bilangan kompleks - Aflich Yusnita Fitrianna

AFLICH YUSNITA FITRIANNA, M.Pd.
BILANGAN KOMPLEKS
SISTEM BILANGAN KOMPLEKS
Definisi:
Bilangan kompleks adalah pasangan terurut dari dua bilangan
real x dan y yang dinyatakan dengan lambang z=(x,y).
Himpunan bilangan kompleks didefinisikan sebagai:
C= {z : z = (x,y) ; x, y € R}
Bilangan kompleks z= (x,y),
x =Re(z) dan y=Im(z)
Definisi
Diberikan bilangan kompleks zn  xn, yn , n  1,2 Operasi pada
himpunan bilangan kompleks didefinisikan dengan:
a. z1 = z2 jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2
b. Z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2)
c. Z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2)
d. kz1=(kx1, iky1), k konstanta real
e. Z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)

f.
z  z z ,z
z
1
1
1
2
2
2
0
y y
x
x

x y
1
2
2
1
2
2
2
2
y x y
x
i
x y
2
1
2
1
2
2
2
2
Definisi
Diberikan bilangan kompleks z= x+iy; x,y€R. Bilangan kompleks
sekawan (konjuget) dari z didefinisikan dengan z  x  iy

Teorema
Diberikan z1, z2 € C, Operasi konjuget pada sistem bilangan
kompleks adalah:
(a ) z1  z 2  z1  z 2
(b) z1  z 2  z1  z 2
(c) z1 z 2  z1. z 2
(d ) z1 / z 2  z1 / z 2
(e) z  z
2
2
( f ) z z  [Re( z )]  [Im( z )]
( g ) z  z  2 Re( z )
(h) z  z  2i Im( z )

1.
Contoh
Diberikan z1  4  3i dan z 2  5  2i carilah:
(a ) z1  z 2
(b) z1 z 2
(c )
z
z
1
2
Penyelesaian
(a) z1  z 2  (4  3i )  (5  2i )  (4  5)  (3  2)i  9  i
(b) z1 z 2  (4  3i )(5  2i )  (20  6)  (8  15)i  26  7i
(c ) z
z
1
2
4  3i 5  2i 14  23i 14 23

.


 i
5  2i 5  2i
29
29 29
2. Tentukan tempat kedudukan semua titik pada bidang datar
sehingga Im( 2i  3z )  8
Penyelesaian:
Misalkan z=x+iy, diperoleh
2i  3z  2i  3( x  iy )  2i  3x  3iy  3x  i (2  3 y )
Karena Im( 2i  3z )  8 maka Im( i  3z )  8,2  3 y atau y = -2
Jadi tempat kedudukan yang memenuhi adalah y = -2
GEOMETRI BILANGAN KOMPLEKS
 Penulisan bilangan kompleks z =
x+iy sering disingkat sebagai
pasangan terurut (a,b), oleh
karena itu bilangan kompleks
dapat dinyatakan dalam suatu
bidang datar seperti halnya
koordinat titik dalam sistem
koordinat kartesius
 Bidang yang digunakan untuk
menggambarkan
bilangan
kompleks
disebut
bidang
kompleks atau bidang argand
Interpretasi geometri bilangan kompleks
Secara geometri z = x + iy digambarkan sama dengan koordinat
kartesius dengan sumbu tegaknya yaitu x sebagai sumbu riil, dan
sumbu mendatar yaitu y sebagai sumbu imajiner.
Contoh:
Contoh:
 Buatlah grafik bilangan kompleks berikut :
x = 4 + 6j dimana :
4 merupakan bilangan real positif
6j merupakan bilangan imajiner positif
Sedangkan   arg z memenuhi hubungan:
x
y atau arctan y
dan
cos  
sin  
z
z
x
Untuk sembarang nilai z≠0 nilai utama argumen z didefinisikan
sebagai nilai tunggal argumen z yang memenuhi hubungan
   arg z  
Nilai tunggal argumen z dilambangkan dengan Arg z.
BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS
Contoh
3
Carilah z sehingga z  2 dan Arg z= 4
Penyelesaian
Misalkan z= x+iy dengan   3 diperoleh

sin  
y
z
3
y
sin

4
2
1
y
2
2
2
y 1
cos  
4
x
z
3
cos

4
1

2
2
x  1
x
2
x
2
Jadi diperoleh:
z=x+iy
z= -1+i
AKAR BILANGAN KOMPLEKS
Teorema De Moivre
n
n
Jika z  Z dengan z  r (cos   i sin  ) maka z  r (cos n  i sin n )
untuk setiap n N
Definisi
1
Diberikan z , w  Z Akar pangkat n dari w ditulis wn didefinisikan
sebagai bilangan kompleks z sehingga berlaku
n
z  w; n  N dan n≥2.
Teorema
Diberikan z , w  Z dengan w  r (cos   i sin  ) jika untuk setiap n N
n
  2k
  2k 

n≥2 dan z  w maka
n

r
cos

i
sin


zk
n
n 

dengan k=0,1,2,…,n-1.
CONTOH:

Tentukan akar-akar dari persamaan
Penyelesaian
Misalkan w  2  2i
3
2 3
3

4
2
2 1
cos   
4 2
Maka


3
 2  2i 3
dan   Argw Diperoleh
r  w  4  12  16  4
sin  
z
2
Jadi diperoleh,





2
k


2
k



3
3

, k  0,1

4
cos

i
sin
zk
2
n










 2 cos(  k )  i sin(  k ) , k  0,1
6
6



 

k  0, z 0  2 cos( )  i sin( )   3  i
6
6 

7
7 

k  1, z1  2 cos( )  i sin(
)   3  i
6
6 
