induksi matematika

INDUKSI MATEMATIKA
MATEMATIKA DISKRIT
INDUKSI MATEMATIKA
Cara / Teknik membuktikan kebenaran dari
suatu pernyataan
 Metode pembuktian untuk pernyataan perihal
bilangan bulat
 Contoh:
p(n): “Jumlah bilangan bulat positif dari 1
sampai n adalah n(n + 1)/2”.

Buktikan p(n) benar!
INDUKSI MATEMATIKA


Induksi
matematika
merupakan
teknik
pembuktian yang baku di dalam matematika.
Melalui
induksi
matematik
kita
dapat
mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa
semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu
himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah
langkah terbatas.
PRINSIP KERJA INDUKSI
Misalkan p(n) adalah pernyataan mengenai
bilangan bulat positif.
 Kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk
semua bilangan bulat positif n.
 Untuk membuktikan pernyataan ini, kita hanya
perlu menunjukkan bahwa:
1. p(n0) benar, dan
2. jika p(n) benar, maka p(n + 1) juga benar,
untuk setiap n  1,

PRINSIP KERJA INDUKSI




Langkah 1 dinamakan basis induksi, sedangkan
langkah 2 dinamakan langkah induksi.
Langkah basis induksi berisi asumsi (andaian) yang
menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi tersebut
dinamakan hipotesis induksi.
Hipotesis induksi digunakan untuk mendukung
langkah induksi.
Bila kita sudah menunjukkan kedua langkah
tersebut benar maka kita sudah membuktikan bahwa
p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.
CONTOH (1)

Buktikan “Jumlah bilangan bulat positif dari 1
sampai n adalah n(n + 1)/2” !
SOLUSI CONTOH (1)
Langkah I : Buktikan bahwa P(1) benar
P(1) = 1(1 + 1)/2 = 1 ………. Terbukti
 Langkah II : Buktikan bahwa jika P(n) benar,
maka P(n+1) juga benar
P(n+1)
= 1 + 2 + 3 + … + n + (n+1)
(n+1)((n+1) +1)/2 = P(n) + (n+1)
(n+1)(n+2)/2
= n(n+1)/2 + 2(n+1)/2
(n+1)(n+2)/2
= (n+2)(n+1)/2 ……. Terbukti

CONTOH (2)

Buktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil
positif pertama adalah n2!
SOLUSI CONTOH (2)

Langkah 1 (Basis induksi):
Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil
positif pertama adalah n2 = 12 = 1. Ini benar
karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif
pertama memang 1.
SOLUSI CONTOH (2)

Langkah 2 (Induksi):
Andaikan p(n) benar, yaitu pernyataan 1 + 3 + 5 + … + (2n –
1) = n2 adalah benar (hipotesis induksi)
catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-n adalah (2n
– 1).
Kita harus memperlihatkan bahwa p(n +1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = (n + 1)2
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2n + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2n – 1)]
+ (2n + 1)
= n2 + (2n + 1)
= n2 + 2n + 1
= (n + 1)2
……………..Terbukti
LATIHAN
Buktikan
P(n) = 12 + 22 + 32 + … + n2 =
n(n+1)(2n+1)/6 untuk n > 1

Langkah 1 :


P(1) = 1(1+1)(2 x 1 + 1) / 6 = 1
……. (Terbukti)





Langkah2:
Andaikan benar untuk n = k, maka P(k) = k(k+1)(2k + 1)/6
Akan dibuktikan bahwa P(k+1) = (k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)/6
= (k+1)(k+2)(2k+3)/6









Bukti:
P(k+1) = p(k) + (k+1)2
= k(k+1)(2k + 1)/6 + (k2 + 2k + 1)
= (2k3 + 3k2 + k)/6 + 6 (k2 + 2k + 1) / 6
= (2k3 + 3k2 + k + 6 (k2 + 2k + 1)) / 6
= (2k3 + 9k2 + 13k + 1) /6
= (k+1)(k+2)(2k+3)/6 …………. Terbukti