Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral - "Darpublic" at ee

Sudaryatno Sudirham
Studi Mandiri
Fungsi dan Grafik
Diferensial dan Integral
i
Darpublic
Hak cipta pada penulis, 2010
SUDIRHAM, SUDARYATNO
Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Oleh: Sudaryatmo Sudirham
Darpublic, Bandung
fdg-1110
edisi Juli 2011
http://www.ee-cafe.org
Alamat pos: Kanayakan D-30, Bandung, 40135.
Fax: (62) (22) 2534117
2 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
BAB 11
Turunan Fungsi-Fungsi (3)
(Fungsi-Fungsi Trigonometri, Trigonometri
Inversi, Logaritmik, Eksponensial)
11.1. Turunan Fungsi Trigonometri
Jika y = sin x maka
dy d sin x sin( x + ∆x) − sin x
=
=
dx
dx
∆x
sin x cos ∆x + cos x sin ∆x − sin x
=
∆x
Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh
karena itu
d sin x
(11.1)
= cos x
dx
Jika y = cos x maka
dy d cos x cos( x + ∆x) − cos x cos x cos ∆x − sin x sin ∆x − cos x
=
=
=
∆x
dx
dx
∆x
Jik ∆x menuju nol, maka sin∆x = ∆x dan cos∆x = 1. Oleh karena itu
d cos x
(11.2)
= − sin x
dx
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
d tan x d  sin x  cos 2 x − sin x(− sin x)
1
=
= sec2 x
= 
=
2
dx
dx  cos x 
cos x
cos 2 x
d cot x d  cos x  − sin 2 x − cos x(cos x )
−1
=
= − csc2 x
= 
=
2
2
dx
dx  sin x 
sin x
sin x
sin x
d sec x d  1  0 − (− sin x)
=
=
= sec x tan x

=
2
dx
dx  cos x 
cos x
cos 2 x
d csc x d  1  0 − (cos x) − cos x
= 
=
= − csc x cot x
=
dx
dx  sin x 
sin 2 x
sin 2 x
3
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
y = tan(4 x 2 ) ;
y = 5 sin 2 (3x) ; y = 3 cos 2 x
y = cot(3 x + 6) ;
y = sec 4 x − tan 4 x ;
y = sin 3 (2 x) − cos(2 x)
y = (csc x + cot x) 2
Contoh-Contoh Dalam Praktik Rekayasa. Berikut ini kita akan melihat
turunan fungsi trigonometri dalam rangkaian listrik. (ref. [3] Bab-4).
1). Tegangan pada suatu kapasitor merupakan fungsi sinus vC =
200sin400t volt. Kita akan melihat bentuk arus yang mengalir pada
kapasitor yang memiliki kapasitansi C = 2×10-6 farad ini.
Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah
iC = C
dvC
dt
Arus yang melalui kapasitor adalah
iC = C
dvC
d
= 2 × 106 × (200 sin 400t ) = 0,160 cos 400t ampere
dt
dt
Daya adalah perkalian tegangan dan arus. Jadi daya yang diserap
kapasitor adalah
pC = vC iC = 200 sin 400t × 0,16 cos 400t = 32 cos 400t sin 400t
= 16 sin 800t watt
Bentuk kurva tegangan dan arus terlihat pada gambar di bawah ini.
200
vC
iC
100
pC
vC
iC
pC
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t [detik]
-100
-200
Pada waktu tegangan mulai naik pada t = 0, arus justru sudah mulai
menurun dari nilai maksimumnya. Dengan kata lain kurva arus
mencapai nilai puncak-nya lebih dulu dari kurva tegangan; dikatakan
4 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
bahwa arus kapasitor mendahului tegangan kapasitor. Perbedaan
kemunculan ini disebut perbedaan fasa yang untuk kapasitor
besarnya adalah 90o; jadi arus mendahului tegangan dengan beda
fasa sebesar 90o.
Kurva daya bervariasi secara sinusoidal dengan frekuensi dua kali
lipat dari frekuensi tegangan maupun arus. Variasi ini simetris
terhadap sumbu waktu. Kapasitor menyerap daya selama setengah
perioda dan memberikan daya selama setengah perioda berikutnya.
Secara keseluruhan tidak akan ada penyerapan daya netto; daya ini
disebut daya reaktif.
2). Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus
terhadap waktu sebagai iL = −0,2cos400t ampere. Berapakah
tegangan antara ujung-ujung induktor dan daya yang diserapnya ?
Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah
di
vL = L L
dt
vL = L
diL
d
= 2,5 × (− 0,2 cos 400t ) = 2,5 × 0,2 × sin 400t × 400 = 200 sin 400t
dt
dt
Daya yang diserap inductor adalag tegangan kali arusnya.
pL = v LiL = 200 sin 400t × (−0.2 cos 400t ) = −40 sin 400t cos 400t
= −20 sin 800t W
Kurva tegangan, arus, dan daya adalah sebagai berikut.
vL 200
iL
pL 100
vL
iL
pL
0
0
-100
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 t[detik]
-200
Kurva tegangan mencapai nilai puncak pertama-nya lebih awal dari
kurva arus. Jadi tegangan mendahului arus atau lebih sering
dikatakan bahwa arus ketinggalan dari tegangan (hal ini merupakan
kebalikan dari kapasitor). Perbedaan fasa di sini juga 90o, artinya
arus ketinggalan dari tegangan dengan sudut fasa 90o.
Daya bervariasi secara sinus dan simetris terhadap sumbu waktu,
yang berarti tak terjadi transfer energi netto; ini adalah daya reaktif.
5
11.2. Turunan Fungsi Trigonometri Inversi
1) y = sin −1 x
x = sin y ⇒ dx = cos ydy ⇒
1
x
y
1− x
dy
1
=
dx cos y
dy
1
=
dx
1 − x2
2
2) y = cos −1 x
x = cos y ⇒ dx = − sin ydy ⇒
1
1 − x2
y
x
dy
−1
=
dx sin y
dy
−1
=
dx
1 − x2
3) y = tan −1 x
x = tan y ⇒ dx =
1+ x
2
y
1
x
dy ⇒
dy
= cos 2 y
dx
x = cot y ⇒ dx =
y
x
cos 2 y
dy
1
=
dx 1 + x 2
4) y = cot −1 x
1+ x2
1
1
−1
sin 2 y
dy ⇒
dy
= − sin 2 y
dx
dy
−1
=
dx 1 + x 2
6 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
5) y = sec −1 x
⇒ x = sec y =
x
x
y
1
6) y = csc −1 x
x
x2 − 1
−1

dy cos 2 y
x
1 

=
=
×
2 

2
dx
sin y
x
 x −1 
1
=
x x2 − 1
x = csc y =
1
y
2
1
0 − (− sin x)
⇒ dx =
dy
cos y
cos 2 y
1
0 − (cos x)
⇒ dx =
dy
sin y
sin 2 y
dy sin 2 y
1
=
=−
×
dx − cos y
x2
=
x
x2 − 1
−1
x x2 − 1
Soal-Soal
1). Jika α = sin −1 (0.5) carilah cos α , tan α , sec α , dan csc α .
2). Jika α = cos −1 (−0.5) carilah sin α , tan α , sec α , dan csc α .
3). Hitunglah sin −1 (1) − sin −1 (−1) .
4). Hitunglah tan −1 (1) − tan −1 (−1) .
5). Hitunglah sec −1 (2) − sec −1 (−2) .
11.3. Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi
Jika v = f(x), maka
d (sin v) d (sin v) dv
dv
=
= cos v
dx
dv dx
dx
d (cos v) d (cos v) dv
dv
=
= − sin v
dx
dv dx
dx
7
d (tan v) d  sin v  cos2 x + sin 2 x dv
dv
= sec 2 v
= 
=
2
dx
dx  cos v 
dx
dx
cos x
d (cot v) d  cos v 
2 dv . (Buktikan!).
= 
 = − csc v
dx
dx  sin v 
dx
d (sec v) d  1  0 + sin v dv
dv
= 
= sec v tan v
=
2
dx
dx  cos v  cos v dx
dx
d (csc v) d  1 
dv . (Buktikan!).
= 
 = − csc v cot v
dx
dx  sin v 
dx
Jika w = f(x), maka
1
d (sin −1 w)
dw . (Buktikan!).
=
dx
1 − w2 dx
d (cos −1 w)
1
dw . (Buktikan!).
=−
2 dx
dx
1− w
1 dw . (Buktikan!).
d (tan −1 w)
=
dx
1 + w2 dx
d (cot −1 w)
1 dw . (Buktikan!).
=−
dx
1 + w2 dx
d (sec−1 w)
1
dw . (Buktikan!).
=
dx
w w2 − 1 dx
d (csc−1 w)
1
dw . (Buktikan!).
=−
2
dx
w w − 1 dx
Soal-Soal : Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
y = sin −1 (0,5 x) ;
1
x
y = tan −1 ;
3
3
y = cos −1(2 x)
y = sec−1 4 x
8 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
11.4. Turunan Fungsi Logaritmik
Walaupun kita belum membicarakan tentang integral, kita telah
mengetahui bahwa fungsi f ( x) = ln x didefinisikan melalui suatu
integrasi (lihat bahasan tentang fungsi logaritmik sub-bab 8.1)
x1
f ( x) = ln x =
dt
( x > 0)
1 t
∫
y = ln x adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, di
selang antara t = 1 dan t = x pada Gb.11.1.
6
5
4
y
1/t
lnx
3
ln(x+∆x)−lnx
2
1
0
0
1
2
x
3x
t 4
x+∆x
1/(x+∆x)
1/x
Gb.11.1. Definisi lnx dan turunan lnx secara grafis.
Kita lihat pula
ln( x + ∆x) − ln( x) 1 
=

∆x
∆x 
x + ∆x 1

(11.3)
dt 
t 
Apa yang berada dalam tanda kurung (11.3) adalah luas bidang yang
dibatasi oleh kurva (1/t) dan sumbu-t, antara t = x dan t = x + ∆x. Luas
bidang ini lebih kecil dari luas persegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika
∆x makin kecil, luas bidang tersebut akan makin mendekati (∆x × 1/x);
dan jika ∆x mendekati nol luas tersebut sama dengan (∆x × 1/x). Pada
keadaan batas ini (11.3) akan bernilai (1/x). Jadi
d ln x 1
=
dx
x
∫x
(11.4)
9
Jika v adalah v = f(x), kita mencari turunan dari lnv dengan
memanfaatkan kaidah rantai. Kita ambil contoh: v = 3x 2 + 4
1
6x
d ln v d ln v dv
d (3 x 2 + 4)
=
=
=
dx
dv dx 3x 2 + 4
dx
3x 2 + 4
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
x
y = ln( x 2 + 2 x) ; y = ln
; y = ln(cos x) ; y = ln(ln x)
2 + 2x
11.5. Turunan Fungsi Eksponensial
Fungsi eksponensial berbentuk
y = ex
(11.5)
Persamaan (11.5) berarti ln y = x ln e = x , dan jika kita lakukan
penurunan secara implisit di kedua sisinya akan kita dapatkan
d ln y 1 dy
=
= 1 atau
dx
y dx
dy
= y = ex
dx
(11.6)
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri. Inilah fungsi eksponensial yang
tidak berubah terhadap operasi penurunan yang berarti bahwa penurunan
dapat dilakukan beberapa kali tanpa mengubah bentuk fungsi. Turunanturunan dari y = e x adalah
y′ = e x y′′ = e x
y′′′ = e x dst.
Formula yang lebih umum adalah jika eksponennya merupakan suatu
fungsi, v = v(x ) .
dev de v dv
dv
=
= ev
dx
dv dx
dx
(11.7)
−1
Kita ambil contoh: y = e tan x
−1
−1
dy
d tan −1 x e tan x
= e tan x
=
dx
dx
1 + x2
Soal-Soal: Carilah turunan fungsi-fungsi berikut.
y = x 2e x ; y =
e x − e−x
2
; y=
e x − e− x
x
e +e
−x
;
y = esin
−1
x
;
y = e1 / x
10 Sudaryatno Sudirham, Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral
Referensi
1.
2.
3.
4.
5.
Catatan-catatan penulis dalam kuliah matematika di Institut
Teknologi Bandung, tahun 1963 – 1964, sebagai bahan utama tulisan
dalam buku ini.
George B Thomas, “Calculus And Analytic Geometry”, addison
Wesley, 1956, buku pegangan dalam mengikuti kuliah matematika
di ITB, tahun 1963 - 1964.
Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Listrik”, Penerbit ITB,
ISBN 979-9299-54-3, 2002.
Sudaryatno Sudirham: ”Analisis Rangkaian Elektrik”, e-book, 2010.
Sudaryatno Sudirham, “Mengenal Sifat Material 1”, e-book, 2010.
11