bab 4 turunan fungsi

BAB 4
TURUNAN FUNGSI
6.1.FUNGSI
Jika setiap satu nilai x menentukan satu nilai y, maka dikatakan bahwa y fungsi dari x, ditulis:
y = f (x)
y peubah tak bebas
x peubah bebas
Contoh:
1. y = x 2
2. y 2 = x
y fungsi dari x
y bukan fungsi dari x
Daerah Definisi (DD) dan Daerah Fungsi (DF)
DD: daerah peubah bebas dimana fungsi bernilai real.
DF: kumpulan nilai fungsi yang didapat dari DD.
Contoh:
y = 4 − x2
DD: − 2 ≤ x ≤ 2, DF: 0 ≤ y ≤ 2
6.2.LIMIT FUNGSI
Jika x → a + (baca x mendekati a dari kanan) dan lim+ f ( x ) ada, maka bentuk lim+ f ( x )
x→ a
x→ a
disebut limit kanan.
Jika x → a − (baca x mendekati a dari kiri) dan lim− f ( x ) ada, maka bentuk lim− f ( x ) disebut
x→ a
x→ a
limit kiri.
Jika limit kanan dan limit kiri ada dan nilainya sama, maka dikatakan bahwa lim f ( x ) ada.
x→ a
CONTOH:
Diberikan: f ( x ) = x + 1
Ditanyakan: lim f ( x )
x→ 2
Penyelesaian:
Nilai-nilai f ( x ) untuk x → 2 − :
x
1,80
1,90
1,97
1,99
1,99999
f (x )
2,80
2,90
2,97
2,99
2,99999
Limit kiri:
lim f ( x ) = lim− (x + 1) = 3 ……………………………………………(1)
x →2 −
x→2
Nilai-nilai f ( x ) untuk x → 2 + :
x
2,20
2,15
2,05
2,01
2,00001
f (x )
3,20
3,15
3,05
3,01
3,00001
Limit kanan:
lim f (x ) = lim+ ( x + 1) = 3 ……………………………………………(2)
x →2 +
x→ 2
Dari (1) dan (2), limit kiri dan limit kana nada dan bernilai sama, ditulis:
lim f ( x ) = lim ( x + 1) = 3 .
x →2
x →2
Grafik fungsi:
5
Y
f ( x) = x + 1
4
3
2
1
0
-3
-2
-1
-1
0
1
2
3
X
-2
CONTOH:
Diberikan: f ( x ) =
x+2
x−2
Ditanyakan: a). lim f ( x )
x→ 2
b). lim f ( x )
x→∞
4
Penyelesaian:
20
Y
15
10
5
0
-4
-2
-5
X
0
2
4
6
-10
-15
-20
Dari grafik terlihat bahwa:
lim f ( x ) = +∞ 
→ lim f ( x ) tidak mempunyai limit dan lim f ( x ) = 1 .
x→ 2
x →∞
lim− f (x ) = −∞ 
x→2

x →2 +
CONTOH:

lim 1 +
x →∞

n
1
 = ............?
n
Penyelesaian:
 1
1 + 
 n
n
1 2
 1
1 + 
 n
n
2
10 1,1
2,59374….
100 1,01
2,70481….
………………. ………………
…………….
100000 1,00001
2,71814……
1000000 1,000001
n
2,71828……………
 1
1000000
Untuk n = 1000000 ⇒ 1 +  = (1,000001)
= 2,71828
 n
n
 1
−1000000
Untuk n = −1000000 ⇒ 1 +  = (0,999999)
= 2,71828
 n

lim 1 +
x→∞

n
1
 = 2,71828 disebut bilangan e.
n
n
 1
Jadi: lim 1 +  = 2,71828 .
x→∞
 n
Bilangan e:
n
 1
e = lim 1 +  = 2,71828
x →∞
 n
6.3.BEBERAPA LIMIT YANG PENTING:
x
 1
1. lim 1 +  = e
x→ ∞
x

2.
 1
lim 1 − 
x→ − ∞
x

−x
=e
1
3. lim (1 + y ) y = e
y→ 0
x
p

4. lim 1 +  = e p
x→ ∞
x

a x −1
= ln a; ( a > 0)
x→ 0
x
5. lim
ex −1
=1
x→ 0
x
6. lim
sin x
=1
x→ 0
x
7. lim
8. lim
arcsin x
=1
x
9. lim
tg x
=1
x
10. lim
arctg x
=1
x
x→ 0
x→ 0
x→ 0
6.4.NILAI MUTLAK DARI BILANGAN REAL
 x , untuk x ≥ 0
x =
 − x, untuk x < 0
Definisi:
Grafik fungsi y = x − 2
-5
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
-4
Grafik y = x − 2
5
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
10
-5
0
5
10
6.5.FUNGSI INVERS
Pandang fungsi y = f (x ) dengan aturan h yang masih dicari, didapat x = h( y ) . Peranan x
dan y ditukar menjadi: y = h(x ) maka fungsi y = h(x ) disebut fungsi invers dari y = f (x ) .
Grafik fungsi invers simetri terhadap garis y = x dengan grafik fungsi asalnya.
Contoh:
Invers dari y =
1
x adalah y = 3 x , dapat dilihat pada gambar berikut:
3
y = 3x
Y
y = f (x )
B(1,3)
y=
1
x
3
A(3,1)
O
X
12
6.6.FUNGSI KONTINU
Definisi:
Suatu fungsi y = f (x ) dikatakan kontinu pada x = a,
1. f (a ) ada ( tertentu di x = a)

jika 2. lim f ( x) ada
 x→a
f ( x ) = f (a )
3. lim
x →a
Jika satu atau lebih dari syarat-syarat kontinuitas diatas tidak terpenuhi, maka y = f (x )
dikatakan diskontinu di x = a.
6.7.TURUNAN FUNGSI
Definisi:
Turunan dari fungsi y = f (x ) terhadap x adalah:
y' =
Arti Ilmu ukur dari
P (x p , y p )dan
dy
∆y
f ( x + ∆x ) − f ( x )
= Dy = f ' ( x) = lim
= lim
.
∆x →0 ∆x
∆x → 0
dx
∆x
dy
:
dx
Q (x p + ∆x, y q )
terletak
pada
y = f (x ) ,
dengan
y p = f (x p )
y q = f (x p + ∆x ) .
PR = ∆x; PA = y p ; QB = y q ; RB = PA .
tg ∠QPR =
QR f (x p + ∆x ) − f (x p )
=
= bilangan arah (gradien) garis lurus PQ
PR
∆x
12
dan
Jika
∆x → 0 maka garis hubung PQ berubah menjadi garis singgung PS dan
f (x p + ∆x ) − f (x p )
SR
lim
= f ' (x p ) =
= tg α = bilangan arah (garis singgung/gradien) pada
∆x → 0
∆x
PR
y = f (x ) di titik P.
Persamaan garis singgung di P: y − f (x p ) = f ' (x p )(
. x − x p ).
Persamaan garis normal di titik P : y − y p =
−1
.(x − x p ) .
y' p
6.8.SIFAT-SIFAT TURUNAN
u = u ( x), v = v( x), C = konstanta
1. y = u ± v → y ' = u '±v '
2. y = uv → y ' = u ' v + uv '
3. y = Cv → y ' = Cv '
4. y =
u
u ' v − uv '
→ y' =
v
v2
12