Penggunaan Turunan

BAB V
PENGGUNAAN TURUNAN
5.1. ARTI GEOMETRI BAGI
dy
dx
 dy 
Jika fungsi f dengan persamaan y = f (x) dan   x = x1 adalah turunanya
 dx 
 dy 
pada x = x1 maka   x = x1 adalah merupakan koefesien arah garis singgung
 dx 
(tangen) yang menyinggung y = f (x) di titik (x1, y1).
y
y1
x1
x
Dy/dx = tg  jika = dy/dx = 0  maka garis 1 //sumbu x.
5.2.
PERSAMAAN TANGEN DAN NORMAL
Grs. normal
y
Grs. sgng kurva
y1
0

x1
x
Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung (tangent) pada
P (x1 y1).
Jika P (x1 y1) terletak pada kurve y = f (x) maka tg  = (dy/dx)x=x1.
Persamaan tangen di titik P (x1 y1) pada kurva f (x) adalah :
 dy 
y  y1  
x
 dx 
 x1
x  x1 
Persamaan normal di titik P (x1 , y1)pada kurve y = f (x) adalah :
y  y1 
1
x  x1 
( dy / dx) x  x1
atau
( x  x1 )  ( dy / dx)
x  x1
( y  y1 )  0
Contoh :
Tentukan persamaan tangan dan normal pada kurve :
Y = x3 – 2x2 + 4 di titik P (2,4)
Penyelesaian :
yy = 3x2 – 4x
koefesien arah tangent = yy(x=2) = 3.22-4, 2 = 4
persamaan tangent di titik P (2,4) adalah :
y – 4 = 4 ( x -2)  y – 4x + 4 = 0.
Persamaan garis normal
(x – 2) + 4 ( y -4) = 0
X + 4y - 18 = 0
5.3.
PANJANG TANGEN ; NORMAL ; SUBTANGEN DAN SUBNORMAL
y
P
R
Q
S
y=f(x)
x
Panjeng tangen = PR
Panjang normal = PS
Panjang subtangen = RQ
y1
( dy / dx ) x  x1
 Panjang subnormal = QS
 Panjang subtangen = RQ =
(RQ)2 + (PQ)2
 Panjang tangen = PR =
y1
 PR =
 dy 
 
 dx  x  x1
 dy  
1   
 dx  x  x1 
2
 Panjang subnormal (QS) = y1 (dy/dx)x=x
 PS = y1

 dy  

1    

 dx  x x1 

2
Contoh :
Tentukan panjang sub tangen ; subnormal; tangen dan normal dari
3x2 - 2y2 – 10 = 0 pada titik (-2 , 1).
Penyelesaiannya :
d/dx(3x2)– d/dx(2y2) – d/dx(10) = 0
dy/dx = 3x/2y(dy/dx)= -3
Panjang subtangen = -1/3.
1   3
Panjang tangen = -1/3
= -1/3
2
10
Panjang subnormal = 1 (-3) = -3
Panjang normal = 1
1  (3) 2
GERAK LURUS DAN GERAK MELINGKAR
Gerak lurus suatu partikel P sepanjang garis lurus dengan persamaan S = f (t),
bila t > 0 dalam waktu tertentu S adalah lintasan dari P yang diukur dari titik
permulaan. Kecepatan artikel P pada t tertentu adalah vt =
dv
d 2s
dan percepatannya a =
= 2
dt
dt
ds
dt
Suatu partikel P bergerak sepanjang lingkaran dengan persamaan  = f (t)
dimana  adalah sudut sentral (radian) yang dibentuk oleh gerak jari-jari dalam t.
Kecepatan sudut dari P pada waktu t adalah

d
percepatan sudut dari P pada waktu t adalah
dt
d d 2

 2  adalah konstan untuk semua t
dt
dt
P bergerak percepatan sudut konstan.
Contoh :
1. sebuah benda bergerak pada sebuah garis lurus dengan persamaan :
s = t9 + 6t2 + 9t + 4 (m) bila vt = 0
berapakah s dan a
penyelesaian :
vt =
ds
= 3t2 – 12t + 9
dt
a=
d 2s
= 6t – 12 = 6(t – 2)
dt 2
vt = 0  3t2 – 12t + 9 = 0
(t – 1) (t – 3) = 0
T1 = 1 dan t2 = 3
Bila t = 1 s = 19 – 6.12 +9.1 +4=8 m
A=6(1-2) = -6 m/dt2
2. sebuah roda bergerak dengan persamaan
=128t-12t2. tentukan kecepatan dan percepatan pada t=3 detik.
Penyelesaian :

d 
128 24 t
dt
t  3   128  72  56 rad / dt

d 2
  24 rad / dt 2
dt 2
5.4.
FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN
NAIK DAN TURUN
Y
R
P
Q
f(x0+h)
f(x0-h)
x0
(x0–h)
X
(x0+h)
Fungsi y = f (x) dikatakan naik di x – x0 jika berlaku f (x0 th) > f (x0) > f (x0 – h).
Fungsi y = f (x) pada interval a  x  jika dibuat garis singgung pada kurve y = f (x)
dititik p (x0, y0) tampak bahwa sudut antara garis singgung dengan sumbu x lebih kecil
dari 900 ini berarti koefisien arah garis singgung positif.
Jadi fungsi naik di P (x0, y0) bila (dy/dx)x=x >0.
FUNGSI TURUN
Y
R
P
f(x0-h)
f(x0)
Q f(x0+h)
x0
(x0–h)
X
(x0+h)
Fungsi-Funsi y = f (x) dikatakan turun di x = x0 berlaku
f (x0 th) < f(x0) < f(x0 – h).
Fungsi y = f(x) dikatakan turun pada interval a  x 0 jika diambil garis singgung pada
kurve y = f(x) dititik P (x0,y0) sampai bahwa sudut-sudut antara garis singgung dengan
sumbu x lebih besar dari 900 berarti koefesien arah garis singgung negatif.
Fungsi y = f (x) turun di P (x0,y0) jika (dy/dx)x=x < 0.
5.5.
NILAI DAN TITIK EKSTRIM SUATU FUNGSI
Fungsi f dengan persamaan y = f(x) dikatakan mempunyai nilai maksimum f(a) untuk x
= a jika untuk setiap bilangan kecil positif  berlaku f (a-) < f(a) > f(a+).
Fungsi f dengan persamaan y=f(x) dikatakan mempunyai nilai minimum f(b) untuk x =
b jika setiap bilangan kecil positif  berlaku f (b-) > f(b) < f (b+).
Titik A dengan absis x = a dimana y = f(x) mencapai nilai maksimum disebut titik
maksimum.
Titik B dengan absis x = b dimana y = f(x) mencapai nilai minimum disebut titik
minimum.
Nilai maksimum/minimum disebut nilai ekstrim.
Titik maksimum/ minimum disebut titik ekstrim.
Syarat suatu fungsi f(x) mempunyai nilai ekstrim untuk x = c ialaih f’(c)= 0.
5.6.
MENENTUKAN NILAI
MAKSIMUM/MINIMUM
TURUNAN.
MAKSIMUM/MINIMUM DAN TITIK
SUATU FUNGSI DENGAN KONSEP
Titik C dengan absis x = c pada kurve y = f(x) merupakan titik ekstrim bila dipenuhi
syarat f’ (c) = 0. apakah titik C itu maksimum atau minimum hal itu dapat diselidiki
dengan beberapa cara seperti di bawah ini :
a. MELIHAT FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN.
Funsgi y = f (x) mempunyai nilai maksimun f(c) untuk x = c dan titik C adalah
titik maksimum bila dipenuhi syarat :
Untuk x < c  f (x) naik {f’ (x) > 0}
Untuk x > c  f (x) turun {f’ (x) < 0}
C
c
+
_
O
+
_
c
Untuk x = c haruslah f’© = 0.
Catatan :
Jika x = c terdapat nilai ekstrim tentu f’(c)= 0. tetapi hal sebaliknya
jika f’(c) = 0 maka f(x) belum tentu mempunyai nilai ekstrim untuk
x = c.
Contoh :
Fungsi f (x) = x3  f’(x) = 3x2
f' (0) = 0 tetapi f(x) tidak mempunyai ekstrim
di x = 0 kerena :
Untuk x > 0  f’(x) > 0
Untuk x < 0  f’(x) < 0
Berarti titik 0 (0,0) bukan titik ekstrim.
Fungsi y = f(x) mempunyai nilai minimum f(d) untuk x=d dan titik D titik
minimum bila dipenuhi syarat
Untuk x < d  f(x) turun (f’(x) < 0)
Untuk x > d  f(x) naik (f’(x) > 0)
b. Dengan melihat turunan ke-2 suatu fungsi
(f’’(x) atau d2y/dx2)
Titik C adalah titik maksimum pada kurve y = f(x) jika:
(f’’(c) < 0
Titik D adalah titik minimum pada kurve y = f(x) jika :
(f’’(d) > 0
Contoh :
Tentukan nilai dan titik ekstrim dari fungsi
y = x3 – 6x2 + 9x – 8.
Jawab :
y’ = 3x2 – 12x + 9 = x2 – 4x + 3.
Titik ekstrim y’ = 0.
x2 – 4x + 3 = 0
(x-3) (x-1) = 0  x = 3 dan x = 1.
Selanjutnya diselidiki x = 3 dan x = 1 apakah maksimum atau minimum.
Diselidiki x = 3.
a.
Dengan milihat fungsi naik dan fungsi turun, untuk x < 3 diambil x
= 2,5.
y’(2,5) = (2,5)2 – 4 (2,5) + 3 = -0,75  y’ < 0 untuk x > 3 diambil x
= 3,5.
y' (3,5) = (3,5)2 – 4 (3,5) + 3 = 1,25  y’> 0
 untuk x = 3  y = f(x) mencapai nilai minimum adalah f(3).
F(3) = 33 – 6.32 + 9.3 – 8 = -8
Nilai minimum = -8
Titik minimum A (3,-8)
Diselidiki x = 1.
Untuk x < 1 diambil x = 0,5.
y'(0,5) = (0,5)2 – 4(0,5) + 3 = 1,25  y’ > 0 untuk x > 1 diambil x
= 1,5.
y' (1,5) = (1,5)2 – 4 (1,5) + 3 = -0
untuk x = 1  y = f(x) mencapai nilai maksimum adalah f(1).
f(1) = 13 – 6.12 + 9.1 – 8 = -4.
Nilai maksimum = -4
Titik maksimum B (1,-4)
b.
dengan menggunakan turunan ke-2
y’ = x2 – 4x + 3  y’’ = 2x -4
untuk x = 3  y’’ = 2(3) – 4 = 2  y’’ >0
 x = 3  minimum
untuk x = 1  y’’ = 2(1) – 4 = -2  y’’ <0
 x = 1  maksimum
5.7.
MAKSIMUM DAN MINIMUM RELATIF
Pada pembincaraan butir 9.7 di atas telah dibicarakan secara umum nilai dan titik
maksimum dan minimum suatu fungsi.
Suatu fungsi f dengan persamaan y = f(x) yang grafiknya dapat dilihat di bawah ini,
mempunyai maksimum relatif di titik a dan c dan minimum relatif di titik b dan d.
Max. Mutlak
Max. relatif
 y = f(x)
Min.Pd.
d
y = f(x)
a
0
b
c
X
Jika suatu fungsi f mempunyai maksimum mutlak di titik a maka fungsi f mempunyai
maksimum relatif di titik a. Demikian pula jika fungsi f mempunyai minimum mutlak
pada titik d mempunyai minimum relatif pada titik d.
Hal yang sebaliknya maksimum/minimum relatif suatu fungsi belum tentu merupakan
maksimum/minimum mutlak fungsi itu.
Untuk
memperjelas
hubungan
antara
maksimum/minimum
mutlak
dengan
maksimum/minimum relative di bawah ini diberikan suatu penjelasan.
Jika suatu fungsi f terdifinisi pada interval tertutup [a,b] atau a  x  yang grafiknya
terlihat pada gambar di bawah ini.
Y
Max. Mutlak
Max. relatif
 y = f(x)
Min.Rel.
0
b
a
C1
x2
x3
X
y = f(x)
Fungsi y = f(x) mempunyai maksimum relatif di titik x1 dan x3 dan mempunyai
minimum relative di titik a : x2 ; b.
Fungsi f pada interval [a,b] mempunyai maksimum mutlak pada titik x1 dan minimum
mutlak pada titik b dengan nilai maksimum mutlak f(x1)dan nilai minimum mutlak f(b).
Syarat agar suatu fungsi mempunyai maksimum relatif ataupun minimum relatif di
suatu titik diberikan seperi di bawah ini.
Jika fungsi y = f(x) kontinu pada suatu interval yang berisi titik x = x dan jika :
untuk x < x1  f’ (x) > 0
untuk x > x1  f’ (x) < 0
maka f (x) mempunyai maksimum relative di titik x = x1
untuk x < x1  f’ (x) < 0
untuk x > x1  f’ (x) > 0
maka f(x) mempunyai minimum relative di titik x = x1 jika untuk x1 < x dan x > x1 
f’(x) > 0 maupun f’(x)< 0 maka f(x) tidak mempunyai maksimum/minimum relatif di
titik x = x1.
Contoh :
Tentukan nilai dan titik maksimum dan minimum relative fungsi.
f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 2
Jawab :
f'(x) = 3x2 – 12x + 9
titik ekstrim f’(x) = 0
3x2 – 12x + 9 = 0
(x-1) (x-3) = 0.
Titik ekstrim x = 1 dan x = 3
Untuk menentukan maksimum/minimum relatif kita perhatikan perubahan tanda
f:(x) disekitar x=1 dan x=3.
f'(x) = (x-1)(x-3) 
Kesimpulan :
 0  0  
1
3
Fungsi f(x) mempunyai maksimum relatif di x=1 dengan nilai
maksimum relatif f(1) = 6. Titik A(1,6) adalah titik
maksimum relatif Fungsi f(x) mempunyai minimum relatif di
x=3 dengan nilai minimum relatif f(3) = 2 Titik B(3,2) adalah
titik minimum relatif.
Jika y=f(x) kontinu di titik x = x1 dan sekitarnya dengan f’(x) = 0 dan f”(x) ada maka y
= f(x) mempunyai nilai maksimum relatif f(x1) di titik x=x1 jika f” (x) > 0.
Contoh :
Seperti contoh di atas f(x) = x9 + 9x + 2
f'(x) = 3x2 – 12x + 9  f”(x) = 6(x-2)
Titik ekstrim x = 1 dan x = 3
X = 1  f” (x) = 6(1-2) =-6  f”(x) < 0
 x = 1 adalah maksimum relatif
x = 3  f”(x) = 6(3-2) = 6  f”(x) > 0
x = 3 adalah minimum relatif.
9.9
MAKSIMUM DAN MINIMUM MUTLAK
Jika fungsi f dengan persamaan y=f(x) kontinu pada suatu interval [a,b)
nilai maksimum mutlak fungsi f pada interval [a,b] adalah nilai terbesar di antara
semua nilai maksimum relatif fungsi f pada interval [a,b].
Demikian pula nilai minimum mutlak fungsi f pada interval [a,b] adalah
nilai terkecil di antara semua nilai minimum relatif fungsi f pada interval [a,b].
Langkah-langkah untuk menentukan maksimum atau minimum mutlak
dari fungsi f dengan persamaan y=f(x) pada interval tertutup [a,b].
1. Tentukan harga x pada interval [a,b} yang memenuhi f’(x) = 0.
2. Harga x yang memenuhi diperiksa satu per satu apakah harga x itu
maksimum atau minimum dengan cara pengujian yang telah dibicarakan di
atas.
a. Melihat perubahan tanda f’(x) setelah melewati titik ekstrim itu.
Jika untuk x < x1  f’(x) < 0 dan untuk x > x1  f’(x) > 0 maka x = x1
adalah minimum relatif.
Jika untuk x < x1  f’(x) > 0 dan untuk x > x1 f’(x) < 0 maka x = x1
adalah maksimum relatif.
Jika setelah melewati titik x = x1 tidak ada perubahan tanda dari f’(X)
maka x = x1 bukan titik maksimum atau minimum relatif.
b. Melihat tanda dari f”(x)
Jika f”(x) < 0 untuk x=x1 maka x=x1 adalah maksimum relatif.
Jika f”(x) > 0 untuk x=x1 maka x=x1 adalah minimum relatif.
3. y=f(a) dan y=f(b) merupakan nilai ekstrim.
Untuk menentukan y=f(a) dan y=f(b) nilai maksimum/ minimum relatif cara
mengetahuinya adalah sebagai berikut.
Pengujian batas bahwa interval(untuk x = a)
Jika untuk x > a :

f’(x) < 0 maka y = f(a) nilai maksimum relatif.

f'(x) > 0 maka y = f(a) nilai minimum relatif.
Pengujian batas atas interval (untuk x = b)
Jika untuk x < b :

f’(x) < 0 maka y = f(b) nilai maksimum relatif.

f'(x) > 0 maka y = f(b) nilai minimum relatif.
4. Nilai maksimum relatif yang terbesar dari nilai minimum relatif yang
terkecil dari y=f(x) pada interval [a,b] berturut-turut disebut nilai maksimum
mutlak dan nilai minimum mutlak.
Contoh :
Tentukan nilai dan titik maksimum dan minimum mutlak dari
f(x) = 4x3 – 15x2 + 12x – 1 pada interval [0,3].
Penyelesaian:
1. f’(x) = 12x2 – 30x + 12
0 = 22 – 5x + 2
0 = (2x – 1) (x – 2)
Titik ekstrim  x1 = 0.5 dan x2 = 2
2. Diselidiki x1 = 0.5 dan x2 = 2
f"(x) = 4x – 5
Untuk x1 = 0.5  f”(x) = (0.5) 4 – 5 = –3
f"(x) < 0 maka x1 = 0.5 adalah maksimum relatif dengan nilai maksimum
relatif f(0.5) = 4(0.5) – 15(0.5)2 + 12(0.5) – 1 = 1.75
 Titik A (0.5, 1.75) maksimum relatif.
Untuk x2 = 2  f”(x) = (2) 4 – 5 = 3
f” (x) > 0 maka x2 = 2 adalah minimum relatif dengan nilai minimum relatif
f(2) = 4(2)3 – 15(2)2 + 12(2) – 1 = –5
Titik A (2, –5) minimum relatif.
3. Untuk batas bawah (x = 0)
Untuk x > 0 diambol x = 1
f y(x)
= 12x2 – 30x + 12
f y (x) = 2x2 – 5x + 2
f y (1) = 2 – 5 + 2 = -1  f y (x) < 0
f (0)
= -1
 titik C (0, -1) titik maksimum relatif
Untuk batas atas (x = 3)
untuk x < 3 diambil x = 2.5
f y (2.5) = 2(2.5)2 – 5(2.5) + 2 = +2
f (3) = 8
Titik D (3,8) titik maksumum relatif.
4. Kesimpulan
Titik D (3,8) adalah titik maksimum mutlak dengan nilai maksimum
mutlak = 8.
Titik B (2, -5) adalah titik minimum mutlak dengan nilai minimum
mutlak = -5.
Jika daerah difinisi y = f(x) pada interval terbuka (a, b) maka nilai limit pada batas
interval yaitu lim f(x) dan lim f(x) harus diikutsertakan
x  a+
x  b-
dalam perbandingan nilai-nilai maksimum relatif atau minimum relatif fungsi y =
f(x) pada interval (a, b) dalam penarikan kesimpulan untuk menentukan maksimum
mutlak atau minimum mutlak.
Contoh :
Tentukan maksimum mutlak dan minimum mutlak dari f(x) = 2x 3 – 3x2 –
12x + 7 pada interval (-3, 3).
Penyelesaian :
f y(x) = 6x2 – 6x – 12 = x2 – x – 2
0 = (x + 1) (x – 2)
 titik ekstrim x1 = -1 dan x2 = 2
f y y (x) = 12x – 6 = 6(2x – 1)
untuk x = -1  f y y (-1) = -18  f y (x) < 0
f (-1) = 14
Titik A (-1, 14) titik maksimum relatif.
untuk x = 2  f y y (2) = 18  f y (x) > 0
f (2) = -13
Titik B (2, -13) titik minimum relatif.
maksimum relatif 14
lim f(x) = -38
x  -3+
lim f(x) = -2
14 > 38 dan 14 > -2
x  3+
f(x) mempunyai nilai maksimum mutlak pada (-3, 3) adalah 14.
minimum relatif 13
lim f(x) = -38
x  -3+
lim f(x) = -2
-13 > 38 tetapi -13 < - 2
x  3+
f(x) tidak mempunyai nilai minimum mutlak pada (-3, 3).
Y
14
-3
-2
1
0
1
-2
-13
-38
2
3
X
9.10 TITIK BELOK
Fungsi Cekung
Y
y = f (x)
4
X
-1
Fungsi y = f(x) dikatakan cekung bila f y y (x) < 0
FUNGSI CEMBUNG
Y
y = f (x)
0
X
Fungsi y = f(x) dikatakan cekung bila f y y (x) < 0
Y
Y
y = f (x)
0
X
Gambar a
y = f (x)
0
X
Gambar b
Pada titik B  f y y (x) = 0 disebut TITIK BELOK.
Titik belok ditandai oleh adanya perubahan bentuk kurve dari cekung menjadi cembung
(gambar a) atau dari cembung menjadi cekung (gambar b) setelah melalui titik B atau
adanya perubahan tanda f
yy
(x) dari negatif menjadi positif atau sebaliknya dari positif
menjadi negatif. Jika tidak terjadi perubahan tanda f
yy
(x) setelah melalui titik B maka
titik B bukan titik belok.
Contoh :
Diketahui f(x) = x3 – 3x2 + 6. Tentukan titik belok dan sket grafiknya.
Penyelesaian :
f y (x) = 3x2 – 6x
f y y (x) = 6x – 6 = 6 (x-1)
Titik belok f y y (x) = 0
6 (x-1) = C  x = 1
Diselidiki x = 1
Untuk x < 1 diambil x = 0.5  f y y (0.5) = -3
F y y (x) < 0 berarti f(x) cekung
untuk x > 1 diambil x = 1.5  f y y (1.5) = 3
f y y (x) > 0 berarti f(x) cembung
Titik B (1, 4) merupakan titik belok
Sket grafik dari f(x) = x3 – 3x2 + 6
Y
6
4
-2
-1
0
1
2
3
4
X
9.11 PENGGUNAAN TURUNAN PARSIIL
1. UNTUK MENCARI TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Jika f (x, y) = 0 maka turunannya dapat dicari dengan rumus
dy
= –
dx
af
ax
af
ay
af
 0
ay
;
Contoh :
Cari
dx
jika diketahui x2 + xy + y2 = 1
dy
Penyelesaiannya :
af
a
a
a
a
=
(x2) +
(x) y +
(y) +
(y2) = 0
ax
ax
ax
ax
ax
= 2x + y
af
a
a
a
a
=
(x2) +
(x) y +
(y) +
(y2) = 0
ay
ay
ay
ay
ay
= x + 2y

dy
2x  y
–
dx
x  2y
2. BIDANG SINGGUNG DAN GARIS NORMAL
Suatu luasan z = f (x, y). Bidang singgung pada suatu luasan di titik
tertentu pada luasan itu ialah bidang yang memuat garis singgung di titik itu.
Bidang singgung ditentukan oleh dua buah garis singgung di titik itu.
Z
900
135
0
1350
Y
X
Misalkan P (x1, y1, z1) terletak pada kurve dan bidang PLKM menyinggung
luasan di titik P ditentukan oleh dua buah garis singgung yaitu PM dan PL.
Angka arah garis PL = nilai
az
pada P.
ax
Angka arah garis PM di titik P adalah
az
ay
Jika z dalam bentuk implisit { f (x, y, z)) = 0 } maka persamaan bidang
singgung di titik P (x1, y1, z1) adalah :
 af 
  (x – x1) +
 ax 
 af 
 af 
  (y – y1) +   (z – z1) = 0
 az 
 ay 
Garis yang melalui titik P dan tegak lurus pada bidang singgung disebut garis
normal pada luasan di titik P.
Persamaan garis normal :
x  x1
y  y1
z  z1
=
=
 af 
 af 
 af 
 
 
 
 ax 
 az 
 ay 
Contoh :
Tentukan persamaan bidang singgung dan garis normal pada titik yang
telah ditentukan pada luasan tertentu.
Persamaan Bola x2 + y2 + z2 – 14 = 0
di titik P (-2, 1, 3)
Penyelesaian :
af
a
a
a
a
=
(x2) +
(y2) +
(z2) –
(14) = 0
ax
ax
ax
ax
ax
= 2x
 af 
= 2(-2) = -4
 
 ax ( x  2)
 af 
 
 ay ( y 1)
= 2y = 2(1) = 2
 af 
= 2z = 2(3) = 6
 
 az ( z  3)
Persamaan bidang singgung di titik P (-2, 1, 3)
-4 (x + 2) + 2 (y – 1) + 6 (z – 3) = 3
2 (x + 2) – (y – 1) – 3 (z – 3) = 0
2x – y – 3z + 14 = 0
Persamaan garis Normal
y 1
z 3
x2
=
=
2
6
4
y 1
z 3
x2
=
=
3
2
1
3. MAKSIMUM DAN MINIMUM SUATU FUNGSI
Suatu fungsi z = f (x, y) jika z mempunyai harga maksimum z1 pada x
= x1 dan y = y1 hal ini dapat diartikan bidang singgung pada R (x1, y1) akan
sejajar dengan bidang xy dan garis normal sejajar dengan sumbu z.
Syarat suatu fungsi z = f (x, y) mencapai maksimum atau minimum
ditentukan harga x dan y sehingga
az
az
= 0 dan
= 0.
ax
ay
2
 a2 z 
a2 z
a2z
 – 2 .
Q = 
untuk x = x1 dan y = y1
ay 2
ax
 ayax 
z1 = f (x1, y1) akan merupakan harga :
(1) Maksimum jika Q < 0 dan
(2) Minimum jika Q < 0 dan
a2 z
negatif.
ax 2
a2 z
positif.
ax 2
(3) Bukan maksimum / minimum jika Q > 0.
(4) Jika Q = 0 sifat ini tidak bisa menentukan sifat z mungkin maksimum /
minimum atau bukan kedua-duanya.
Contoh :
Tentukan titik pada luasan
z = 16 – 2x + 10y – x2 + 2xy – 2y2 sehingga z maksimum atau minimum.
Penyelesaian :
az
= – 2 – 2x + 2y
ax
 – 2x + 2y – 2 = 0 (I)
2 x  4 y  10  0( II )
 2y  8  0
a2 z
=2
ay.ax
y4
x3
 az 
a 
2
 ax  = a z = –2
ax
ax 2
az
= 10 + 2x – 4y
ay
 2x – 4y + 10 = 0 (II)
 az 
a 
2
 ay  = a z = –4
ay 2
ay
Q = (2)2 – (–2) (–4) = –4
Q < 0 dan
a2 z
negatif
ax 2
z = 16 – 2(3) + 10(4) – (3)2 + 2(3.4) – 2(4)2 = 33
z = 33 (maksimum)
9.12 CONTOH PENGGUNAAN NILAI EKSTRIM
1. Suatu kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk bujur sangkar akan dibuat
dari selembar karton dan volume kotak itu 4 m3.
Tentukan ukuran kotak tersebut agar bahan yang dipergunakan seminimal
mugkin.
Penyelesaiannya :
Misalkan panjang sisi kotak x dan tinggi kotak y. Dengan demikian
volume kotak (v) adalah :
V = x2 y
 4 = x2 y
y=
4
x2
dengan x > 0
y
x
Banyaknya karton yang diperlukan = luas seluruh permukaan kotak.
L (x) = x2 + 4xy
= x2 + 4x (4/x2) = x2 + 16/x2 dengan x > 0
L y (x) =
2 x 3  16
nilai kritis L y (x) = 0
2
x
2 x 3  16
= 0
x2
 2x3 – 16 = 0
 x=2
Untuk membuktikan x = 2 apakah minimum / maksimum dicari turunan ke-2
dari L(x)
L y y (x) = 2 + 32/x3
 L y y (2) = 6
Jadi L y y (x) > 0
 x = 2 minimum
Ukuran kotak itu x = 2 m dan y = 1 m.
2. Suatu pabrik memproduksi kotak tanpa tutup dengan volume (v = 32 dm3).
Tentukan ukuran kotak agar bahan yang dipergunakan sehemat-hematnya.
Penyelesaian :
Misalkan x = panjang kotak ; y = lebar kotak dan z = tinggi kotak
v = xyz = 32
z = 32/xy
Luas bahan yang diperlukan (A)
A = 2xz + 2yx + xy
= 2x (32/xy) + 2y (32/xy) + xy
= 64/y + 64/x + xy
Agar bahan yang diperlukan sekecil-kecilnya maka harus dipenuhi :
aA
=0
ax
dan
aA
=0
ay
a
a
a
aA
=
(64/y) +
(64/x) +
(xy) = –64/x2 + y
ax
ax
ax
ax
 yx2 = 64
–64/x2 + y = 0
aA
a
a
a
=
(64/y) +
(64/x) +
(xy) = –64/y2 + x
ay
ay
ay
ay
 xy2 = 64
–64/y2 + x = 0
yx2 = xy2
x=y
(x) (x2) = 64
 x=4
y=4
z=2
 ukuran kotak (4, 4, 2) dm
3. Seorang pengendara sepeda motor berada di titik O di tengah gurun pasir yang
berjarak 15 km dari titik A yaitu titik terdekat yang bisa dicapai di jalan raya.
Ia bermaksud menuju titik B di jalan raya tersebut dimana AB = 40 km. Bila
kecepatan tempuh sepeda motor di jalan raya 80 kim/jam di gurun pasir 20
km/jam, tentukan suatu titik di jalan raya yang harus dicapai lebih dahulu agar
waktu yang ditempuh untuk mencapai B adalah secepat-cepatnya.
Penyelesaian :
A
C
B
40 – x
15
O
Misal titik C adalah titik yang mula-mula pada jalan raya yang berjarak x dari
A.
OC = 152  x 2
CB = 40 – x
=
225  x 2
Waktu =
t
=
Jarakyangditempuh
kecepa tan
CB
OC
+
80
20
40  x
225  x 2
+
80
20
=
Agar waktu secepat-cepatnya maka t harus mencapai ekstrim.

dt
= 0
dx
dt
=
dx
x
dt
=0
dx
225  x 2 .20

–
1
80
x
225  x .20
2
–
1
= 0
80
Setelah diselesaikan akan didapatkan x = 15
 agar waktu tempuh secepat-cepatnya maka titik mula-mula yang harus
dicapai di jalan raya adalah titik C yang berjarak
15 km dari titik A.
4. Seorang pemilik kebun kelapa menyatakan bahwa sebatang pohon kelapa
dapat menghasilkan 200 butir buah kelapa per tahun apabila tidak lebih dari
10 pohon di tanam setiap tahun luas.
Untuk setiap tambahan satu pohon di atas 10 pohon per satuan luas akan
menyebabkan berkurangnya 5 butir buah kelapa per pohon.
Berapa pohon kepala yang harus ditanam, per satuan luas agar hasilnya
maksimum.
Penyelesaian :
Misalkan x banyaknya pohon kelapa yang harus ditanam per satuan
luas.
Banyaknya hasil per pohon (N) sangat tergantung dari x sehingga
N=
f(x).
Setiap tambahan 1 pohon di atas 10 pohon akan menghasilkan 5 butir lebih
sedikit.
N = 200 – 5 (x – 10) bila x > 10
Hasil per satuan luas = T = xN = x (250 – 5x) = 250x – 5x2
Supaya T maksimum pada T harus mencapai titik ekstrim.
dt
= 250 – 10x
dx

d 2t
= –10
dx 2
250 – 10x = 0 maka x = 25.
d 2t
< 0 berarti x = 25 maksimum
dx 2
Hasil maksimum (T maksimum) = 250(25) – 5(25)2 = 3125
Jadi 25 pohon kelapa ditanam setiap satuan luas agar mendapatkan hasil yang
maksimum.
5. Jumlah biaya Radio sebanyak x buah adalah $ (1/4 x2 + 35x + 25) dan harga
sebuah radio jika dijual adalah $ (50 – 1/2x).
Berapakah jumlah radio yang harus dibuat agar mendapatkan laba sebanyakbanyaknya.
Penyelesaian :
Misalkan dibuat x radio setiap hari. Laba = y = harga jual – biaya produksi.
y
= x (50 – x/2) – (x2/4 + 35x + 25)
= 50x – x2/2 – (x2/4 + 35 + 25)
yy =
30  3x
2
0
30  3x
2
=
 y y y = – 3/2
 y y y < 0 (maksimum).
 x = 10
Jadi paling banyak 10 buah radio dibuat setiap hari agar mendapatkan
keuntungan maksimum.
SOAL-SOAL UNTUK LATIHAN
1.
Persamaan Garis Tangen dan Normal Pada Kurva
y = x3 – 2x3 + 5x – 2 di R (2,6)
2.
Persamaan Garis Singgung (Tangen) dan Garis Normal Pada Kurva
y = x3 – 2x2 + 5 di D (2, 4)
3.
Tentukan panjang subtangen; subnormal; tangen dan normal dari:
a. XY + 2x – y2 = 4 di titik (2, 3)
b. Y =
3
x 2  x + x3 + 2 di (1, 3)
4.
s = t4 – 5t3 + 10t2 – 9t + 3m, t = 1 detik
5.
 = t3/50 – t
6.
f (x) = x2 – 2x + 3
7.
Tentukan nilai dan titik maksimum dan minimum mutlak dari f (x) = x4 – 2x2 pada
interval (–2, 2)
8.
Tentukan maksimum/minimum mutlak dari fungsi
f (x) = x3 + 12x2 + 45x + 51 pada interval (–6, 0)
9.
Cari titik maksimum/minimum kurva z = e –x2 + xy + y2
f (x) = x3 + 3x2 – 3x – 3