Modul 6 Lemma Ito dan Simulasi Monte Carlo

Bab 6
Minggu ke 10
Lemma Ito & Simulasi Monte Carlo
Tujuan Pembelajaran
Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini ,
mahasiswa bisa :
 Menjelaskan tentang Model matematis harga Saham
 Membuat simulasi harga saham
 Membuat simulasi harga opsi tipe Eropa
 Membuat simulasi harga opsi tipe Amerika
menggunakan metode Estimasi Least Square
6.1 Proses Ito Untuk Harga Saham
 Proses Wiener: dx = adt + bdz, a dan b konstan
 Proses Wiener Tergeneralisir: dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz
 Proses Wiener gagal dalam menangkap aspek kunci dari
harga saham, yaitu ketidakpastian dari besarnya harga
saham di masa mendatang proporsional terhadap harga
saham
 Model harga saham yang sesuai:
dS/S = μdt + σdz = μdt + σ√dt ε
(i)
dengan µ adalah nilai harapan keuntungan dan σ adalah
volatilitas
6.2 Simulasi Monte Carlo untuk Harga Saham
Contoh:
Diketahui harga saham sekarang adalah $20 dengan harapan
keuntungan µ = 14% dan volatilitas σ = 20%.
Misalkan Δt = 0.01 artinya perubahan harga saham terjadi
dalam interval waktu 0.01 tahun atau 3,65 hari.
Dari persamaan (i), diperoleh ΔS = 0,028 + 0,4ε. Untuk
periode pertama, diperoleh dari sampel, ε dari N(0,1) sama
dengan 0.52 sehingga perubahan harga saham selama
periode waktu pertama adalah ΔS = 0.0014 x 20 + 0.02 x 20 x
0.52 = 0.236
6.2 Simulasi Monte Carlo untuk Harga Saham
Setelah 3,65 hari lagi, harga saham menjadi 20 + 0.236 =
$20,236. Selanjutnya nilai dari sampel ε untuk periode
berikutnya adalah 1.44.
Dari persamaan (i), perubahan selama periode waktu kedua
adalah ΔS = 0.0014 x 20.236 + 0.02 x 20.236 x 1.44 = 0.611.
Jadi, 3,65 hari berikutnya, harga saham menjadi 20,236+0.611
= $20,847; dan begitu seterusnya.
6.2 Simulasi Monte Carlo untuk Harga Saham
Simulasi harga saham untuk µ = 0.14 dan σ = 0.20 dengan periode waktu 0.01
tahun.
Harga Saham
Awal Periode
20.000
20.236
20.847
20.518
21.146
20.883
20.603
20.719
20.292
20.617
21.124
Sampel Random
untuk ε
0.52
1.44
-0.86
1.46
-0.69
-0.74
0.21
-1.10
0.73
1.16
2.56
Perubahan harga saham
Perperiode
0.236
0.611
-0.329
0.628
-0.262
-0.280
0.115
-0.427
0.325
0.507
1.111
6.3 Formula Ito Untuk Harga Saham
1) Misalkan variabel x mengikuti proses Ito:
dx = a(x, t) dt + b(x, t) dz dimana dz merupakan proses
Wiener, a dan b adalah fungsi dari x dan t.
2) Ito mengusulkan jika G suatu fungsi dari x dan t, maka
dipunyai ekspansi deret Taylor sebagai berikut:
3) Dengan mengabaikan suku yang berorder di atas Δt
(Δt0, demikian juga dengan suku berorde di atas Δt)
diperoleh:
6.3 Formula Ito Untuk Harga Saham
4) Selanjutnya dengan melihat persamaan 1), diperoleh Δx = aΔt +
bε√Δt , dan persamaan 3) menjadi:
5) Diketahui E(ε2Δt) = Δt, karena nilai dari E(ε2) = 1.Ini dapat
diartikan bahwa nilai ε2Δt mendekati nilai Δt, sehingga
diperoleh:
6) Dengan mengambil limit diperoleh:
.
6.3 Formula Ito Untuk Harga Saham
7) Subtitusikan 1) ke 6) diperoleh:
8) Ternyata dapat kita lihat, bahwa proses G juga mengikuti proses
Ito dengan drift rate
dan standard deviasi
9) Dengan mengganti persamaan diferensial dx dengan dS pada
persamaan diferensial dG, diperoleh
.
6.3 Formula Ito Untuk Harga Saham
Contoh: Model Harga Saham Lognormal
Kita dapat menggunakan lemma Ito untuk menurunkan proses Ln S.
Diketahui model persamaan diferensial harga saham dS/S = μdt +
σdz . Kita definisikan G = ln S, dengan lemma Ito diperoleh:
dG = d lnS
= (μ- ½ σ2) dt + σdz
Karena μ dan σ konstan, persamaan ini mengindikasikan bahwa G =
Ln S mengikuti proses Wiener tergeneralisir.
Selanjutnya dapat dibuktikan juga bahwa
Ln ST — Ln S0 ~ N((μ -0.5σ2)T; σ2T).
Bab 6
Minggu ke 11
Simulasi Monte Carlo Untuk Harga
Opsi
Tujuan Pembelajaran
Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini ,
mahasiswa bisa :
 Membuat simulasi harga opsi tipe Eropa
 Membuat simulasi harga opsi tipe Amerika
menggunakan metode Estimasi Least Square
6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa
Langkah-langkah:
1) Simulasikan lintasan harga saham S secara random
2) Hitung keuntungan opsi
3) Diskontokan ekspektasi payoff pada suku bunga bebas
risiko untuk mendapatkan estimasi harga opsi.
4) Ulangi langkah 1-3 sebanyak M kali
5) Hitung rata-rata M harga opsi sebagai harga opsi MC
6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa
Contoh:
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, simulasi harga saham
akan menggunakan persamaan (i) . Diketahui S0 = 300.000,
dan K = 400.000. Dari simulasi tersebut kita dapatkan
matriks S berikut :
Lintasan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S1
S2
S3
358.715
244.769
374.912
265.729
364.138
236.772
298.120
354.810
259.262
331.194
360.240
264.284
426.973
403.955
483.065
329.832
292.504
395.449
254.813
304.204
403.944
251.379
337.813
457.694
526.561
414.610
310.227
512.307
282.399
403.741
6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa
Dari simulasi lintasan harga saham, kemudian dihitung
keuntungan opsi atau payoff pada waktu jatuh tempo. Opsi
put tipe Eropa menggunakan formula K-ST dengan
K=400.000 adalah harga kontrak.
Lintasan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
S3
403.944
251.379
337.813
457.694
526.561
414.610
310.227
512.307
282.399
403.741
Payoff
0
148.621
62.187
0
0
0
89.773
0
117.601
0
6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa
Dari tabel keuntungan opsi di atas, kemudian dihitung harga
opsi dengan mendiskonto semua payoff kewaktu t0dan
mengambil nilai rata-rata sebagai harga opsi simulasi MC.
Lintasan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Payoff Harga Opsi
0
148.621 144.952
62.187 60.652
0
0
0
89.773 87.556
0
117.601 114.697
0
-
6.4 Metode Monte Carlo Standar Opsi put Eropa
Diperoleh estimasi harga opsi simulasi monte carlo adalah:
0  144.952  60.652  0  0  0  87.556  0  114.697  0
10
407.857

10
 40.786

6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi
Put Amerika
Langkah-langkah:
1) Simulasi short rate
2) Simulasi harga saham menggunakan input dari nilai short rate
yang telah disimulasikan terlebih dahulu
3) Menghitungkeuntungan opsi pada tiap-tiap waktu tiap
lintasan
4) Menghitung waktu optimal untuk mengeksekusi opsi amerika
a) Menentukan nilai YT-1 = e-rtfT , nilai diskonto keuntungan
opsi pada waktu jatuh tempo T ke waktu T-1, untuk semua
lintasan.
b) Meregresikan YT-1 dengan nilai ST-1 dan rT-1 , selanjutnya
diperoleh nilai YT-1(hat).
6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi
Put Amerika
c)
Bandingkan nilai YT-1(hat) dengan fT-1. Jika nilai YT1(hat) > fT-1 opsi tidak segera dieksekusi, dilanjutkan
karena nilai harapannya lebih besar, dan sebaliknya.
d) Ulangi proses 4-7 sampai waktu t =1.
e) Untuk masing-masing lintasan diperoleh waktu yang
optimal dan keuntungan opsi pada waktu tersebut.
Harga opsi untuk masing-masing lintasan adalah nilai
diskonto dari keuntungan optimal tersebut.
5) Hitung rata-rata harga opsi semua lintasan sebagai harga
opsi MCKT.
6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi
Put Amerika
Contoh:
Misalkan terdapat sebuah opsi put Amerika dengan
assetinduk berupa saham. Diketahui S0= $30, σ = 30% dan
tingkat hasil dividen sebesar 2%. Opsi tersebut dapat
dieksekusi pada harga K = $40 pada saat t1, t2, dan t3, dimana
saat t3adalah masa berakhirnya hak opsi, jadi panjang
intervalnya adalah 1/3.Diketahui pula bahwa tingkat suku
bunga bebas risiko saat ini adalah sebesar 2% ,memiliki
volatilitas sebesar 5%. Simulasi akan dilakukan sebanyak 10
kali.
6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi
Put Amerika
Langkah 1 : Simulasi harga saham dan short rate
6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi
Put Amerika
Langkah 2 : Menghitung matriks payoff
6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi
Put Amerika
Langkah 3 : Menentukan nilai opsi
6.5 Metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil Opsi
Put Amerika
Pada lintasan pertama, opsi dieksekusi pada t2, sehingga nilai 3.9760
dari matriks payoff didiskonto ke t0 (saat ini). Diketahui dari matriks
short rate , nilai short rate lintasan pertama pada t2adalah 0.0325
(3,25%) dan t1adalah 0.0287 (2.87%). Nilai saat ini dari 3.9760 adalah
3.9760.e
 3  0.02387. 13 
0.0325. 1
 3.8957
Maka estimasi nilai opsi yang diperoleh adalah 94.3863
10
 9.4386
Dari hasil perhitungan, didapat bahwa estimasi nilai opsi sebesar
$9.4386.Artinya, harga wajar menurut hasil perhitungan dengan
metode Monte Carlo Kuadrat Terkecil dari sebuah opsi dengan data
parameter yang telah diberikan adalah sebesar $9.4386.
Thank You