BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Definisi Citra, Pengolahan Citra, dan

BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1
Definisi Citra, Pengolahan Citra, dan Pengenalan Pola
Citra dapat didefinisikan sebagai fungsi dua dimensi dari f(x,y) di mana x
dan y adalah koordinat bidang dan amplitudo dari f pada pasangan koordinat
apapun adalah intensitas atau tingkat keabu – abuan dari citra pada titik tersebut.
Jika x, y, dan nilai intensitas dari f tersebut berhingga, bernilai diskrit, citra
tersebut disebut citra digital (Gonzalez and Woods, 2008, p. 1).
Pengolahan
citra
(image
processing)
merupakan
bidang
yang
behrubungan dengan proses transformasi citra (image) yang bertujuan untuk
mendapatkan kualitas citra yang lebih baik (Fairhurst, 1988, p. 5).
Pengenalan pola (pattern recognition) merupakan bidang ilmu yang
melakukan proses analisis gambar yang inputnya adalah gambar ataupun citra
digital dan menghasilkan output suatu deskripsi dengan tujuan untuk
mendapatkan informasi yang disampaikan oleh gambar atau citra, dengan kata
lain meniru kemampuan manusia (otak manusia) dalam mengenali suatu objek
atau pola terentu (Fairhurst, 1988, p. 5).
9 2.2
Computer Vision
Computer vision merupakan ilmu yang mempelajari bagaimana komputer
dapat mengenali obyek yang diamati (Fairhurst, 1988, p. 5). Computer vision
adalah kombinasi antara pengolahan citra dan pengenalan pola. Computer vision
bersama intelegensia semu (artificial intelligence) akan mampu menghasilkan
sistem intelegen visual (visual intelligence system).
2.3
Matriks
Matriks adalah sebuah cara yang dengan unik merepresentasikan dan
bekerja dalam transformasi linear. Dengan kata lain, setiap transformasi linear
dapat direpresentasikan dengan matriks, dan setiap matriks berhubungan dengan
transformasi linear yang khas. Matriks dan determinan merupakan konsep yang
sangat penting dalam aljabar linear, dan pertama kali diformulasikan oleh
Sylvester (1851) dan Cayley.
2.3.1
Matriks Ortogonal
Sebuah matriks Anxn adalah matriks ortogonal jika AAT = I dimana AT
adalah matriks transpose dari A dan I adalah matriks identitas. Dengan kata lain,
matriks ortogonal selalu memiliki invers dan A-1 = AT.
10 2.3.2
Matriks Invers
Invers dari sebuah matriks bujur sangkar A, disebut juga matriks
kebalikan, adalah sebuah matriks A-1 yang memenuhi AA-1 = I di mana I adalah
matriks identitas. Sebuah matriks bujur sangkar A memiliki invers jika dan
hanya jika determinan ||A|| ≠ 0 (Lipschutz, 1991, p. 45). Matriks yang memiliki
invers disebut juga matriks non-singular.
2.3.3
Matriks Singular
Matriks singular adalah matriks yang tidak memiliki invers. Sebuah
matriks bujur sangkar A adalah matriks singular jika dan hanya jika determinan
||A|| = 0.
2.3.4
Matriks Kovarian
Jika terdapat n himpunan yang dinotasikan dengan {X1}, {X2}, …, {Xn},
matriks kovarian orde pertama didefinisikan dengan Vij = cov(xi, xj) ≡ [(xi - µi)
(xj - µj)] di mana µi adalah rata – rata (mean). Matriks dengan orde lebih tinggi
didefinisikan dengan Vijmn = [(xi - µi)m (xj - µj)n]. Elemen matriks individual Vij =
cov(xi, xj) disebut juga kovarian dari xi dan xj.
11 2.3.5
Matriks Identitas
Matriks identitas adalah diagonal matriks paling sederhana yang
didefinisikan oleh I(X) ≡ X untuk semua vektor X. Matriks identitas dapat
dinotasikan dengan 1, I, atau E (singkatan dari istilah dalam Bahasa Jerman
“Einheitsmatrix”; Courant dan Hilbert, 1989, p. 7). Matriks identitas juga
dikenalan sebagai matriks unit (Akivis dan Goldberg, 1972, p. 71).
2.3.6
Matriks Transpose
Matriks transpose A atau AT adalah matriks yang didapat dengan
menukar setiap baris pada A menjadi kolom pada matriks AT, (aij = aji), dan
memenuhi (AT)-1 = (A-1)T.
2.3.7
Nilai Eigen
Nilai eigen adalah himpunan khusus dari skalar yang berhubungan
dengan persamaan sistem linear yang dikenal juga dengan nama akar
karakteristik (Hoffman dan Kunze, 1971), proper values, atau latent roots
(Marcus dan Minc, 1988, p. 144).
12 2.3.8
Vektor Eigen
Vektor eigen adalah himpunan khusus dari vektor yang berhubungan
dengan persamaan sistem linear yang dikenal juga dengan nama vektor
karakteristik, proper vector, atau latent vector (Marcus dan Minc, 1988, p. 144).
Vektor eigen dan nilai eigen dalam sebuah sistem sangat berpengaruh
pada bidang fisika dan teknik, di mana vektor eigen ekuivalen dengan
diagonalisasi matriks dan sering muncul pada aplikasi – aplikasi yang umum
seperti analisis stabilitas, fisika rotasi, sistem getaran, dan lainnya.
Dekomposisi sebuah matriks bujur sangkar A menjadi nilai eigen dan
vektor eigen dikenal dengan dekomposisi eigen, dan adalah fakta bahwa
dekomposisi ini selalu mungkin dilakukan selama matriksnya adalah matriks
bujur sangkar dikenal dengan Eigen Decomposition Theorem.
2.4
Principal Component Analysis
Principal Component Analysis (PCA) merupakan salah satu metode
paling sering digunakan dalam pengenalan citra dan kompresi data. Tujuan dari
PCA adalah untuk mereduksi dimensi yang besar dari ruang data (observed
variables) menjadi dimensi intrinsik yang lebih kecil
dari ruang fitur
(independent variables), yang dibutuhkan untuk mendeskripsikan data lebih
sederhana.
13 Pekerjaan yang bisa dilakukan oleh PCA antara lain adalah prediksi,
penghapusan redundansi, ekstraksi fitur, kompresi data, dan lainnya. Karena
PCA merupakan metode yang bisa bekerja pada wilayah linear, maka aplikasi –
aplikasi yang memiliki model linear dapat menggunakan metode ini, seperti
pengolahan sinyal, pengolahan citra, komunikasi, dan lainnya. Algoritma dari
Principal Component Analysis adalah sebagai berikut:
1.
Prepare the data
Kumpulkan seluruh data yang akan diproses dalam sebuah matriks.
2.
Subtract the mean
Agar PCA dapat bekerja dengan benar, rata – rata dari data harus
dikurangkan dari setiap data yang ada. Rata – rata yang dikurangkan
merupakan rata – rata dari setiap dimensi yang ada. Sehingga, setiap nilai
x memiliki rata – rata x yang akan dikurangkan dan setiap nilai y
memiliki rata – rata y yang akan dikurangkan.
3.
Calculate the covariance matrix
Hitung matriks kovarian dari matriks yang telah dikurangkan dengan rata
– ratanya.
4.
Calculate the eigenvectors and eigenvalues of the covariance matrix
Hitung vektor eigen dan nilai eigen dari matriks kovarian yang sudah
didapat sebelumnya. Penghitungan vektor eigen dari matriks kovarian
14 yang dimiliki, memungkinkan untuk mengekstraksi karakteristik dari
data.
5.
Choosing components and forming a feature vector
Pada umumnya, setelah vektor eigen didapatkan dari matriks kovarian,
langkah
selanjutnya
adalah
mengurutkan
vektor
eigen
tersebut
berdasarkan nilai eigennya, dari paling tinggi ke paling rendah. Hal ini
membuat vektor eigen tersusun berdasarkan besar pengaruhnya. Vektor
eigen yang tidak terlalu berpengaruh (memiliki nilai eigen yang kecil)
dapat dihilangkan sehingga dimensi matriks menjadi lebih kecil, namun
informasi dari data dapat hilang walaupun sedikit.
6.
Deriving the new data set
Langkah terakhir adalah untuk mendapatkan nilai data baru dengan
mengalikan matriks dari vektor eigen yang didapat dari langkah
sebelumnya dengan data lama yang sudah dikurangi dengan rata –
ratanya.
2.5
Orthogonal Locality Preserving Projection
Laplacianfaces adalah metode linear yang baru diajukan untuk
representasi dan pengenalan wajah. Metode tersebut berdasarkan pada Locality
15 Preserving Projection (LPP) dan dengan tegas memperhitungkan struktur
manifold dari wajah.
Diberikan sebuah himpunan citra wajah {x1, x2, …, xn} ⊂ Rm, dan X =
[x1, x2, …, xn]. S menjadi matriks similaritas yang terdefinisi pada titik – titik
data. Laplacianfaces dapat diperoleh dengan menyelesaikan permasalahan
minimalisasi berikut:
n
n
(
)
a opt = arg min ∑∑ a T x i − a T x j Sij
a
2
i =1 j=1
= arg min a T XLX T a
a
dengan batasan aTXDXTa = 1, di mana L = D - S adalah graph laplacian dan Dii
= ∑jSij. Dii mengukur kepadatan lokal dari xj. Laplacianfaces mengkonstruksikan
− xi − xj
matriks similaritas S menjadi Sij = e
t
2
untuk xi dan xj berhubungan dan Sij =
0 untuk xi dan xj tidak berhubungan.
Fungsi objektif pada Laplacianfaces mengalami penalti jika titik – titik
yang berdekatan, xi dengan xj, dipetakan berjauhan. Karena itu, menyelesaikan
permasalahan minimalisasi di atas merupakan usaha untuk memastikan bahwa xi
dan xj berdekatan, sehingga yi(=aTxi) dan yj(=aTxj) juga berdekatan. Pada
akhirnya, fungsi basis dari Laplacianfaces adalah vektor eigen yang
berhubungan dengan nilai eigen terkecil dari masalah eigen XLXTa = λXDXTa.
XDXT menjadi tunggal setelah beberapa tahap pemrosesan terhadap X pada
Laplacianfaces; jadi, fungsi basis dari Laplacianfaces dapat dianggap sebagai
16 vektor eigen dari matriks (XDXT)-1 XLXT yang berhubungan dengan nilai eigen
terkecil. Karena pada umumnya matriks (XDXT)-1 XLXT tidak simetris, fungsi
basis dari Laplacianfaces tidak ortogonal.
Setelah vektor eigen dihitung, Ak = [a1, a2, …, ak] menjadi matriks
transformasi. Sehingga jarak Euclidean antara dua titik data pada ruang tereduksi
dapat dihitung sebagai berikut:
dist(y i , y j ) = y i − y j
= AT xi − AT x j
= A T (x i − x j )
=
(x
− x j ) AA T (x i − x j )
T
i
Jika A adalah matriks ortogonal, maka AAT = I dan struktur metrik tetap terjaga.
2.6
Orthogonal Laplacianfaces
Algoritma dari metode Orthogonal Laplacianfaces untuk representasi dan
pengenalan wajah berdasarkan kepada Orthogonal Locality Preserving
Projection (OLPP). Pada analisis wajah berdasarkan penampilan, masalah yang
sering ditemukan adalah vektor dari citra wajah jumlahnya lebih besar
dibandingkan dengan jumlah citra wajah itu sendiri, sehingga matriks XDXT
bersifat tunggal. Untuk mengatasi masalah tersebut, metode PCA dapat
diaplikasikan untuk memproyeksikan wajah ke dalam sebuah sub-ruang tanpa
harus kehilangan informasi apapun dan matriks XDXT menjadi tidak tunggal.
17 Algoritma dari Orthogonal Locality Preserving Projection adalah sebagai
berikut:
1.
PCA projection
Memproyeksikan citra wajah xi ke dalam sub-ruang PCA dengan cara
menghilangkan komponen – komponen terkecil yang memiliki nilai eigen
menuju nol. Matriks transformasi yang dihasilkan oleh PCA dinotasikan
dengan WPCA. Dengan proyeksi PCA, wajah – wajah yang diekstrak tidak
berhubungan (berdasarkan statistik) dan rank dari matriks yang baru
sama besarnya dengan jumlah dimensi.
2.
Constructing the adjacency graph
G menunjuk pada sebuah graph dengan n titik. Titik ke-i menunjuk
kepada citra wajah xi. Sebuah sudut diletakkan antara titik i dan j jika xi
dan xj berdekatan, contohnya, xi berada di antara p nearest-neighbors dari
xj atau xj berada di antara p nearest-neighbors dari xi. Perlu dicatat, jika
informasi kelas tersedia, sudut antara dua titik data dalam satu kelas dapat
dengan mudah diletakkan.
3.
Choosing the weights
Jika titik i dan j berhubungan, maka Sij = ed, d = -||xi – xj||2 t-1, t adalah
konstanta yang cocok. Sebaliknya, jika titik i dan j tidak berhubungan
maka Sij = 0. Matriks bobot S pada graph G memodelkan struktur lokal
dari manifold wajah.
18 4.
Computing the orthogonal basis function
D didefinisikan sebagai matriks diagonal yang elemen – elemennya
adalah kolom (atau baris, dikarenakan S simetris) penjumlahan dari S, Dii
= ∑jSij. Didefinisikan juga L = D - S yang merupakan matriks Laplacian
pada teori Spectral Graph. {a1, a2, …, ak} adalah vektor basis ortogonal.
Didefinisikan A(k-1) = [a1, a2, …, ak-1] dan B(k-1) = [A(k-1)]T (XDXT)-1 A(k-1).
Vektor basis ortogonal {a1, a2, …, ak} dapat dihitung sebagai berikut:
-
Hitung a1 sebagai vektor eigen dari (XDXT)-1 XLXT yang
berhubungan dengan nilai eigen terkecil.
-
Hitung ak sebagai vektor eigen dari M(k) = {I – (XDXT)-1 A(k-1) [B(k-1)]
-1
[A(k-1)]T} (XDXT)-1 XLXT yang berhubungan dengan nilai eigen
terkecil dari M(k).
5.
OLPP embedding
WOLPP = [a1, a2, …, al], embedding-nya adalah sebagai berikut:
x → y = WT x, W = WPCA WOLPP, y adalah representasi berdimensi l dari
citra wajah x, dan W adalah matriks transformasi.
19 2.7
Nearest-neighbor Classifier
Nearest-neighbor Classifier adalah sebuah metode sederhana yang
digunakan untuk mengklasifikasikan sebuah objek baru berdasarkan kesamaan
data pada objek yang berada pada training set.
Nilai k yang ada pada
Nearest-neighbor Classifier adalah parameter jumlah nearest-neighbor yang
akan diambil untuk klasifikasi data baru. Algoritma dari Nearest-neighbor
Classifier adalah sebagai berikut:
1.
Menentukan nilai k (banyaknya nearest-neighbor).
2.
Hitung jarak antara data – data pada objek baru dengan data – data pada
objek yang lama dengan rumus D ( x, y ) =
n
∑ (x
i =1
− yi )
2
i
dimana x adalah
objek baru, y adalah objek yang berada pada training set, n adalah jumlah
pixel, dan D(x,y) adalah jarak antara objek baru dengan objek pada
training set.
3.
Urutkan objek berdasarkan jarak yang didapat dan ambil k objek yang
memiliki nilai D(x,y) paling kecil.
4.
Mengumpulkan kategori dari setiap objek yang termasuk nearestneighbor.
5.
Objek baru termasuk dalam kategori yang paling banyak muncul dari
objek yang termasuk nearest-neighbor.
20 2.8
Perangkat Lunak
Perangkat lunak adalah (1) instruksi – instruksi (program komputer) yang
ketika dieksekusi akan memberikan fungsi dan performa seperti yang diinginkan,
(2) struktur data yang memungkinkan program memanipulasi informasi secara
proporsional, dan (3) dokumen yang menggambarkan operasi dan penggunaan
program (Pressman, 2001, p6)
Perangcangan perangkat lunak adalah disiplin perancangan yang
berhubungan dengan semua aspek dari produksi perangkat lunak dari tahap awal
spesifikasi sistem sampai dengan pemeliharaan setelah sistem dalam tahap
berjalan (Sommerville, 2001, p6).
Salah satu model perancangan perangkat lunak adalah Waterfall Model
atau dikenal juga dengan Linear Sequential Model. Menurut Pressman (2001,
p28), Waterfall Model meliputi beberapa aktivitas berikut:
-
Problem Definition/Concept Exploration
Perangkat lunak selalu menjadi bagian sistem yang lebih besar, sehingga
pekerjaan dimulai dari menentukan kebutuhan untuk semua elemen
sistem dan kemudian menempatkan beberapa sub-bagian dari kebutuhan
pada perangkat lunak. Pengamatan terhadap sistem menjadi penting
ketika perangkat lunak harus berinteraksi dengan elemen lainnya seperti
perangkat keras, manusia, dan database.
21 -
Requirements Analysis Specification
Mengerti jenis program yang akan dibuat, pembuat perangkat lunak harus
mengerti domain informasi dari perangkat lunaknya, begitu juga fungsi
yang dibutuhkan, tingkah laku, performa, dan antarmuka.
-
Design Prototyping
Desain perangkat lunak sebenarnya adalah sebuah proses bertingkat yang
terkonsentrasi pada empat buat atribut berbeda dari program, yaitu
struktur data, arsitektur perangkat lunak, representasi antar-muka, dan
prosedur (algoritma) rinci.
-
Implementation and Unit Testing
Desain yang diajukan harus bisa ditranslasikan menjadi bentuk yang bisa
dibaca oleh mesin sehingga mampu diimplementasikan. Jika desain dapat
dikerjakan secara rinci, unit testing dapat diselesaikan secara mekanis.
-
Integration and System Testing
Setelah kode program diselesaikan, percobaan terhadap program
dilakukan. Proses percobaan difokuskan pada bagian internal perangkat
lunak, memastikan semua pernyataan sudah dicoba, dan juga pada fungsi
eksternal; yaitu, melakukan tes untuk menemukan kesalahan dan
memastikan bahwa dari input yang diberikan, akan keluar hasil yang
diinginkan.
22 -
Release, Operation, and Maintenance
Perangkat lunak akan mengalami perubahan setelah diberikan kepada
pelanggan. Perubahan akan terjadi karena kesalahan yang ditemukan,
karena keperluan untuk beradaptasi dengan perubahan lingkungan, atau
karena pelanggan membutuhkan penambahan fungsi atau peningkatan
performa.
Gambar 2.1 Waterfall Model.
2.9
C#
Menurut Bradley L. Jones (2001), C# adalah sebuah bahasa
pemrograman baru yang dibuat oleh Microsoft dan telah diajukan kepada ECMA
untuk standardisasi. Bahasa pemrograman C# dibuat oleh sebuah tim dari
Microsoft yang dipimpin oleh Anders Hejlsberg yang sebelumnya telah membuat
bahasa pemrograman lain yaitu Turbo Pascal dan Delphi.
23 2.10
Makalah Relevan
Penelitian – penelitian yang pernah dilakukan oleh peneliti lain yang
berhubungan dengan penelitian terkait dengan penulisan skripsi ini adalah
sebagai berikut:
1.
Orthogonal Laplacianfaces for Face Recognition, 2006, Deng Cai,
Xiaofei He, Jiawei Han, Hong-Jiang Zhang. Mengajukan teori
Orthogonal Laplacianfaces dan membandingkannya dengan metode
Eigenfaces, Fisherfaces, dan Laplacianfaces.
2.
Orthogonal Locality Preserving Indexing, 2005, Deng Cai, Xiaofei He.
Memberikan contoh aplikasi lain dari Orthogonal Locality Preserving
Projection.
3.
Locality Preserving Projections, 2003, Xiaofei He, Partha Niyogi.
Memperkenalkan metode LPP sebagai salah satu metode pengenalan
wajah.