Pertemuan-9 - Binus Repository

Pertemuan-9
Persamaan Diferensial Tingkat n
(n > 1 dan linear)
Bentuk:
ao
dny
d n −1 y
dy
+
a
+ K + a n −1
+ a n ⋅ y = f (x)
1
n
n −1
dx
dx
dx
a1 = konstanta ; i = 1, 2, 3, … n
f ( x ) ≠ 0 → Non homogen
f ( x ) = 0 → Homogen →
φ ( y ) = f ( x)
Dalil :
1. Jika y = f(x) adalah jawab PD. Linear homogen, maka c.f(x) juga jawab (=jawab umum
PD) karena: φ( cy ) = c φ ( y )
2.
Jika y1 = f1 ( x ), y 2 = f 2 (x ) K y (n) = f n ( x ) adalah jawab-jawab yang berlainan, maka:
y = c1f1 ( x ) + c 2 f 2 ( x ) + K c n f n ( x ) adalah jawab dari PD linear homogen.
Macam bentuk PD tingkat n:
1.
PD tingkat n yang homogen
a. akar persamaan karakteristik adalah beda.
D = operator turunan didefinisikan:
D=
d
d2
, D2 = 2
dx
dx
Jika persamaan umum diubah dalam bentuk operator:
ao D n y + a1 D n−1 y + K + an−1 Dy + y ⋅ an = 0
( a o D n + a 1 D n −1 + K + a n −1 D + a n ) y = 0
Polinom dalam D → persamaan karakteristik
Penjelasan contoh:
Misal:
d 2 y dy
+
− 2y = 0
dx 2 dx
D2 y + Dy − 2 y = 0 ⇔ (D 2 + D − 2) y = 0
Persamaan karakteristik:
α2 + α − 2 = 0
(α − 1) (α + 2) = 0
α 1 = 1 , α 2 = −2 → Akar-akar Persamaan karakteristik
Persamaan karakteristik PD tingkat n:
ao D n + a 1 D n−1 + K + an−1 D + an = 0
Akar-akar persamaan karakteristik
α1,α 2 , α 3 , K α n
Persamaan karakteristik dapat ditulis dalam faktor-faktornya:
( D − α1 ) (D − α 2 ) K (D − α n ) y = 0
Untuk menentukan solusi umum PD, kita dapat mengambil bentuk solusi pada
salah satu faktor:
d
( D − α n ) ⋅ y = 0 → ⎛⎜ − α n ⎞⎟ y = 0
⎝ dx
⎠
dy
dy
− α n ⋅ dx = 0
− αn y = 0 →
y
dx
∫
dy
− α n dx = 0
y ∫
ln y = α n ⋅ x = ln c → ln y ⋅ − ln e α n ⋅ x = ln c
y
e
α n⋅ x
= c → y n = eα n ⋅x ⋅ c n
Maka:
y1 = c1 ⋅ e α 1 ⋅ x
y 2 = c 2 ⋅ eα 2 ⋅ x
Sesuai dalil Ii: Solusi umum PD adalah:
y = y1 + y 2 + y 3 + K + y n
y = c1 ⋅ eα1⋅x + c1eα 2 ⋅x + K + cn eα n ⋅x
Jadi PD tingkat n pada solusinya mempunyai n konstanta.
Contoh:
d2y
dy
− 5 + 6 y = 0 , tentukan solusi umum PD!
2
dx
dx
Jawab:
( D 2 − 5D + 6 ) y = 0
Persamaan karakteristik:
α 2 − 5α + 6 = 0
(α − 2)(α − 3) = 0
α1 = 2 , α1 = 3
Solusi umum PD:
y = c1 ⋅ e α 1 ⋅ x + c 2 ⋅ e α 2 ⋅ x
y = c1 ⋅ e 2 x + c 2 ⋅ e 3 x
Jika diketahui harga awal, maka solusi PD dapat dicari!
Misal: syarat awal:
y=0 ⎤
⎥ untuk x = 0
dy
= 1⎥
dx
⎦
Solusi PD :
y = c1e 2 x + c2 ⋅ e 3 x
dy
= 2c1e 2 x + 3c2 ⋅ e 3 x
dx
x = 0 → y = 0 : 0 = c1 + c2
x = 0→
dy
dx
= 1 : − c1 = c2
1 = 2c1 + 3c2
→ 1 = 2c1 + 3(−c1 )
c1 = −1 , c 2 = 1
Solusi PD :
y = −e 2 x + e 3 x
b. Akar persamaan ada p akar-akar yang sama:
Persamaan karakteristik dalam faktor-faktornya:
( D − α1 ) (D - α 2 ) K (D − α ( n − p ) ) (D − α) P ⋅ y = 0
Mencari Solusi umum PD:
Kita bahas dulu ( D − α) p y
Catatan
( D − α ) e αx ⋅ v =
Kita tahu
d αx
(e ⋅ v) − α ⋅ eαx ⋅ v
dx
d (z ⋅ y )
dy
dz
=z
+y
dx
dx
dx
Sehingga
( )
d e αx
dv
+ e αx ⋅
− αe α x ⋅ v
(D − α ) e ⋅ v = v ⋅
dx
dx
αx
αx
= v ⋅ α ⋅ e + e ⋅ D ⋅ v − α e αx ⋅ v
αx
( D − α) e αx ⋅ v = e αx ⋅ Dv
[Perhatikan perubahan persamaan di atas, e αx pindah ke de-pan α yang di dalam
kurung hilang dan D mendiferensialkan v]
( D − α ) p y; jika y = eαx ⋅ v
( D − α ) p ⋅ eαx ⋅ v = eαx ⋅ D p v (sesuai catatan di atas)
Solusi salah satu faktor:
e αx ⋅ D p v = 0
eαx ≠ 0 sehingga D p ⋅ v = 0
Jika p = 1 maka
dv
= 0 → ∫ dv = ∫ 0 dx
dx
v=c
jika p = 2 maka
d2v
=0
dx 2
∫ d v = ∫ 0 → dv = c ⋅ dx
∫ dv = ∫ c ⋅ dx → v = c x + c
2
n
Jika p = p maka
n −1
d pv
=0
dx p
v = c n ⋅ x p −1 + c n −1 x p − 2 + K + c n − p x + c n − p + 1
Solusi untuk ( D − α) p ⋅ e αx ⋅ v = 0 adalah:
(
y p = eαx cn x p −1 + cn −1 x p − 2 + ... + cn − p x + cn − p +1
)
Sehingga Solusi Umum untuk persamaan utama adalah
y = c1eα1x + c2 eα 2 x + cn− p e
α n − p ⋅x
+ eαx (cn− p +1 + cn− p + 2 x +
c n − p + 3 x 2 + K + c n x p −1 )
Contoh:
Tentukan Solusi dari persamaan:
( D − 1)( D + 1)( D − 2)( D + 2)( D − 3) 5 y = 0
α1 = 1
α3 = 2
α 2 = −1
α 5,6K9 = 3
α 4 = −2
↑
5 akar yang sama
y p = e 3 x (c 5 + c 6 ⋅ x + c 7 ⋅ x 2 + c 8 ⋅ x 3 + c 9 ⋅ x 4 )
Solusi umum PD:
y = c1e x + c 2 e − x + c 3 ⋅ e 2 x + c 4 e −2 x + y p
y = c1e x + c2 e − x + c3 ⋅ e 2 x + c4 e −2 x + e 3 x ⋅ cs + c6 ⋅ xe 3 x
+ c7 ⋅ x 2 ⋅ e 3 x + c8 x 3 ⋅ e 3 x + c9 ⋅ x 4 e 3 x
(c). Akar-akar persamaannya adalah Bilangan Kompleks
PD. Dalam bilangan kompleks jika dan hanya jika akar-akarnya adalah bilangan
kompleks
Akar bilangan komplex selalu disertai konjudgetnya/ sekawannya.
Misal α1 = a + bi
Maka akan ada α 2 = a − bi
Sehingga solusinya:
y = c1e ( a +bi )⋅x + c2 ⋅ e ( a −bi ) x
(pakai rumus Euler):
y = c1 ⋅ e ax ⋅ e bi x + c 2 ⋅ e ax ⋅ e − bi ⋅ x
= c1 ⋅ e ax (cos bx + i sin bx ) + c 2 ⋅ e ax (cos bx − i sin bx )
y = e ax [(c1 + c 2 ) cos bx + i (c1 − c 2 ) sin bx ]
A = c1 + c2
B = i (c1 − c2 )
Jika:
Maka:
y = e ax ( A cos bx + B sin bx)
Contoh:
d 2 y dy
+
+ y = 0 ; cari Solusi umum PD!
dx 2 dx
Jawab:
( D2 + D + 1) y = 0
Persamaan karakteristik: α 2 + α + 1 = 0
− 1 ± 1 − 4.1 − 1 ± − 3 − 1 ± 3 ⋅ (i )
=
=
2.1
2
2
1 i 3
−1+ i 3
=− +
α1 =
2
2
2
1 i 3
−1− 3
α2 =
=− −
2
2
2
α1, 2 =
1
2
3
b=
2
a=−
Solusi umum PD:
y = e ax ( A cos bx + B sin bx)
=e
- 12 ⋅ x
(A ⋅ cos
3
3
x + B sin
x)
2
2
Contoh-contoh Soal
1.
d2y
− 4 y = 0 , tentukan Solusi umum PD!
dx 2
Jawab:
D2 y − 49 = 0
( D2 − 4 ) y = 0 → Persamaan karakteristik:
(α 2 − 4 ) = 0
(α − 2)(α + 2) = 0
α1 = 2
α 2 = −2
y = c1eα1x + c2 ⋅ eα 2 x
Solusi umum PD:
y = c1 ⋅ e 2 x + c2 ⋅ e −2 x
2.
d3y
d2y
dy
−
3
+3
− y = 0 ; tentukan Solusi umum PD!
3
2
dx
dx
dx
Jawab:
( D3 − 3D2 + 3D − 1) y = 0
Persamaan karakteristiknya:
α 3 − 3α + 3α − 1 = 0
(α − 1) 3 = 0 → (α - 1)(α - 1)(α - 1) = 0
α1,2,3 = 1
Solusi umum PD:
y = c1 ⋅ eαx + c2 x eαx + c3 x 2 eαx
y = c1e x + c2 xe x + c3 x 2 e x
= (c1 + c2 x + c3 x 2 ) e x
3.
d2y
dy
−4
+ 5y = 0 ; tentukan Solusi umum PD!
dx
dx 2
Jawab:
( D2 − 4 D + 5) y = 0
Persamaan karakteristik: α 2 − 4 α + 5 = 0
α1, 2 =
4 ± 16 − 4.5 4
−4
2i
= ±
= 2± = 2±i
2
2
2
2
α1 = 2 + i ⎫ a = 2
⎬
α2 = 2 − i ⎭ b = 1
Solusi umum PD:
y = e ax ( A cos bx + B sin bx)
y = e 2x ( A cos x + B sin x)
4.
d3y
d2 y
dy
+
3
+ 9 − 13 y = 0 ; Solusi umum PD!
3
dx
dx
dx
Jawab:
D 3 y + 3D 2 y + 9 Dy − 13 y = 0
( D 3 + 3D 2 + 9 D − 13) y = 0
Persamaan karakteristik: α 3 + 3α 2 + 9α − 13 = 0
Dengan Rumus Horner :
α 3 + 3α 2 + 9α − 13 = 0
1
α =1
1
3
9
14
4
4
13
-13
13
0
Cari dari faktornya:
Faktor 13 = {-1, 1, 13, -13}
α 3 + 3α 2 + 9α − 13 = (α − 1)(α 2 + 4α + 13) = 0
α − 1 = 0 → α1 = 1
α 2 + 4α + 13 = 0
α2 + 4α + 13
− 4 ± 16 − 52 − 4 ± − 36 − 4 ± 6i
=
=
= −2 ± 3i
2
2
2
α 2 = −2 + 3i
α 2,3 =
α 3 = −2 − 3i
Solusi umum PD:
y = c1 ⋅ e αx + e ax ( A cos bx + B sin bx)
y = c1e x + e - 2x ( A cos 3x + B sin 3x)
5.
d4 y
= 0 ; tentukan Solusi umum PD!
dx 4
Jawab:
D4 y = 0
Persamaan karakteristik:
α4 = 0
α1,2,3,4 = 0
Solusi umum PD:
y = eαx (c1 + c2 ⋅ x + c3 ⋅ x 2 + c4 x 3 )
= e o (c1 + c2 ⋅ x + c3 ⋅ x 2 + c4 x 3 )
y = c1 + c2 ⋅ x + c3 ⋅ x 2 + c4 x 3
6.
d5y
d3y
dy
+
8
+ 16 = 0 ; tentukan Solusi umum PD!
5
3
dx
dx
dx
Jawab:
D 5 y + 8D 3 y + 16 Dy = 0
( D 5 + 8 D 3 + 16 D ) y = 0
Persamaan karakteristik:
α 5 + 8α 3 + 16α = 0
α (α 4 + 8α 2 + 16) = 0
α (α 2 + 4) 2 = 0 → α (α 2 + 4) (α 2 + 4) = 0
α1 = 0
α 2 + 4 = 0 → α 2 = −4
α 2,3 = ± − 4 = 0 ± 2i
Ana log α 4,5 = ± − 4 = 0 ± 2i
→ a = 0 dan b = 2
Solusi umum PD:
y = c1eα1 x + e ax (A1 cos bx + B1 sin bx ) + e ax (A 2 cos bx + B2 sin bx )x
y = c1e 0 x + e 0 x (A1 cos 2x + B1 sin 2x ) + e 0 x (A 2 cos 2x + B2 sin 2x )x
y = c1 + A1 cos 2x + B1 sin 2x + A 2 x cos 2x + B2 x sin 2x
y = c1 + (A1 + A 2 x )cos 2x + (B1 + B2 x )sin 2x