penentuan spektrum dan diameter graf menggunakan nilai eigen

PENENTUAN SPEKTRUM DAN DIAMETER GRAF
MENGGUNAKAN NILAI EIGEN
Igaku Ayu Kinanthi
Jurusan Matematika, F.MIPA, Universitas Brawijaya
Email: [email protected]
Abstrak. Graf merupakan salah satu aplikasi yang ada dalam aljabar linear. Graf digunakan untuk merepresentasikan objekobjek diskrit dan hubungan antara objek tersebut. Pada skripsi ini dibahas menngenai graf, matriks, nilai eigen dan vektor
eigen. Pencarian nilai eigen dan vektor eigen digunakan untuk memperoleh spektrum graf dan diameter graf. Dengan memuat
nilai eigen pada baris pertama dan banyaknya basis ruang vektor eigen pada baris kedua, diperoleh spektrum graf. Pada
diameter diperoleh jarak maksimum dari semua pasangan simpul.
Kata kunci: diameter graf, graf, matriks adjacent, matriks Laplace, nilai eigen, spektrum graf.
1. PENDAHULUAN
Dalam perkembangan matematika, banyak sekali aplikasi pada kehidupan kita sehari-hari. Salah
satu aplikasi bidang matematika untuk bidang aljabar linear yaitu graf. Representasi visual dari graf
adalah menyatakan objek dengan titik sedangkan hubungan antar objek dinyatakan dengan garis.
Terdapat banyak pokok bahasan mengenai graf, salah satu perkembangan pada graf adalah graf
spektral. Pada graf spektral banyak sekali pokok bahasan nilai eigen yang dibahas, salah satu pokok
bahasan pada graf yang akan dibahas dalam jurnal ini adalah sebagian kecil dari graf spektral. Lovasz
(2007), pada penelitiannya membahas pencarian nilai eigen dan vektor eigen pada sebuah graf. Pada
perkembangannya nilai eigen yang diperoleh dapat digunakan untuk menentukan spektrum graf dan
diameter graf. Spektrum graf merupakan matriks yang memuat nilai eigen pada baris pertama dan
banyaknya basis untuk ruang vektor eigen pada baris kedua. Diameter graf merupakan jarak
maksimum dari semua pasangan simpul (Lovasz, 2007; Chung, 1994).
2. METODOLOGI
Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur mengenai nilai eigen, vektor eigen,
graf, spektrum graf, dan diameter graf. Adapun langkah-langkah yang ditempuh untuk mengerjakan
penelitian ini adalah menentukan matriks Laplace dengan cara
, menentukan spektrum
graf dengan bentuk matriks
yang terdiri dari nilai eigen pada baris pertama dan banyaknya basis
ruang vektor eigen pada baris kedua, dan diameter graf menggunakan nilai eigen matriks adjacent
untuk graf teratur serta untuk bukan graf teratur digunakan teorema.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Definisi 1. Matriks Laplace dari graf ditunjukkan dengan matriks
,
(
), yang mana
{
dengan
merupakan derajat dari simpul dan
merupakan matriks adjacent. Jadi, diperoleh
, dimana
merupakan matriks diagonal dari derajat graf .
(Lovasz, 2007)
Definisi 2.
misalkan
, maka
( ) (
dituliskan,
Misalkan
adalah nilai eigen berbeda dari ,dengan
, dan
( ) ( )
( ) adalah banyaknya basis untuk ruang vektor eigen masing-masing
matriks berordo (
) yang memuat
pada baris pertama dan
)
( ) pada baris kedua disebut spektrum graf . Dinotasikan
( ), dapat
( )
[
( )
( )
(
]
)
(Abdusakkir dkk., 2009)
252
Definisi 3. Diameter dari sebuah graf
Dinotasikan dengan ( ).
adalah jarak maksimum dari semua pasangan dari simpul di .
(Chung, 1994)
Teorema 1. Jika
maka,
merupakan graf teratur dengan n simpul yang merupakan graf tidak lengkap,
( )
(
⌈
)
⌉
(Chung, 1994)
Bukti. Andaikan diperoleh yang diperoleh dari jumlahan matriks adjacent dan matriks identitas dan
polynomial ( ) menjadi (
) ketaksamaan mengikuti graf sederhana (biasa) yang mana bukan
merupakan graf lengkap sehingga diperoleh,
( )
⌈
(
)
⌉
pada dasarnya bergantung pada
. Dimisalkan, diperoleh
menggunakan “spectrum shifting” maka ditunjukkan
(
(
)
ke
( )
⌈
(
)
, jika
)
(
dengan
. Kemudian substitusikan
)
⌉,
( )
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
( )
( )
( )
( )
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
(
)
⌉
(
)
(
)
(
) ⌉
⌉
⌉
⌉
⌉
(
)
⌉
⌉
⌉
⌉
⌉
⌉
⌉
⌉
⌉
⌉
⌉
253
Contoh 1. Diberikan sebuah graf cycle dengan 4 simpul (
berikut,
1
2
) tak berbobot dengan graf sebagai
3
4
matriks Laplace, matriks adjacent, spektrum graf, dan diameter graf dapat diperoleh sebagai berikut,
[
]
( )
[
[
]
( )
]
Contoh 2. Diberikan sebuah graf lintasan dengan 3 simpul ( ) tak berbobot dengan graf sebagai
berikut,
1
2
3
matriks Laplace, matriks adjacent, spektrum graf, dan diameter graf dapat diperoleh sebagai berikut,
[
( )
]
[
[
]
( )
]
Contoh 3. Diberikan graf joint lintasan 3 simpul dan cycle 4 simpul (
graf sebagai berikut,
1
2
3
) tak berbobot dengan
4
5
6
7
matriks Laplace, matriks adjacent, spektrum, dan diameter graf dapat diperoleh sebagai berikut,
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
[
⌉
⌉
⌉
⌉
⌉
]
( )
[
]
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
[
⌉
⌉
⌉
⌉
⌉
]
( )
Contoh 4. Diberikan sebuah graf cycle dengan 4 simpul ( ) berbobot dengan graf yang sama seperti
pada Contoh 1 namun diberikan pembobotan. Matriks Laplace, matriks adjacent, spektrum graf, dan
diameter graf dapat diperoleh sebagai berikut,
[
( )
[
]
[
]
( )
]
254
Contoh 5. Diberikan sebuah graf lintasan dengan 3 simpul ( ) berbobot dengan graf yang sama
seperti pada Contoh 2 namun diberikan pembobotan. Matriks Laplace, matriks adjacent, spektrum
graf, dan diameter graf dapat diperoleh sebagai berikut,
[
( )
[
]
[
√
√
]
( )
]
) berbobot dengan graf
Contoh 6. Diberikan graf joint lintasan 3 simpul dan cycle 4 simpul (
yang sama seperti pada Contoh 3 namun diberikan pembobotan. Matriks Laplace, matriks adjacent,
spektrum, dan diameter graf dapat diperoleh sebagai berikut,
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
[
⌉
⌉
⌉
⌉
⌉
]
( )
[
⌈
⌈
⌈
⌈
⌈
[
⌉
⌉
⌉
⌉
⌉
]
]
( )
3. KESIMPULAN
Berdasarkan rumusan masalah dan pembahasan yang telah dipaparkan dapat ditarik kesimpulan
sebagai berikut.
1. Spektrum graf merupakan matriks berordo
yang memuat nilai eigen pada baris pertama dan
banyaknya basis untuk ruang vektor eigen. Pembobotan pada graf tidak mempengaruhi dalam
memperoleh spektrum graf.
2. Diameter graf merupakan jarak maksimum antar simpul pada sebuah graf. Untuk memperoleh
diameter graf dengan menggunakan dua cara. Jika graf tersebut merupakan graf teratur dan graf
tidak lengkap digunakan rumus dari Teorema 1. Jika graf tersebut tidak lengkap digunakan
matriks adjacent untuk mencari diameter. Pada penggunaan Teorema 1 untuk pencarian diameter
perlu ditambah dengan 1 agar hasilnya sesuai dengan jarak maksimum pada gambar. Pembobotan
pada graf tidak mempengaruhi dalam memperoleh diameter graf.
4. UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis berterimakasih kepada Marsudi, Kwardiniya Andawaningtyas, dan Sobri Abusini atas
segala bimbingan, saran, dan kesabaran yang telah diberikan selama penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir, Nilna, N., dan Fifi, F., (2009), Teori Graf, UIN-Malang Press, Malang.
Chung, F. R. K., (1994), Spectral Graph Theory, California State University, Fresno.
Lovasz, L., (2007), Eigenvalue of Graph, Yale University, Budapest.
255