bab 2 pemodelan sistem

BAB 2
PEMODELAN SISTEM
Bab 2 berisi pemodelan sistem sebagai dasar dalam analisis dan sintesis
sistem kendali. Uraiannya meliputi pengertian sistem, model sistem,
perbedaaan model dan simulasi, pengertian model matematis, dan model
matematis untuk rangkaian listrik, sistem mekanis, sistem fluida, dan sistem
termal.
Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa memiliki kompetensi untuk :
• memahami pengertian sistem dan keuntungan melakukan pemodelan
sistem.
• mendefinisikan model dan menguraikan beberapa tipe model.
• mendefinisikan model matematis dan menguraikan beberapa tipe
model matematis.
• Menerapkan konsep pemodelan matematis dalam rangkaian listrik,
elektromekanis, sistem termal, sistem fluida.
1. Sistem dan Eksperimen
Konsep “sistem” dapat didefinisikan dengan berbagai cara. Salahsatunya
adalah sistem merupakan sekumpulan objek yang sifat-sifatnya ingin
dipelajari. Dengan definisi tersebut, banyak hal di sekitar kita yang dapat
dikategorikan sebagai sistem, misalnya sistem matahari, hutan tropis,
kapasitor dengan resistor, jaringan komputer, dan lain-lain. Adalah sifat
manusia yang selalu ingin tahu untuk mengetahui sifat-sifat sistem tersebut,
misalnya bagaimana tumbuh-tumbuhan bisa tumbuh sepanjang tahun di
hutan tropis, atau apa yang terjadi apabila kapasitor dan resistor disambung
kemudian dihubungkan dengan sebuah sumber tegangan, atau bagaimana
menggabungkan dua komputer atau lebih supaya terbentuk jaringan
komputer, dan sebagainya. Beberapa pertanyaan dapat dijawab melalui
eksperimentasi (percobaan), misalnya hubungkan dua komputer kemudian
instalasi kebutuhan perangkat lunaknya dan amati komunikasi yang terjadi.
Pekerjaan utama dalam ilmu pengetahuan selama beberapa abad adalah
membuat pertanyaan tentang sifat sistem dan menjawabnya melalui
serangkaian percobaan.
Metode eksperimen berdasarkan prinsip ilmiah, tetapi memiliki
keterbatasan. Kadang-kadang tidak mungkin dilakukan eksperimen dengan
beberapa alasan berikut :
____________________________________________________________________
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
1
a) terlalu mahal
Contoh : mempelajari mantap atau tidaknya cara berjalan robot
humanoid. Untuk membeli atau membuat robot dibutuhkan biaya
yang mahal.
b) berbahaya
Contoh : mahasiswa yang ingin mengetahui efek radiasi dalam
reaktor nuklir. Terlalu riskan apabila dia mencoba langsung dengan
reaktor nuklir sebenarnya.
c) sistemnya belum ada
Contoh : Untuk pesawat udara baru, seseorang ingin menguji efek
sayap dengan bentuk yang berbeda-beda terhadap sifat aerodinamis
pesawat.
Dengan demikian dalam situasi tersebut dibutuhkan cara untuk
memecahkan persoalan tanpa melakukan eksperimentasi, yaitu dengan
membuat model suatu sistem.
2. Apa yang disebut dengan Model ?
Secara sederhana, model suatu sistem adalah sarana atau alat (tools) yang
digunakan untuk menjawab pertanyaan tentang sistem tanpa melakukan
eksperimen. Ada beberapa tipe model, yaitu :
a) model mental
Pemodelannya dilakukan dengan proses “membayangkan” sistem
dalam pikiran. Sebagai contoh seorang instruktur menjelaskan
tentang mengemudikan mobil, maka dia akan meminta peserta untuk
“membayangkan” sistem kemudi, posisi pedal gas, rem, setir, dan
sebagainya.
b) model verbal
Perilaku atau sifat sistemnya diuraikan dalam bentuk kata-kata,
misalnya jika sistem manajemen sumber daya dan pengelolaan aset di
perusahaan tidak benar maka angka PHK semakin tinggi.
c) model fisis
Model ini mencoba meniru sistem sebenarnya dalam bentuk miniatur
atau prototipe.
d) model matematis
Pada model ini, hubungan antar besaran dalam sistem dinyatakan
dalam bentuk hubungan (persamaan) matematis. Kebanyakan hukum
alam adalah model matematis. Hukum alam berkaitan dengan sistem
sederhana dan seringkali ideal. Untuk sistem nyata, hubungan antar
variabelnya mungkin lebih rumit.
____________________________________________________________________
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
2
3. Model dan Simulasi
Anggap bahwa eksperimen tidak bisa dilakukan, tetapi model sistemnya
tersedia. Model tersebut dapat digunakan untuk menghitung atau
menyimpulkan bagaimana sistem bekerja. Hal ini dapat dilakukan secara
analitis, yaitu dengan memecahkan persamaan matematika yang muncul
dan mempelajari solusinya, misalnya pada saat mempelajari dan ingin
mengetahui arus dan tegangan pada suatu cabang dalam rangkaian listrik
menggunakan hukum Ohm atau Kirchhoff.
Dengan perkembangan komputer, baik perangkat lunak maupun
perangkat kerasnya, eksperimen numerik dapat dilakukan dengan mudah,
cepat, dan efektif terhadap suatu model. Langkah tersebut dikenal dengan
istilah simulasi. Simulasi dengan demikian adalah suatu cara yang tidak
mahal dan aman dalam bereksperimen dengan sistem. Kualitas hasil
simulasi bergantung kepada kualitas model sistemnya.
4. Model Matematis Sistem
Model matematis suatu sistem diartikan sebagai kumpulan persamaan
matematika atau pernyataan matematis yang menggambarkan sifat atau
perilaku sistem dengan cukup baik. Ada beberapa tipe model matematis
yang digunakan yang bergantung kepada sifat sistem dan tools yang
digunakan, yaitu :
a) Deterministik atau Stokastik
Model disebut deterministik apabila model tersebut menggambarkan
hubungan yang pasti (eksak) antara variabel pengukuran dan variabel
turunan serta dalam persamaannya tidak muncul ketidakpastian.
Sementara itu, model stokastik mencakup ketidakpastian atau
mengandung konsep probabilitas.
b) Dinamis atau statis
Sistem biasanya dicirikan oleh sejumlah variabel yang berubah
terhadap waktu. Jika hubungan antara variabelnya bersifat langsung
maka sistemnya disebut statis. Resistor adalah contoh sistem statis,
karena arus yang melaluinya dan tegangan antar kaki-kakinya memiliki
hubungan langsung melalui Hukum Ohm. Arus yang mengalir hanya
bergantung kepada tegangan saat itu dan tidak bergantung kepada nilainilai lainnya atau sebelumnya. Sementara itu, sistem dinamis adalah
sistem yang nilai variabelnya bergantung kepada sinyal atau kondisi
sebelumnya. Sebagai contoh, sistem ekonomi suatu negara adalah sistem
dinamis, karena situasi ekonomi sekarang bergantung kepada kondisi
sosioekonomi sebelumnya. Secara lebih sederhana, sistem dinamis
didefinisikan sebagai sistem yang dinyatakan dengan persamaan
diferensial atau persamaan difference.
c) Kontinyu atau diskrit
Sebuah model matematis yang menggambarkan hubungan antara
sinyal kontinyu disebut model kontinyu, sedangkan model diskrit
____________________________________________________________________
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
3
menyatakan hubungan antara sinyal diskrit. Model kontiyu biasanya
dinyatakan dengan persamaan diferensial, sedangkan model diskrit
dituliskan dalam bentuk persamaan difference.
d) Tergumpal (Lumped) atau terdistribusi (distributed)
Banyak gejala fisis yang dilukiskan secara matematis dengan
persamaan diferensial parsial. Proses atau kejadian dalam sistem tersebut
berlangsung dalam suatu ruang tertentu, misalnya suhu kawat yang
dipanaskan akan berada di seluruh titik pada kawat tersebut. Model
seperti itu disebut model berparameter terdistribusi. Jika kejadian
diwakili oleh sejumlah variabel atau satu titik maka modelnya disebut
model berparameter tergumpal, yang dinyatakan dengan persamaan
diferensial biasa.
e) Linear atau non linear
Suatu sistem dikatakan linear apabila memenuhi prinsip superposisi.
Prinsip tersebut menyatakan bahwa respon sistem terhadap dua input
berbeda yang diberikan secara bersamaan adalah jumlah respon dari
masing-masing input tersebut. Dengan demikian, untuk sistem linier,
responnya terhadap beberapa input dapat dihitung dengan cara
menentukan respon masing-masing input kemudian menjumlahkannya.
Dari sudut pandang eksperimental, apabila sebab dan akibat dalam
sistem berlaku secara proporsional, maka sistem dapat dimodelkan
secara linear. Sedangkan sistem nonlinear tidak memenuhi prinsip
superposisi, sehingga dalam analisis biasanya dilakukan linierisasi untuk
daerah operasi tertentu.
f) Time-invariant atau time-varying
Sistem time-invariant memiliki parameter yang konstan (tidak
bergantung waktu). Responnya tidak bergantung kepada kapan input
diberikan. Sementara itu, sistem time-varying mengandung parameter
yang bergantung waktu, contoh sistem kendali pesawat terbang. Salah
satu parameter dalam pesawat yang time-varying adalah bobot (massa)
pesawat berkurang akibat konsumsi bahan bakar.
g) Fungsi transfer atau state space (ruang keadaan)
Pemodelan melalui fungsi transfer dapat dilakukan untuk bentuk
SISO (single input single output) dengan sifat sistem deterministik,
kontinyu, tergumpal, linier, dan time-invariant. Sementara pemodelan
state space dilakukan apabila bentuknya MIMO (multi input multi output).
5. Model matematis dalam Rangkaian Listrik
Model matematis dalam rangkaian listrik diturunkan dengan
memanfaatkan hukum-hukum yang berlaku yaitu Hukum Ohm dan Hukum
Kirchhoff.
Perhatikan dua rangkaian berikut :
____________________________________________________________________
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
4
Dengan menggunakan hukum
Kirchhoff tentang tegangan pada
rangkaian
tersebut
didapat
persamaan :
di
1
L + Ri + ∫ i dt = ei
dt
c
dan
1
i dt = e0
c∫
Pada rangkaian di atas berlaku hubungan besaran sebagai berikut :
di (t )
Ri1 (t ) + L 1 + e0 (t ) = ei (t )
dt
di2 (t )
L2
= e0 (t )
dt
ic (t ) = i1 (t ) − i2 (t )
de (t )

de (t ) i (t ) − i2 (t ) = C 0
ic (t ) = C 0  1
dt
dt 
Dengan teknik Transformasi Laplace, kita dapat menyatakan hubungan
antara input dan output rangkaian di atas secara langsung dengan mudah.
6. Model matematis Sistem Mekanis
Untuk sistem mekanis, model matematisnya diturunkan melalui hukum
Newton ∑ F = ma untuk gerak translasi dan ∑ τ = Iα untuk gerak rotasi.
Perhatikan gambar berikut :
Sistem tersebut dapat menyatakan sistem suspensi kendaran bermotor (shock
absorber) atau gedung selama dilanda gempa, dll. Variabel-variabelnya
adalah sebagai berikut :
____________________________________________________________________
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
5
•
•
u(t) adalah perpindahan dari dasar, y(t) adalah perpindahan massa
gaya pegas bernilai k(u-y), gaya peredam berharga b(u-y)’
•
Persamaan Newton yang berlaku berbentuk my′′ = b(u − y )′ + k (u − y )
Persamaan diferensial untuk sistem tersebut berbentuk
my ′′ + by ′ + ky = bu ′ + ku
Untuk gerak rotasi, perhatikan gambar berikut
Variabel-variabel
dan
parameternya adalah sebagai
berikut :
• T menyatakan torsi motor
• J adalah momen inersia
• w adalah kecepatan putar
dalam satuan rad/s
•b
menyatakan
koefisien
gesekan
• θ adalah sudut putaran
dalam radian
Persamaan diferensial untuk model gerak rotasi tersebut adalah
dw
d 2θ
dθ
J
+ bw = T atau J 2 + b
=T
dt
dt
dt
7. Model matematis untuk Sistem elektromekanis
Pada sistem ini terjadi kombinasi rangkaian listrik dan mekanis.
Perhatikan contoh berikut :
Gambar diatas adalah model skematik generator arus searah (DC). Sebuah
generator berfungsi menghasilkan besaran listrik dari gerak mekanik di sisi
inputnya. Besaran listrik yang dihasilkan adalah tegangan generator ea dan
arus ia akibat mekanisme putaran motor listrik dengan kecepatan n.
Misalnya tegangan akibat putaran motor eg berbanding lurus dengan
kecepatan n maka eg = k1 n dengan k1 adalah konstanta, sedangkan putaran
____________________________________________________________________
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
6
motor diatur oleh arus dari bagian medan if dan nilainya berbanding lurus
dengan arus ini, yaitu n = k 2 i f , sehingga didapat
eg = k1 k2 i f = k g i f
dengan kg = k1k2 disebut konstanta generator. Dengan menerapkan Hukum
Kirchhoff pada sisi input (bagian medan) dihasilkan
di
ef = Rf i f + Lf f
dt
Substitusi tegangan generator menghasilkan bentuk
e
L de
ef = Rf g + f g
k g k g dt
Sementara itu, Hukum Kirchhoff di bagian output berbentuk
di
− ea = −eg + Rg ia + Lg a
dt
ea = ia Z L
atau
L de
e
eg = ea + Rg a + g a
Z L Z L dt
Analisis terhadap model tersebut dapat dilakukan dengan mencari
hubungan antara tegangan masukan (input) dengan tegangan yang
dihasilkan.
8. Model matematis untuk sistem aliran fluida (cairan)
Perhatikan gambar skematik berikut
u
h
q
Tangki memiliki luas penampang A dan saluran keluaran (outflow) a.
Tinggi permukaan cairan dalam tangki adalah h, debit aliran masuk (inflow)
u, dan debit keluaran q. Menurut hukum Bernoulli, laju aliran pada saluran
keluaran dinyatakan oleh persamaan
v(t ) = 2 gh
dengan g menyatakan percepatan gravitasi. Hubungan antara debit keluaran
dan laju aliran pada saluran keluaran didefinisikan oleh
q (t ) = av(t )
Volume cairan dalam tangki adalah A h, yang berubah nilainya sesuai
dengan selisih antara debit masuk dan keluaran, sehingga dapat dinyatakan
____________________________________________________________________
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
7
d
A h(t ) = u (t ) − q (t )
dt
Persamaan-persamaan di atas membentuk model sistem tangki fluida.
Dari ketiga persamaan tersebut didapat model matematis sistem aliran fluida
dalam bentuk persamaan diferensial non linier berikut
a 2g
d
1
h(t ) = −
h(t ) + u (t )
dt
A
A
Dari bentuk terakhir, kita dapat menentukan tinggi permukaan cairan jika
debit aliran masuknya diketahui. Setelah data tinggi permukaannya
dihitung, debit keluarannya dapat dihitung dengan cara berikut
q (t ) = a 2 g h(t )
9. Model matematis sistem termal
Perhatikan skema berikut
cairan panas
pemanas
cairan
dingin
Misalkan tangki diisolasi sehingga tidak ada kalor yang hilang ke udara luar.
Asumsi lainnya adalah tidak ada panas yang tersimpan di dalam tangki serta
pemanasan dilakukan secara sempurna, sehingga suhu cairan merata.
Definisikan, Si = suhu mantap cairan dingin, So = suhu mantap cairan panas,
G = laju aliran cairan, M = massa cairan dalam tangki, c = kalor jenis cairan, R
= resistansi termal, C = kapasitansi termal, dan H = laju kalor input. Anggap
bahwa suhu cairan dingin yang masuk dijaga konstan dan laju kalor input
tiba-tiba berubah (akibat pemanasan) dari H ke H + hi sehingga laju kalor
cairan panas berubah dari H ke H + ho. Suhu cairan panas berubah dari So ke
So + s. Untuk kasus ini, berlaku hubungan ho = Gcs , C = Mc , dan
s
1
. Persamaan diferensial untuk sistem ini adalah :
R=
=
ho Gc
ds
C
= hi − ho
dt
yang dapat dituliskan menjadi
ds
RC + s = Rhi
dt
Selanjutnya, jika suhu cairan dingin berubah tiba-tiba dari Si ke Si + si dan
laju panas cairan dan laju aliran cairan dijaga konstan maka didapat
persamaan diferensial
ds
RC + s = si
dt
____________________________________________________________________
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
8
Jika sistem termal dihadapkan pada perubahan suhu cairan dingin dan laju
kalor input, sementara laju aliran cairan dijaga konstan maka perubahan
suhu cairan mengikuti persamaan diferensial
ds
RC + s = s i + Rhi
dt
Soal latihan :
1. Buat model matematisnya dari rangkaian listrik berikut
2. Dengan memanfaatkan hukum Newton, turunkan model matematis
sistem mekanik berikut. Berikan penjelasan secukupnya tentang
fenomena yang terjadi.
____________________________________________________________________
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
9