dan (s ∈ B atau s ∈ C )
⇔ (s ∈ A dan s ∈ B) atau (s ∈ A dan s ∈ C )
⇔ (s ∈ A ∩ B) atau (s ∈ A ∩ C )
⇔ (s ∈ A ∩ B) ∪ (s ∈ A ∩ C )
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE
Bila E1 adalah suatu eksperimen yang mempunyai n1 hasil yang
mungkin dan E2 adalah suatu eksperimen yang memiliki n2 hasil
yang mungkin, maka eksperimen yang menghasilkan pasangan
hasil E1 dan E2 adalah n1 .n2 hasil yang mungkin.
Multiplication principle, bila E1 adalah suatu eksperimen yang
mempunyai n1 hasil yang mungkin, E2 adalah suatu eksperimen
yang memiliki n2 hasil yang mungkin, dan seterusnya Er adalah
suatu eksperimen yang memiliki nr hasil yang mungkin, maka
eksperimen yang menghasilkan pasangan hasil E1 , . . . , Er adalah
sebanyak
r
Y
ni = n1 n2 n3 . . . nr
(8)
i=1
Apabila ni = N, untuk semua i maka
r
Y
ni = NNN . . . N = N r
i=1
(9)
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Permutasi dan Kombinasi
Banyaknya permutasi dari n obyek yang berbeda = n!
Banyaknya permutasi r obyek diambil dari n obyek adalah
Prn =
n!
(n − r )!
(10)
Banyaknya kombinasi r obyek diambil dari n obyek adalah
!
n
n!
=
(11)
r !(n − r )!
r
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Permutasi dan Kombinasi
Teorema Binomial
Dari matematik dasar telah diketahui bahwa
(x + y )2 = x 2 + 2xy + y 2
!
!
2
2
=
x2 +
xy +
0
1
!
2
X
2
=
x 2−k y k
k
k=0
2
2
!
y2
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Permutasi dan Kombinasi
Dengan cara yang sama
(x + y )3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3
!
!
3
3
=
x3 +
x 2y +
0
1
!
3
X
3
=
x 3−k y k
k
k=0
3
2
!
xy 2 +
3
!
3
y3
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Permutasi dan Kombinasi
Secara umum, dengan menggunakan argumen induksi, dapat
ditunjukkan bahwa
!
n
X
n
(x + y )n =
x n−k y k
(12)
k
k=0
!
n
Hasil tersebut disebut Teorema Binomial. Koefisien
disebut
k
koefisien Binomial. Berikut ini bukti combinatorial dari Teorema
Binomial. Jika (x + y )n ditulis sebagai n kali faktor (x + y ), yaitu
(x + y )n = (x + y )(x + y )(x + y ) . . . (x + y ),
!
n
maka koefisien x n−k y k adalah
, yaitu banyaknya cara
k
memilih k faktor yang menghasilkan y .
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Permutasi dan Kombinasi
Sekarang, akan diselidiki sifat-sifat dari koefisien Binomial.
Teorema 2.1
Andaikan n ∈ N (himpunan bilangan Asli) dan r = 0, 1, 2, . . . , n.
Maka,
n
n
=
(13)
r
n−r
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Permutasi dan Kombinasi
Teorema 2.2
Untuk suatu bilangan bulat positif n dan r = 1, 2, . . . , n, maka
n
n−1
n−1
=
+
(14)
r
r
r −1
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Minggu 3:PROBABILITAS
Misal dilakukan eksperimen yang hasilnya tidak dapat diprediksi
sebelumnya. Namun demikian, hasil dari eksperimen dapat
diketahui dari kejadian yang mungkin, himpunan semua kejadian
yang mungkin disebut ruang sampel, biasa diberi notasi S.
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Beberapa
contoh eksperimen dan hasilnya adalah sebagai berikut:
1 Eksperimen melempar mata uang satu kali, maka ruang
sampel adalah
S = {H, T }
2
dengan H berarti mendapatkan hasil lemparan sisi Head dan T
adalah hasil lemparan sisi Tail.
Melempar sebuah dadu satu kali, maka ruang sampel adalah
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
3
Melempar dua mata uang dua kali, maka ruang sampel adalah
S = {HH, HT , TH, TT }
Misal himpunan A adalah munculnya sisi Head, maka
A = {HH, HT , TH}
Dari sini,
⊆ S. Dengan
himpunan
A 4,5:PROBABILITAS
merupakan BERSYARAT
Minggu 1:HIMPUNAN
Minggu A
2:COUNTING
TECHNIQUEdemikian,
Minggu 3:PROBABILITAS
Minggu
kejadian.
Probabilitas
Definisi 3.1
Suatu eksperimen memberikan ruang sampel S. A, A1 , A2 , . . .
merupakan kejadian. Fungsi himpunan berharga riil P(A) untuk
setiap kejadian A disebut fungsi (himpunan) probabilitas dan P(A)
disebut probabilitas dari A bila sifat-sifat di bawah ini dipenuhi
1
P(A) ≥ 0 untuk setiap kejadian A
2
P(S) = 1
P∞
S
P( ∞
A
)
=
i=1 i
i=1 P(Ai ) untuk Ai kejadian saling asing.
3
Minggu 6,7:V
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Probabilitas
Teorema 3.2
Misal {A1 , A2 , . . . , An } adalah kumpulan berhingga dari n kejadian
sedemikian hingga Ai ∩ Ej = ∅ untuk i 6= j. Maka
!
n
n
[
X
P
Ai =
P(Ai )
(15)
i=1
i=1
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Probabilitas
Definisi probabilitas
n(A)
N
memenuhi ketiga syarat probabilitas yaitu
P(A) =
n(A)
N
n(S)
N
1
P(A) =
>0
2
P(S) =
3
Untuk probabilitas union dua himpunan adalah sbb
=
N
N
=1
n(A ∪ B)
N
n(A) + n(B)
=
N
n(A) n(B)
=
+
N
N
= P(A) + P(B)
P(A ∪ B) =
(16)
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Probabilitas
Sifat-sifat probabilitas
1
P(A) = 1 − P(Ac )
2
P(A) ≤ 1
3
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
4
P(A ∪ B ∪ C ) = P(A) + P(B) + P(C ) −
P(A ∩ B) − P(A ∩ C ) − P(B ∩ C ) +
P(A ∩ B ∩ C )
Hint : A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C
5
Bila A ⊂ C =⇒ P(A) ≤ P(B)
6
P(A ∩ B c ) = P(A) − P(A ∩ B)
7
P(A ∪ B) = 1 − P(Ac ∩ B c )
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Probabilitas
Teorema 3.3
Jika A adalah suatu kejadian pada suatu ruang sampel diskrit S,
maka probabilitas dari A adalah jumlah probabilitas kejadian
elementernya.
Teorema 3.4
Jika A1 dan A2 adalah dua kejadian sedemikian hingga A1 ⊆ A2 ,
maka
P(A2 \ A1 ) = P(A2 ) − P(A1 )
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Probabilitas
Contoh 3.5
Sebuah mata uang dilempar sebanyak tiga kali. Berapa
probablilitas
1
lemparan pertama sama dengan lemparan ketiga
2
lemparan pertama dan kedua berbeda
3
tidak ada sisi H
4
banyaknya sisi H lebih besar dari banyaknya sisi T
5
banyaknya sisi H sama dengan banyaknya sisi T
Contoh 3.6
Sebuah dadu dilempar sebanyak dua kali. Berapa probabilitas
1
lemparan pertama genap
2
lemparan pertama dan kedua ganjil
3
jumlah kedua lemparan 7
4
jumlah kedua lemparan genap
5
selisih kedua lemparan 3
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT
Pandang eksperimen yang mempunyai ruang sampel S. Misal
B ∈ S. Dalam berbagai situasi, kita hanya memandang kejadian B
tanpa memperhatikan S. Dalam hal ini, B dipandang sebagai
ruang sampel. Misalkan S adalah ruang sampel berhingga yang
tidak kosong dan B merupakan himpunan tidak kosong dari S.
Dengan ruang sampel baru B, bagaimana mendefinisikan
probabilitas terjadinya kejadian A. Secara intuisi, seseorang akan
mendefinisikan probabilitas A terhadap ruang sampel baru B
sebagai berikut:
banyaknya elemen dalam A ∩ B
P(A dengan syarat B) =
banyaknya elemen dalam B
dengan catatan: banyaknya elemen dalamB > 0.
Dengan demikian, probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat
B dapat didefinisikan sebagai
P(A ∩ B
P(A dengan syarat B) =
(17)
P(B)
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Definisi 4.1
Misal S merupakan ruang sampel dari suatu eksperimen random.
Probabilitas terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah
terjadi, didefinisikan sebagai
P(|B) =
P(A ∩ B)
P(B)
(18)
dengan syarat P(B) > 0
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
P(.|B) merupakan probabilitas, yaitu memenuhi ketiga syarat
sebagai probabilitas, yaitu
P(A∩B)
1 P(A|B) =
P(B) > 0
2
P(S|B) =
P(S∩B)
P(B)
=
P(B)
P(B)
=1
A1 , A2 , . . . saling asing maka P(∪∞
i=1 Ai |B) =
Dibuktikan pernyataan no 3
3
P(∪∞
i=1 Bi |A)
=
=
=
=
P∞
i=1 P(Ai |B)
P((∪∞
i=1 Bi ) ∩ A)
P(A)
P(∪∞
i=1 (Bi ∩ A))
P(A)
P∞
i=1 P(Bi ∩ A)
P(A)
∞
X
P(Bi |A),
i=1
karena Bi ∩ Ai juga saling asing.
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Contoh 4.2
Misalkan kartu bernomor 1 sampai 10 dikocok, diambil secara
random. Jika dikatakan bahwa kartu terpilih bernomor paling
sedikit 5. Berapa probabilitas bersyarat bahwa yang terambil
adalah 10.
Penyelesaian :
Notasikan: E adalah pengambilan kartu 10 dan F adalah
pengambilan paling sedikit 5. Probabilitas yang diinginkan adalah
P(E /F ).
P(E |F ) =
P(E ∩ F )
P(F )
P(E |F ) =
1
10
6
10
=
1
6
E ∩ F = E karena banyaknya kartu bernomor 10 dan paling sedikit
nomor 5 hanya ada 1 yaitu kartu bernomor 10.
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Teorema 4.3
Hukum Probabilitas Total
Apabila B1 , . . . , Bn merupakan partisi dari ruang sampel S maka
untuk sebarang kejadian A berlaku
P(A) =
k
X
P(Bi )P(A|Bi )
i=1
Bukti:
Karena kejadian B1 , . . . , Bn partisi dari S maka Ai saling asing
maka kejadian dan ∪ki=1 Ai = S, sehingga
A ∩ B1 , A ∩ B2 , . . . , A ∩ Bk juga saling asing.
Dengan demikian
P(A) = P(A ∩ S)
= P(A ∩ (∪ki=1 Bi ))
= P(∪ki=1 (A ∩ Bi ))
=
k
X
P(A ∩ Bi )
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Teorema 4.4
Aturan Bayes
Apabila B1 , . . . , Bn koleksi kejadian yang saling asing, maka untuk
setiap j = 1, 2, . . . , k berlaku
P(Bj )P(A|Bj )
P(Bj |A) = Pk
i=1 P(Bi )P(A|Bi )
Bukti:
P(Bj |A) =
=
=
P(A ∩ Bj )
P(A)
P(Bj )P(A|Bj )
P(A)
P(Bj )P(A|Bj )
Pk
i=1 P(Bj )P(A|Bj )
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Contoh 4.5
Ada 3 buah kotak, kotak pertama berisi 2 bola merah, 3 bola putih.
Kotak kedua berisi 3 bola merah, 4 bola putih.
Kotak ketiga berisi 3 bola merah, 3 bola putih.
Dari kotak pertama diambil satu bola dimasukkan ke kotak kedua,
sebut pengambilan I, selanjutnya dari kotak kedua diambil sebuah
bola dimasukkan ke kotak ketiga, sebut pengambilan II, dan
selanjutnya dari kotak ke ketiga diambil sebuah bola sebut
pengambilan III. Hitung probabilitas pengambilan ketiga
menghasilkan bola berwarna merah.
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Penyelesaian:
P(IIIm ) = P(Im ∩ IIm ∩ IIIm )
+P(Im ∩ IIp ∩ IIIm ) + P(Ip ∩ IIm ∩ IIIm )
+P(Ip ∩ IIp ∩ IIIm )
= P(Im ).P(IIm |Im ).P(IIIm |Im ∩ IIm )
+P(Im ).P(IIp |Im ).P(IIIm |Im ∩ IIp )
+P(Ip ).P(IIm |Ip ).P(IIIm |Ip ∩ IIm )
+P(Ip ).P(IIp |Ip ).P(IIIm |Ip ∩ IIp )
244 243 334 353
=
+
+
+
587 587 587 587
32 + 24 + 36 + 45
137
=
=
280
280
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Independensi
Bila P(A|B) = P(A) atau P(B|A) = P(B) maka A&B disebut
independen.
Dengan demikian, 2 kejadian A&B disebut independen bila
a. P(A|B) = P(A) atau
b. (B|A) = P(B) atau
c. P(A ∩ B) = P(A)P(B)
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Independensi
Contoh 4.6
Dua buah dadu dilempar. A1 adalah kejadian jumlah kedua
lemparan 6 dan B adalah kejadian dadu pertama muncul angka 4.
Apakah A1 dan B independen?
Penyelesaian:
P(A1 ∩ B) = P(4, 2) =
Sementara itu,
P(A1 )P(B) =
1
36
5 1
5
=
36 36
216
* Bila A&B independen buktikan Ac &B, A&B c , Ac &B c
independen.
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Independensi
Definisi 4.7
n kejadian E1 , E2 , . . . En disebut independen atau mutually
independen bila ∀ j = 2, 3, . . . n dan setiap himpunan bagian indeks
yang berbeda i1 , . . . , ij , berlaku
P(Ei1 ∩ Ei1 ∩ . . . Eij ) = P(Ei1 ) . . . P(Eij )
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Independensi
Contoh 4.8
Dalam menjawab pertanyaan pilihan ganda, seorang murid
mungkin mengetahui dengan pasti jawaban yang benar atau dia
menebak. p adalah probabilitas dia mengetahui jawaban yang
benar dan 1 − p adalah probabilitas dia menebak.
Dianggap mahasiswa yang menebak mempunyai probabilitas
menjawab benar 1/m, bila tersedia m alternatif jawaban.
Berapa probabilitas bersyarat mahasiswa yang tahu jawaban yang
benar akan menjawab dengan benar?
Penyelesaian:
Misal C dan K adalah kejadian bahwa mahasiswa menjawab
dengan benar dengan syarat dia memang mengetahui jawaban
yang benar.
P(K ∩ C )
P(C )
P(C |K )P(K )
=
P(C |K )P(K ) + P(C |K c )P(K c )
p
=
p + (1/m)(1 − p)
mp
= TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT
Minggu 2:COUNTING
1 + (m − 1)p
P(K |C ) =
Minggu 1:HIMPUNAN
Jadi, untuk
m = 5, p = 1/2,
probabilitasDAN
seorangDISTRIBUSINYA
mahasiswa yang
Minggu
6,7:VARIABEL
RANDOM
tahu jawaban yang benar akan menjawab benar adalah 5/6.
Hasil suatu eksperimen dapat berupa angka seperti melempar
sebuah dadu satu kali, mengamati bola lampu mulai nyala sampai
mati, namun sering kali hasil eksperimen tidak berupa angka
namun berupa pasangan angka atau bahkan pasangan huruf. Misal
sebuah dadu dilempar tiga kali akan menghasilkan outcome tripel
bilangan seperti (2, 3, 6), (1, 1, 1). Sebuah mata uang dilempar
tiga kali akan menghasilkan outcome tripel huruf H dan T seperti
(H, H, T ) atau (H, T , T ). Outcome nonnumeris ini perlu dijadikan
outcome numeris supaya dapat dilakukan perhitungan perhitungan
yang bermanfaat. Perkawanan outcome nonnumeris menjadi
outcome numeris disebut variabel random yang disajikan dalam
definisi berikut¿
Minggu 6,7:V
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Definisi 5.1
Variabel random X adalah fungsi dengan domain S dan range
subset bilangan riil 3 X (e) = x, dengan e ∈ S & x ∈ R
Definisi 5.2
Himpunan {x ∈ R|x = X (s), s ∈ S} adalah ruang dari variabel
random X diberi simbol RX .
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Contoh 5.3
Diberikan beberpa contoh variabel random hasil eksperimen
dibawah ini.
1
Sebuah dadu bersisi 4 dilempar 2 kali.
X : lemparan pertama
Y : lemparan kedua
Z : jumlah lemparan 1 dan lemparan 2
T : selisih lemparan 1 dan lemparan 2
RX = {1, 2, 3, 4}
RY = {1, 2, 3, 4}
RZ = {2, 3, . . . , 8}
RT = {0, 1, 2, 3}
2
Sebuah mata uang dilempar 3 kali.
X : banyaknya sisi H.
P(X = 2) = P((HHT ), (THH), (HTH))
3
=
8
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Contoh 5.4
Pandang percobaan pelemparan sebuah koin. Konstruksikan
variabel random X dari percobaan ini, lalu tentukan ruang dari
variabel random tersebut!
Penyelesaian:
Ruang sampel dari percobaan ini adalah
S = {Head, Tail}
Selanjutnya, didefinisikan suatu fungsi dari S ke dalam himpunan
bilangan riil, yakni:
X (Head) = 0
X (Tail) = 1
Sehingga, ruang dari variabel random adalah
RX = {0, 1}
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Definisi 5.5
Jika ruang dari variabel random X adalah countable, maka X
disebut variabel random diskrit.
Definisi 5.6
Jika ruang dari variabel random X adalah uncountable, maka X
disebut variabel random kontinu.
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit
Definisi 5.7
Misal RX adalah ruang dari variabel random X . Fungsi
f : RX → R yang didefinsikan sebagai:
f (x) = P(X = x)
disebut probability density function (pdf) dari X .
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit
Contoh 5.8
Sebuah kotak memuat 5 bola, yang terdiri dari 2 bola putih dan 3
bola merah. tiga buah bola diambil dari kotak tanpa
pengembalian. Jika variabel random X menyatakan banyaknya
bola merah yang terambil, maka tentukan pdf dari X !
Penyelesaian:
Karena X menyatakan banyaknya bola merah yang terambil, maka
X = 0, 1, 2, 3
3
2
0
3
= 0, tidak mungkin mendapatkan
P(X = 0) =
5
3
3
2
1
2
3
P(X = 1) =
=
10
5
3
3
2
3
bola
pu
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit
Teorema 5.9
Jika X adalah variabel random diskrit dengan ruang RX dan pdf
f (x), maka
a. f (x) ≥ 0 untuk semua x di RX
P
b.
x∈RX f (x) = 1
Contoh 5.10
Jika probabilitas dari variabel random X dengan
RX = {1, 2, 3, . . . , 12} diberikan oleh
f (x) = k(2x − 1),
maka, tentukan nilai dari konstanta k!
Penyelesaian:
X
1 =
f (x)
x∈RX
=
X
k(2x − 1) =
k(2x − 1)
x=1
x∈RX
"
12
X
12
X
#
(12)(13)
x − 12 = k 2
− 12
2
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
= k 2
Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit
x=1
= k.144
Definisi 5.11
Sehingga,
Fungsi distribusi kumulatif F (x) dari
1 variabel random X
k=
didefinisikan sebagai:
144
F (x) = P(X ≤ x)
untuk semua bilangan riil X .
Definisi 5.12
Jika X adalah variabel random diskrit dengan ruang RX , maka
X
F (x) =
f (t)
t≤x
untuk x ∈ RX .
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit
Contoh 5.13
Jika pdf dari variabel random X diberikan oleh
1
(2x − 1),
144
untuk x = 1, 2, 3, . . . , 12
Tentukan fungsi distribusi kumulatif dari X
Penyelesaian: Ruang dari variabel random X adalah
RX = {1, 2, 3, . . . , 12}
Maka,
F (1) =
X
f (t) = f (1) =
t≤1
F (2) =
X
1
144
f (t) = f (1) + f (2) =
t≤2
F (3) =
X
1
3
4
+
=
144 144
144
f (t) = f (1) + f (2) + f (3) =
t≤3
1
3
5
9
+
+
=
144 144 144
144
..
.
F (12) =
X
f (t) = f (1) + f (2) + . . . + f (12) = 1
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Fungsi Densitas dari Variabelt≤12
Random Diskrit
Teorema
5.14
F (X ) menyatakan
akumulasi dari f (t) dari t paling kecil sampai
Misal
t = x.X adalah suatu variabel random dengan fungsi distribusi
kumulatif F (X ). Maka fungsi distribusi kumulatif memenuhi:
a. F (−∞) = 0,
b. F (∞) = 1, dan
c. F (x) adalah fungsi naik, yaitu, jika x < y , maka F (x) ≤ F (y )
untuk semua bilangan riil x, y .
Teorema 5.15
Jika ruang RX dari variabel random X diberikan oleh
RX = {x1 < x2 < x3 < . . . < xn }, maka
f (x1 ) = F (x1 )
f (x2 ) = F (x2 ) − F (x1 )
f (x3 ) = F (x3 ) − F (x2 )
..
.
f (xn ) = F (xn ) − F (xn−1 )
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Fungsi Densitas dari Variabel Random Diskrit
Contoh 5.16
Tentukan pdf dari variabel random X
kumulatifnya diberikan oleh


0, 00 jika





0, 25 jika
F (x) = 0, 50 jika



0, 75 jika




1, 00 jika
yang fungsi distribusi
x < −1,
−1 ≤ x < 1,
1 ≤ x < 3,
3 ≤ x < 5,
x ≥ 5.
Tentukan probabilitas dari P(X ≤ 3), P(X = 3), dan P(X < 3)!
Penyelesaian:
Ruang dari variabel random adalah
RX = {−1, 1, 3, 5}
pdf dari X adalah
f (−1) = 0, 25
f (1) = 0, 50 − 0, 25 = 0, 25
f (3) = 0, 75 − 0, 50 = 0, 25
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
f (4) = 1, 00 − 0, 75 = 0, 25
Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu
Sehingga,
Definisi 5.17
P(X ≤ 3) = F (3) = f (−1) + f (1) + f (3)
Misal X adalah variabel=random
0, 75 kontinu yang harganya merupakan
anggota himpunan bilangan riil R. Suatu fungsi berharga riil
P(X = 3) = F (3) − F (2) = 0, 75 − 0, 5
non-negatif, f : R ⇒ R, dikatakan pdf dari variabel random
= 0, 25
kontinu X jika memenuhi:
1 f (x) ≥P(X
0 < 3) = P(X ≤ 2) = f (−1) + f (1)
R∞
= 0, 50
2
−∞ f (x)dx = 1
Selanjunya jika A adalah suatu kejadian, maka
Z
P(A) =
f (x)dx.
A
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu
Contoh 5.18
Apakah fungsi f : R ⇒ R yang didefinisikan oleh
(
2x −2 jika 1 < x < 2,
f (x) =
0
yang lainnya,
merupakan pdf dari variabel random X ?
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu
Definisi 5.19
Misal f (x) adalah pdf dari variabel random kontinu X . Fungsi
distribusi kumulatif F (x) dari X didefinisikan sebagai berikut
Z x
F (x) = P(X ≤ x) =
f (t)dt
(19)
−∞
Teorema 5.20
Jika F (x) adalah fungsi distribusi kumulatif dari variabel random
kontinu X , maka pdf f (x) dari X adalah turunan dari F (x), yaitu
d
F (x) = f (x)
dx
Contoh 5.21
Tentukan pdf dari variabel random yang mempunyai fungsi
distribusi kumulatif:
F (x) =
1
,
1 + e −x
−∞<x <∞
(20)
Minggu 1:HIMPUNAN Minggu 2:COUNTING TECHNIQUE Minggu 3:PROBABILITAS Minggu 4,5:PROBABILITAS BERSYARAT Minggu 6,7:V
Fungsi Densitas dari Variabel Random Kontinu
Teorema 5.22
Misalkan X adalah variabel random kontinu yang mempunyai
fungsi distribusi kumulatif (cdf) F (x), maka akan memenuhi:
a. P(X ≤ x) = F (x),
b. P(X > x) = 1 − F (x),
c. P(X = x) = 0, dan
d. P(a < X ≤ b) = F (b) − F (a).
e. P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a <
X < b)