fungsi invers dan komposisi fungsi

FUNGSI INVERS DAN KOMPOSISI
Bab 18
1. FUNGSI INVERS
F(x)
x
y
F’(x
)
a. Fungsi Linear
Contoh :
Jika y = f(x) = 2x + 6 , maka invers dari f(x) adalah …
A. 2x – 6
1
B. 6 – 2x
C.
(x
(x
D.
2
2)
E.
6
1
x
2
6
Jawab :
y = 2x + 6
Cara cerdik :
2x = y + 6
f(x)=ax + b
y
x
y
6)
6
2
x
1
f
1
x
1
x
b
a
y = 2x + 6
f
6
2
6
2
b. Fungsi Pecahan
f (x)
ax
b
cx
d
1
f
dx
(x)
b
cx
a
Contoh :
f (x)
4x
x
1
f
1
(x)
4x
1
x
4
4
c. Fungsi Eksponen
a
f ( x)
a
bx
1
f
( x)
log x
b
Contoh :
3
f ( x)
3
5x
f
1
( x)
log x
3
1
log x 5
5
d. Fungsi kuadrat
f (x)
ax
2
bx
c
f
1
(x)
1
a
(x
D
4a
)
b
2a
contoh :
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
119
f ( x)
x
2
4x
2
1
f
( x)
8
1( x
)
4
4
2
= x 2 2
2. Komposisi Fungsi
Jika f : A B dan g : B C maka h : A C disebut fungsi komposisi dari f dan g
dan ditulis dengan gof
Jadi h ( x ) gof ( x ) g [ f ( x )]
Contoh :
Jika f ( x ) x 1 dan ( fog )( x ) 3 x 2 4 maka g(x) = …
A. g(x)=3x + 4
B. g(x)= 3x + 3
C. g(x) = 3x 2 + 4
D. g ( x ) 3( x 2 1)
E. g ( x ) 3( x 2 3)
Jawab :
( fog )( x )
f ( g ( x ))
3x
g ( x) 1
g ( x)
3x
3x
2
2
3x
2
:
4
4
2
4
3
3( x
2
1)
Cara cerdik
f (x)
diketahui
( fog )( x )
atau :
g ( x)
m aka g ( x )
1
f
o ( fog )( x )
diketahui
f ( x)
ax
b
fo g
px
q
3x
2
= 3x
px
g (x)
q
b
a
4 1
2
3
Contoh :
Diketahui f (2 x 3)
2
3( x
x
2
1)
5 , f(x) = …
4x
Cara cerdik :
f (m x
n)
ax
2
bx
c
f (x)
2
f (m x n )
 
ax b 
x c
diinverskan
dim asukkan
Jawab :
2x
x
3 in versn ya
3
2
f ( x)
x
3
2
4
x
3
2
5
1
4
x
2
7
x
2
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
53
4
120
Soal Latihan :
R , f(x) = 2x + 3 . Maka f 1 ( x )
1. Fungsi f : R
A.
1
x
B.
3
2
y
2. Diketahui f ( x )
1
2
2
x
C.
3
,x
B. –1
3. Bila f : x
5
2x
B. 5 log
2)
C. 2x log 5
x
B. 2 x (4 x 2
1
D. 4(2 x 1) 2
log x
2
1
2 log x
A. 2
A.
3x
6 , m aka f
1
2(2 x
1
3
x
2
2x
3
x
B.
8. Invers f ( x )
A. ( x 2)
3
2
C.
3
3
(1
1
E. 2 log 5 x
...
2)
f
2
sama dengan …
x
D. –2
E. –3
1
2
1
1
3
D.
2x
3
2x
E. 1
2
3 maka ( fog ) ( x )
2x
2
D.
…
E.
2
2x
3
2x
2
2 adalah
x )5
B. 1 ( x 2) 5 / 3 C. 1 ( x 2) 5 / 3 D. 1 ( x 2) 5 / 3
5/3
9. Jika f(x) = 3x dan g ( x )
A. f(x)
x
3
3 , maka log( gof ( x ))
B. g(x)
2
10. Jika f ( x )
C.
dan g ( x )
3
2x
D. 5 lo g x
=
1
B.
1
A. 2
log x
2
2 log x
C. x
, maka f ( x )
...
E. 3 log x
D. 3 f(x)
f ( 2x ) sama dengan …
C. –1
B. 1
E. (1 ( x 2) 5 )1 / 3
D. –2
E. –3
11. Jika f(x) = x 2 +1 dan g(x) = 2x – 1 , maka (f o g )(x) = …
A. 2x 2 +1 B. 2x 2 + 2x + 1
C. 4x 2 - 4x + 2 D. 4x 2 +2x + 2
12. Jika f(x) = 4x dan f(g(x))= A.
1
4
(x – 1 )
B.
E. 3 x 2
1)
C. –1
1
3)
E. 2
C. (2 x 1)(4 x 2
, maka f ( x )
6
7. Jika f ( x )
A.
2
B. 1
6. f ( x )
x(x
2
D. 1
2 , maka ( gof )( x )
2) 1
E. 4(2 x 1)
2
5. Jika f ( x )
2
1
adalah …
1
4. Jika f(x) = 2x + 1 dan g(x) = 4 x 2
A. 2(4 x 2
D.
3)
C. 0
maka f
A. 5 log 2x
(x
nilai dari f 1 ( 4) ...
3
2
A. –2
1
...
1
4
1
2
x
E. 4x 2 +2x - 2
1 , maka g(x)= …
(-x+1)
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
C.
1
8
(-x – 2 )
D.
1
8
( -x + 2 ) E.
1
8
(-x + 2 )
121
13. Jika f(x) =
1
2x
1
A. –2
dan (f o g )(x) =
B. 2
x
3x
C.
2
1
maka g(x) sama dengan …
D. –3
2
1
E.
3
14. Jika f(x) = 5 dan f (x) invers dari f(x), maka nilai f (5 5 ) adalah …
3x
1
A. – ½
B.
15. Jika f(x) =
B.
3
1
C. ½
6
3 +3 , maka f
1
A.
1
1
x
1
D. 1
1
E.
3
(x) = …
3
C. ( x
3)
2
1
D.
(x
x
3)
2
1
E.
(x
3)
2
Cintailah ilmu maka engkau akan dicintainya
Soal – soal fungsi dan fungsi invers ujian nasional
1. Diketahui fungsi f dan g dirumuskan oleh f(x) = 3x2 – 4x + 6 dan g(x) = 2x – 1. Jika
nilai ( f o g )(x) = 101, maka nilai x yang memenuhi adalah ….
a.
3
2
dan
2
3
b.
3
2
dan 2
3
c.
3
dan 2
11
d.
3
2
dan
2
3
e.
3
dan - 2
11
2. Diketahui ( f o g )(x) = 4 2 x 1. Jika g(x) = 2x – 1, maka f(x) = ….
a.
4
x 2
b. 4 2 x 3 .
c.
2
4x 1
2
d. 2 2 x
e.
3. Jika
1
2
1
2x 1
f (x)
1
2
1
x
1
dan
( fog )( x )
2
x
1,
maka fungsi g adalah g(x) = ….
a. 2x – 1
b. 2x – 3
c. 4x – 5
d. 4x + 3
e. 5x – 4
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
122
4. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p =
….
a. 30
b. 60
c. 90
d. 120
e. 150
5. Fungsi f : R
R didefinisikan sebagai
f (x)
2x
1
3x
4
,
x
3
. Invers dari fungsi f adalah
4
f –1(x)= ….
a.
b.
c.
4x
1
3x
2
4x
1
3x
2
4x
2
d.
e.
2
,x
3
2
,x
3
1
2
,x
3x
4x
1
3x
2
4x
1
3x
2
3
2
,x
3
2
,x
3
6. Diketahui
f (x
1)
x
2x
1
1
,x
1
dan f–1(x) adalah invers dari f(x). Rumus f –1(2x – 1) =
2
….
x
2
2x
1
a.
2x
b.
c.
x
1
x
1
,x
2x
2x
4
1
2
1
4x
e.
3
,x
3
2x
d.
2
1
4x
1
,x
3
,x
3
1
,x
4
2
4
7. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x + 4, dan ( f o g )(a) = 81. Nilai a = ….
a. – 2
b. – 1
c. 1
d. 2
e. 3
8. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan ( f o g )( x + 1 ) = –2x2 – 4x – 1. Nilai g(– 2 ) = ….
a. – 5
b. – 4
c. – 1
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
123
d. 1
e. 5
9. Diketahui
2
f (x)
3x
4x
,x
1
1
. Jika f
–1
(x) adalah invers fungsi f, maka f
–1
(x–2)=
4
….
a.
4
x
4x
5
4
x
4
4x
5
x
2
4x
3
b.
c.
x
d.
5
4
3
,x
4
3
3
x
4x
,x
,x
4x
e.
5
,x
4
5
,x
5
4
Kunci jawaban
1. A
2.A
3.D
4.B
5.C
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
6.B
7.D
8.B
9.A
124
PEMBAHASAN
1. Diketahui fungsi f dan g dirumuskan oleh f (x) = 3x2 - 4x + 6 dan g (x) = 2x - 1.
Jika nilai ( f o g )(x) = 101, maka nilai x yang memenuhi adalah ……
2
a. 3
b.
c.
dan -2
3
2
3
dan 2
3
3
dan 2
11
d.
3
2
dan -2
3
3
e.
dan -2
11
Jawab:
( f o g )(x) = 101
f ( g (x ) = 101
f ( 2x - 1) = 101
3 ( 2x – 1 )2 – 4 ( 2x - 1) + 6 = 101
3 ( 4x2 - 4x + 1) - 8x + 4 + 6 – 101 = 0
12x2 – 12x + 3 – 8x – 91 = 0
12 x
2
20 x
88
=0
4
3x
2
3x
x=
5x
22
11 x
11
3
3
0
2
2
3
0
dan x = -2
JAWABAN : A. 3
2
3
dan -2
2. Diketahui ( f o g ) = 4 2 x 1 . Jika g (x) = 2x – 1, maka f(x ) = …
a. 4 x 2
b. 4 2 x 3
c. 2 4 x
1
1
d. 2 2 x
1
2
1
2
2x 1
e. 2
1
Jawab :
Misal f(x) = 4 ax b
( f o g )(x) = 4 2 x 1
f( 2x – 1 ) = 4 2 x 1
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
125
= 42x 1
2ax – a + b = 2x + 1
2a = 2
a=1
-a + b = 1
-1 + b = 1
b=2
Jadi f(x) = 4 a 2 x 1 b = 4 x
JAWABAN : A. 4 x 2
4
a 2x 1
b
2
3. Jika f(x) = x 1 dan ( f o g )(x) = 2 x 1 , maka fungsi g adalah g(x) = ….
a. 2x – 1
b. 2x – 3
c. 4x – 5
d. 4x + 3
e. 5x – 4
Jawab :
( f o g )(x) = 2 x 1
x
1 g x
2 x
1
2 x
1
2
g x
2
1
g(x) + 1 = 4 ( x + 1 )
g(x) + 1 = 4x + 4
g(x) = 4x + 3
JAWABAN : D. 4x + 3
4. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120, maka nilai p
=….
a. 30
b. 60
c. 90
d. 120
e. 150
Jawab :
g(f(x)) = f(g(x))
g ( 2x + p ) = f ( 3x + 120) + p
3 ( 2x + p ) + 120 = 2 ( 3x + 120 ) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p
p = 120
JAWABAN : D. 120
5. Fungsi f : R
f adalah f
a.
b.
c.
d.
4x
1
3x
4x
2
1
3x
4x
2
1
2 3x
4x 1
3x
2
1
R didefinisikan sebagai f x
2x
1
3x
4
,x
3
4
.
Invers dari fungsi
…….
x
2
,x
3
,x
,x
,x
2
3
2
3
2
3
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
126
e.
4x
1
3x
2
,x
2
Jawab :
2x
1
3x
4
y
y 3x
4
2x
1
4y
1
2x
3 yx
4y
1
x 2
3y
4y
1
x
2
3y
4x
1
f
1
2
3x
4x
JAWABAN : C.
2
1
a.
b.
c.
d.
e.
2x
x
1
2
1
2x
1
,x
1
2
dan f
1
x adalah invers dari f(x). Rumus
1
2
3
,x
4x 3
x 1
,x
2x 1
2x 1
3
.....
,x
2x 1
2x 1
2
,x
3x
x
6. Diketahui f x 1
f
1
4
1
2
3
,x
4x 3
x 1
,x
2x 4
4
2
Jawab :
x
y
1
2x
1
y 2x
1
2 yx
y
x 2y
1
x
y
2y
f x
1
x
1
x
1
y
1
1
1
1
x
1
2x
JAWABAN : C.
1
x
2x
1
1
,x
1
2
7. Diketahui fungsi f(x) = 6x – 3, g(x) = 5x + 4, dan ( f o g )(a) = 81. Nilai a = …
a. -2
b. -1
c. 1
d. 2
e. 3
Jawab :
( f o g )(x) = f(g(x))
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
127
= f(5x + 4)
= 6(5x + 4) – 3
= 30x + 24 – 3
= 30x + 21
( f o g )(a) = 81
30x + 21 = 81
30x = 81 – 21
30x = 60
x=2
JAWABAN : D. 2
8. Diketahui fungsi f(x) = 2x + 1 dan ( f o g )( x + 1 ) =
….
a. -5
b. -4
c. -1
d. 1
e. 5
Jawab :
( f o g )( x + 1) = 2 x 2 4 x 1
f(g( x + 1 )) = 2 x 2 4 x 1
2(g( x + 1 )) + 1 = 2 x 2 4 x 1
2(g( x + 1 )) = 2 x 2 4 x 2
g( x + 1 ) =
2x
2
4x
2x
2
4x
1 . Nilai g(-2) =
2
2
2
g( x + 1 ) = x
2x 1
2
2
2 2 1
g(-2) =
=-4+4–1
= -1
JAWABAN : C. -1
2
9. Diketahui f x
f
a.
b.
c.
d.
e.
1
x
4
2
x
4x
x
5
2
4x 3
x
4x
,x
4x
,x
,x
,x
5
1
4
. Jika f
1
x adalah invers fungsi f, maka
1
4
5
4
3
x
1
,x
....
,x
4x 5
x 4
4x
3x
3
4
3
4
5
4
Jawab :
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
128
2
y
3x
4x
1
y 4x
1
4 yx
y
4 yx
3x
2
y
3
2
y
x 4y
2
x
2
2
1
=
3x
y
4y
f
3x
3
2
x
4x
3
JAWABAN : C.
2
x
4x
3
Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono
129