Fungsi Bernilai Vektor

Fungsi Bernilai Vektor
Masalah Ekstrim Bersyarat
Wono Setya Budhi
KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
1 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Example
Misalkan diketahui lingkaran berjari-jari 1, akan dibuat empat persegi
panjang yang terbesar di dalam lingkaran tersebut.
1.0
0.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
-0.5
-1.0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Example
Misalkan diketahui lingkaran berjari-jari 1, akan dibuat empat persegi
panjang yang terbesar di dalam lingkaran tersebut.
Solution
1
Misalkan titik (x, y ) ujung dari persegi panjang, maka agar terbesar
ujung tersebut tentu terletak pada lingkaran. Dalam hal ini
x2 + y2 = 1
2
Kita akan mencari luas terbesar, artinya mencari 4xy terbesar.
Ini masalah ekstrim dua variabel, tetapi dapat diselesaikan dengan
cara satu variabel.
√
4 Dalam hal ini, tuliskan y = ±
1 − x 2 dan kita akan mencari nilai
maksimum dari
p
f
x,
y
=
4x
1 − x2
(
)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3
3 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Example
Misalkan diketahui lingkaran berjari-jari 1, akan dibuat empat persegi
panjang yang terbesar di dalam lingkaran tersebut.
Solution
1
Misalkan titik (x, y ) ujung dari persegi panjang, maka agar terbesar
ujung tersebut tentu terletak pada lingkaran. Dalam hal ini
x2 + y2 = 1
2
Kita akan mencari luas terbesar, artinya mencari 4xy terbesar.
Ini masalah ekstrim dua variabel, tetapi dapat diselesaikan dengan
cara satu variabel.
√
4 Dalam hal ini, tuliskan y = ±
1 − x 2 dan kita akan mencari nilai
maksimum dari
p
f
x,
y
=
4x
1 − x2
(
)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3
3 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Example
Misalkan diketahui lingkaran berjari-jari 1, akan dibuat empat persegi
panjang yang terbesar di dalam lingkaran tersebut.
Solution
1
Misalkan titik (x, y ) ujung dari persegi panjang, maka agar terbesar
ujung tersebut tentu terletak pada lingkaran. Dalam hal ini
x2 + y2 = 1
2
Kita akan mencari luas terbesar, artinya mencari 4xy terbesar.
Ini masalah ekstrim dua variabel, tetapi dapat diselesaikan dengan
cara satu variabel.
√
4 Dalam hal ini, tuliskan y = ±
1 − x 2 dan kita akan mencari nilai
maksimum dari
p
f
x,
y
=
4x
1 − x2
(
)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3
3 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Example
Misalkan diketahui lingkaran berjari-jari 1, akan dibuat empat persegi
panjang yang terbesar di dalam lingkaran tersebut.
Solution
1
Misalkan titik (x, y ) ujung dari persegi panjang, maka agar terbesar
ujung tersebut tentu terletak pada lingkaran. Dalam hal ini
x2 + y2 = 1
2
Kita akan mencari luas terbesar, artinya mencari 4xy terbesar.
Ini masalah ekstrim dua variabel, tetapi dapat diselesaikan dengan
cara satu variabel.
√
4 Dalam hal ini, tuliskan y = ±
1 − x 2 dan kita akan mencari nilai
maksimum dari
p
f
x,
y
=
4x
1 − x2
(
)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3
3 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
1
2
3
Pada masalah ekstrim bersyarat n variabel, dapat diselesaikan
menjadi masalah ekstrim tanpa syarat dengan variabel lebih sedikit.
Tetapi kita perlu menyelesaikan jawab syarat (umumnya dalam
bentuk persamaan). Untuk itu memerlukan Teorema Fungsi Implisit.
hal ini merupakan dasar dari bukti berikut
Theorem
Misalkan f (x, y ) dan g (x, y ) dua fungsi yang mempunyai turunan parsial
kontinu. Jika nilai maks atau min dari f (x, y ) pada lengkungan
g (x, y ) = C di titik P dengan ∇g (x, y ) 6= 0, maka ada bilangan λ
sehingga
∇f (P ) = λ ∇g (P )
dengan perkataan lain lengkungan C menyinggung lengkungan
f (x, y ) = k.
4
Perhatikan bahwa ini syarat perlu.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
1
2
3
Pada masalah ekstrim bersyarat n variabel, dapat diselesaikan
menjadi masalah ekstrim tanpa syarat dengan variabel lebih sedikit.
Tetapi kita perlu menyelesaikan jawab syarat (umumnya dalam
bentuk persamaan). Untuk itu memerlukan Teorema Fungsi Implisit.
hal ini merupakan dasar dari bukti berikut
Theorem
Misalkan f (x, y ) dan g (x, y ) dua fungsi yang mempunyai turunan parsial
kontinu. Jika nilai maks atau min dari f (x, y ) pada lengkungan
g (x, y ) = C di titik P dengan ∇g (x, y ) 6= 0, maka ada bilangan λ
sehingga
∇f (P ) = λ ∇g (P )
dengan perkataan lain lengkungan C menyinggung lengkungan
f (x, y ) = k.
4
Perhatikan bahwa ini syarat perlu.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
1
2
3
Pada masalah ekstrim bersyarat n variabel, dapat diselesaikan
menjadi masalah ekstrim tanpa syarat dengan variabel lebih sedikit.
Tetapi kita perlu menyelesaikan jawab syarat (umumnya dalam
bentuk persamaan). Untuk itu memerlukan Teorema Fungsi Implisit.
hal ini merupakan dasar dari bukti berikut
Theorem
Misalkan f (x, y ) dan g (x, y ) dua fungsi yang mempunyai turunan parsial
kontinu. Jika nilai maks atau min dari f (x, y ) pada lengkungan
g (x, y ) = C di titik P dengan ∇g (x, y ) 6= 0, maka ada bilangan λ
sehingga
∇f (P ) = λ ∇g (P )
dengan perkataan lain lengkungan C menyinggung lengkungan
f (x, y ) = k.
4
Perhatikan bahwa ini syarat perlu.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
1
2
3
Pada masalah ekstrim bersyarat n variabel, dapat diselesaikan
menjadi masalah ekstrim tanpa syarat dengan variabel lebih sedikit.
Tetapi kita perlu menyelesaikan jawab syarat (umumnya dalam
bentuk persamaan). Untuk itu memerlukan Teorema Fungsi Implisit.
hal ini merupakan dasar dari bukti berikut
Theorem
Misalkan f (x, y ) dan g (x, y ) dua fungsi yang mempunyai turunan parsial
kontinu. Jika nilai maks atau min dari f (x, y ) pada lengkungan
g (x, y ) = C di titik P dengan ∇g (x, y ) 6= 0, maka ada bilangan λ
sehingga
∇f (P ) = λ ∇g (P )
dengan perkataan lain lengkungan C menyinggung lengkungan
f (x, y ) = k.
4
Perhatikan bahwa ini syarat perlu.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
1
2
3
Pada masalah ekstrim bersyarat n variabel, dapat diselesaikan
menjadi masalah ekstrim tanpa syarat dengan variabel lebih sedikit.
Tetapi kita perlu menyelesaikan jawab syarat (umumnya dalam
bentuk persamaan). Untuk itu memerlukan Teorema Fungsi Implisit.
hal ini merupakan dasar dari bukti berikut
Theorem
Misalkan f (x, y ) dan g (x, y ) dua fungsi yang mempunyai turunan parsial
kontinu. Jika nilai maks atau min dari f (x, y ) pada lengkungan
g (x, y ) = C di titik P dengan ∇g (x, y ) 6= 0, maka ada bilangan λ
sehingga
∇f (P ) = λ ∇g (P )
dengan perkataan lain lengkungan C menyinggung lengkungan
f (x, y ) = k.
4
Perhatikan bahwa ini syarat perlu.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Theorem
1
Misalkan f (x, y ) dan g (x, y ) dua fungsi yang mempunyai turunan
parsial kontinu. Jika nilai maks atau min dari f (x, y ) pada
lengkungan g (x, y ) = C di titik P dengan ∇g (x, y ) 6= 0, maka ada
bilangan λ sehingga
∇f (P ) = λ ∇g (P )
1
MasalahPersegiPanjangdidalamLingkaran
ContohLainnya
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Theorem
1
Misalkan f (x, y ) dan g (x, y ) dua fungsi yang mempunyai turunan
parsial kontinu. Jika nilai maks atau min dari f (x, y ) pada
lengkungan g (x, y ) = C di titik P dengan ∇g (x, y ) 6= 0, maka ada
bilangan λ sehingga
∇f (P ) = λ ∇g (P )
1
MasalahPersegiPanjangdidalamLingkaran
ContohLainnya
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Example
Misalkan diketahui lingkaran berjari-jari 1, akan dibuat empat persegi
panjang yang terbesar di dalam lingkaran tersebut.
Solution
1
Dengan cara di atas, f (x, y ) = 4xy dan g (x, y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0
2
Selanjutnya, kita akan mencari x, y dan λ sehingga
∇f = λ∇g atau (4y , 4x ) = λ (2x, 2y )
3
Jadi
λ=
4
2y
2x
=
x
y
Ingat bahwa kita masih mempunyai satu persamaan lagi yaitu
x 2 + y 2 = 1.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
6 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Example
Misalkan diketahui lingkaran berjari-jari 1, akan dibuat empat persegi
panjang yang terbesar di dalam lingkaran tersebut.
Solution
1
Dengan cara di atas, f (x, y ) = 4xy dan g (x, y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0
2
Selanjutnya, kita akan mencari x, y dan λ sehingga
∇f = λ∇g atau (4y , 4x ) = λ (2x, 2y )
3
Jadi
λ=
4
2y
2x
=
x
y
Ingat bahwa kita masih mempunyai satu persamaan lagi yaitu
x 2 + y 2 = 1.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
6 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Example
Misalkan diketahui lingkaran berjari-jari 1, akan dibuat empat persegi
panjang yang terbesar di dalam lingkaran tersebut.
Solution
1
Dengan cara di atas, f (x, y ) = 4xy dan g (x, y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0
2
Selanjutnya, kita akan mencari x, y dan λ sehingga
∇f = λ∇g atau (4y , 4x ) = λ (2x, 2y )
3
Jadi
λ=
4
2y
2x
=
x
y
Ingat bahwa kita masih mempunyai satu persamaan lagi yaitu
x 2 + y 2 = 1.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
6 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Example
Misalkan diketahui lingkaran berjari-jari 1, akan dibuat empat persegi
panjang yang terbesar di dalam lingkaran tersebut.
Solution
1
Dengan cara di atas, f (x, y ) = 4xy dan g (x, y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0
2
Selanjutnya, kita akan mencari x, y dan λ sehingga
∇f = λ∇g atau (4y , 4x ) = λ (2x, 2y )
3
Jadi
λ=
4
2y
2x
=
x
y
Ingat bahwa kita masih mempunyai satu persamaan lagi yaitu
x 2 + y 2 = 1.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
6 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Solution
1 Jadi
λ=
2
3
4
5
6
2y
2x
=
x
y
Ingat bahwa kita masih mempunyai satu persamaan lagi yaitu
x 2 + y 2 = 1.
√
√
Jawab persamaan ini adalah x = ± 12 2 dan y = ± 21 2.
√
Nilai maksimum terjadi jika xy > 0. Dalam hal ini x = 21 2 dan
√
y = 21 2
Kita harus memperlihatkan bahwa ini memang nilai maksimum.
√
√
Untuk itu x = 12 2 + s dan y = 21 2 + t dengan g (x, y ) = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Solution
1 Jadi
λ=
2
3
4
5
6
2y
2x
=
x
y
Ingat bahwa kita masih mempunyai satu persamaan lagi yaitu
x 2 + y 2 = 1.
√
√
Jawab persamaan ini adalah x = ± 12 2 dan y = ± 21 2.
√
Nilai maksimum terjadi jika xy > 0. Dalam hal ini x = 21 2 dan
√
y = 21 2
Kita harus memperlihatkan bahwa ini memang nilai maksimum.
√
√
Untuk itu x = 12 2 + s dan y = 21 2 + t dengan g (x, y ) = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Solution
1 Jadi
λ=
2
3
4
5
6
2y
2x
=
x
y
Ingat bahwa kita masih mempunyai satu persamaan lagi yaitu
x 2 + y 2 = 1.
√
√
Jawab persamaan ini adalah x = ± 12 2 dan y = ± 21 2.
√
Nilai maksimum terjadi jika xy > 0. Dalam hal ini x = 21 2 dan
√
y = 21 2
Kita harus memperlihatkan bahwa ini memang nilai maksimum.
√
√
Untuk itu x = 12 2 + s dan y = 21 2 + t dengan g (x, y ) = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Solution
1 Jadi
λ=
2
3
4
5
6
2y
2x
=
x
y
Ingat bahwa kita masih mempunyai satu persamaan lagi yaitu
x 2 + y 2 = 1.
√
√
Jawab persamaan ini adalah x = ± 12 2 dan y = ± 21 2.
√
Nilai maksimum terjadi jika xy > 0. Dalam hal ini x = 21 2 dan
√
y = 21 2
Kita harus memperlihatkan bahwa ini memang nilai maksimum.
√
√
Untuk itu x = 12 2 + s dan y = 21 2 + t dengan g (x, y ) = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Solution
1 Jadi
λ=
2
3
4
5
6
2y
2x
=
x
y
Ingat bahwa kita masih mempunyai satu persamaan lagi yaitu
x 2 + y 2 = 1.
√
√
Jawab persamaan ini adalah x = ± 12 2 dan y = ± 21 2.
√
Nilai maksimum terjadi jika xy > 0. Dalam hal ini x = 21 2 dan
√
y = 21 2
Kita harus memperlihatkan bahwa ini memang nilai maksimum.
√
√
Untuk itu x = 12 2 + s dan y = 21 2 + t dengan g (x, y ) = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Solution
1 Jadi
λ=
2
3
4
5
6
2y
2x
=
x
y
Ingat bahwa kita masih mempunyai satu persamaan lagi yaitu
x 2 + y 2 = 1.
√
√
Jawab persamaan ini adalah x = ± 12 2 dan y = ± 21 2.
√
Nilai maksimum terjadi jika xy > 0. Dalam hal ini x = 21 2 dan
√
y = 21 2
Kita harus memperlihatkan bahwa ini memang nilai maksimum.
√
√
Untuk itu x = 12 2 + s dan y = 21 2 + t dengan g (x, y ) = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Solution
1
Untuk itu x =
1
2
√
2 + s dan y =
1
2
√
2 + t dengan g (x, y ) = 0 atau
√
√
s 2 + t 2 = −s 2 − t 2
2
Selanjutnya, nilai
1√ 1√
1√
1√
1√
f (x, y ) − f
2,
2 =4
2+s
2+t −4
2
2
2
2
2
2
√
√
= 2s 2 + 2t 2 + 4st
= −2 s 2 + t 2 + 4st = −2 (s − t )2 ≤ 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Masalah Ekstrim Bersyarat
Solution
1
Untuk itu x =
1
2
√
2 + s dan y =
1
2
√
2 + t dengan g (x, y ) = 0 atau
√
√
s 2 + t 2 = −s 2 − t 2
2
Selanjutnya, nilai
1√ 1√
1√
1√
1√
f (x, y ) − f
2,
2 =4
2+s
2+t −4
2
2
2
2
2
2
√
√
= 2s 2 + 2t 2 + 4st
= −2 s 2 + t 2 + 4st = −2 (s − t )2 ≤ 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Cara lain Melihat Masalah Ekstrim Bersyarat
1
2
Carilah max / min f (x, y ) dengan g (x, y ) = C
Perhatikan bahwa masalah tersebut dapat ditinjau sebagai masalah
ektrim tanpa syarat yaitu
F (x, y ) = f (x, y ) − λ (g (x, y ) − C )
3
4
Syarat perlu untuk ini adalah
Hasilnya,
∂F
∂x
= 0,
∂F
∂y
= 0 dan
∂F
∂λ
= 0.
∂f
∂g
−λ
=0
∂x
∂x
∂f
∂g
−λ
=0
∂y
∂y
g (x, y ) = C
kembali ke teorema di atas.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Cara lain Melihat Masalah Ekstrim Bersyarat
1
2
Carilah max / min f (x, y ) dengan g (x, y ) = C
Perhatikan bahwa masalah tersebut dapat ditinjau sebagai masalah
ektrim tanpa syarat yaitu
F (x, y ) = f (x, y ) − λ (g (x, y ) − C )
3
4
Syarat perlu untuk ini adalah
Hasilnya,
∂F
∂x
= 0,
∂F
∂y
= 0 dan
∂F
∂λ
= 0.
∂f
∂g
−λ
=0
∂x
∂x
∂f
∂g
−λ
=0
∂y
∂y
g (x, y ) = C
kembali ke teorema di atas.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Cara lain Melihat Masalah Ekstrim Bersyarat
1
2
Carilah max / min f (x, y ) dengan g (x, y ) = C
Perhatikan bahwa masalah tersebut dapat ditinjau sebagai masalah
ektrim tanpa syarat yaitu
F (x, y ) = f (x, y ) − λ (g (x, y ) − C )
3
4
Syarat perlu untuk ini adalah
Hasilnya,
∂F
∂x
= 0,
∂F
∂y
= 0 dan
∂F
∂λ
= 0.
∂f
∂g
−λ
=0
∂x
∂x
∂f
∂g
−λ
=0
∂y
∂y
g (x, y ) = C
kembali ke teorema di atas.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Cara lain Melihat Masalah Ekstrim Bersyarat
1
2
Carilah max / min f (x, y ) dengan g (x, y ) = C
Perhatikan bahwa masalah tersebut dapat ditinjau sebagai masalah
ektrim tanpa syarat yaitu
F (x, y ) = f (x, y ) − λ (g (x, y ) − C )
3
4
Syarat perlu untuk ini adalah
Hasilnya,
∂F
∂x
= 0,
∂F
∂y
= 0 dan
∂F
∂λ
= 0.
∂f
∂g
−λ
=0
∂x
∂x
∂f
∂g
−λ
=0
∂y
∂y
g (x, y ) = C
kembali ke teorema di atas.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Melihat Masalah Ekstrim Dengan Dua Syarat atau Lebih
1
2
Carilah max / min f (x, y , z ) dengan g1 (x, y , z ) = C1 dan
g2 (x, y , z ) = C2
Perhatikan bahwa masalah tersebut dapat ditinjau sebagai masalah
ektrim tanpa syarat yaitu
F (x, y , z ) = f (x, y , z ) − λ1 (g1 (x, y , z ) − C1 ) − λ2 (g2 (x, y , z ) − C2 )
3
Syarat perlu untuk ini adalah
∂F
∂λ1
4
∂F
= 0, ∂λ
2
Hasilnya,
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
∂F
∂x
= 0,
∂F
∂y
= 0, ∂F
∂z = 0 dan
=0
∂g1
∂g2
− λ2
∂x
∂x
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
∂y
∂y
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
∂z
∂z
g1 (x, y , z ) − C1
− λ1
=0
=0
=0
= 0 dan g2 (x, y , z ) − C2 = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Melihat Masalah Ekstrim Dengan Dua Syarat atau Lebih
1
2
Carilah max / min f (x, y , z ) dengan g1 (x, y , z ) = C1 dan
g2 (x, y , z ) = C2
Perhatikan bahwa masalah tersebut dapat ditinjau sebagai masalah
ektrim tanpa syarat yaitu
F (x, y , z ) = f (x, y , z ) − λ1 (g1 (x, y , z ) − C1 ) − λ2 (g2 (x, y , z ) − C2 )
3
Syarat perlu untuk ini adalah
∂F
∂λ1
4
∂F
= 0, ∂λ
2
Hasilnya,
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
∂F
∂x
= 0,
∂F
∂y
= 0, ∂F
∂z = 0 dan
=0
∂g1
∂g2
− λ2
∂x
∂x
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
∂y
∂y
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
∂z
∂z
g1 (x, y , z ) − C1
− λ1
=0
=0
=0
= 0 dan g2 (x, y , z ) − C2 = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Melihat Masalah Ekstrim Dengan Dua Syarat atau Lebih
1
2
Carilah max / min f (x, y , z ) dengan g1 (x, y , z ) = C1 dan
g2 (x, y , z ) = C2
Perhatikan bahwa masalah tersebut dapat ditinjau sebagai masalah
ektrim tanpa syarat yaitu
F (x, y , z ) = f (x, y , z ) − λ1 (g1 (x, y , z ) − C1 ) − λ2 (g2 (x, y , z ) − C2 )
3
Syarat perlu untuk ini adalah
∂F
∂λ1
4
∂F
= 0, ∂λ
2
Hasilnya,
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
∂F
∂x
= 0,
∂F
∂y
= 0, ∂F
∂z = 0 dan
=0
∂g1
∂g2
− λ2
∂x
∂x
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
∂y
∂y
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
∂z
∂z
g1 (x, y , z ) − C1
− λ1
=0
=0
=0
= 0 dan g2 (x, y , z ) − C2 = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Melihat Masalah Ekstrim Dengan Dua Syarat atau Lebih
1
2
Carilah max / min f (x, y , z ) dengan g1 (x, y , z ) = C1 dan
g2 (x, y , z ) = C2
Perhatikan bahwa masalah tersebut dapat ditinjau sebagai masalah
ektrim tanpa syarat yaitu
F (x, y , z ) = f (x, y , z ) − λ1 (g1 (x, y , z ) − C1 ) − λ2 (g2 (x, y , z ) − C2 )
3
Syarat perlu untuk ini adalah
∂F
∂λ1
4
∂F
= 0, ∂λ
2
Hasilnya,
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
∂F
∂x
= 0,
∂F
∂y
= 0, ∂F
∂z = 0 dan
=0
∂g1
∂g2
− λ2
∂x
∂x
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
∂y
∂y
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
∂z
∂z
g1 (x, y , z ) − C1
− λ1
=0
=0
=0
= 0 dan g2 (x, y , z ) − C2 = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Melihat Masalah Ekstrim Dengan Dua Syarat atau Lebih
1
2
3
Carilah max / min f (x, y , z ) dengan g1 (x, y , z ) = C1 dan
g2 (x, y , z ) = C2
Hasilnya,
∂f
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
=0
∂x
∂x
∂x
∂g1
∂g2
∂f
− λ1
− λ2
=0
∂y
∂y
∂y
∂f
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
=0
∂z
∂z
∂z
g1 (x, y , z ) − C1 = 0 dan g2 (x, y , z ) − C2 = 0
Dalam bentuk vektor, f akan mencapai maksimum atau minimum di
P maka ada bilangan λ1 dan λ2 sehingga
∇f (P ) = λ1 ∇g1 (P ) + λ2 ∇g2 (P )
g1 (x, y , z ) − C1 = 0 dan g2 (x, y , z ) − C2 = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Melihat Masalah Ekstrim Dengan Dua Syarat atau Lebih
1
2
3
Carilah max / min f (x, y , z ) dengan g1 (x, y , z ) = C1 dan
g2 (x, y , z ) = C2
Hasilnya,
∂f
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
=0
∂x
∂x
∂x
∂g1
∂g2
∂f
− λ1
− λ2
=0
∂y
∂y
∂y
∂f
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
=0
∂z
∂z
∂z
g1 (x, y , z ) − C1 = 0 dan g2 (x, y , z ) − C2 = 0
Dalam bentuk vektor, f akan mencapai maksimum atau minimum di
P maka ada bilangan λ1 dan λ2 sehingga
∇f (P ) = λ1 ∇g1 (P ) + λ2 ∇g2 (P )
g1 (x, y , z ) − C1 = 0 dan g2 (x, y , z ) − C2 = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 10
Masalah Ekstrim Bersyarat
Melihat Masalah Ekstrim Dengan Dua Syarat atau Lebih
1
2
3
Carilah max / min f (x, y , z ) dengan g1 (x, y , z ) = C1 dan
g2 (x, y , z ) = C2
Hasilnya,
∂f
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
=0
∂x
∂x
∂x
∂g1
∂g2
∂f
− λ1
− λ2
=0
∂y
∂y
∂y
∂f
∂g1
∂g2
− λ1
− λ2
=0
∂z
∂z
∂z
g1 (x, y , z ) − C1 = 0 dan g2 (x, y , z ) − C2 = 0
Dalam bentuk vektor, f akan mencapai maksimum atau minimum di
P maka ada bilangan λ1 dan λ2 sehingga
∇f (P ) = λ1 ∇g1 (P ) + λ2 ∇g2 (P )
g1 (x, y , z ) − C1 = 0 dan g2 (x, y , z ) − C2 = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 10