Variabel Acak dan Teori Probabilitas.

Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
Tujuan Pembelajaran
• Mengidentifikasi dan membedakan variabel acak diskrit dan
kontinu.
• Memahami dan menggunakan konsep-konsep distribusi
probabilitas diskrit, fungsi probabilitas, dan fungsi
distribusi kumulatif variabel acak diskrit
• Memahami dan menggunakan konsep distribusi probabilitas
kontinu, fungsi kepadatan probabilitas, dan fungsi distribusi
kumulatif variabel acak kontinu
• Memahami dan menggunakan distribusi probabilitas dengan
parameter
• Memahami dan menggunakan konsep nilai harapan (harapan
matematik)
• Memahami dan menggunakan konsep momen
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
Agenda
•
•
•
•
•
Konsep Variabel Acak
Distribusi Probabilitas
Distribusi Gabungan
Harapan Matematis
Pembangkitan Momen
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
• Variabel acak adalah suatu fungsi yang menghubungkan
sebuah bilangan real dengan setiap unsur dalam ruang sampel.
• Bila suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan
terhingga atau urutan yang tidak terbatas dengan unsur
sebanyak jumlah bilangan bulat, ruang sampel model ini
disebut sebagai ruang sampel diskrit
• Bila suatu ruang sampel berisi sejumlah kemungkinan tak
terhingga yang sama dengan jumlah titik-titik dalam sebuah
segmen garis, ruang sampel model ini disebut sebagai ruang
sampel kontinyu.
• Variabel acak diskrit bila himpunan keluarannya dapat
dihitung.
• Variabel acak dapat mengambil nilai-nilai pada skala kontinyu
disebut sebagai variabel acak kontinyu.
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
Contoh
Seorang petugas ruang simpan mengembalikan tiga helm keselamatan secara
acak kepada tiga pegawai pabrik baja yang sudah memeriksa helm tersebut.
Bila Smith, John, dan Brown di dalam urutan itu, menerima salah satu dari 3
helm itu, tulislah titik-titik contoh bagi urutan yang mungkin dari
pengembalian helm tersebut, dan carilah nilai m dari peubah acak M yang
mewakili jumlah kecocokan yang tepat.
Penyelesaian:
Bila S, J dan B masing-masing menunjukkan helm milik Smith, Jones dan
Brown maka susunan yang mungkin dimana helm akan dikembalikan dan
jumlah kecocokan yang benar adalah
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Probabilitas
Himpunan pasangan nilai-nilai variabel acak X dengan probabilitas nilai-nilai
variabel acak X, P(X = x) disebut probabilitas X atau disingkat distribusi X. Himpunan
pasangan tersusun (x, f(x)) adalah sebuah fungsi probabilitas atau fungsi kerapatan
probabilitas dari variabel acak X untuk setiap keluaran x yang mungkin. Sifat-sifat fungsi
f(x) adalah
a. Variabel acak diskrit
1. f x  P X  x  fungsi probabilitas
2.
f x   0
3.
 f x   1
x
b. Variabel acak kontinyu
b
1.
Pa  X  b   f ( x)dx  fungsi kepadatan probabilitas/probability
a
2.
3.
density function (pdf)
f x   0

 f xdx  1

Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Probabilitas
Jika variabel acak X memiliki fungsi probabilitas f(x), maka fungsi distribusi kumulatif
dari X, yaitu F(x) dinyatakan sebagai

  f x 
 X  x
F x   P X  x   
X
  f  x dt

X diskrit
X kontinyu
Fungsi distribusi kumulatif F(x) dapat dinyatakan pada interval a  X  b yaitu
sebagai:
Pa  X  b  F b  F a .
Fungsi kerapatan probabilitas f(x) dapat dinyatakan sebagai hubungan dengan distribusi
kumulatif sebagai:
f x  
dF  x 
dx
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Probabilitas
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Probabilitas
Contoh: 1
Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang
cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari komputer ini, carilah
sebaran probabilitas untuk jumlah cacat.
Penyelesaian :
Ambil X sebagai peubah acak yang nilai x-nya adalah jumlah komputer cacat yang
mungkin dibeli oleh sekolah tersebut. Maka x dapat menjadi salah satu dari bilangan
0,1,2. Sekarang
 3  5 
 3  5 
  
  
0  2  10
1 1
15

f  0  P  X  0 
 , f 1  P  X  1      ,
18
18
8
8
 
 
2

 2
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Probabilitas
 3  5 
  
2  0  3

f  2  P  X  0 

8
18
 
 
 2
sehingga sebaran probabilitas dari X adalah
X
f(x)
0
10
28
1
15
28
2
3
28
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Probabilitas
Contoh 2
Pada sebuah eksperimen probabilitas satu kali melempar dua buah
dadu secara bersamaan, distribusi probabilitas dari jumlah mata
dadu yang muncul ditentukan sebagai berikut:
Ruang sampell eksperimen adalah pasangan mata dadu yang
mungkin:
(1,1) (1,2)
(1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
Jika X adalah varibel acak diskrit yang menyatakan jumlah mata
dadu yang mungkin mucul, maka X = {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Probabilitas
• Distribusi probabilitas untuk masing-masing nilai
variabel X membentuk fungsi probabilitas sebagai
berikut:
• P(X=2) = p(2) = 1/36
P(X=8) = p(8) = 5/36
• P(X=3) = p(3) = 2/36 P(X=9) = p(9) = 4/36
• P(X=4) = p(4) = 3/36 P(X=10) = p(10) = 3/36
• P(X=5) = p(5) = 4/36 P(X=11) = p(11) = 2/36
• P(X=6) = p(6) = 5/36 P(X=12) = p(12) = 1/36
• P(X=7) = p(7) = 6/36
• Fungsi probabilitas untuk variable diskrit seperti
di atas dapat ditampilkan dalam bentuk grafik
batang
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Probabilitas
p(x)
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
x
2. Distribusi Probabilitas
•
Dari fungsi probabilitas jumlah mata dadu yang muncul pada eksperimen
melempar dua mata dadu dalam Contoh 2 dapat dibentuk fungsi distribusi
kumulatif (cdf) sebagai berikut:
 p( x )  p(2)  1/ 36
x 2
F (3)   p( x )  p(2)  p(3)  1/ 36  2 / 36  3 / 36
x 3
F (4)   p( x )  p(2)  p(3)  p(4)  1/ 36  2 / 36  3 / 36  6 / 36
x 4
F (5)   p( x )  p(2)  p(3)  ...  p(5)  1/ 36  2 / 36  ...  4 / 36  10 / 36
x 5
F (6)   p( x )  p(2)  p(3)  ...  p(6)  1/ 36  2 / 36  ...  5 / 36  15 / 36
x 6
F (7)   p( x )  p(2)  p(3)  ...  p(7)  1/ 36  2 / 36  ...  6 / 36  21/ 36
x 7
F (8)   p( x )  p(2)  p(3)  ...  p(8)  1/ 36  2 / 36  ...  5 / 36  26 / 36
x 8
F (9)   p( x )  p(2)  p(3)  ...  p(9)  1/ 36  2 / 36  ...  4 / 36  30 / 36
x 9
F (10)   p( x )  p(2)  p(3)  ...  p(10)  1/ 36  2 / 36  ...  3 / 36  33 / 36
x 10
F (11)   p( x )  p(2)  p(3)  ...  p(11)  1/ 36  2 / 36  ...  2 / 36  35 / 36
x 11
F (12)   p( x )  p(2)  p(3)  ...  p(12)  1/ 36  2 / 36  ...  1/ 36  36 / 36
F (2) 
x 12
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Probabilitas
F(x)
36/36
30/36
24/36
18/36
12/36
6/36
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
x
2. Distribusi Probabilitas
Contoh 3.
Carilah sebaran kumulatif peubah acak X dalam contoh 3.4. Dengan menggunakan F(x),
buktikanlah bahwa f(2) = 3/8.
Penyelesaian:
Penghitungan langsung sebaran probabilitas dari contoh 3.4 memberikan f(0) = 1/16,
f(1) = ¼, f(2) = 3/8, f(3) = ¼, dan f(4) = 1/16. Sehingga
F  0  f  0 
1
,
16
F 1  f  0   f 1 
5
,
16
F  2   f  0   f 1  f  2  
11
,
16
F  3  f  0   f 1  f  2   f  3 
15
’
16
F  4  f  0  f 1  f  2  f 3  f  4   1 .
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Probabilitas
Sehingga
 0
1
 16
 165
F  x    11
 16
15
 16

 1
untuk
x0
untuk
0  x 1
untuk
1 x  2
untuk
2 x3
untuk
3 x  4
untuk
x4
Sekarang,
f  2   F  2   F 1 
11 5 3
 
16 16 8
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Probabilitas
Contoh 4
Andaikan bahwa kesalahan dalam temperatur reaksi, dalam
oC, untuk sebuah percobaan laboratorium yang diatur
merupakan suatu peubah acak kontinu X yang mempunyai
fungsi kepekatan probabilitas
 x3
f  x  
0
2
,
1  x  2
di
tempat
lain
a. Tunjukkan bahwa  f xdx  1

b. Carilah
P  0  X  1
c. Carilah F(x)
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
2. Distribusi Probabilitas
• Penyelesaian
x
x
8 1
f
x
dx

dx


 1


3
a. 
3
9 9
x
x
1
P  0  x  1   dx 

b.
3
9
9
t
t
F
x

f
t
dt

dt





c. Untuk -1 < x < 2

3
9

2

1
2
1
2
2
2
1
3 1
0
 0,
 3
 x 1
F  x  
,
 9
 1,
0
x
x
1
1
2
x  1
1  x  2
x2
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
3
x3  1

9
1
x
2. Distribusi Probabilitas
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
3. Distribusi Gabungan
Fungsi f(x,y) merupakan distribusi probabilitas gabungan atau fungsi kerapatan
distribusi dari variabel acak diskrit X dan Y, bila
1. f x, y  0 , untuk semua (x,y)
2.
 f x, y   1
x
y
3. PX  x, Y  y  f x, y
Untuk setiap daerah A pada bidang datar xy, maka
P X , Y   A   f x, y 
A
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
3. Distribusi Gabungan
Fungsi f(x,y) merupakan distribusi probabilitas gabungan atau fungsi kerapatan
distribusi dari variabel acak kontinyu X dan Y, bila
1. f x, y   0 , untuk semua (x,y)
2.
  f x, y dxdy  1
3.
P X , Y   A    f x, y dxdy
A
Untuk semua daerah A pada bidang datar xy
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
3. Distribusi Gabungan
Distribusi marginal dari variabel acak X atau Y saja diberikan oleh
g  x    f  x, y 
y
dan
h y    f x, y  ,
untuk
distribusi
diskrit
dan
x
g x    f x, y dy dan h y    f x, y dx untuk distribusi kontinyu.
Untuk dua variabel acak X dan Y, diskrit atau kontinyu, maka distribusi bersyarat untuk
variabel acak Y , karena X = x, diberikan oleh
f x, y 
f y x 
g x 
Untuk distribusi bersyarat dari variabel acak X untuk Y = y, diberikan oleh:
f x, y 
f x y  
h y 
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
3. Distribusi Gabungan
Untuk dua variabel acak X dan Y, diskrit atau kontinyu, dengan distribusi probabilitas
gabungan diberikan oleh f(x,y) dan distribusi marginal diberikan oleh g(x) dan h(y),
maka variabel acak X dan Y dikatakan tidak saling ketergantungan jika dan hanya jika
f x, y   g xh y  untuk semua (x,y).
Untuk n variabel acak X1, X2, ..., Xn, diskrit atau kontinyu dengan masing masing
distribusi probabilitas gabungan f(x1, x2, …, xn) dan distribusi marginal f1(x1), f2(x2), …,
fn(xn), variabel acak X1, X2, ..., Xn dikatakan saling tak tergantung secara statistik jika
dan hanya jika
f x1 , x2 ,..., xn   f1 x1  f 2 x2  f 3 x3 ... f n xn 
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
3. Distribusi Gabungan
Contoh 5
Sebuah perusahaan kembang gula mendistribusikan kotak cokelat dengan campuran krim,
toffees, dan kacang yang dibalut dengan cokelat warna muda dan gelap. Untuk kotak yang
dipilih secara acak, diambil X dan Y masing-masing sebagai perbandingan cokelat warna
muda dan gelap yang dicampur dengan krim dan andaikan bahwa fungsi kepekatan
gabungan adalah
2
 (2 x  3 y ), 0  x  1,
f ( x, y )   5

0,
di tempat

0  y  1


lain
(a) Uraikan kondisi 2 dari Definisi 3.9
1 1
1

(b) Carilah P [ ( X, Y ) Є A ], dimana A merupakan wilayah  x, y  | 0  x  ,  y   .
2 4
2

Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
3. Distribusi Gabungan
Penyelesaian

(a)

 

1 1
f ( x, y)dx dy 

1

0
2
0 0 5 (2 x  3 y)dx dy
2 x 2 6 xy

5
5
x 1
dy
x 2
2 y 3y
 2 6y 
  
dy



5 5 
5
5
0
1

2 1
0
2 3
  1.
3 5
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
3. Distribusi Gabungan
(b) P [(X,Y)  A] =
P(0 < X <
1
1
2
 

1
1

2
4
2

1
1
4
0
1 1
1
, Y )
2 4
2
2
(2 x  3 y ) dx dy
5
2 x 2 6 xy

5
5
x 1
2
dy
x 0
y 3y
 1 3y 
     dy  
5 
10 10
1  10
2
4

1  1 3   1 3  
    
10  2 4   4 16  
2
1
1

2
4
13
.
160
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
3. Distribusi Gabungan
Contoh 6
Kepekatan gabungan untuk peubah acak (X, Y), dengan X adalah perubahan suhu
satuan dan Y adalah perbandingan pergeseran spektrum yang dihasilkan oleh partikel atom
tertentu, adalah
10 xy 2 ,
0  x  y 1
f  x, y   
lain
 0, di tempat
(a) Carilah kepeakatan marginal g(x), h(y) dan kepekatan kondisional f(y|x)!
(b) Carilah probailitas dimana pergeseran spektrum lebih dari pada setengah pengamatan
total, karena suhu ditingkatkan sampai 0,25 satuan.
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
3. Distribusi Gabungan
Penyelesaian:
(a) Sesuai definisi,
g  x 



g  x 
y 1
1
10
f  x, y dy   10 xy dy  xy 3
3
x

2

 f  x, y dy  10xy dy  5x

0

x y
y
2
yx

10
x 1  x3 ,
3
2
y
 5y4 ,
2
0  y 1
x 0
Sekarang,
f  y x 
f  x, y 
g  x
10 xy 2
3y2


,
3
3
10
x
1

x
1

x
3

 
0  x  y 1

Sehingga,
P Y 
1
2
X  0, 25 
1
1
1/ 2
1/ 2
3y2
8
dy

9
1  0, 253
  fy x  0, 25 dy   

Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
0  x 1
4. Harapan Matematis
Bila variabel acak X mempunyai fungsi probabilitas f(x) = P(X=x), maka nilai
harapan matematis X, E(X), dinyatakan oleh:

  xf x 
 X  x
EX   

  xf  x dx

X diskrit
X kontinyu
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
 
Harapan matematis berguna untuk menentukan mean   , variansi  2 , atau standar
deviasi   dari populasi yang dirumuskan sebagai:
1. Mean populasi,   E X 
2. Variansi populasi

 2  E  X   2


2
  x    f x 
 X  x


2
   x    f  x dx

3. Standar deviasi  
X diskrit
X kontinyu
X    
2


Besarnya variansi dapat disederhanakan menjadi  2  E  X     E X 2    2
2
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Bila X adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas f(x), mean dari
variabel acak g(X) diberikan oleh
 g ( X )  Eg ( X )   g ( x) f ( x)
Untuk X diskrit, dan

 g ( X )  Eg ( X )   g ( x) f ( x)dx

jika X kontinyu.
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis 2
Distribusi
Bila X dan Y adalah dua variabel acak dengan distribusi probabilitas gabungan
f(x,y), mean dari variabel acak g(X,Y) diberikan oleh
 g ( X ,Y )  Eg ( X , Y )   g ( x, y ) f ( x, y )
x
y
untuk X dan Y diskrit, dan

 g ( X ,Y )  Eg ( X , Y )    g ( x, y) f ( x, y )dxdy

untuk X dan Y kontinyu.
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Varians Variabel Acak
Bila X adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas f(x) dan mean,  ,
variansi X diberikan oleh


 2  E  X   2    X   2 f ( x)
untuk X diskrit, dan


 2  E  X   2    X   2 f ( x)dx
jika X kontinyu.
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Bila X adalah variabel acak dengan distribusi probabilitas f(x) dan mean,  ,
variansi g(X) diberikan oleh


 g2( X )  E g ( X )   g ( X ) 2   g ( X )   g ( X ) 2 f ( x)
untuk X diskrit, dan

2
g(X )

  g ( X )   
 E g ( X )   g ( X )  
2

2
g(X )
f ( x)dx

jika X kontinyu.
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Bila X dan Y adalah dua variabel acak dengan distribusi probabilitas gabungan f(x,y),
standar deviasi dari variabel X dan Y diberikan oleh:
 XY  E X   X Y   Y    x   X  y   Y  f ( x, y )
x
y
bila X dan Y adalah diskrit, dan
 XY  E X   X Y  Y     x   X  y  Y  f ( x, y )dxdy
untuk X dan Y adalah kontinyu.
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Standard deviasi dua variabel acak X dan Y dengan masing-masing mean
 X dan Y diberikan oleh
 XY  EXY    X Y
Bila X dan Y merupakan dua variabel acak dengan standar deviasi gabungan
 XY dan standar deviasi masing-masing  X dan  Y , koefisien korelasi X dan Y diberikan
oleh
 XY 
 XY
 XY
dimana nilai koefisien korelasi memenuhi persyaratan  1   XY  1 .
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Sifat-sifat dari harapan matematis adalah:
a.
E(c) = c
b.
E(bX) = bE(X)
c.
d.
E(a + bX) = a + bE(X)
Nilai harapan matematis dari penjumlahan atau perbedaan dua atau lebih fungsi
suatu variabel acak X adalah penjumlahan atau perbedaan dari masing-masing nilai
harapan matematis tersebut, yang diberikan oleh
Eg ( X )  h( X )  Eg ( X )  Eh( X )
e.
Nilai harapan matematis dari penjumlahan atau perbedaan dua atau lebih fungsi
suatu variabel acak X dan Y merupakan penjumlahan atau perbedaan dari masingmasing nilai harapan matematis tersebut, yang diberikan oleh
Eg ( X , Y )  h( X , Y )  Eg ( X , Y )  Eh( X , Y )
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
f.
Bila X dan Y adalah dua variabel acak bebas, maka
EXY   EX EY 
g.
Jika a dan b adalah konstanta
2
2 2
2 2
 aX

a


a
 , bila a = 1 maka
b
X
 X2 b   X2   2 , bila b = 0, maka
2
 aX
 a 2 X2  a 2 2
h.
Jika X dan Y adalah dua variabel acak dengan distribusi probabilitas gabungan
f(x,y), maka
2
2 2
2 2
 aX
 bY  a  X  b  Y  2ab XY
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
i.
Bila X dan Y adalah variabel acak bebas maka
2
2 2
2 2
 aX

a


b
Y
 bY
X
j.
Bila X dan Y adalah variabel acak bebas, maka
2
2 2
2 2
 aX

a


b
Y
bY
X
Jika X1, X2, …, Xn adalah variabel acak bebas, maka
k.
 a2 X a X
1
1
2
21...  an X n
2
 a12 X2 1  a22 X2 2  ...  an2 Xn
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Contoh 7.
Misalkan variabel acak X mempunyai distribusi probabilitas:
X
P(X)
-3
1
6
6
1
2
9
1
3
Tentukanlah:
a. E(X) dan E(X2);
b. E{(2X + 1)2};
c. E[{X – E(X)}2 ]!
Penyelesaian :
a. E(X)
=
=
=
=
 x P( X = x )
( -3 ) 1/6 + ( 6 ) 1/2 + ( 9 ) 1/3
11 / 2
5,5
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
E(X2) =  x2 P( X = x )
=
( -3 )2 1/6 + ( 6 )2 1/2 + ( 9 )2 1/3
=
93 / 2
=
46,5
b. E{(2X + 1)2} =
=
=
=
c. E[{X – E(X)}2 ]
E(4X2 + 4X + 1)
4 E(X2) + 4 E(X) + E(1)
4 . 46,5 + 4 . 5,5 + 1
209
=
=
=
=
E[X2 – 2XE(X) + E(X)2]
E(X2) – 11 E(X) + 30,25
46,5 – 11 . 5,5 + 30,25
16,25
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Contoh 8
Kebutuhan mingguan untuk minuman tertentu, dalam ribuan liter, dari toko lokal,
adalah variabel acak kontinyu g(X) = X2 + X – 2, di mana X mempunyai fungsi
kerapatan sebagai berikut:
,1  x  2
2( x  1)
f ( x)  
, yang lainnya
 0
Tentukan nilai yang diharapkan dari kebutuhan mingguan minuman tersebut.
Penyelesaian:
E(X2 + X – 2) = E(X2) + E(X) – E(2).
E(2) = 2, sehingga
2
2
E ( X )   2 x( x  1)dx  2 ( x 2  x)dx  5 / 3
1
1
dan
2
2
E( X 2 )   2 x 2 ( x  1)dx  2 ( x 3  x 2 )dx  17 / 6
1
1
Jadi
2
E(X + X – 2) = (17/6) + (5/3) – 2 = 5/2
Ini berarti bahwa kebutuhan mingguan rata-rata untuk minuman adalah 2500 liter
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Contoh 4.14
Fraksi X dari para pelari pria dan fraksi Y dari pelari wanita yang bertanding dalam
lari maraton digambarkan oleh fungsi kepekatan gabungan
4 x3 ,
f  x, y   
 0,
0  x  1, 0  y  x
di tempat lain
Carilah standar deviasi X dan Y!
Penyelesaian:
Pertama kali kita harus menghitung fungsi kepekatan marginal. Keduanya adalah
4 x 3 , 0  x  1
g  x  
 0, di tempat lain
dan


2

4 y 1  y , 0  y  1
h y  
di tempat lain

 0,
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Dari fungsi kepekatan marginal yang diberikan di atas, kita hitung
1
4
 X  E  X    4 x dx  ,
5
0
4
1
Y  E Y    4 y 2 1  y 2  dy 
0
8
15
Dari fungsi kepekatan gabungan yang diberikan, kita dapatkan
1 1
E  XY     8 x 2 y 2 dxdy 
0 y
4
9
Maka
 XY  E  XY    X Y 
4  4  8 
4
    
9  5  15  225
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Contoh 8
Dalam pembuatan mikrocip galium-arsenida, telah diketahui bahwa perbandingan
antara galium dan arsenida tidak tergantung pada tingginya prosentasi pembuatan
wafer yang baik. X menyatakan perbandingan galium terhadap arsenida dan Y
menyatakan prosentasi wafer yang baik yang dihasilkan selama 1 jam. X dan Y
adalah variabel acak independen yang mempunyai kerapatan gabungan sebagai
berikut:
 x(1  3 y 2 )

,0  x  2,0  y  1
f ( x, y )  
4

0
, yang lainnya

Buktikan bahwa E(XY) = E(X)E(Y)
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
Contoh 4.11
Hitunglah variansi g(X) = 2X + 3, dimana X adalah peubah acak dengan sebaran
probabilitas
x
f(x)
0
1
2
3
1
4
1
8
1
2
1
8
Penyelesaian:
Pertama kita cari nilai tengah peubah acak 2X + 3.
3
 2 X  3  E  2 X  3    2 x  3 f  x   6
x 0
Sekarang dengan menggunakan teorema 4.3, kita dapatkan:

 2 2 X  3  E  2 X  3  2 X 3 


2
  E 2 X  3  6 
3
2


 E 4 X  12 X  9   4 x 2  12 x  9 f  x   4
2
x 0
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Penyelesaian:
1
E ( XY )  

2
0 0

0
E( X )  

2
0 0
1

0
xyf ( x, y )dxdy  
1
xf ( x, y )dxdy  

2
0 0
E (Y )  


0
1
x 0
dy  
0
2 y (1  3 y 2 )
dy  5 / 6
3
x 2 (1  3 y 2 )
dxdy
4
2(1  3 y 2 )
dy  
dy  4 / 3
0
3
x 0
1
2
0 0
1
x2
x2
x 3 (1  3 y 2 )
12
1

x 2 y (1  3 y 2 )
dxdy
4
2
0 0
x 3 y (1  3 y 2 )
12
1
1
1
1
yf ( x, y )dxdy  
x 2 y (1  3 y 2 )
8

2
0 0
xy(1  3 y 2 )
dxdy
4
x2
1
x 0
dy  
0
y (1  3 y 2 )
dy  5 / 8
2
Sehingga E(X)(Y) = (4/3)(5/8) = 5/6 = E(XY).
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Contoh 9
Kepekatan gabungan untuk peubah acak (X, Y), dengan X adalah perubahan suhu
satuan dan Y adalah perbandingan pergeseran spektrum yang dihasilkan oleh partikel atom
tertentu, adalah
10 xy 2 ,
0  x  y 1
f  x, y   
lain
 0, di tempat
(a) Carilah kepeakatan marginal g(x), h(y) dan kepekatan kondisional f(y|x)!
(b) Carilah probailitas dimana pergeseran spektrum lebih dari pada setengah pengamatan
total, karena suhu ditingkatkan sampai 0,25 satuan.
Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
4. Harapan Matematis
Penyelesaian:
(a) Sesuai definisi,
g  x 



g  x 



y 1
1
10
f  x, y dy   10 xy dy  xy 3
3
x
f  x, y dy   10 xy dy  5x y
2
0

yx
x y
y
2

10
x 1  x3 ,
3

2
 5y4 ,
2
0  y 1
x 0
Sekarang,
f  y x 
f  x, y 
g  x
10 xy 2
3y2


,
3
3
10
1 x
3 x 1 x

 
0  x  y 1

(b). Sehingga,
P Y 
1
2
X  0, 25 
1
1
1/ 2
1/ 2
3y2
8
dy

9
1  0, 253
  fy x  0, 25 dy   

Bab 4. Variabel Acak dan Distribusi Probabilitas
0  x 1