Materi 2: Graphical Method Khusus untuk masalah Program

Linear Programming
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Materi 2: Graphical Method
Khusus untuk masalah Program Linear dengan 2 peubah dapat diselesaikan
melalui grafik, meskipun dalam praktek masalah Program Linear jarang
sekali yang hanya memuat 2 peubah. Tetapi metode grafik mempermudah
kita dalam memahami pengertian-pengertian yang timbul dalam Program
Linear. Cara paling efektif untuk memperkenalkan pengertian-pengertian
tersebut adalah dengan langsung menyelesaikan contoh-contoh soal.
Daerah Fisibel, Garis Senilai, dan Penyelesaian Optimum
1.
Reddy Mikks. Perusahaan cat memproduksi cat interior dan cat
eksterior. Dua bahan A & B digunakan. Kebutuhan bahan untuk tiap cat
beserta persediaannya terlihat pada tabel di bawah. Survey
menunjukkan bahwa permintaan harian cat interior melebihi cat
eksterior tidak lebih dari 1 ton. Permintaan maksimum cat interior
adalah 2 ton/hari. Harga jual cat eksterior $5000/hari, sedangkan cat
interior $4000. Berapa produksi tiap cat supaya harga jual maksimum?
Cat eksterior
Cat interior
6
1
5
4
2
4
Bahan A
Bahan B
Harga jual ($1000)
Persediaan
bahan
6
8
Model Program Linear lengkap
Maksimumkan
=5 +4
terhadap kendala
6 + 4 ≤ 24
+2 ≤ 6
− + ≤1
≤2
, ≥0
Setiap nilai
dan
yang memenuhi semua kendala disebut solusi
fisibel (feasible solution). Jika sebaliknya (minimal ada satu kendala
yang tidak terpenuhi), maka solusi tersebut tidak fisibel (infeasible).
Sebagai contoh,
= 3 ton/hari dan
= 1 ton/hari merupakan solusi
fisibel karena memenuhi semua kendala yang diberikan, termasuk
kendala tak negatif. Untuk mengecek hasilnya, kita dapat mensubstitusi
( , ) = (3,1) pada ruas kiri setiap kendala, yaitu
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
= 6(3) + 4(1) = 22 ≤ 24
+ 2 = 3 + 2(1) = 5 ≤ 6
− + = −3 + 1 = −2 ≤ 1
=1≤2
= 3, = 1 ≥ 0
Sedangkan solusi ,
= 4 ton/hari dan
= 1 ton/hari merupakan solusi
tak fisibel, karena tidak memenuhi kendala pertama, yaitu
6 + 4 = 6(4) + 4(1) = 28 > 24
6
+4
Tujuan dari masalah Program Linear di atas adalah menentukan solusi
fisibel terbaik, atau solusi optimal, yang memaksimumkan total keuntungan. Jumlah solusi fisibel dari masalah Reddy Miks dapat dilihat melalui grafik, yang menunjukkan bahwa terdapat “tak terhingga” solusi
fisibel. Sehingga tidak mungkin menyelesaikan masalah ini dengan
enumerasi (mengecek satu demi satu solusi fisibel). Oleh karena itu,
akan diberikan prosedur (langkah-langkah) berhingga untuk mencari
solusi optimal menggunakan metode grafik.
Terdapat dua langkah dalam metode grafik, yaitu
1. Menentukan daerah fisibel/ruang solusi fisibel (feasible solution
space).
2. Menentukan solusi optimal (optimum solution) diantara semua
solusi fisibel dalam ruang solusi.
Langkah 1. Menentukan Daerah Fisibel/Ruang Solusi Fisibel
Pertama kita perhatikan kendala tak negatif , ≥ 0. Pada Gambar 1, sumbu horisontal
dan vertikal
berturut-turut merepresentasikan cat eksterior dan cat interior. Sehingga kendala tak
negatif setiap variabel menunjukkan bahwa ruang solusi berada di
kuadran I, yaitu di atas sumbu- dan di kanan sumbu- .
-
Selanjutnya, mengubah setiap pertidaksamaan pada masing-masing
kendala menjadi sebuah persamaan. Kemudian menggambar setiap
persamaan dalam sebuah garis lurus, dengan menentukan dua
titik yang memenuhi persamaan tersebut dan menghubungkannya.
-
Berikutnya, menentukan daerah fisibel untuk setiap kendala yang
memenuhi tanda pertidaksamaan. Untuk menentukan daerah
fisibel yang tepat, dapat dipilih titik (0,0) sebagai titik referensi
(reference point). Jika pada titik tersebut memenuhi tanda pertidaksamaan, maka daerah dimana titik (0,0) berada merupakan daerah
fisibel untuk kendala yang bersangkutan.
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
-
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
Daerah fisibel/ruang solusi fisibel merupakan irisan semua
daerah fisibel dari masing-masing kendala.
Gambar 1. Daerah fisibel masalah Reddy Mikks
Langkah 2. Menentukan Solusi Optimal
Daerah fisibel dalam Gambar 1 merupakan daerah segienam
ABCDEF. Jadi, semua titik yang berada di dalam ruang segienam
ABCDEF merupakan solusi fisibel. Karena ruang fisibel ABCDEF
mengandung tak berhingga banyak titik, maka dibutuhkan suatu
prosedur untuk mengidentifikasi solusi optimal.
-
Penentuan solusi optimal membutuhkan identifikasi ke arah mana
fungsi objektif = 5 + 4 mengalami kenaikan (maksimum z). Jika
kepada z diisikan nilai tetap 5 + 4 = , maka grafik fungsi sasaran
berupa garis lurus yang disebut garis senilai (isoquant, isoprofit,
isocost) karena menggambarkan pasangan-pasangan ( , ) yang
memberikan nilai z yang sama. (Disebut juga garis selidik).
-
Misal untuk z = 10 dan z = 15 diperoleh persamaan garis lurus
5 + 4 = 10 dan 5 + 4 = 15, yang menunjukkan arah kenaikan
nilai z, yaitu semakin ke kanan garis senilai digeser, maka nilai z
juga semakin besar. Solusi optimal terjadi di titik C, karena C
Department of Mathematics FMIPA UNS
Linear Programming
Nughthoh Arfawi Kurdhi, M.Sc
merupakan titik terakhir yang memberikan nilai z terbesar dan
beririsan dengan daerah fisibel.
Gambar 2. Garis selidik masalah Reddy Mikks
-
Titik C merupakan perpotongan garis (1) dan (2), yaitu
6 + 4 = 24
+2 =6
Diperoleh solusi
= 3 dan
= 1,5 dengan z = (5)(3)+(4)(1,5) = 21.
Jadi, agar diperoleh keuntungan maksimum, perusahaan harus
memproduksi cat eksterior 3 ton/hari dan cat interior 1,5 ton/hari,
dengan keuntungan maksimum sebesar $21.000 per hari.
Karakteristik penting dari masalah Program Linear adalah solusi
optimal selalu berhubungan dengan titik pojok (corner point) ruang
solusi (perpotongan dua garis). Hal ini juga berlaku bahkan jika fungsi
objektif sejajar (parallel) terhadap suatu fungsi kendala. Sebagai contoh
jika fungsi objektif
= 6 + 4 , maka fungsi tersebut sejajar dengan
kendala (1). Kita dapat selalu mengatakan bahwa solusi optimal terjadi
baik di titik B maupun C. Sebenarnya, setiap titik pada garis AB
merupakan solusi optimal alternatif (alternative optimum solution),
tetapi observasi penting di sini adalah bahwa garis BC didefinisikan
secara total oleh titik pojok B dan C.
Department of Mathematics FMIPA UNS