Model matematika solusi umum persamaan Klein

Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. XINo. 1Mei 2011
Model matematika solusi umum persamaan Klein-Gordon nonlinear untuk partikel bebas
T. B. Prayitnoa,*
a
Kelompok Fisika Teoretik, Jurusan Fisika, Universitas Negeri Jakarta
Jl. Pemuda Rawamangun No. 10 Jakarta Timur
*
Email: *[email protected]
Abstrak
Pada makalah ini telah dibahas mengenai model matematika solusi umum persamaan Klein-Gordon nonlinear untuk kasus partikel
bebas. Persamaan ini didapat melalui dua persamaan dari hukum kekekalan fisika klasik, yaitu persamaan Hamilton-Jacobi untuk
gerak relativistik dan persamaan kontinuitas. Di dalam hal ini, persamaan Hamilton-Jacobi menggambarkan bagian partikel
sedangkan persamaan kontinuitas menggambarkan sisi gelombang. Penurunan persamaan ini didasarkan atas analogi penurunan
persamaan nonlinear master Schrödinger yang tidak menggunakan dua postulat di dalam mekanika kuantum linear, yaitu postulat
Einstein dan de Broglie mengenai kuantisasi energi dan momentum. Menurut teori ini, sisi partikel mempunyai hampir sebagian
besar energi partikel kuantum yang terkumpul dalam suatu titik sedangkan bagian gelombang mempunyai sebagian kecil dari energi
partikel kuantum yang mengelilingi bagian partikel. Selain itu, di dalam makalah ini telah ditunjukkan pula bentuk fungsi matematik
yang merepresentasikan bagian partikel dan gelombang di atas untuk solusi umum partikel bebas. Bentuk ini didapat melalui
penyelesaian persamaan differensial untuk suku amplitudo.
Kata kunci :Klein-Gordon nonlinear, model matematika, partikel bebas.
berkaitan dengan mekanika kuantum nonlinear. Mereka
mengajukan persamaan Schrödinger nonlinear 1 dengan
menambahkan suku potensial kuantum. Pembentukan
persamaan ini tidak melalui postulat fundamental di
dalam mekanika kuantum linear. Mereka membuat
postulat baru bahwa persamaan Hamilton-Jacobi dan
kontinuitas tetap berlaku di dalam sistem mikroskopik.
Kedua persamaan ini pada dasarnya merupakan dua
persamaan hukum kekekalan energi di dalam mekanika
klasik, persamaan Hamilton-Jacobi menerangkan
persamaan gerak partikel sedangkan persamaan
kontinuitas menerangkan persamaan gerak fluida (dalam
hal ini termasuk gelombang). Di samping itu, mereka
juga memperluas solusi dari fungsi gelombang dengan
memperkenalkan bentuk amplitudo yang juga
merupakan fungsi ruang dan waktu.
Berdasarkan perumusan persamaan nonlinear
Schrödinger tersebut, mereka berhasil mendefinisikan
pengertian partikel kuantum.Menurut mereka, partikel
kuantum terdiri dari dua bagian, yaitu bagian gelombang
(extended part) dan bagian partikel (singularity
part).Bagian partikel diwakili oleh persamaan Jacobi
sedangkan bagian gelombang direpresentasikan melalui
persamaan kontinuitas. Dengan adanya pengertian baru
tersebut, mereka juga berpendapat bahwa sebagian besar
energi partikel kuantum terpusat pada suatu inti tertentu
(bagian partikel) dan inti tersebut dikelilingi oleh suatu
“awan” partikel(bagian gelombang) yang mempunyai
energi yang jauh lebih sedikit dibandingkan dengan
bagian partikel. Di samping itu, di dalam kaitannya
1. Pendahuluan
Mekanika kuantum merupakan teori yang
menggambarkan persamaan gerak partikel mikroskopik
yang sebagian besar dikaji melalui persamaan
Schrödinger. Persamaan Schrödinger itu sendiri
dibangun melalui dua postulat fundamental, yaitu
postulat Einstein dan de Broglie, mengenai kuantisasi
energi dan momentum. Hampir semua eksperimen
dewasa ini dapat dijelaskan melalui konsep persamaan di
atas. Melalui konsep postulat yang sama pula, dua
interaksi fundamental di alam (kecuali interaksi
elektromagnetik dan gravitasi), yaitu interaksi kuat dan
lemah, dapat dibuktikan keberadaannya. Akan tetapi,
hanya tiga interaksi di alam yang dapat dipadukan
(interaksi lemah, elektromagnetik, dan kuat) sedangkan
interaksi gravitasi belum dapat dipadukan sampai
sekarang. Hal ini mendorong para fisikawan untuk
menemukan bentuk matematis atau persamaan
fundamental yang dapat menggabungkan ke empat
interaksi di atas. Meskipun Einstein dan de Broglie dapat
menjelaskan
hampir semua
eksperimen
yang
berhubungan dengan mekanika kuantum melalui kedua
postulatnya, mereka beranggapan bahwa mekanika
kuantum yang fundamental haruslah berbentuk
nonlinear. Konsep mekanika kuantum nonlinear ini
diduga mampu memadukan ke empat interaksi tersebut.
Upaya untuk menemukan mekanika kuantum
fundamental menghadapi banyak kesulitan. Salah satu
kesulitan yang terbesar adalah tidak terpenuhinya prinsip
superposisi linear secara umum. Namun demikian,
beberapa fisikawan dari Italia, yaitu Guerra, Pusterla,
and Smolin, telah mengajukan sebuah konsep baru yang
1
Persamaan ini dikenal sebagai persamaan nonlinear
master Schrödinger
1
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. XINo. 1 Mei 2011
dengan dualisme partikel- gelombang di dalam mekanika
kuantum, mereka juga mengambil kesimpulan bahwa
bagian partikel adalah bagian yang bertanggung jawab
terhadap terdeteksinya suatu partikel sedangkan bagian
gelombang bertanggung jawab atas terjadinya pola-pola
interferensi-difraksi.Pembahasan mengenai persamaan
nonlinear master Schrödinger dapat dilihat pada referensi
[1-5].
Namun demikian, persamaan tersebut mempunyai
beberapa kelemahan di dalam penyelesaian solusi untuk
beberapa kasus dan pemasukan unsur spin partikel.
Berdasarkan referensi [6-7], persamaan nonlinear master
Schrödinger tersebut tidak dapat dinormalisasi untuk
kasus gaya konstan dan potensial osilator harmonik
sehingga kita tidak dapat menentukan probabilitas
menemukan suatu partikel di dalam suatu interval
tertentu. Di samping itu, pada referensi [8], telah
ditunjukkan pula kegagalan pemasukan unsur spin ½
bulat yang dimiliki oleh elektron.Kegagalan tersebut
terjadi karena adanya pelanggaran bentuk matematis atau
sifat fisis dari suatu persamaan gelombang.
Pada referensi [9] telah ditunjukkan bahwa melalui
konsep yang sama dapat dibentuk persamaan KleinGordon
nonlinear,
yaitu
persamaan
yang
mendeskripsikan gerak partikel relativistik. Persamaan
ini didapat melalui perluasan persamaan HamiltonJacobi klasik untuk gerak partikel relativistik. Tujuan
akhir dari makalah ini adalah untuk mengkaji solusi
partikel bebas dari persamaan Klein-Gordon dengan
menuliskannya di dalam bentuk matematis yang
menggambarkan bagian partikel dan gelombang. Kajian
ini mengambil analogi yang sama dengan referensi [10]
yang berhasil merepresentasikan solusi partikel bebas
untuk persamaan nonlinear master Schrödinger dengan
menyatakan ke dalam fungsi matematis bagian partikel
dan gelombang.
dengan fungsi gelombang
berbentuk
ψ
mempunyai solusi umum
i 
ϕ ( r ,t )


ψ (r , t ) = a(r , t ) e 
.
(2)
Pada persamaan (2), a dan ϕ berturut-turut adalah
amplitudo dan fasa yang keduanya bersifat real 3.
Apabila solusi pada persamaan (2), disubstitusikan
pada persamaan (1), kita mendapatkan dua persamaan
gerak klasik untuk partikel relativistik, yaitu persamaan
Hamilton-Jacobi:
1  ∂ϕ 
2
2 2
 − (∇ϕ ) − m c = 0 ,
2 
c  ∂t 
2
(3)
dan persamaan kontinuitas:
(
)
∇ ⋅ a 2 ∇ϕ =
1 ∂  2 ∂ϕ 
a
.
∂t 
c 2 ∂t 
(4)
Untuk mencari solusi ini digunakan metode yang
sama seperti yang telah dikerjakan pada referensi [6, 7,
9]. Kita mencari solusi fasa terlebih dahulu dengan
menyelesaikan persamaan Hamilton-Jacobi untuk
partikel relativistik yang dituliskan pada persamaan (3).
Kita menerapkan terlebih dahulu solusi ansatz untuk

ϕ (r , t ) yang merupakan pemisahan variabel dalam
bentuk penjumlahan:

ϕ (r , t ) = ϕ1 (t ) + ϕ 2 ( x) + ϕ 3 ( y ) + ϕ 4 ( z ).
(5)
Dengan mensubstitusikan persamaan (5) ke persamaan
(3), maka akan di dapat solusi:
2. Persamaan differensial amplitudo partikel
bebas persamaan Klein-Gordon nonlinear

m2c 2
∂ 2ψ
2
−∇ ψ + 2 ψ

∂t 2
2
2
∂ a
∇ a
ψ+
ψ = 0,
2
∂t
a
denganE dan p masing-masing adalah energi total
relativistik dan momentum linear relativistik untuk
partikel bebas.
Langkah terakhir adalah mencari solusi amplitudo
dengan meninjau persamaan kontinuitas yang
ditunjukkan
pada
persamaan
(4).
Setelah
mensubstitusikan persamaan solusi fasa pada persamaan
(6) ke persamaan (4), kita mendapatkan bentuk
persamaan kontinuitas yang telah tereduksi, yaitu

∂a
p
+ (∇a ) ⋅ = 0.
∂t
m
(1)
(7)
fasa ϕ merupakan fungsi aksi klasik di dalam mekanika
klasik.
3
2
(6)

Sebelum membahas model matematika untuk solusi
umum partikel bebas pada persamaan Klein-Gordon
nonlinear, kita akan menurunkan ulang persamaan
differensial untuk suku amplitudo pada kasus partikel
bebas persamaan Klein-Gordon nonlinear. Solusi dari
amplitudo inilah yang akan digunakan untuk
menentukan solusi khusus dan umum persamaan KleinGordon untuk partikel bebas. Berdasarkan referensi [9],
persamaan Klein-Gordon nonlinear mempunyai bentuk 2
1
c2
1
− 2
c a
 
ϕ (r , t ) = − Et + p ⋅ r ,
m merupakanmassa diam dari partikel.
2
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. XINo. 1 Mei 2011
[(

ψ (r , t ) = Ae
i  
( p ⋅r − Et )

.
)]
(13)
dan
σθ
berturut-turut adalah simbol
matematis yang menggambarkan lebar fungsi Gaussian
bagian partikel dan gelombang.
Untuk menggambarkan besar kecilnya energi yang
dimiliki oleh masing-masing bagian, kita menerapkan
dua postulat dalam mekanika kuantum linear, yaitu
postulat Einstein dan de Broglie.Kita meninjau dahulu
postulat Einstein mengenai kuantisasi energi:
E = ω ,
Persamaan differensial linear pada persamaan (7)
mempunyai bentuk solusi umum amplitudo dengan
fungsi:
(
,
dengan σ ξ
3. Model matematika solusi umum partikel
bebas persamaan Klein-Gordonnonlinear
[( )
)]
(
i 
( p⋅r − Et )
e
(8)

 
a(r , t ) = a mc 2 p ⋅ r − E 2 − m 2 c 4 t .
)
 mc 2 p ⋅ r − E 2 − m 2 c 4 t 2 

θ ( x, t ) = B exp −
2


σ
2

θ


Persamaan (7) merupakan persamaan differensial linear
yang solusi umumnya memenuhi prinsip superposisi
linear. Solusi khusus dari suku amplitudo ini adalah
sebuah solusi yang paling sederhana, yaitu dengan

mengambil solusi berupa konstanta, a(r , t ) = A .
Menurut referensi [9], solusi gelombang untuk kasus ini
merupakan sebuah gelombang bidang monokromatik
yang bentuknya mirip dengan gelombang bidang dalam
teori gelombang:
(14)
dan de Broglie mengenai kuantisasi momentum:


p = k ,
(9)
(15)
Dengan demikian, solusi umum persamaan KleinGordon nonlinear untuk partikel bebas mempunyai
bentuk:
lalu kita substitusikan ke persamaan (12) dan (13) yang
masing-masing akan mempunyai bentuk:
( p ⋅r − Et )

 
ψ (r , t ) = a[(mc 2 )p ⋅ r − (E 2 − m 2 c 4 )t ]e 
.
 
  
m2c 4

mc 2 k ⋅ r −  ω 2 −





ξ (r , t ) = A exp − 
2σ ξ





i
(
(10)
Di samping itu, karena persamaan (7) berlaku prinsip
superposisi linear, maka kita dapat membuat interpretasi
bahwa solusi gelombang umum pada persamaan (10)
dapat dituliskan sebagai superposisi linear:



ψ (r , t ) = ξ (r , t ) + θ (r , t ) ,
e i (k ⋅r −ωt ) ,
e
,
(16)
 
  
m2c 4

mc 2 k ⋅ r −  ω 2 −





θ (r , t ) = B exp − 
2σ θ




(
e i (k ⋅r −ωt ) ,
)

t 

2









(17)
Langkah terakhir adalah menentukan hubungan
masing-masing amplitudo A dan B dengan
menerapkan syarat bahwa bagian pertikel mempunyai
hampir seluruh energi partikel kuantum yang dinyatakan
melalui postulat Einstein pada persamaan (14):
)]
 mc 2 p ⋅ r − E 2 − m 2 c 4 t 2 


ξ (r , t ) = A exp −
2


2
σ

ξ


i 
( p⋅r − Et )









(11)
yang menggambarkan bagian partikel dan bagian
gelombang.
Langkah selanjutnya adalah menentukan fungsi
matematik yang tepat dengan catatan bahwa bagian
partikel mempunyai sebagian besar energi partikel
kuantum sedangkan bagian gelombang hanya
mempunyai sebagian kecil energi partikel kuantum.
Untuk kasus ini, kita menggunakan fungsi Gaussian
untuk kedua fungsi di atas:
(
2



dengan ξ (r , t ) dan θ (r , t ) berturut-turut adalahfungsi
[( )
)

t 

ω =
(12)
∞
3
∫ψ d x ≅
2
−∞
3
∞
∫ξ
−∞
2
d 3 x. (18)
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. XINo. 1 Mei 2011
Namun demikian, aturan persamaan pada persamaan
(15) tidak dapat terpenuhi mengingat integral di ruas
kanan untuk kasus tiga dimensi bersifat divergen:
2 4
 
 mc 2 k ⋅ r −  ω 2 − m c


∞




∫−∞exp −
σξ



( )

t 

2



d 3 x = ∞. (19)




=
πσ ξ
mc 2 k

 2 m2c 4
2
 ω −
mc
kx
−




(
)
σξ

t 

,
2



dx




∫e
−αx 2
dx =
−∞
.
mc 2 kω
πσ ξ
(21)
.



. (24)






)

t 

2








Ucapan terima kasih
(22)
Pada kesempatan ini, penulis mengucapkan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada rekan-rekan dosen di
jurusan fisika UNJ atas terwujudnya makalah ini.
Karena bagian gelombang mempunyai energi partikel
kuantum yang sangat sedikit, maka kita dapat
menghubungkan kedua amplitudo A dan B dalam
fungsi linear berikut:
B = εA, ε << 1 .
 

m2c 4

mc 2 kx −  ω 2 −




+ exp − 
2σ ξ




)
2
Bentuk matematika untuk solusi umum partikel
bebas pada persamaan Klein-Gordon nonlinear telah
dirumuskan. Namun demikian, model ini hanya dapat
diwujudkan dalam bentuk satu dimensi karena terdapat
nilai divergen untuk integral pada kasus tiga dimensi.
Fungsi yang digunakan dalam model ini menggunakan
fungsi Gaussian mengingat fungsi ini mempunyai nilai
konvergen pada selang − ∞ sampai ∞ . Selain itu,
untuk menghubungkan karakteristik dari bagian partikel
dan gelombang, telah digunakan juga postulat Einstein
dan de Broglie mengenai kuantisasi energi dan
momentum.
Persamaan Klein-Gordon nonlinear yang dirumuskan
di dalam makalah ini menggunakan kombinasi
persamaan Hamilton-Jacobi untuk gerak relativistik dan
kontinuitas. Penurunan persamaan ini menggunakan
analogi penurunan pada persamaan nonlinear master
Schrodinger yang tidak menggunakan postulat Einstein
dan de Broglie.
Dengan demikian, apabila hasil dari persamaan (17)
disubstitusikan ke persamaan (15) untuk kasus satu
dimensi,
kita akan mendapatkan hubungan untuk
konstanta A :
A=

t 

4. Kesimpulan
(20)
π
α
e i ( kx −ωt )

 
 2 m2c 4
2


mc kx −  ω −
 




ε exp −
2σ θ







(
melalui definisi integral:
∞
πσ ξ
(
Bentuk model matematika di atas hanya dapat terpenuhi
pada kasus satu dimensi. Misalkan dalam kasus ini kita
hanya mengambil variabel x dan mengabaikan variabel
lainnya ( y dan z ) sehingga didapatkan hasil integral:


∞

exp
∫−∞  −



mc 2 kω
ψ ( x, t ) =
Daftar pustaka
[1]
(23)
[2]
Dengan demikian bentuk model matematika dari solusi
umum partikel bebas persamaan Klein-Gordon nonlinear
mempunyai bentuk
[3]
[4]
[5]
4
F. Guerra and M. Pusterla, Lett. Nuovo Cimento, 34,
1982, 351.
Ph. Gueret and J. P. Vigier, Lett. Nuovo Cimento, 38,
1983, 125.
L. Smolin, Phys. Lett.A 113, 1986, 408.
J. P. Vigier, Phys. Lett. A 135, 1989, 99.
J. R. Croca, Towards a Nonlinear Quantum Physics,
Singapore : World Scientific, 2003, pp. 65-82.
Spektra: Jurnal Fisika dan Aplikasinya, Vol. XINo. 1 Mei 2011
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
T. B. Prayitno, Solution of Harmonic Oscillator for
Nonlinear Master Schrödinger, dipresentasikan dalam
“Conference on Theoretical Physics and Nonlinear
Phenomena 2010”.
Sinta Latifah dan T. B. Prayitno, Jurnal Fisika dan
Aplikasinya (Spektra UNJ), Vol. IX No. 2 Desember
2010.
T. B. Prayitno, Prosiding Pertemuan Ilmiah XXV HFI
Jateng-DIY, 9 April 2011.
T. B. Prayitno, Solusi Persamaan Klein-Gordon
Nonlinear untuk Partikel Bebas, diajukan ke Jurnal
Fisika dan Aplikasinya (JFA ITS).
L. de Broglie, An Introduction to the Study of Waves
Mechanics, translated by L. T. Flint, Paris : Methuen &
Co. Ltd, First published in 1930, pp. 79-87.
Walter Greiner, Classical Mechanics (System of Particles
and Hamiltonian Dynamics), : Springer-Verlag, 2003,
pp. 386-409.
W. Dittrich and M. Reuter, Classical and Quantum
Dynamics, Berlin : Springer-Verlag, 1996, pp. 62-73.
H. Goldstein, Classical Mechanics, 3rd ed., Addison
Wesley, New York 2000, pp. 430-439.
5