dispersi (ukuran penyimpangan)

Ir. Tito Adi Dewanto
•
•
Dengan mengetahui nilai rata-rata
saja,informasi yang didapat kadang-kadang
bisa salah interpretasi.
Misalnya, dari dua kelompok data diketahui
rata-ratanya sama, kalau hanya dari
informasi ini kita sudah menyatakan bahwa
dua kelompok ini sama, mungkin saja kita
bisa salah kalau tidak diketahui bagaimana
bervariasinya data di dalam kelompok
masing-masing
•
•
•
Didapat info tambahan ttg penyimpangan
yg terjadi pada suatu distribusi data.
Dapat menilai ketepatan nilai tengah dalam
mewakili distribusinya.
Untuk analisis melalui perhitungan statistik
yang lebih mendalam
•
•
Adalah nilai yang menunjukkan bagaimana
bervariasinya data di dalam kelompok data
itu terhadap nilai rata-ratanya.
Jadi, semakin besar nilai variasi maka
semakin bervariasi pula data tersebut.
•
•
•
Variasi merupakan peristiwa alamiah 
dapat terjadi pada semua kejadian
Misal : 1) beberapa orang analis mengukur
leukosit seseorang (hasil berbeda2),
perbedaan disebabkan variasi antar individu
 variasi eksterna
2) leukosit seseorang diukur oleh analis
berkali2 pada waktu berbeda (hasilnya
berbeda2), variasi disebabkan adanya
variasi intra-individu  variasi interna
A. Dispersi absolut :
•
Rentang (range),
•
Simpangan Rata-rata/SR (mean deviation),
•
Simpangan Baku (standar deviation), dan
•
Varians
•
Inter Quartile Range
•
Semi Inter Quartile Range
B. Dipersi relatif berupa koefisien variasi
•
•
•
Ukuran dispersi paling sederhana
Range adalah :
selisih antara nilai terbesar dan nilai
terkecil dari data yang telah disusun
berurutan (R = Xmax – Xmin)
Contoh 1 Range:
Berat Badan 5 orang dewasa 48,52,56,62,dan
67 kg
Range adalah 67 – 48 = 17 kg
Nilai ujian
No
Kampung 1
Kampung 2
1
2
3
4
5
400
450
500
550
600
100
150
200
300
1750
Jumlah
2500
2500
Rata-rata
500
500
Range
200
1650
•
•
•
Dilihat nilai rata2, kedua kelompok seolah-olah
punya nilai sama
Namun, Range keduanya ternyata berbeda
Kesimpulan :
- kelompok 1 punya penghasilan merata
- penghasilan kelompok 2 sangat bevariasi (ada
yang kaya banget dan kurang banget)
Simpangan rata-rata dari
sekumpulan bilangan adalah:
nilai rata-rata hitung harga
mutlak simpangan-simpangannya.
a. Data tunggal

xx
SR =
Contoh 2 :
n
Nilai ulangan matamatika dari 6 siswa
adalah : 7,5,6,3,8,7.Tentukan simpangan
rata-ratanya!
Jawab:
x
=
7 5 638 7
6
6
xx

SR 
n
SR = 7  6  5  6  6  6  3  6  8  6  7  6
=
8
6
= 1,33
6
X (kg)
[x–x]
[ x – x ]2
48
52
56
62
67
-9
-5
-1
5
10
81
25
1
25
100
285
0
232
Mean = 48 + 52 + 56 + 62 + 67 = 57 kg
5
SR=Mean Deviasi = 9 + 5 + 1+ 5 + 10 = 6 kg
5
SR =
f x x
f
x = data ke-i (data berbobot )
= titik tengah kelas interval ke-i
f = frekuensi
Contoh :
Tentukan simpangan dari data berikut :
Data
f
x
f.x
xx
f xx
3-5
6-8
9-11
12-14
2
4
8
6
4
7
10
13
8
28
80
78
5,7
2,7
0,3
3,3
11,4
10,8
2,4
19,8
Jumlah
20
194
44,4
x
=
SR =


f .x
=
f
 f xx =
f
194
20
= 9,7
44,4
20
= 2,22
Simpangan standar (S) dari sekumpulan
bilangan adalah akar dari jumlah deviasi
kuadrat dari bilangan-bilangan tersebut
dibagi dengan banyaknya bilangan atau
akar dari rata-rata deviasi kuadrat.
S=
 (x
 x)
i
2
atau
n
S=
x
n
2
 x 


 n 
2
Contoh :
Tentukan simpangan baku (deviasi standar)
dari data :
2,3,5,8,7.
Jawab :
x
=
=5
2358 7
5
x
2
3
5
8
7
x  x  x  x
2
-3
-2
0
3
2
9
4
0
9
4
26
S=
 x  x 
2
n
=
=
26
5
5,2
2. Data berbobot / berkelompok
S=
S=
 f x  x 
f
2
 fx
f
2
atau
  f.x 


  f 
2
Contoh:
Tentukan standar deviasi dari data berikut
Data
f
x
f.x
x2
f.x2
3-5
6-8
9-11
12-14
2
4
8
6
4
7
10
13
8
28
80
78
16
49
100
169
32
196
800
1014
Jumlah 20
198
2024
S=
=
=
 fx
f
2
  f.x 


  f 
2042 194 

20  20 
8,01
2
2
= 2,83
Yaitu rata-rata perbedaan antara mean
dengan nilai masing-masing observasi.
• Merupakan kuadrat dari simpangan baku
(X  X )
• Rumus :

2
S 
n 1
Contoh:
Hitung Varians dari data : 2,3,5,7,8 ?
Dari hasil perhitungan nomor sebelumnya
2 = 5,2
didapat S =
,
Sehingga
Varian
S
5,2
•
•
Hitunglah Range, rata-rata , varians dan
simpangan baku dari data nilai tugas mahasiswa
UT Bina Mahunika berikut ini:
40, 90, 55, 58, 85, 78, 45, 88, 62, 78, 69, 70, 80,
78, 65, 89, 64, 78 ,62 ,71
Untuk keperluan perbandingan 2 (dua) kelompok nilai
Misalnya :
- berat 10 ekor gajah dengan berat 10 ekor semut

V
X 100% , untuk populasi

S
V
X 100% , untuk sampel
X
Contoh :
Suatu perusahaan menghasilkan 2 mesin untuk
Memproduksi tekstil dengan data sbb:
X A  64,8
S A  6,96
X B  50,0
SB  5
Mesin mana yang menghasilkan kain yang lebih
seragam ?
S 6,96
VA  
x100%  10,7%
X 64,8
S
5
VB  
x100%  20%
X 50
Terlihat koefisien variasi A lebih kecil dari B
Artinya, Mesin A lebih seragam dari B
Rerata gaji perusahaan A = Rp400.000,.
Per orang dengan simpangan baku
Rp100.000,. Rerata gaji perusahaan B =
Rp250.000,. Per orang dengan simpangan
baku Rp50.000,.
Maka,
VA = (100.000/400.000) 100% = 25%
VB = (50.000/250.000) 100% = 20%
Artinya dispersi gaji di perusahaan B relatif
lebih kecil dibanding perusahaan A atau
perusahaan B lebih seragam (homogen)

Inter Quartile Range (IQR):
Adalah Selisih antara Kuartil 3 dan kuartil 1
IQR = K3 – K1
Misal diketahui K1=20 dan K3=60, IQR = 60 – 20 = 40
Semi Inter Quartile Range (dk):
Adalah Setengah dari IQR,
dk = ½ ( K3 – K1)
Dari soal diatas maka dk = ½ (60 – 20) = 20
Tingkat Kecondongan menurut Pearson:


3 X  Med
Sk 
, atau
S
X  Mo
S
S
Ketentuannya :
1. Bila Koefisien Kecondongan (Sk) = 0, maka med=
mean=mod sehingga kurva Simetris
2. Bila Sk=Negatif, maka mean<med<mod sehingga
kurva menceng ke kiri
3. Bila Sk=Positif, maka mod<med<mean sehingga
kurva menceng ke kanan
Data:
 Rerata (Mean) = 115.2 L/orang/hari
 Median = 115 L/orang/hari
 Simpangan baku = 14.63 L/orang/hari
Maka ukuran kemencengan =
Sk = [3(115.2 – 115)] / 14.63 = +0.041
Artinya grafik condong ke kanan, dan rerata
(mean) ada di kanan median.
Mo Med Mean
TK berdasarkan Momen ketiga
n

M3
1
3  3  3  X i  X
S
nS i 1
n


3

3
M3
1
3  3  3  fi M i  X
S
nS i 1
Momen koefisien kemencengan
3
k
k
k
k

c 1
1
 1
 
3
2  1
 3  3   f i di  3  f i di   f i di   2  f i di  
S  n i 1
 n i 1
 n i 1
  n i 1
 
3
Contoh
Kelas
X
f
fX
d
fd
fd2
fd3
fd4
118 – 126
122
3
366
-3
-9
27
-81
243
127 – 135
131
5
655
-2
-10
20
-40
80
136 – 144
140
9
1.260
-1
-9
9
-9
9
145 – 153
149
12
1.788
0
0
0
0
0
154 – 162
158
5
790
1
5
5
5
5
163 – 171
167
4
668
2
8
16
32
64
172 – 180
176
2
352
3
6
18
54
162
40
5.879
-9
95
-39
563
Jumlah
k
X
X
i 1
k
f
i i
f
i 1

5.879
 146,975
40
i

fi d   fi di

S  c i 1
  i 1
n
 n

k
k
2
i





95   9 
S c

  13,72
40  40 
2
n




f
2  1 0
Med  L0  c 

f
m




 20  17 
Med  144,5  9 
  146,75
 12 
2


3 X  Med
Sk 
S
3146,975  146,75
Sk 
13,72
S k  0,049
3
k
k
k
k

c 1
1
 1
 
3
2  1
 3  3   f i d i  3  f i d i   f i d i   2  f i d i  
S  n i 1
 n i 1
 n i 1
  n i 1
 
3
3

9
1
 1  1
  1
 
 39  3 95   9  2  9 
3 
3 
13,72  40
 40  40
  40
 
 0,2820,605
3
 0,17
Karena + maka
Condong kekanan
Mo Med Mean
Dilihat dari tingkat keruncingannya :
• Leptokurtis (puncaknya sangat runcing)
• Platykurtis (puncaknya agak datar/merata)
• Mesokurtis (puncaknya tidak begitu runcing)
Momen koefisien keruncingan

1 n
Xi  X

M 4 n i 1
4  4 
S
S4

4
Data tak berkelompok
Data berkelompok

1 k
fi M i  X

M 4 n i 1
4  4 
S
S4

4
4
>3  kurva leptokurtis (meruncing)
< 3  kurva platykurtis (mendatar)
= 3  kurva mesokurtis (normal)
 4  KoefisienK eruncingan ( Kurtosis)
Untuk kelas interval ( c ) sama
k
C 4 1 k
1 k

4
3  1
 4  4    f i d i  4  f i d i   f i d i  
S
 n i 1
 n i 1

 n i 1
2
1

1

2  1
6  f i d i   f i d i   3  f i d i 
 n i 1
 n i 1

 n i 1

k
k
k
4





Contoh 6.10
2
4
k
k
C4 
1 k
 1 k

1 k

1 k
4
3  1
2  1
 4  4    f i d i  4  f i d i   f i d i   6  f i d i   f i d i   3  f i d i 
S

 n i 1
 n i 1
  n i 1
 n i 1

 n i 1

 n i 1
94
4 
13,724
2
4

1

39

9
95

9

9





 


 


563

4

6

3












40
40
40
40
40
40




 


 


 2,57
4
> 3  kurva leptokurtis (meruncing)
= 3  kurva mesokurtis (normal)
< 3  kurva platykurtis (mendatar)
Man Jadda
Wa Jadda
Siapa
sungguh2
pasti berhasil
Man Shobaro
Zhafiro
Siapa
bersabar
maka
beruntung