Linear Algebra and Matrices (Introduction) - E

KALKULUS
(Sistem Bilangan Real)
Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Sistem bilangan
N:
1,2,3,….
Z:
…,-2,-1,0,1,2,..
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
Q:
a
q  , a, b  Z , b  0
b
R  Q  Irasional
Contoh Bil Irasional
R : bilangan real
2 , 3, 
Sifat–sifat bilangan real
 Sifat-sifat urutan :
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu
dari x < y atau x > y atau x = y
Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan
bila z bilangan negatif, maka xz > yz
Garis bilangan
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut
dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1

Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
Selang
Jenis-jenis selang
Grafik
Himpunan
{x x < a}
selang
(- , a )
{x x  a}
{x a < x < b}
{x a  x  b}
{x x > b}
{x x  b}
{x x  }
(- , a ]
a
(a , b)
a
[a , b]
(b, )
[b, )
(, )
a
b
a
b
b
b
Pertidaksamaan
 Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar
dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan.
 Bentuk umum pertidaksamaan :
A(x ) D(x )
<
B( x ) E ( x )
 dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom)
dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
Pertidaksamaan

Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari
semua himpunan bilangan real yang membuat
pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini
disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)

Cara menentukan HP :
1.
Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
P( x)
< 0 , dengan cara :
Q( x)
Pertidaksamaan
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
 Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk
pembilangnya

2.
3.
Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis
bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
13  2x - 3  5
13  3  2x  5  3
16  2x  8
8 x4
4 x 8
HP = [4,8]
4
8
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
2
- 2 < 6 - 4x  8
- 8 < -4x  2
8 > 4x  -2
- 2  4x < 8
1
- x<2
2
 1 
HP   - ,2 
 2 
- 12
2
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
3 2 x - 5x - 3 < 0
2
(2 x  1)(x - 3) < 0
1
Titik Pemecah (TP) : x  2
++
--
-
1
 1 
 - ,3 
HP =  2 
++
3
2
dan
x3
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
4 2x - 4  6 - 7 x  3x  6
dan 6 - 7 x  3x  6
2x - 4  6 - 7 x
2x  7 x  6  4
9 x  10
10
x
9
10
x
9
dan
- 7 x - 3x  -6  6
dan
- 10x  0
dan
10x  0
dan
x0
10 

HP =  - ,   [0,  )
9

0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
 10 
HP = 0, 
 9
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
1
2
<
5.
x  1 3x - 1
1
2
<0
x  1 3x - 1
(3x - 1) - (2 x  2) < 0
(x  1)(3x - 1)
x -3
<0
(x  1)(3x - 1)
TP : -1,
1
3
,3
--
++
-1
HP =
-1
++
3
3
1 
(- ,-1)   ,3
3 
Contoh :
Tentukan Himpunan Penyelesaian
6.
x 1
x

2- x 3 x
x 1
x
0
2- x 3 x
(x  1)(3  x ) - x(2 - x )  0
(2 - x )(3  x )
2x2  2x  3
0
(2 - x )(x  3)
Untuk pembilang 2 x 2  2 x  3 mempunyai nilai
Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu
positif, Jadi TP : 2,-3
Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah.
--
++
-3
HP =
(,-3)  (2, )
-2
Pertidaksamaan nilai mutlak
 Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat
pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif.
 Definisi nilai mutlak :
 x ,x  0
x 
- x , x < 0
Pertidaksamaan nilai mutlak
 Sifat-sifat nilai mutlak:
1
2
x  x2
4
x y
5
x
x

y
y
x  a, a  0  - a  x  a
3 x  a, a  0  x  a atau x  -a
 x2  y2
6. Ketaksamaan segitiga
x y  x  y
x- y  x - y
Soal Latihan
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x  2  1- x
4 - 2x
x - 2 x 1

2
2
x
x3
3 2 - x  3 - 2x  3
4 x 1 2  2 x  2  2
5 2x  3  4x  5
6 x  3x  2
Terima Kasih