kajian matriks jordan dan aplikasinya pada sistem linear

KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR
WAKTU DISKRIT
Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi
NRP
: 1207100064
Jurusan
: Matematika
Dosen Pembimbing : 1. Soleha, S.Si, M.Si
2. Dian Winda Setyawati, S.Si, M.Si
Abstrak
Matriks
similar dengan suatu matriks diagonal atau dapat didiagonalkan jika dan hanya
jika jumlah multiplisitas geometri dari nilai-eigen nilai-eigen sama dengan n. Untuk matriks yang
jumlah multiplisitas geometrinya tidak sama dengan n, matriks tersebut tidak dapat didiagonalkan
tetapi dari matriks tersebut dapat diperoleh matriks yang hampir diagonal, biasa disebut matriks Jordan
, yang similar dengan . Untuk mendapatkan matriks
, harus mendapatkan matriks
sedemikian hingga
.
Tugas akhir ini mengkaji cara mendapatkan matriks S dengan menggunakan vektor-eigen
tergeneralisasi. Selain itu juga mengkaji bentuk matriks Jordan, sifat-sifat matriks Jordan, dan aplikasi
matriks Jordan pada sistem kontrol waktu diskrit.
Kata kunci : matriks Jordan, vektor-eigen tergeneralisasi, sistem kontrol waktu diskrit
1. Pendahuluan
Matriks
dan
dikatakan
similar jika ada matriks nonsingular P sehingga
, maka vektor takDefinisi 2.1 [2] Jika
disebut suatu vektor-eigen dari
nol pada
jika
Jika matriks
mempunyai multiplisitas
geometri dari nilai-eigen sama dengan n, dapat
didiagonalkan dengan kata lain ada matriks
diagonal D yang similar dengan matriks A
sehingga
untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai-eigen
dari , dan disebut suatu vektor-eigen dari
yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai-eigen dan vektor-eigen
adalah sebagai
dari suatu matriks
berikut.
dengan
dan sebagai vektor kolom keadalah vektor-eigen yang bersesuaian
i.
dengan nilai-eigen
untuk
[4].
Lalu bagaimana jika multiplisitas geometri dari
nilai-eigen tidak sama dengan ? Apakah tidak
ada matriks yang similar dengan ? Ternyata
walaupun matriks , multiplisitas geometri dari
nilai-eigen tidak sama dengan , tidak dapat
didiagonalkan tetapi dari matriks tersebut dapat
diperoleh matriks yang hampir diagonal, biasa
disebut matriks Jordan, yang similar dengan A.
Hubungan ini dapat dituliskan sebagai berikut
dengan
Penyelesaian tak nol didapat jika dan hanya jika
Setelah didapat nilai-eigen, vektor-eigen bisa
ke
diperoleh dengan cara memasukkan nilai
persamaan
Jika
adalah nilai-eigen dari suatu matriks
maka multiplisitas aljabar
adalah
sebagai akar dari persamaan
banyaknya
polinomial
karakteristik
A.
Sedangkan
multiplisitas geometri
adalah dimensi ruangeigen yang bersesuaian dengan [2].
.
2. Nilai-eigen, Vektor-eigen, dan Similaritas
Berikut ini diberikan definisi nilai-eigen,
vektor-eigen, dan cara mendapatkannya.
Definisi 2.2 [4] Misalkan
. Untuk suatu
nilai-eigen , himpunan dari semua vektor
yang memenuhi
disebut ruang1
Berikut ini diberikan definisi dari similaritas
suatu matriks.
eigen dari yang bersesuaian dengan nilai-eigen
. Ingat bahwa setiap elemen tak nol dari ruangyang
eigen merupakan vektor-eigen dari dari
bersesuaian dengan nilai-eigen .
Definisi 2.3 [4] Suatu matriks
similar dengan matriks
suatu matriks nonsingular
hingga
Berikut
diberikan
teorema
yang
menghubungkan besarnya nilai dari multiplisitas
aljabar dan multiplisitas geometri.
dikatakan
jika terdapat
sedemikian
Relasi “B similar A” dinotasikan dengan
Teorema 2.1 [2] Multiplisitas geometri masingmasing nilai-eigen dari matriks A kurang dari
atau sama dengan multiplisitas aljabarnya.
.
Suatu relasi similaritas memiliki
beberapa sifat yang mana diberikan pada lema di
bawah ini.
.
Pandang persamaan
disebut polinomial karakteristik dari
.
Berikut ini diberikan sifat yang dimiliki
polinomial karakteristik dari suatu matriks.
Lema 2.2 [4] Relasi similaritas adalah suatu
relasi ekivalen pada
; dengan kata lain, relasi
similaritas memenuhi sifat-sifat berikut ini
a. Refleksif :
b. Simetris :
maka
c. Transitif :
dan
maka
Teorema 2.2 (Cayley-Hamilton) [4] Misalkan
adalah polinomial karakteristik dari
maka
Terdapat
suatu
definisi
untuk
menyatakan suatu matriks yang similar dengan
matriks diagonal seperti yang didefinisikan
sebagai berikut.
Terdapat tiga macam matriks yang banyak
digunakan dalam pembahasan yaitu:
1. Matriks Diagonal
Suatu matriks
dikatakan
diagonal jika
.
2. Matriks Segitiga
dikatakan
Suatu matriks
matriks segitiga atas jika
. Jika
, maka
dikatakan matriks
dikatakan matriks
strictly segitiga atas.
.
segitiga bawah jika
Definisi 2.4 [2] Suatu matriks
dikatakan
dapat didiagonalkan jika ada suatu matriks P
yang mempunyai invers
sedemikian sehingga
adalah suatu
matriks diagonal.
Berdasarkan Definisi 2.4 maka dapat
dikatakan matriks dapat didiagonalkan jika
similar terhadap suatu matriks diagonal.
Untuk mengetahui apakah suatu matriks
dapat didiagonalkan dapat dilihat dari
multiplisitas
aljabar
dan
multiplisitas
geometrinya seperti yang tertera pada teorema
berikut ini.
Nilai-eigen dari dua matriks yang
disebutkan di atas, bisa langsung diketahui. Hal
ini tertera pada lema berikut.
(segitiga atas, segitiga
Lema 2.1 [2] Jika
bawah, atau diagonal), maka nilai-eigen A adalah
anggota-anggota diagonal utama A.
Teorema 2.3 [5] Misal
i. A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika
jumlah multiplisitas geometri nilai-eigennya n.
ii. Jika multiplisitas geometri dari masingmasing nilai-eigen
A
sama
dengan
multiplisitas aljabarnya, maka A dapat
didiagonalkan.
iii. Jika semua nilei-eigen A berbeda (masingmasing multiplisitas aljabarnya adalah 1),
maka A dapat didiagonalkan.
3. Matriks Blok Diagonal
Suatu matriks
dalam bentuk
Berikut ini diberikan suatu teorema
tentang similaritas matriks blok diagonal.
dengan
dan
, dikatakan matriks blok diagonal.
Matriks di atas dapat ditulis sebagai
.
Persamaan
ini
disebut jumlahan langsung dari matriks
.
Teorema 2.4 [4] Misalkan
, mempunyai
nilai-eigen
dengan multiplisitas
, dan
berbeda maka
similar terhadap matriks dengan bentuk
2
Dengan
mungkin sama dan nilai
perlu berbeda.
tidak
4. Sifat-sifat Matriks Jordan terhadap
Similaritas
Sebelum menuju sifat-sifat matriks Jordan
terhadap similaritas, terlebih dahulu perlu
membuktikan lema berikut.
Lema 4.1 [4] Diberikan
dan blok Jordan
dengan
adalah matriks segitiga atas
dengan semua elemen diagonalnya sama dengan
.
Berikut ini diberikan sifat-sifat yang
dimiliki dua matriks similar.
Teorema 2.5 [4] Misalkan
. Jika A dan
B similar, maka keduanya mempunyai rank,
determinan, dan polinomial karakteristik yang
sama.
Lema 2.3 [4] Misal matriks
. Jika
Maka
dan
(i).
(ii).
(iii).
dan
jika
untuk
dan
(iv).
dengan
adalah matriks identitas,
adalah vektor satuan basis standar ke-i dan
.
Bukti :
(i). Dengan induksi, akan dibuktikan
adalah jumlahan langsung dari A dan B maka C
dapat didiagonalkan jika dan hanya jika A dan B
dapat didiagonalkan.
3. Bentuk Kanonik Jordan
Matriks Jordan adalah jumlahan langsung
dari matriks blok Jordan. Suatu matriks Jordan
yang similar dengan matriks yang diberikan
disebut bentuk kanonik Jordan. Setelah tahu
bentuk kanonik Jordan, semua informasi aljabar
linear tentang matriks yang diberikan dapat
diketahui dengan mudah.
Berikut ini diberikan definisi blok Jordan.
Untuk matriks berukuran
Anggap benar untuk matriks berukuran
Sekarang cek untuk matriks
Definisi 2.5 [4] Suatu blok Jordan Jk(λ) adalah
matriks segitiga atas
dengan bentuk
(ii). Dengan induksi, akan dibuktikan
,
Untuk matriks berukuran
maka
pasti
dengan 0.
Anggap benar untuk matriks berukuran
ada k-1 angka “+1” pada superdiagonal;
muncul k kali pada diagonal utama. Elemen yang
lainnya nol, dan
. Matriks Jordan
adalah jumlahan langsung dari blok
Jordan sehingga dapat dituliskan sebagai berikut
Jadi
Sekarang cek untuk matriks berukuran
3
sama
Sehingga
dengan
, dan
(iii). Akan dibuktikan
untuk
Bukti:
Perhatikan bahwa tidak ada blok jordan pada
diagonal J yang berukuran lebih besar dari
sehingga berdasarkan Lema 4.1.1 (ii) maka
Sekarang akan dibuktikan
berukuran n. Dimisalkan
hanya akan mempunyai nilai saat
bertemu
dengan kata lain hanya
yang
yang
mempunyai nilai. Matriks berukuran
hanya elemen ke yang sama dengan satu adalah
.
(iv). Akan dibuktikan
untuk
matriks
dengan
, dan
adalah matriks
strictly segitiga atas.
Pandang persamaan di bawah ini
Bukti :
Dengan mempartisi
menjadi
yaitu
dan
dan
berdasarkan persamaan serta partisi pada ruas
kanan dari
, maka persamaan
dapat
ditulis sebagai berikut
Lema di atas akan digunakan untuk
pembuktian Teorema 4.1.2 berikut ini
Teorema 4.1 [4] Misalkan
adalah
matriks strictly segitiga atas. Terdapat sebuah
matriks nonsingular
dan bilangan bulat
dengan
dan
sedemikian sehingga
Sekarang pandang
tersebut yaitu
Bukti:
Pembuktian akan dilakukan dengan induksi.
Jika
Anggap benar untuk matriks berukuran
yaitu matriks
matriks strictly segitiga
atas terdapat matriks nonsingular
sedemikian hingga
similaritas
dari
Ada dua kemungkinan nilai berdasarkan
atau
.
4
matriks
(i) Jika
maka
Akan dibuktikan dengan induksi.
.
Untuk matriks berukuran
yaitu terdapat
Dianggap benar untuk
matriks nonsingular
sedemikian
hingga
dengan
adalah blok Jordan berukuran
dengan
diagonal utama nol. Gunakan sifat
untuk
, secara rekursif dapat
ditunjukkan bahwa
untuk
Dengan adalah matriks Jordan dengan elemen
diagonal nol.
Untuk
Untuk
(4.6)
Karena
similar dengan
similar dengan
Karena
, terlihat bahwa paling banyak
langkah pada similaritas ini, nilai di
dalam
luar diagonal pada akhirnya akan sama dengan
nol. Dapat disimpulkan bahwa
(ii) Jika
bahwa
similar dengan
dan
maka
.
Teorema 4.2 [4] Misalkan
adalah
matriks real. Terdapat suatu matriks nonsingular
sedemikian sehingga
, maka
menunjukkan
similar terhadap matriks
Dengan similaritas,
dan
Sehingga dapat pula disimpulkan bahwa
similar terhadap matriks
Bukti:
.
Berikut ini akan dibuktikan bahwa
Dari Teorema 2.4 didapatkan bahwa setiap
matriks kompleks yang mempunyai nilai-eigen
dengan multiplisitas
dan
berbeda, similar dengan matriks
blok diagonal yang masing-masing blok
diagonalnya adalah matriks segitiga atas dengan
elemen diagonal sama. Selanjutnya akan
dibuktikan bahwa matriks blok diagonal yang
masing-masing blok diagonalnya adalah matriks
segitiga atas dengan elemen diagonal sama
similar dengan matriks Jordan.
Berikut akan dicari matriks yang similar dengan
matriks B. Misalkan matriks tersebut adalah
5
.
Misalkan matriks segitiga atas dengan
elemen diagonal utama p adalah dan misalkan
adalah matriks strictly segitiga atas sedemikian
hingga
Dari Teorema 4.1 diketahui bahwa
. akan dibuktikan
dengan kata lain
.
akan dibuktikan
Himpunan vektor
disebut rantai
vektor-eigen tergeneralisasi dengan panjang .
Berikut ini akan dibuktikan bahwa vektoreigen tergeneralisasi dengan panjang dari nilaieigen yang sama adalah vektor bebas linear.
Teorema 4.3 [3] Jika
merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan
maka
adalah bebas
panjang
linear.
karena setiap matriks kompleks similar dengan
matriks blok diagonal yang masing-masing blok
diagonalnya adalah matriks segitiga atas dengan
elemen diagonal sama dan matriks tersebut
similar dengan matriks Jordan maka setiap
matriks kompleks
similar dengan matriks
Jordan.
Bukti:
Akan dibuktikan vektor-eigen tergeneralisasi
adalah vektor bebas linear.
Dengan kata lain akan dibuktikan untuk
,
5. Vektor-Eigen Tergeneralisasi dan SifatSifat pada Vektor-Eigen Tergeneralisasi
Suatu matriks , dengan jumlah multiplisitas
geometri dari nilai-eigen nilai-eigen tidak sama
dengan n, maka tidak similar dengan matriks
diagonal karena jumlah vektor-eigennya tidak
sama dengan
Tetapi matriks tersebut similar
dengan matriks Jordan. Untuk mendapatkan
vektor-eigen yang bebas linear dapat digunakan
vektor-eigen tergeneralisasi. Berikut ini diberikan
definisi dari vektor-eigen tergeneralisasi.
hanya mempunyai 1 penyelesaian yaitu
Pembuktian akan dilakukan dengan iterasi.
Iterasi 1
Kalikan kedua ruas dengan
Definisi 4.1 [3] Vektor x disebut vektor-eigen
tergeneralisasi dengan tingkat
dari A yang
berpadanan dengan jika dan hanya jika
Berdasarkan
dan
, definisi ini menjadi
dan
, di mana ini
merupakan definisi vektor-eigen.
Definisi
diperoleh
4.2.1
bahwa
Perhatikan jika
karena
maka dapat
.
Dengan
disimpulkan
bahwa
mensubstitusikan hasil ini ke (4.10) diperoleh
persamaan berikut
(4.11)
adalah
vektor-eigen
Misalkan
dan
tergeneralisasi yang bersesuaian dengan
merupakan vektor-eigen tergeneralisasi dengan
vektor-eigen tergeneralisasi
tingkat , maka
tersebut dapat ditentukan dari persamaan berikut.
Iterasi 2
Kalikan kedua ruas dengan
yang dapat dituliskan sebagai
6
Pandang lagi persamaan
Kalikan kedua ruas dengan
Berdasarkan Definisi 4.1 bahwa
diperoleh
karena
disimpulkan
bahwa
mensubstitusikan hasil ini ke
persamaan berikut
maka dapat
.
Dengan
diperoleh
Berdasarkan Definisi 4. 1 bahwa
diperoleh
Kalikan kedua ruas dengan
dan
akan diperoleh kembli persamaan
sehingga
.
Dengan mengulangi langkah-langkah tersebut,
akhirnya didapatkan kesimpulan
Sehingga
terbukti
tergeneralisasi
bebas linear.
bahwa
vektor-eigen
adalah vektor
Karena
Setelah terbukti bahwa vektor-eigen
tergeneralisasi dari nilai-eigen yang sama
merupakan vektor bebas linear, selanjutnya akan
dibuktikan bahwa vektor-eigen tergeneralisasi
dengan vektor-eigen vektor-eigen dari nilaieigen yang berbeda juga bebas linear.
maka
oleh sebab itu
Kalikan dengan
Teorema 4.4 [3] Vektor-eigen tergeneralisasi
dari
dengan vektor-eigen vektor-eigen dari
nilai nilai-eigen yang berbeda adalah bebas
linear.
sehingga
maka
Bukti:
Tanpa mengurangi keumuman, misalkan
mempunyai nilai-eigen
dengan
jadi
mempunyai
satu rantai vektor-eigen tergeneralisasi dengan
panjang
sedangkan
.
Misalkan vektor-eigen tergeneralisasi yang
bersesuaian dengan
adalah
dan vektor-eigen yang bersesuaian dengan
adalah
. Akan
dibuktikan
bahwa
adalah
bebas linear dengan kata lain akan dibuktikan
bahwa
Kalikan dengan
sehingga
maka
Dan seterusnya hinga diperoleh
Karena
hanya mempunyai satu penyelesaian yaitu
7
maka
Karena
maka
Dari
maka
persaman berikut
memenuhi
Dan seterusnya hingga diperoleh
Dari Teorema 4.3 diperoleh
sehingga
bebas linear.
Vektor-eigen
bersesuaian
dengan nilai-eigen
yang
masing-masing berbeda, dapat ditentukan dari
Sekarang asumsikan bahwa matriks
memiliki nilai-eigen
sebanyak k dan
nilai-eigen lain
yang semuanya
berbeda dari , maka nilai-eigen dari A adalah
Kemudian dengan menggabungkan persamaan
dengan
, yaitu
Berikut ini akan dibahas dua kasus yaitu untuk
dan
.
4.2.1
Untuk kasus di mana
adalah
hanya ada satu vektor-eigen yang
bersesuaian dengan nilai-eigen
, akibatnya
hanya ada satu blok Jordan yang bersesuaian
dengan nilai-eigen berulang ini.
diperoleh
Teorema 4.5 Asumsikan bahwa matriks
memiliki nilai-eigen
sebanyak k dan nilaiyang semuanya
eigen lain
berbeda dari
serta
,
maka ada matriks Jordan
dan
dengan
adalah vektor-eigen
dan
tergeneralisasi yang bersesuaian dengan
adalah vektor-eigen yang
bersesuaian dengan nilai-eigen
sedemikian hingga
Karena
dan
maka
persamaannya
menjadi
Bukti:
Dari
4.2.2
Karena kita berasumsi bahwa matriks
memiliki nilai-eigen
sebanyak k dan
nilai-eigen lain
yang semuanya
dan
berbeda dari
, maka ada
vektor-eigen yang bebas
sehingga
linear yang bersesuaian dengan
terdapat blok Jordan yang bersesuaian dengan
nilai-eigen .
8
Untuk mendapatkan vektor-eigen yang
bebas linear, terlebih dahulu akan dibuktikan sifat
berikut.
Lema 4.2 [3] Diberikan
, maka
maka ukuran blok
Jordan yang bersesuaian dengan
adalah
.
ruang null dari
Teorema 4.6. Jika
maka terdapat dan
dimana kolom-kolom merupakan vektor-eigen
(tergeneralisasi) yang bersesuaian dengan
sedemikian hingga
Bukti:
ruang null dari
dengan kata lain
memuat semua yang memenuhi
.
Akan dibuktikan
dengan kata lain
maka
akan dibuktikan jika
Bukti:
Tanpa mengurangi keumuman anggap bahwa
mempunyai nilai-eigen nilai-eigen
sebanyak k dan nilai-eigen lain
dan
yang semuanya berbeda dari
sehingga
artinya
terdapat s blok Jordan pada matriks Jordan.
Misalkan panjang rantai
dengan
maka bisa diperoleh
 Rantai pertama
berarti
Dengan mengalikan kedua ruas dengan
diperoleh
Berarti
Sekarang akan ditunjukkan cara untuk
mendapatkan vektor-eigen yang bebas linear.
Kita misalkan multiplisitas aljabar dari
adalah dan misalkan
diperoleh
maka
maka
maka
maka
maka
 Rantai kedua
maka
Dari nilai null dapat diketahui jumlah vektor
yang bebas linear yaitu
diperoleh
vektor-eigen
vektor-eigen
maka
vektor-eigen
Sehingga
Berikut ini akan dijelaskan bagaimana
menentukan banyaknya blok Jordan dan ukuran
blok Jordan yang bersesuaian dengan .
i. Jika
maka terdapat
blok jordan yang bersesuaian dengan .
ii. Jika
dan
dengan panjang rantai
dengan
 Rantai ke-s
9
diperoleh
Diperoleh
maka
Vektor-eigen
bersesuaian
yang
dengan nilai-eigen
masing-masing berbeda, dapat ditetukan dari
Atau
Kemudian dengan menggabungkan persamaan
vektor-eigen tergeneralisasi sebelumnya dengan
persamaan vektor-eigen di atas menjadi satu,
yaitu
Misalkan didefinisikan vektor keadaan baru
sehingga
6. Keberagaman Sistem Kontrol Waktu
Diskrit
Pandang sistem kontrol waktu diskrit yang
didefinisikan oleh
dengan adalah matriks nonsingular.
ke persamaan
Substitusikan persamaan
, diperoleh
Kalikan kedua ruas dengan
Misal didefinisikan
dan
dapat ditulis ulang
maka persamaan
sebagai
Dengan cara yang sama,
Misalkan
menjadi
Misalkan rantai vektor sebagai
dan
maka persamaan
Hal ini menunjukkan bahwa sistem pada
persamaan
ekivalen
dengan
dan
.
persamaaan sistem
7. Keteramatan Sistem Kontrol Waktu
Diskrit
Pandang sistem kontrol waktu diskrit yang
didefinisikan oleh
dengan
waktu yang merupakan bilangan bulat
10
b. Kolom
yang bersesuaian dengan baris
pertama dari masing-masing blok Jordan
tidak ada yang elemennya nol semua,
c. Elemen dari masing-masing kolom
yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang
berbeda tidak semuanya nol.
8. Keterkontrolan Sistem Kontrol Waktu
Diskrit
Pandang sistem kontrol waktu diskrit yang
didefinisikan oleh
vektor keadaan,
vektor output,
matriks anggota
matriks anggota
Solusi dari
Setelah mendapatkan solusi sistem pada
, bisa didefinisikan sifat
persamaan
keteramatan dari sistem tersebut.
Definisi 4.2 Suatu sistem
dinamakan
teramati jika setiap keadaan awal
dapat ditentukan dari
.
,
kita
Dengan
menggunakan
mendapatkan syarat perlu dan syarat cukup untuk
keadaan keteramatan seperti yang dijelaskan pada
lema berikut ini.
Lema 4.3 [6] Syarat perlu dan syarat cukup
untuk keadaan keteramatan pada persamaan
adalah
dengan
waktu yang merupakan bilangan bulat
vektor keadaan,
vektor kontrol,
matriks anggota
matriks anggota
Untuk
selanjutnya,
sistem
yang
dinyatakan dengan persamaan (4.22) dinotasikan
sebagai sistem
. Solusi dari
dapat
diselesaikan menggunakan metode rekursi yaitu
7.1 Bentuk Alternatif Untuk Keadaan
Keteramatan
Selain dengan cara yang diuraikan
sebelumnya, ada cara lain untuk menentukan
apakah suatu sistem teramati atau tidak. Yaitu
dengan mengubah matriks ke bentuk diagonal
atau Jordan.
Pertimbangkan sistem didefinisikan oleh
. Jika semua vektor-eigen
berbeda, dan
sebuah
matriks
transformasi
mentransformasikan
ke bentuk matriks
diagonal, sedemikian hingga
Mengulangi prosedur ini, didapatkan
Setelah mendapatkan solusi sistem
,
bisa didefinisikan sifat keterkontrolan dari sistem
tersebut.
Definisi 4.3 Suatu sistem
dinamakan
terkontrol jika untuk setiap keadaan awal
dan keadaan akhir , terdapat
dan vektor kontrol
sedemikian hingga
.
solusi dalam persamaan menjadi
Dengan
menggunakan
definisi
yang
diberikan, kita akan mendapatkan syarat untuk
keadaan keterkontrolan.
dengan
adalah nilai-eigen berbeda
dari . Sistem teramati jika dan hanya jika tidak
yang semua
ada kolom dari matriks
elemennya nol.
Jika matriks tidak mempunyai vektor-eigen
yang berbeda, maka pendiagonalan tidak
mungkin dilakukan. Dalam kasus seperti ini, kita
boleh mengubah
menjadi bentuk kanonik
Jordan:
Lema 4.4 [6] Syarat perlu dan syarat cukup
untuk keadaan keterkontrolan pada persamaan
adalah
Bukti:
terkontrol
Akan dibuktikan jika sistem
maka
. Misal
dan
. Karena
terkontrol, maka terdapat
dan
sedemikian hingga
Sistem dikatakan dalam keadaan teramati jika
dan hanya jika
a. Tidak ada dua blok Jordan dalam
yang
bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama,
11
apakah suatu sistem terkontrol atau tidak. Yaitu
dengan mengubah matriks ke bentuk diagonal
atau Jordan.
Teorema 4.7 [6] Jika matriks
matriks diagonal maka sistem
Pertimbangkan sistem didefinisikan oleh
(4.28). Jika semua vektor-eigen berbeda, maka
mungkin untuk menemukan matriks transformasi
seperti
Artinya
.
jelas
Jika
.
Jika
.
Jadi
adalah
terkontrol.
,
Perhatikan bahwa jika nilai-eigen
berbeda
maka vektor-eigen
berbeda. Bagaimanapun,
kebalikannya tidak benar. Perhatikan juga bahwa
kolom ke i dari matriks adalah vektor-eigen
yang bersesuaian dengan nilai-eigen ke i
. Misalkan didefinisikan
.
Akibatnya
Dengan
Akan
sistem
persamaan
kata
.
lain
maka persamaan (4.28) menjadi
dibuktikan
jika
maka
terkontrol. Karena solusi dari
adalah
Misalkan didefinisikan
kita mendapatkan
maka,
Karena
bahwa
adalah matriks
, kita dapatkan
masing-masing
dari
matriks
adalah matriks
. misalkan
Matriks
disebut matriks keterkontrolan. Jika rank matriks
keterkontrolan adalah , maka untuk sebarang
dan
, terdapat
keadaan
sebuah
rangkaian
sinyal
kontrol
yang
memenuhi
. sehingga jika rank dari
persamaan
matriks keterkontrolan adalah , maka sistem
terkontrol
Jika pada matriks
yang berukuran
terdapat vektor baris nol, maka variabel keadaan
yang bersesuaian dengan kolom tersebut tidak
dapat dikontrol oleh setiap
. Oleh sebab itu,
syarat untuk keadaan keterkontrol adalah bahwa,
jika vektor-eigen berbeda, maka sistem dalam
keadaan terkontrol jika dan hanya jika tidak ada
. Hal ini penting
vektor baris nol dalam
8.1 Bentuk Alternatif Untuk Keadaan
Keterkontrolan
Selain dengan cara yang diuraikan
sebelumnya, ada cara lain untuk menentukan
12
untuk dicatat bahwa untuk menerapkan syarat ini
pada keadaan terkontrol, kita harus mengubah
matriks
ke dalam bentuk diagonal.
Jika matriks tidak mempunyai vektoreigen yang berbeda, maka pendiagonalan tidak
mungkin dilakukan. Dalam kasus seperti ini, kita
boleh mengubah
menjadi bentuk kanonik
Jordan. Sebagai contoh, jika mempunyai nilaieigen
dan mempunyai
vektor-eigen yang berbeda, maka bentuk
kanonik Jordan dari adalah
3. Jika
tergeneralisasi
merupakan vektor-eigen
dengan panjang
maka
adalah bebas linear.
4. Vektor-eigen tergeneralisasi dari
dengan
vektor-eigen vektor-eigen dari nilai nilaieigen yang berbeda adalah bebas linear.
5. Untuk sebarang
terdapat
yaitu
matriks yang kolom-kolomnya adalah vektoreigen (tergeneralisasi) dan matriks Jordan
sehingga
6. Matriks
adalah matriks Jordan, sistem
dikatakan dalam keadaan teramati jika dan
hanya jika
a. Tidak ada dua blok Jordan dalam
yang
bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama,
b. Kolom
yang bersesuaian dengan baris
pertama dari masing-masing blok Jordan
tidak ada yang elemennya nol semua,
c. Elemen dari masing-masing kolom
yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang
berbeda tidak semuanya nol.
adalah matriks Jordan,
7. Jika matriks
syarat untuk keadaan keterkontrolan sistem
(F,G) boleh dinyatakan sebagai berikut:
sistem dikatakan dalam keadaan terkontrol
jika dan hanya jika
a. Tidak ada dua blok Jordan dalam
yang bersesuaian dengan nilai-eigen
yang sama,
yang
b. Elemen dari vektor baris
bersesuaian dengan baris terakhir dari
masing-masing blok Jordan tidak sama
dengan nol,
c. Elemen dari masing-masing baris
yang bersesuaian dengan nilai-eigen
yang berbeda tidak semuanya nol
Submatriks berukuran
dan
pada
diagonal utama disebut blok Jordan.
Andaikan mungkin untuk menemukan
matriks transformasi sehingga
Jika kita definisikan
maka
Syarat untuk keadaan keterkontrolan sistem
boleh dinyatakan sebagai berikut: sistem
dikatakan dalam keadaan terkontrol jika dan
hanya jika
a. Tidak ada dua blok Jordan dalam
yang
bersesuaian dengan nilai-eigen yang sama,
b. Elemen dari vektor baris
yang
bersesuaian dengan baris terakhir dari
masing-masing blok Jordan tidak sama
dengan nol,
c. Elemen dari masing-masing baris
yang bersesuaian dengan nilai-eigen yang
berbeda tidak semuanya nol.
10.Daftar Pustaka
1. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar
Linear Edisi 7 Jilid 1. Interaksara P.O. Box
238, Batam Centre, 29432.
2. Anton, Howard. 2000. Dasar-dasar Aljabar
Linear Edisi 7 Jilid 2. Interaksara P.O. Box
238, Batam Centre, 29432.
3. Chen, Chi-Tsong. 1970. Linear System Theory
and Design. CBS College Publishing.
4. Horn, Roger A., Charles R. Johnson. 1990.
Matrix Analysis. Cambridge University Press.
5. Jacob, Bill. 1990. Linear Algebra. W.H.
Freeman and Company.
6. Ogata, Katsuhiko. 1995. Discrete-Time
Control Systems Second Edition. PrenticeHall International, Inc.
9. Kesimpulan
Berdasarkan analisis yang telah dilakukan,
dapat diambil kesimpulan yaitu
1. Matriks strictly segitiga atas
similar
dengan matriks Jordan
2. Sebarang matriks real
similar dengan
matriks Jordan
13