a. Sudut Antara Dua Garis Sudut antara garis dan garis ad

 a. Sudut Antara Dua Garis Sudut antara garis 𝐴𝐶 dan garis 𝐵𝐶 adalah ∠𝐵𝐶𝐴 = 𝛾 Gambar 3 Garis melalui titik 𝐴 dan titik 𝐶 Garis melalui titik 𝐵 dan titik 𝐶 𝑦 = 𝑚! 𝑥 + 𝑛! 𝑦 = 𝑚! 𝑥 + 𝑛! 𝑚! = tan 𝛼 𝑚! = tan 𝛽 Lihat ∆𝐴𝐵𝐶 Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180! maka ∠𝐶𝐴𝐵 + ∠𝐴𝐵𝐶 + ∠𝐵𝐶𝐴 = 180!
𝛼 + ∠𝐴𝐵𝐶 + 𝛾
= 180!
!
𝛼+𝛾
= 180 − ∠𝐴𝐵𝐶
Lihat titik 𝐵 yang terletak pada sumbu 𝑋 dimana 𝛽 adalah sudut pelurus ∠𝐴𝐵𝐶 maka 𝛽 − ∠𝐴𝐵𝐶 = 180!
𝛽
= 180! − ∠𝐴𝐵𝐶
Substitusi 𝛼 + 𝛾 = 180! − ∠𝐴𝐵𝐶
𝛼+𝛾 =𝛽
𝛾
=𝛽−𝛼
Sudut antara dua buah garis tan 𝛾 = tan 𝛽 − 𝛼
!"# !!!"# !
tan 𝛾
= !!!"# ! !"# ! tan 𝛾
=
!! !!!
!!!! !!
Sudut antara dua garis yang mempunyai gradien 𝑚! dan 𝑚! adalah 𝑚! − 𝑚!
tan 𝛾 =
1 + 𝑚! 𝑚!
Secara geometri jika Garis sejajar maka 𝛾 = 0! ! !!!
! !!
!! !!!
Garis tegak lurus maka 𝛾 = 90! ! !!!
!
= !!!
!
= !!!
tan 𝛾
tan 0!
= !!!
tan 90
= !!!
0
= !!!
∞
=
tan 𝛾
! !!
!! !!!
! !!
!
1 + 𝑚! 𝑚!
0 1 + 𝑚! 𝑚! = 𝑚! − 𝑚!
0
= 𝑚! − 𝑚!
1 + 𝑚! 𝑚!
𝑚!
= 𝑚!
𝑚! 𝑚!
Dua buah garis saling sejajar jika 𝑚! = 𝑚! Dua buah garis saling tegak lurs jika 𝑚! 𝑚! = −1 ! !!
!! !!!
! !!
!! !!!
!!!! !! !! !!!
= !
=0
= −1
b. Jarak Titik ke Garis Jarak dari suatu titik di luar garis 𝑥! , 𝑦! ke garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 sama dengan jarak terpendek antara titik 𝑥! , 𝑦! dengan sebuah titik 𝑥! , 𝑦! yang terletak pada garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 Secara geometri sama dengan jari jari 𝑟 lingkaran yang pusatnya adalah titik 𝑥! , 𝑦! dan menyinggung garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 Atau panjang segmen garis antara titik 𝑥! , 𝑦! dengan titik potong 𝑥! , 𝑦! garis yang tegak lurus garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 melalui titik 𝑥! , 𝑦! Jelasnya lihat gambar Garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 dengan gradien 𝑚 = tan 𝛼 dan titik 𝐴 𝑥! , 𝑦! terletak di luar garis Garis 𝐴𝐵 tegak lurus garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 maka panjang 𝐴𝐵 adalah jarak antara titik 𝐴 𝑥! , 𝑦! dengan garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 Gambar 4 Garis 𝐴𝐶 sejajar sumbu 𝑋 sehingga ordinat titik 𝐴 dan titik 𝐶 sama yaitu 𝑦! dan ∠𝐴𝐶𝐵 = 𝛼 karena berseberangan dalam Titik 𝐶 𝑥! , 𝑦! melalui Panjang garis 𝐴𝐶 garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 maka 𝑦
= 𝑚𝑥 + 𝑛
𝐴𝐶 = 𝑥! − 𝑥!
! !!
𝑦!
= 𝑚𝑥! + 𝑛
𝐴𝐶 = !! − 𝑥!
𝑦! − 𝑛 = 𝑚𝑥!
! !!
!! !! !!
𝐴𝐶 = !! − ! !
= 𝑥!
!
! !!! !!
𝐴𝐶 = ! ! !
Lihat ∆𝐴𝐵𝐶 tan 𝛼 = 𝑚
!"
!
= !"
!
Substitusi Substitusi !"
sin 𝛼
= !"
sin 𝛼
=
𝐴𝐶 !
𝐴𝐶 !
𝐴𝐶 !
𝐴𝐶
!
!! !! = 𝐴𝐵! + 𝐵𝐶 !
= 𝑚! + 1!
= 𝑚! + 1
= 𝑚! + 1
sin 𝛼
𝐴𝐶 sin 𝛼
!! !!!! !!
!
!! !!!! !!
!! !!
!"
!
!! !!
= !"
= 𝐴𝐵
= 𝐴𝐵
= 𝐴𝐵
Jarak dari titik 𝑥! , 𝑦! diluar garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ke garis tersebut adalah 𝑦! − 𝑚𝑥! − 𝑛
𝑑=
𝑚! + 1