Introduction To Multimedia - Universitas Mercu Buana Yogyakarta

DISTRIBUSI
PROBABILITAS
Ozzi Suria S.T., M.T.
Distribusi Probabilitas
•Distribusi probabilitas dibedakan menjadi 2:
1. Distribusi probabilitas diskret
2. Distribusi probabilitas kontinu
Distribusi Probabilitas Diskret
• Distribusi yang masuk dalam distribusi probabilitas
diskret antara lain :
Distribusi seragam
Distribusi binomial
Distribusi multinomial
Distribusi hipergeometrik
Distribusi Poisson
Distribusi Binomial/Bernoulli
• Adalah distribusi probabilitas diskret dengan
jumlah keberhasilan dalam n percobaan
(berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap
hasil percobaan memiliki probabilitas p.
• Banyaknya keberhasilan x dalam n usaha suatu
percobaan binomial disebut variabel acak
binomial.
• Distribusi probabilitas dari variabel acak binomial
disebut Distribusi Binomial
Distribusi Binomial/Bernoulli
• Suatu percobaan binomial mempunyai ciri :
1. Percobaan terdiri dari n usaha yang berulang
2. Tiap hasil percobaan memberikan dua kemungkinan
kejadian (berhasil atau gagal)
3. Probabilitas terjadi sukses tetap untuk setiap
percobaan
4. Hasil dari setiap percobaan saling bebas
Distribusi Binomial/Bernoulli
• Bila suatu percobaan binomial menghasilkan
sukses dengan peluang p dan gagal dengan
peluang q = 1-p, maka distribusi probabilitas
variabel acak binomial x, yaitu banyaknya sukses
dalam n usaha adalah :
𝒃 𝒙; 𝒏, 𝒑 = 𝑪𝒏𝒙 . 𝒑𝒙 𝒒𝒏−𝒙 , 𝒙 = 𝟎, 𝟏, … , 𝒏
• Distribusi binomial b(x;n,p) mempunyai :
• Rata-rata : µ = 𝑛. 𝑝
• Variansi : σ2 = 𝑛. 𝑝. 𝑞
Distribusi Binomial/Bernoulli
Contoh Soal
• Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangan
tertentu dengan peluang ¾. Hitung peluang tepat dua
dari 4 suku cadang yang diuji tidak rusak!
• (Selesaikan dengan menggunakan tabel binomial)
Seorang penderita penyakit berbahaya tertentu
mempunyai peluang 0,4 untuk sembuh. Bila diketahui
ada 15 orang yang mengidap penyakit tersebut, berapa
probabilitas :
a. tepat 5 orang sembuh
b. 4-7 orang akan sembuh
c. paling sedikit 13 orang sembuh.
d. paling banyak 2 orang sembuh.
Distribusi Binomial/Bernoulli
• Jawaban Soal 1
• Diketahui:
•
•
•
•
p = 0.75  peluang suku cadang dapat menahan.
q = 1-0.75 = 0.25  peluang suku cadang tidak dapat menahan.
n = 4  jumlah usaha
x=2
• Ditanya:
• Peluang yang diuji tidak rusak
• Jawab
𝟐
𝟒−𝟐
• 𝒃 𝒙; 𝒏, 𝒑 = 𝑪𝒏𝒙 . 𝒑𝒙 𝒒𝒏−𝒙 = 𝑪𝟒
𝟐 . 𝟎. 𝟕𝟓 . 𝟎. 𝟐𝟓
𝟒!
=
× 𝟎. 𝟕𝟓𝟐 . 𝟎. 𝟐𝟓𝟐
𝟒 − 𝟐 !. 𝟐!
= 𝟔 × 𝟎. 𝟓𝟔𝟐𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟔𝟐𝟓 = 𝟎. 𝟐𝟏𝟎𝟗
Distribusi Binomial/Bernoulli
• Jawaban Soal 2
• Diketahui:
• n = 15
• p = 0.4  peluang untuk sembuh
• 2a  Tepat 5 orang sembuh
• Jawab
• x=5
• 𝒃 𝒙; 𝒏, 𝒑 = 𝒃 𝟓; 𝟏𝟓, 𝟎. 𝟒 = 𝟎. 𝟏𝟖𝟓𝟗
• Probabilitas tepat 5 orang sembuh adalah 0.1859
Distribusi Binomial/Bernoulli
• Jawaban Soal 2
• Diketahui:
• n = 15
• p = 0.4  peluang untuk sembuh
• 2b  4-7 orang akan sembuh
• Jawab
• 4≥x≤7
• 𝒃 𝒙; 𝒏, 𝒑 = 𝒃 𝟒; 𝟏𝟓, 𝟎. 𝟒 + 𝒃 𝟓; 𝟏𝟓, 𝟎. 𝟒 +
𝒃 𝟔; 𝟏𝟓, 𝟎. 𝟒 + 𝒃 𝟕; 𝟏𝟓, 𝟎. 𝟒
= 𝟎. 𝟏𝟐𝟔𝟖 + 𝟎. 𝟏𝟖𝟓𝟗 + 𝟎. 𝟐𝟎𝟔𝟔 + 𝟎. 𝟏𝟕𝟕𝟏
• Probabilitas 4-7 orang sembuh adalah 0.6964
Distribusi Binomial/Bernoulli
• Jawaban Soal 2
• Diketahui:
• n = 15
• p = 0.4  peluang untuk sembuh
• q = 1-0.4 = 0.6
• 2c  paling sedikit 13 orang sembuh
• Jawab
• x ≥ 13
• 𝒃 𝒙; 𝒏, 𝒑 = 𝒃 𝟏𝟑; 𝟏𝟓, 𝟎. 𝟒 + 𝒃 𝟏𝟒; 𝟏𝟓, 𝟎. 𝟒 +
𝒃 𝟏𝟓; 𝟏𝟓, 𝟎. 𝟒
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑 + 𝟎 + 𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟑
• Probabilitas paling sedikit 13 orang sembuh adalah
0.0003
Distribusi Binomial/Bernoulli
• Jawaban Soal 2
• Diketahui:
• n = 15
• p = 0.4  peluang untuk sembuh
• q = 1-0.4 = 0.6
• 2d  paling banyak 2 orang sembuh
• Jawab
• x≤2
• 𝒃 𝒙; 𝒏, 𝒑 = 𝒃 𝟎; 𝟏𝟓, 𝟎. 𝟒 + 𝒃 𝟏; 𝟏𝟓, 𝟎. 𝟒 +
𝒃 𝟐; 𝟏𝟓, 𝟎. 𝟒
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟓 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟕 + 𝟎. 𝟎𝟐𝟏𝟗 = 𝟎. 𝟎𝟐𝟕𝟏
• Probabilitas paling banyak 2 orang sembuh adalah 0.0271
Distribusi Probabilitas Kontinu
• Distribusi yang masuk dalam distribusi probabilitas
kontinu antara lain :
 Distribusi Normal
 Distribusi Weibull
 Distribusi Gamma
 Distribusi chi-square
 Distribusi t
 Distribusi F
Distribusi Normal/Gaussian
• Ciri distribusi normal:
1. Kurva normal berbentuk lonceng dan memiliki 1
puncak di tengah
2. Distribusi probabilitas normal simetris terhadap nilai
mean (µ).
3. Kurva mencapa puncak pada saat x = µ
4. Luas daerah di bawah kurva normal adalah 1 (½ di sisi
kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri nilai tengah)
Distribusi Normal
• Persamaan untuk distribusi normal 𝑿~𝑵 𝝁, 𝝈𝟐 :
𝟏 𝒙−𝝁 𝟐
𝟏
−
𝒇 𝒙 =
𝒆 𝟐 𝝈
𝝈 𝟐𝝅
• dengan µ = rata-rata distribusi normal
• dengan 𝜎 2 = variansi distribusi normal
• dengan x = variabel acak normal
• Luas dibawah kurva normal antara nilai x = x1 dan x =
x2 sama dengan probabilitas variabel acak x mendapat
nilai antara x = x1 dan x = x2.
Distribusi Normal Standar
• Distribusi normal standar atau baku adalah distribusi
probabilitas acak normal dengan nilai tengah (µ) = 0
dan simpangan baku (𝝈) = 1.
• Persamaan:
𝐱−𝝁
𝒁=
𝝈
• dengan x = nilai variabel observasi
• dengan µ = nilai rata-rata distribusi
• dengan 𝝈 = standar deviasi distribusi
• Seringkali disebut dengan Distribusi Z
• Distribusi probabilitas normal standar membakukan
distribusi normal dalam bentuk distribusi normal
standar yang dikenal dengan nilai Z atau Z-Score.
Distribusi Normal Standar
• Perubahan dari Distribusi Normal ke Distribusi
normal standar diilustrasikan sebagai berikut:
𝑿~𝑵 𝝁, 𝝈𝟐
𝐱−𝝁
𝒁=
~𝑵(𝟎, 𝟏)
𝝈
𝝈
µ
1
0
Distribusi Normal Standar
• Probabilitas yang berhubungan dengan nilai Z dapat dicari
menggunakan tabel normal standar (tabel Z)
• Beberapa sifat dari distribusi normal standar adalah:
• Luas daerah di bawah kurva Z = 1
• Luas daerah di bawah kurva di sebelah kiri nilai 0 adalah
0.5, maka probabilitas Z terletak di kiri 0 adalah 0.5
sehingga dapat ditulis:
• P (Z < 0) = 0.5
1
0.5
0
Z
Distribusi Normal Standar
• Nilai probabilitas Z disebelah kiri dari suatu nilai
sembarang dapat dicari dengan menggunakan tabel
Z.
• Contoh:
• P(Z < 1.35) = 0.9115
• P(Z < 0.6) = 0.7257
• P(Z < -1.01) = 0.1562
• P(Z < -1.75) = 0.0401
Distribusi Normal Standar
• Tabel Z hanya memberikan probabilitas dikiri suatu
nilai tertentu. Jika nilai probabilitas yang dicari di
kanan suatu nilai tertentu maka gunakan
persamaan: 1 – P(Z < z)
• Contoh:
• P(Z > 1.35) = 1 – (Z < 1.35) = 1 - 0.9115 = 0.0885
• P(Z > 0.6) = 1 – (Z < 0.6) = 1 - 0.7257 = 0.2743
• P(Z > -1.01) = 1 – (Z < -1.01) = 1 - 0.1562 = 0.8438
• P(Z > -1.75) = 1 – (Z < -1.75) = 1 - 0.0401 = 0.9599
Distribusi Normal Standar
• Untuk mencari nilai probabilitas antara 2 nilai
tertentu, tentukan nilai probabilitas di kiri masingmasing nilai kemudian kurangkan kedua nilai
tersebut.
• Contoh:
• 𝑃 −3.02 < 𝑍 < 3.02 = 𝑃 (𝑍 < 3.02) – 𝑃 (𝑍 < −3.02)
= 0.9987– 0.0013
= 0.9974
Distribusi Normal Standar
• Misal X ~ N ( 5, 42). Tentukan probabilitas X kurang
dari 6!
• Ditanya: P(X < 6)?
𝐱−𝝁 𝟔−𝟓
𝒁=
=
= 𝟎. 𝟐𝟓
𝝈
𝟒
𝑷 𝑿 < 𝟓 = 𝑷 𝒁 < 𝟎. 𝟐𝟓 = 0.5987
Distribusi Normal Standar
Contoh Soal
Diketahui nilai multimedia mahasiswa berdistribusi
normal dengan μ=60 dan standar deviasi (simpangan
baku) σ=8. Tentukan probabilitas seorang mahasiswa
mempunyai nilai :
a. Kurang dari 30  P(X < 30) = ?
b. Dari 50 sampai dengan 75P(50 ≤ X ≤ 75) = ?
c. Lebih besar sama dengan 75  P(X ≥ 75) = ?
Referensi
• Purwanto, 2010, Statistika untuk Penelitian, Pustaka Pelajar.
• Suhardjo, Imam, 2015, Bahan Kuliah Statistika, Universitas Mercu
Buana Yogyakarta.
• Ernawati & Ardanari P., 2011, Bahan Kuliah Statistika, Universitas
Atma Jaya Yogyakarta.