Soal Latihan dan Pembahasan Persamaan Lingkaran

Soal Latihan dan Pembahasan
Persamaan Lingkaran
Di susun Oleh :
Yuyun Somantri1
http://bimbinganbelajar.net/
Di dukung oleh :
Portal edukasi Gratis Indonesia
Open Knowledge and Education
http://oke.or.id
Tutorial ini diperbolehkan untuk di copy, di sebarluaskan, di print dan diperbaiki dengan tetap
menyertakan nama penulis、 tanpa ada tujuan komersial
1
Lahir di Bandung tahun 1956, Lulus dari SMK Kimia melanjutkan studinya ke UPI (IKIP Bandung), lalu
meneruskan studinya lagi bidang matematika dan dari tahun 1984 sampai saat ini mengajar matematika di
SMA Negeri 3 Tasikmalaya
1
Persamaan Lingkaran
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (3,4) dan berjari-jari 6 !
Jawab :
( x − 3) 2 + ( y − 4) 2 = 6 2 ⇔ x 2 + y 2 − 6 x − 8 y − 11 = 0
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat (2,3) dan melalui titik (5,-1) !
Jawab :
2
2
2
Persamaan lingkaran yang berpusat (2,3 ) adalah ( x − 2) + ( y − 3) = r
2
2
2
2
Melalui titik (5,-1) maka : (5 − 2) + (− 1 − 3) = r ⇔ r = 25
2
2
Jadi persamaan lingkarannya : ( x − 2) + ( y − 3) = 25 atau
x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0
3. Diketahui titik A(5,-1) dan B(2,4). Tentukan persamaan lingkaran yang diameternya
melalui titik A dan B !
Jawab :
 5 + 2 − 1+ 4   7 3 
,
 =  , 
2   2 2
 2
Pusat lingkarannya : 
Panjang diameternya :
(2 − 5) 2 + (4 + 1) 2 =
Jari-jari lingkarannya = r = ½ d =
1
2
34
34
2
2
Persamaan lingkarannya : ( x − ) + ( y − 32 ) = ( 12 34 ) atau
7 2
2
2
x + y2 − 7x − 3y + 6 = 0
4. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,-3) dan menyinggung garis
3x - 4y + 7 = 0 !
Jawab :
r
(2,-3)
r=
ax1 + by1 + c
a 2 + b2
=
3.2 + ( − 4)(− 3) + 7
32 + (− 4) 2
= 5
Jadi ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 25 ⇔ x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0
2
5.
Tentukan pusat lingkaran x 2 + y 2 + 4 x − 6 y + 13 = 0 !
Jawab :
6.
Pusat ( −
1
2
A,− 12 B ) = (− 12 .4,− 12 .(− 6)) = (− 2,3)
Tentukan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + c = 0 yang melalui titik A(5,-1) !
Jawab :
2
2
Melalui titik A(5,-1) maka 5 + (− 1) − 4.5 + 2(− 1) + c = 0 ⇔ c = − 4
r=
7.
1
4
A2 +
1
4
B2 − c =
1
4
.(− 4) 2 + 14 .2 2 − (− 4) = 3
Tentukan jari-jari dan pusat lingkaran 4 x 2 + 4 y 2 + 4 x − 12 y + 1 = 0 !
Jawab :
4 x 2 + 4 y 2 + 4 x − 12 y + 1 = 0
x2 + y 2 + x − 3 y +
Pusat = ( − 12 , 32 )
Jari − jari = r =
8.
:4
= 0
1
4
1
4
+
9
4
−
1
4
=
3
2
Tentukan m supaya lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y + m = 0 mempunyai jari-jari 5 !
Jawab :
5=
9.
1
4
.16 + 14 .36 − m ⇔ m = − 12
Agar garis y = x + c menyinggung lingkaran x 2 + y 2 = 25 maka tentukan c !
Jawab :
2
2
Cara I : Substitusi y = x + c ke x + y = 25 maka
x 2 + ( x + c) 2 = 25 ⇔ 2 x 2 + 2cx + c 2 − 25 = 0
D = b 2 − 4ac = 0 ⇒ 4c 2 − 8c 2 + 200 = 0 ⇔ c = ± 5 2
2
2
Cara II : x + y = 25 ⇒ r = 5
y = x+ c⇒ m = 1
c 2 = r 2 (1 + m 2 ) = 25(1 + 12 ) = 50 ⇔ c = ± 5 2
3
10. Tentukan a agar garis y = x + a menyinggung lingkaran x 2 + y 2 − 6 x − 2 y + 2 = 0
!
Jawab :
x 2 + ( x + a) 2 − 6 x − 2( x + a ) + 2 = 0
2 x 2 + (2a − 8) x + a 2 − 2a + 2 = 0
D = 0 ⇒ (2a − 8) 2 − 4.2.(a 2 − 2a + 2) = 0
a = − 6 atau a = 2
11. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 25
yang melalui titik (7,1) !
Jawab :
Persamaan garis yang melalui titik (7,1) adalah :
y − 1 = m( x − 7) ⇔ y = mx + 1 − 7 m
c 2 = r 2 (1 + m 2 ) ⇒ (1 − 7 m) 2 = 25(1 + m 2 ) ⇔ m1 = −
m1 = −
3
4
m2 =
⇒ y=
4
3
3
4
atau m2 =
4
3
⇒ y = − 34 x + 1 − 7(− 34 ) ⇔ 3x + 4 y = 25
4
3
x + 1 − 7. 43 ⇔ 4 x − 3 y = 25
12. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0
Jawab :
2
2
2
2
Cara I : x + y − 4 x + 6 y − 12 = 0 ⇒ ( x − 2) + ( y + 3) = 25
Persamaan garis singgungnya :
( x1 − 2)( x − 2) + ( y1 + 3)( y + 3) = 25
(5 − 2)( x − 2) + (1 + 3)( y + 3) = 25
3 x + 4 y − 19 = 0
Cara II : Garis yang melalui (5,1) adalah :
y − 1 = m( x − 5)
y + 3 − 4 = m( x − 2 − 2) ⇔ y + 3 = m( x − 2) + 4 − 3m
c 2 = r 2 (1 + m 2 )
(4m + 3) 2 = 25(1 + m 2 ) ⇔ M = −
3
4
jadi y − 1 = − 34 ( x − 5) ⇔ 3 x + 4 y − 19 = 0
di (5,1 ) !
4
13. Garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x 2 + y 2 = 169
menyinggung lingkaran
( x − 5) + ( y − 12) = p . Tentukan p !
2
2
Jawab :
2
2
Persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = 169 adalah x1 x + y1 y = 169
Melalui (12,-5) sehingga :
12x – 5y = 169
12( x − 5) + 60 − 5( y − 12) − 60 = 169
12( x − 5) − 5( y − 12) = 169 ........(1)
2
2
Garis singgung pada lingkaran ( x − 5) + ( y − 12) = p adalah :
( x1 − 5)( x − 5) + ( y1 − 12)( y − 12) = p ...........(2)
Dari (1) dan (2) disimpulkan p = 169
14. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (3,2) dan menyinggung sumbu Y !
Jawab :
Karena pusatnya (3,2) dan menyinggung sumbu Y maka r = 3.
Persamaan lingkarannya :
( x − 3) 2 + ( y − 2) 2 = 9 ⇔ x 2 + y 2 − 6 x − 4 y + 4 = 0
15. Diketahui lingkaran l berpusat di (-2,3) dan melalui titik (1,5). Jika lingkaran L diputar
90 searah jarum jam terhadap titik O(0,0), kemudian digeser ke bawah sejauh 5 satuan,
maka tentukan persamaan lingkaran yang dihasilkan !
Jawab :
Persamaan lingkaran dengan (-2,3) dan melalui titik (1,5) adalah:
( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = r 2
(1 + 2) 2 + (5 − 3) 2 = r 2 ⇔ r 2 = 13
Jadi ( x + 2) 2 + ( y − 3) 2 = 13 ⇔ x 2 + y 2 + 4 x − 6 y = 0 .......(1)
 x' 
  =
 y' 
 x" 
  =
 y" 
 cos(− 90 ) − sin( − 90 )   x   0 1   x   y 


 sin( − 90 ) cos(− 90 )   y  =  − 1 0   y  =  − x 
  


  
x = − y"− 5
 y   0   y 

 + 
 = 
 ⇒
.......(2)
y = x"
 − x   − 5  − x − 5
Substitusi (2) ke (1) :
(−
y"− 5) + ( x" ) 2 + 4(− y"− 5) − 6( x" ) = 0
2
x2 + y 2 − 6 x + 6 y + 5 = 0
5
16. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 5 y − 21 = 0 , maka tentukan k
!
Jawab :
25 + k 2 − 10 − 5k − 21 = 0 ⇔ k = − 1 atau k = 6
17. Tentukan jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik A(5,0), B(0,5) dan C(-1,0) !
Jawab :
2
2
Misal persamaan lingkarannya : x + y + Ax + By + C = 0
Melalui A(5,0) maka 5A + C = -25 ……..(1)
Melalui B(0,5) maka 5B + C = -25 ……..(2)
Melalui C(-1,0) maka –A + C = -1 ………..(3)
Dari (1), (2) dan (3) didapat A = -4, B = -4 dan C = -5
2
2
Jadi persamaan lingkarannya x + y − 4 x − 4 y − 5 = 0
Sehingga jari-jarinya = r =
2 2 + 2 2 − (− 5) =
13
18. Diketahui lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 + bx − 6 y + 25 = 0 dan b < 0
menyinggung
sumbu X. Tentukan nilai b !
Jawab :
Pusat lingkaran ( −
1
2
b,3)
Menyinggung sumbu X berarti r = 3
r=3=
(− 12 b) 2 + 32 − 25 ⇒ b = − 10
19. Lingkaran x 2 + y 2 − 2 px + q = 0
yang mempunyai jari-jari 2, akan menyinggung garis
x – y = 0 bila nilai p yang positif = ……
Jawab :
r= 2=
p 2 + 0 − q ⇔ q = p 2 − 4 .......(1)
Menyinggung garis y = x maka :
x 2 + x 2 − 2 px + q = 0 ⇔ 2 x 2 − 2 px + q = 0
D = 0 ⇒ (− 2 p) 2 − 4.2.q = 0 ⇔ p 2 − 2q = 0 ...........(2)
Substitusi (1) ke (2) :
p 2 − 2( p 2 − 4) = 0 ⇒ p = 2 2
6
20. Tentukan persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 17 = 0
dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 !
Jawab :
2
2
Misal persamaan lingkarannya : x + y − 4 x + 6 y + c = 0 .........(1)
3x + 7
ke persamaan (1) sehingga :
4
2
 3x + 7 
 3x + 7 
2
x + 
 − 4 x + 6
 + c = 0 .16
 4 
 4 
25 x 2 + 50 x + 217 + 16c = 0
Substitusi y =
D = 0 ⇒ 502 − 4.25.(217 + 16c ) = 0 ⇔ c = 12
Persamaan lingkarannya :
x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 ⇔ ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 25
21. Garis singgung lingkaran x 2 + y 2 = 25
di titik (-3,4) menyinggung lingkaran dengan pusat
(10,5). Tentukan jari-jarinya !
Jawab :
2
2
Persamaan garis lingkaran x + y = 25 di titik (-3,4) adalah:
− 3 x + 4 y = 25 ⇔ y =
3x + 25
........(1)
4
Persamaan lingkaran dengan pusat (10,5) dan jari-jari r adalah :
( x − 10) 2 +
( y − 5) 2 = r 2 ⇔ x 2 + y 2 − 20 x − 10 y + 125 − r 2 = 0 .......(2)
Substitusi (1) ke (2) :
2
 3x + 25 
 3 x + 25 
2
x + 
 − 20 x − 10
 + 125 − r = 0
4 
4 


2
2
25 x − 290 x + 1625 − 16r = 0
2
.16
D = 0 ⇒ (− 290) 2 − 4.25.(1625 − 16r 2 ) = 0 ⇔ r = 7
22. Jika jari-jari lingkaran L adalah r dan A suatu titik pada L sehingga ∠ BAC = 45 , maka
tentukan luas daerah yang diarsir !
C
O
A
Jawab :
∠ BOC = 2∠ BAC = 90
L = L juring BOC − L∆ ABC =
90
1
1
.π r 2 − r.r = r 2 ( π − 2 )
360
2
4
B