BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Salah satu

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Salah satu bidang kajian matematika adalah aljabar linear dimana
salah satu cabangnya adalah matriks. Matriks adalah suatu kumpulan angkaangka (sering disebut elemen) yang disusun menurut baris dan kolom
sehingga berbentuk persegi panjang dimana panjang dan lebarnya ditunjukkan
oleh banyaknya kolom dan baris. Pada dasarnya matriks merupakan
pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linier sehingga aljabar
matriks sering disebut juga sebagai aljabar linear. Pada aljabar linier sendiri
banyak permasalahan yang dapat dipelajari, salah satunya adalah tentang
operator linear, pemetaan linear ataupun fungsi linear.
Operator linear yang digunakan adalah masalah diagonalisasi yang
melibatkan
nilai
eigen
dan
vektor
eigen.
Suatu
matriks
dapat
didiagonalisasikan jika vektor eigen dari matriks tersebut bebas linear tetapi
tidak semua vektor eigen yang diperoleh bebas linear. Oleh karena itu tidak
semua matriks dapat didiagonalisasikan sehingga untuk menyelesaikannya,
matriks tersebut perlu diubah menjadi bentuk Kanonik Jordan yaitu 𝑃𝑃 −1 𝐴𝐴 𝑃𝑃
(dimana 𝑃𝑃−1 adalah invers matriks nonsingular, A adalah matriks persegi dan
P adalah matriks nonsingular). Bentuk Kanonik Jordan dinotasikan dengan J
sehingga bentuk Kanonik Jordan dari matriks A adalah 𝑃𝑃−1 𝐴𝐴 𝑃𝑃 = J. Bentuk
Kanonik Jordan dapat diaplikasikan untuk menghitung matriks eksponensial
1
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
yang biasanya digunakan pada pertanian untuk menentukan pertumbuhan
suatu tanaman, pada bidang fisika untuk peluruhan radio aktif dan pada
ekonomi untuk menentukan pertumbuhan dana simpanan majemuk dengan
bunga kontinyu. Matriks eksponensial dari matriks A dinotasikan dengan 𝑒𝑒 𝐴𝐴 .
Matriks eksponensial dari matriks A dapat dihitung dengan 𝑃𝑃 𝑒𝑒 𝐽𝐽 𝑃𝑃−1
(dengan J adalah bentuk kanonik Jordan dari A).
Oleh karena itu perlu dikaji lebih lanjut tentang bagaimana cara
mencari bentuk Kanonik Jordan dari suatu matriks untuk menghitung matriks
eksponensial.
B. Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka pokok permasalahan yang
akan dikaji adalah bagaimana aplikasi bentuk Kanonik Jordan dalam
menghitung matriks eksponensial. Dalam penelitian ini hanya akan dibahas
matriks persegi berukuran n x n.
C. Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah menentukan matriks eksponensial dengan
menggunakan bentuk Kanonik Jordan.
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014
D. Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah :
1) Matriks bentuk Kanonik Jordan dapat digunakan sebagai metode alternatif
dalam menghitung matriks eksponensial
2) Matriks eksponensial dapat diaplikasikan untuk membantu menyelesaikan
permasalahan pada bidang ilmu lain seperti pada pertanian untuk
menentukan pertumbuhan suatu tanaman, pada bidang fisika untuk
peluruhan radio aktif dan pada ekonomi untuk menentukan pertumbuhan
dana simpanan majemuk dengan bunga kontinyu.
Aplikasi Bentuk Kanonik..., Sugiarti, FKIP UMP 2014