GRAr Spl,rr f2nl, TrDAK Srsr-AJAIB UNTUK n =3

GRAr Spl,rr f2nl, TrDAK Srsr-AJAIBUNTUKn =3(mod8)DANTrDAK StstAJArB SECARAKUAT UNTUKSETtAp N > 3
HAZRUL ISWADI
OepartemenMatematikadan IPA (MIPA)
UniversitasSurabaya(UBAYA)
JalanRayaKalirungkutSurabaya60292
e-mail:[email protected]
Absarrk.
Pelabelan
sisi-ajaib
pada
graf
pemetaan
X:It(G\w E(G) -+ \1,2,...,v+el. dim'n"u=ltl(c)l a* e = lf1C)l, densan
siratuntuk
setiapsisi ry di A, 2(x) + 2(xy) + X(i = n , untuk suab|konstanhk Bilangank disebutbilangan
ajaib G. Suatugraf C dengansebuahpelabelantotal sisi-ajaibdisebutsisi-ajaib.Pelabetantotal sisi-ajaib
dis€butkuatjika lab€ldari titik adalahlabelpalingkecil yangmrmgkinyaittt l,2, ... , v. craf c dis€butjisiajaib secarakuat jika mempunyaisuatupelabelantotal sisi-ajaib ktat. Cnaf spliaKr/ adalahgraf yang
mcmiliki jumlah titik v = 2q n t'uah titik n€nbentuk graf lengkapKn dan n buahtitik yang lain nasingmasingnyaterhubungke semuatitik di graf lengkap I(Il. Padatulisanini dibuktikanbahwa |g6f split K.y
tidak sisi-ajaibunhk '4 = 3(mod 8) dantidak sisi-ajaibsecarakuatuntuks€tiapn > 3.
Kats kunci: grafsplit, p€labelantotal sisi-ajaib
L Pendahuluan
Gr$ G adalahh\mpuran berhingga tak kosong dari tirik V(G) &n;ama denganhimpunan pasangantak
berurut dari dua titik yang berbedadi G yang dinamakandenganriri dan dinotasikandenganE(G).
Kardinalitasdari himpunantitik lZ(Gl di G dinotasikandenganv dan disebutdenganora&G, sedangkan
kardiwtitas darihimpunansisi lelCil alnotasikandengane dan disebutdenganukuran G. Sisi.ry = {-ty}
diseb& menghubungkantitik .x dan J,. Jika rJ,,suatu sisi di G maka x dan y disebut sebagaititik-tilik yang
bertetangga.Derajqt dx) dari suatu titik.x di C adalah himpunan dari semua titik lain y di G sehingga /
adalahtetanggar di G.
Beberapadefinisi b€rikut diambilkan dari Chartrand dan Lesniak (1996\. Gral lengkap li, dengan n
buah titik adalahgraf dengansetiapdua titik selalu bertetangga.Komplemenddari graf G adalahgraf
denganhimpunantitik yang samadenganC sehinggadua titik bertetanggadi C- jika dan hanyajika titiktitik tersebut tidak b€rtetanggadi G. Graf Null K-, adalah komplemen dari graf lengkap K^. Gro/ bipa it
K,n adalahgraf yang diperolehdenganmempartisihimpunan Z(G) menjadi'himpuanV1 dan V2 sehinga
setiap sisi di E(G) menghubungkantitik di I/1dengan Zr.
Dari Wallis (2001) diperoleh definisi-delinisibeikut. Pelabelan totol sisi-ajaib rt,da suatugraf c adalah
pemeraansatu-satu t tv(G)w E(G) -+ 11,2,..,,y+ el , 4r*"
u=lt lc{ aan e =lE(G)|, dengan sifat
diberikan sisi .r7 di G, l(x) + )(xy) + .l(.y) = t , untuk suatu konstantat. Bilangan & dlsebut 6ilangan ajaib
G. Suatugraf G dengansebuahpelabelantotal sisi-ajaibdisebrt sisi-ajqib. Pelabelantotal sisi-ajaibdisebut
,qs, jika lBbel dari titik adalah label paling kecil yang mungkin yaitu l, 2, ... , v, Sebuahgraf disebur riri
ajaib secaru hual jika mempunyai suatupelabelantotal sisi-ajaib kuat.
Misalkan 2 p€labelantotal sisi-ajaibgrafG denganjumlah ajaib t, denganhimpunanlabel untuk ritiktitik di G adalahlay a2,-. a,| . Kondisi perluyang harusdipenuhiadalah:
l. ai + a, + ai = * tidak mungkinterjadijika adadua ai, ai,dar' ah &rtetaeg$adi G.
2. jumlah ai + aj,dimana.r;x7 sisi di G, semuanyaberbeda.
3. 0<*-(ai
+ a j ) 3 v + e , d i m a n ar ; r 1 s i s i d i G .
7l
72
HAZRULIsiwADr
jumlahanbilangan
Didefinisikan
bulatsebagai
berikut
- ' - +t )
o f = 1 i+ t 1+ 1 i+ z : 1 + . . j. += i ( j - i l + ( i
\2
)
(l),jumlah dari bilangant dikali denganbanyaknyasisi e adalah
persamaan
Denganmenggunakan
ke=oi." +2la(x,)-tla,.
(2) dapatdibuktikanteoremapentingberikut ini.
Dari persamaan
TcoremNI (Ringel dan Llado (1996))
Jika c mempunyaijumlahgarise genap,setiaptitikr di G memiliki derajatdr) ganjil, danjumlahanv +
e = 2!rcd4) makagraf G tidak memiliki pelab€lantoralsisi-ajaib
Kotzig dan Rosa (1970) (sepertiyang tertera dalam Gallian (2001)) telah membuktikanbahwa eraf
bipadit (-, mempunyai pelab€lan total sisi-ajaib untuk setiap nr dan rr. Kemudian dari wa is (2fr1)
dhebutkan bahwa graf lengkap Ko mempunyai plabelan total sisi-ajaib jika dan hanya jika n = l, i, s, i,
atau 6. Pertanyaantentang pelabelantotal sisi-ajaib suatu graf G kemudian ditujukan pada graf-graf G yang
memuatgraflengkap,K.sepertigrafsplit r(.-7 dibawahini.
Gru,f split K-,y/
merupakansuatu graf yang memuat graf lengkap ,(n, graf Null F,, , dan graf bipanit
.(-, yangmenghubungkan
duahimpunantitik di graf lengkapdengangrafNull. Jumlahtitik K^.2/ ?dalahv
= m + 2-j,u m r ar 'hr ,
^ * n * r r * ( l l = ] t z z+r x z+r l .u n t u r
" = z r , *\2)
[ ] l = l'-( z r * n - r ) . a u n , * r =
z
\z.t
(n\ - '
n=4Graf split,<y memilikijumlahtitikv=22,jumlahsisi e=22 . l 2 J = ; ( 3 ' - t ) , d a nY + e =
z o +o 2 + ( n \ = ! t o + n .
t2) 2'
I
Dalam hasil dibawah ini akan ditunjukkanbahwa graf split Kr% tidak sisi_ajaibuntuk
n = 3(mod8)dantidaksisi-ajaib
secara
kuatuntuksetiapt,> 3.
2. Hasil-hasil
Teorema I tidak dapat dipakai pada$af split Kr// dengann genap karenapada graf split K,
y
dengur
n genap*an diproleh setiap titik x pada bagian g,af Null K-, m€mpunyai &rajat
genap.Teor€m8 I
di
juga tidak dapatdipakaipadagraf split K
=
dengan
=
a
t(mod
E),
z
=
S(rnod
E)
dan
,r
?(mod8) . Untuk
y
,
g.u,tsplitKzy, dengann = t(mod8) dan r = 5(mod8) makajumlai sisi e=l(zn-t)
akan bemitai ganjit.
Kemudianuntuk ,t = 7(mod8) makajumlah r + e = O(mod4). sedangkanuntuk ,t = 3(modg)diperoleh
teorema2 di bawah ini.
Tcorcma 2
Gnf split Kzy, tidak mempunyaipelabelantotal sisi-ajaibjika z = 3(mod8)
Jawab.'Misalkan suatu graf split K2y' dengan r=3(mod8).
L
Maka diperoleh v=6(mod8)
dan
e=-p1mod81J[3(31mod8)-lJ. Karena 3(mod 8) merupakanbilanganganjil maka diperolehe bernilai
genai. Sedangkan
derajatdari setiaptitik "r di K2y/, ad^lah
iikax titik digraf lengkapA',
d(x\=[24-1,
jika
r.
r titik digraf Nu K,
I
GR]|FSflJTtr,,/"
TIDA|slsI-AIAlDUIITUK', = 3(rnod
KUAI Or'rUKsErAP N > 3
8) DAll T!DAKSISI-A)IigSTCAaA
s) + ll
v + e = [3(mod8)]F(mod
n ganjil.Kemudian
dengan
I
=
]btmoatl)[atmoaa)l
a))
= ltmod8)][2(rnod
= 2(mod4)
Kry'
D€nganmenggunakanteorema l, graf spl\t
sisi-ajeib.tl
Slii*
total
denga(tz = 3(mod8) tidak mempunyai pelabelan
totalsisi'aj":b.k-1."11*L.=-.t*::
pelabelan
diperlihatkan
akan
'Y[*J,, ,j;,i'fi:fi
"'
,,"r",fi,itiil"3iqr:'1i'if,iiliretrf"*lli'f:',"'i#1!"it"fl3;li*|flT':';0i,
#:'xi:t#,',ru;iffi""'*"';'l"i.l').il'l-"',ru1-:t**:g:1,?'1::i*'i",:11T
kuiidapatdibuata*e*.'"'T-'i,l35ljil:llii.",
iu*roli"i',..4
dan sisi dibed label J senrnggaf,
[[Tlt
"i"i-".iaib
!','::;"j.Xffi;fr;i;:ji,
'
- -t,
d"r,gan l, 2, 3, 4, label sisisisi
rI .r;
ini.
ini'
dih'w'h
bawah
gambar
pada
t€aihat
'e-iJivane
=
a. graf split Kzy" ' dengantr I
untuk
Gambar 1 Pelabelantotal sisi-ajaib kuat
n= 2
b. grafsplitKrT,dengan
graf split ('12'l ' dengan|r
= 1 dan 2
ini pada
=
graf split KzT ' dengan't 3 tidak sisi-ajaib' Berikut
Dari teorema 2 di atas diketahui babwa
den+ann> 3 tidak sisi'aiaib secamkuat'
K
teorema3 akan ditunjukkan bahwa graf split zy '
himpunan n buah titik { xl ' '2 '.''' xl' } yang b€rasal
>
Misalkan graf split Kzy, , detvan a 3, mempunyai
dari bagian gaf
,' buahtitik {xn+t'xn+2-'-x2' } yang berasal
dari bagiangraflengkap,(, dan himpunan
sisi tfJr di
secarakuat dari Kzy, dm berll3liuuntuk setiap
Null fn. Misatkan X pelabelantotal sisi-ajaib
y"%
2(rr)+,t(r,x,)+,1(x") = f '
Tanpamengurangr
l(xr)= a" dimanaa'dan r e{l'2' "' '2t}'
dimanaI suatubilanganbulat positif dan
juga a1 <c2 < '<a, dan ah*<an+21"'142n'
misalkan
keumuman,
Teorcma 3
total sisi'ajaibkuat untuk rr >3
6raf split Kzy,tidak mempunyaipelabelan
ai <ai'
at < r,tdanab qj e |,an+l' an+2-"'a2nt der'gan
dengan
aL'al eldl'a2r",ar\
Jawab.'Misalkan
at+2'Karcna kalaua1= a1+ I maka
Andaikano; =ar + I makaharuslahat>
q+ ai, o'r+ l+ ai= qt+ai ' Untuk
dengan l petabelantotat sisi-ajaib dari Ky
Padahalxp; danrp.7 sisi-sisi di K22l ' Befentangan
= ar + 3 Kemudian akan diperoleh
ar > ak + 2 maka sekurangkurangnyaa1
+3(n-l)= al+n'3+2n> ar+2n'
a n = a n - t + 3 = a n - 2 + 6 = . . . =a l
HAZRUL IS\VADT
sehingga diperoleh d, > 2n. Betf,ntar.gan dengan i pelabetantotal sisi-ajaib s€carakuat. sedangkan
untuk 4/ = aL + 2 maka himpunan{ a! , d2 ,...,or1 &rupa himpunandenganz buah bilangangenapatau
ganjil saja. Padahal4 dan a, adalah dua bilangan yang berurutandi himpunan
\ar*1,ana2,...,a2n1
sehinggatidak terdapat, buah bilanganganjil atau genapsaja padahimpunan1a1,a2,...,an Kemudian
).
andaikan a, > 4 + 2. Untuk q> ai + 2, dengancarayang samadengandiatasakan diperoleh a2, > 2n.
Bertenlanganlagi dengan ,l pelabelantotal sisi-ajaib secarakuat. Jadi satu-satunyakemungkinanyang
t€rtinggaladalaha./= 4 + 2. Andaikanai=a1 ! ) maka himpunan lan
berupahimpunan
l,an*2.-,a2rl
dengann buahbilangangenapatauganjit saja.Jika himpunanI o11.s1,
ana2._, a2nl adalahhimpunann buah
bilangangenapmaka himpunan{q,02...dn
} adatahhimpunann buahbilanganganjil. Sehinggaal = l,
qn = 2n - l, ao*1 = 2, dan a2n = 2n. Kemudian diproleb
).(xrxr4) =k-(an
+ an+t)=k-(2n+ l) = &- (ar + a2)=
).(xyx2n),
Padahalrnr*' dan x1.r2,sisi-sisi di K2y. Berarti bertentangandengan 2 pelabelantotal sisi-ajaib.
Dengancarayang samauntuk himpunanlan+t,ah+2,.,.,a2nI adalahhimpunann buahbilanganganjil akan
diproleh juga
^ ( x n x n + t )= k - ( d n + a r , ; ) = k - ( 2 n + l ) = & - ( a r + a 2 ) = ) , ( 4 x 2 ) ,
Sehinggadiperolehlagi kontradiksidengan 2 pelabelantotal sisi-ajaib.Jadi tidak terdapatpelabelantotal
sisi-ajaibsecarakuat dari grafsplit Kr,7 , untuk n > 3. D
Daftar Pustaka
G. Chartranddan L. Lesniak (1996), Graptu and Digraphs, eAisike-3, Chapman&Hall, London
J. A. callian (2001), A dynanic suney of graph labeling, ElecEonic Joumal combinatorics, Dynamic survey
#DS6
G. Ringel dan A. S. Llado (1996), Another tree conjectwe,Bnlletin Inst. ComninatoricsApplication 18, hal. g385
W. D. Wallis(2001),Magicgrdpla,Bitkhauser,Basel