Determinan

Determinan
Determinan
Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran
(nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang
disebut determinan matriks tersebut dan ditulis
dengan det(A) atau |A|.
Untuk menghitung determinan ordo n terlebih
dahulu diberikan cara menghitung determinan
ordo 2
Menghitung determinan
Hitunglah determinan matriks berikut ini:
A=
3 1 
 4 2 


1 2 
B= 

2
4


C=
Det(A) = (3) (-2) – (1)(4) = -10
Det(B) = (1)(4) – (2)(2) = 0
2 1 3
 3 1 2  Det(C) = tidak didefinisikan


Aturan Sarrus
A1 =
 a11 a12 
a

a
 21 22 
-
 a11 a12 
a

a
 21 22 
+
Det(A1) = (a11.a22) – (a12.a21)
A2 =
 a11
a
 21
 a31
a12
a22
a32
a13 
a23 
a33 
 a11 a12 a13  a11 a12
a
 a a
a
a
21 22
22
23 
 21
 a31 a32 a33  a31 a32
- + + +
Det(A2) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 –
(a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)
Aturan Sarrus (lanjt)
M=
K=
3 1 
 4 2 


3
1

 4
-
Det(M) = 3.-2 – (1.4) = -10
2 2 3 2
2 3  1 2 Det(K) = 3.2.5+2.3.4+2.1.4- (2.2.4 + 3.3.4 + 2.1.5)
= 30 + 24 +8 – (16+36+10) = 62 – 62 = 0
4 5  4 4
- - + + +
 Pertanyaan: Apakah metode di atas dapat diterapkan pada matriks 4x4,
5x5 dst?
MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN KOFAKTOR
Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n≥3 perlu lebih dahulu
definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb :
A=
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
:
:
:
:
ai1 ai2 ……aij…….. ain
:
:
:
:
an1 an2……anj……. ann
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j.
Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
Mij= det
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
:
:
:
:
ai1 ai2 ……aij…….. ain
:
:
:
:
an1 an2……anj……. ann
Cij =(-1)i+j Mij
Definisi determinan matriks
dengan kofaktor
A=
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
:
:
:
:
ai1 ai2 ……aij…….. ain
:
:
:
:
an1 an2……anj……. ann
Mij det matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke
j matriks A.
Cij=(-1)i+jMij
Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau
ekspansi kolom ke j) adalah :
n
Det(A) =

i=1
n
a ij Cij
=

j=1
a ij Cij
Contoh: Minor dan kofaktor
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j.
Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
A=
 a11 a12
a
 21 a22
 a31 a32
a13 
a23 
a33 
M13 = det a21 a22
a31 a32
C13 = (-1)1+3M13
A=
 a11 a12
a
 21 a22
 a31 a32
a13 
a23 
a33 
M13 = det a21 a22
a31 a32
C13 = (-1)1+3M13
Cij = (-1)i+jMij
Contoh:
Hitunglah semua minor dan kofaktor matriks berikut ini:
3
1
4
+
+
0
2
4
0
0
5
- +
+ - +
M11=
Det
2 0
4 5
= 10
C11= (-1)1+1 10 = 10
M12=
Det
1 0
4 5
=5
C12= (-1)1+2 5 = -5
M13=
Det
1 2
4 4
= -4
C13= (-1)1+3 -4 = -4
C21=
?
0
C22=
?
15
C23=
?
-12
C31=
?
0
C32=
?
0
C33=
?
6
Menghitung determinan dengan ekspansi
baris/kolom
A=
 a11 a12
a
 21 a22
 a31 a32
Det(A) =
a13 
a23 
a33 
a11a22 a33  a11a23 a32  a12 a21a33  a12 a23 a31  a13 a21a32  a13 a22 a31
(11)
(1 2)
13
a
(

1)
(
a
a

a
a
)

a
(

1)
(
a
a

a
a
)

a
(

1)
(a21a32  a22 a31 )
11
22
33
23
32
12
21
33
23
31
13
Det(A) =
C11
Det(A) =
a11C11  a12C12  a13C13
Det(A) =
a21C21  a22C22  a23C23
C12
C13
Ekspansi baris
pertama
Ekspansi baris kedua
Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom
A=
 a11 a12
a
 21 a22
 a31 a32
a13 
a23 
a33 
a11C11  a12C12  a13C13
ekspansi baris pertama
=
a21C21  a22C22  a23C23
ekspansi baris kedua
=
a21C21  a22C22  a23C23
ekspansi baris ketiga
=
a11C11  a21C21  a31C31
ekspansi kolom pertama
Det(A) =
= a21C21  a22C22  a23C23
?
a21C21  a22C22  a23C23
?
=
Contoh:
3
1
4
0
2
4
0
0
5
ada 9 (= 3x3) kofaktor
C11= 10
C21= 0
C31= 0
C12= -5
C22= 15
C32= 0
C13= -4
C23= -12
C33= 6
Determinan A dengan ekspansi baris ketiga:
Det(A) = 4x0 + 4x0 + 5x6 = 30
Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga:
Det(A) = 5x6 = 30
Determinan matriks 4x4 dengan kofaktor
A=
 a11 a12 a13
a
 21 a22 a23
 a31 a32 a33

 a41 a42 a43
a14 
a24 
a34 

a44 
Ada berapa banyak kofaktor?
Det(A) =
 a11 a12

M34= det  a21 a22
 a41 a42
a13 
a23 
a43 
 aC
C34=(-1)3+4M34
n
j 1
ij
ij
Ada 16 kofaktor Cij, i, j = 1, 2, 3, 4
a11C11 +a12 C12 +a13 C13 +a14 C14 ekspansi baris pertama
= a 31C31 +a 32 C32 +a 33 C33 +a 34 C34 ekspansi ………
8
Ada ……. cara menghitung determinan A dengan kofaktor
baris ke tiga
Menghitung determinan matriks 4x4 dengan kofaktor
1  1 1  1 
1  1 3 2 

A
4 2 1 3 


3
1
1

4


 matriks 4x4 berikut:
 Ekspansi baris 1:
1 3
2
C11   2 1
3
Det( A)  a11.C11  a12.C12  a13.C13  a14.C14
1 3 2
 0
7 7
3 1 4
0 10 2
1 3
2
1
C12   4 1
3
  0 11
3

2
0  8  10
1 1
2
1 1
C13   4 2
3
0 6
2
5
3 3 4
0 6  10
1 1 3
1 1
C14   4 2 1
0 6
 11
3 3 1
0 6
8
10 2
 (14  70)  56
11 5
 8  10
 (110  40)  70

6 5
6  10
 60  30  30

6 11
6 8
5 
3 1 4
7 7
3
Det ( A)  1.56  1.  70  1.  30  1. 18  114
 (48  66)  18
SIFAT - SIFAT DETERMINAN
Sifat 1
det(At) = det(A)
Contoh :
5 2
A

 4 3
det(A) = 7
5 4
A 

 2 3
t
det(At) = 7
Sifat 2
Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan menukarkan
dua baris sebarang, maka
det(B) = - det(A)
Contoh
Diberikan matriks
1 2 3 


A   2 1 3
3 1 2
maka det(A) = 6.
 2 1 3
Jika B  1 2 3, maka det(B) = -det(A) = -6.


3 1 2
Sifat 3
Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan
mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari
matriks A, maka
det(B) = k.det(A)
Contoh:
Diberikan matriks
Jika
1 2
B  4 2
1 1
1 2 3


A  2 1 dgn
3 det(A) = 6
1 1 0
3
6  det(B) = 2 x det(A) = 2x6 = 12
0
Sifat 4
Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn
mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real
sebarang kemudian menambahkannya ke baris
(kolom) lain, maka
det(B) = det(A)
Contoh :
1 2 3
 4 2 6
A

Diberikan matriks

, det(A) = 12.
1 1 0
Jika
3
1 2
B  4 2
6  , maka
0  1  3
det(B) = det(A) = 12
Sifat 5
Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom)
yang elemen – elemennya sama, maka
determinannya adalah nol.
Contoh
1 1 1 determinannya = nol.
Matriks
A  0 2 3
1 1 1
Sifat 6
Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom)
dengan elemen nol, maka determinannya adalah
nol.
Sifat 7
Jika matriks A=[aij], 1 i  n, 1  j  n, adalah
matriks segitiga atas (bawah) maka
det(A) = a11.a22. … .ann
Contoh :
Diberikan matriks
3
1 2
A  0  2  1
0 0
2 
det(A) = 1.(-2).2 = -4
maka
Sifat 8
Jika matriks A dan B dapat dikalikan,maka
det(AB) = det(A).det(B)
Sifat 9
Jika matriks A invertible, maka
det(A-1) =
1
det( A)
Determinan matriks sederhana
Matriks diagonal
a11
0
A= :
0
:
0
0 …0 … 0
a22 …0 … 0
:
:
0 …aij… 0
:
:
0… 0 .... ann
Matriks segitiga
a11
0
B= :
0
:
0
a12…a1j …a1n
a22 …a2j…a2n
:
: :
0 …aij….ain
:
:
0… 0 .... ann
Det(A) = a11a22a33…ann
Setiap hasil kali elementer pasti
memuat entri dari baris terakhir
(yaitu 0), kecuali a11a22a33…ann.
Det(B) = a11a22a33…ann
Determinan matriks segitiga sama dengan
hasil kali entri diagonal utama.
Determinan matriks dengan baris/kolom nol
Matriks dengan baris / kolom nol
A=
a11
a21
:
ai1
:
0
a12…….a1j ……a1n
a22 ……a2j…….a2n
:
:
:
ai2 ……aij…….. ain
:
:
:
0…… 0……. 0
B=
a11
a21
:
ai1
:
an1
0…….a1j ……a1n
0……a2j…….a2n
:
:
:
0……aij…….. ain
:
:
:
0……anj……. ann
Det(A) = 0
Setiap hasil kali
elementer pasti memuat
entri dari baris terakhir
(yaitu 0). Jadi semua hasil
kali elementer adalah nol.
Det(B) =0
Pertanyaan: apakah matriks yang tidak
mempunyai inverse determinannya no?
Contoh :
Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini:
 19 0 0 
D 0 0 0


 0 0 18
Det(D) =0
12 27 56 11 
13 1 23 90 

B
11 35 11 41


0 0 0 0
Det(B) =0
14
15
K 
70

82
Det(K) =0
98
11
42
74
0
0
0
0
42 
54 

31

66 
 41 10 14 
M   41 10 14 


 0 9 1 
Det(M) =0
Determinan dan operasi baris
elementer
Pengaruh tukar baris pada nilai determinan
1 3 
A

2 4
R1  R2
1 3
A'  

 2 4
Det(A) = -2
Det(A’) = 2
1 4 2 
B  2 0 1


 3 3 6 
3 3 6
B'   2 0 1 


1 4 2 
R1  R3
Det(B) = 45
Det(B’) = -45
menukar dua baris  tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda
berubah  determinannya (-1) kali determinan semula.
X  X’ dengan tukar baris
det(X’) = -det(X)
Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan
1 3 
A

2 4
R2 10 R2
Det(A’) = -20
Det(A) = -2
1 4 2 
B  2 0 1


 3 3 6 
1 3
A'  

 20 40 
R3 1/3 R3
Det(B) = 45
1 4 2 
B'   2 0 1 


1 1 2 
Det(B’) = 15 = 1/3 det(B)
satu baris dikalikan dengan konstanta k  setiap hasil kali elementer
bertandanya dikalikan k  determinannya adalah k kali determinan matriks
semula.
X  X’ dengan mengalikan baris dengan k
det(X’) = kdet(X)
Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris
lain pada nilai determinan
1 3 
A

2 4
Det(A) = -2
1 4 2 
B  2 0 1


 3 3 6 
Det(B) = 45
R2 R2 + 2R1
1 3 
A'  

 4 10 
Det(A’) = -2
1 4 2 
B'  3 1 3 


3 3 6 
R2 R2 +1/3 R3
Det(B’) = 45 = det(B)
Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali
elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.
X  X’ dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain:
det(X’) = det(X)
Pengaruh operasi baris elementer pada nilai
determinan
 Kesimpulan:
 menukar dua baris  tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda
berubah  determinannya (-1) kali determinan semula.
 satu baris dikalikan dengan konstanta k  setiap hasil kali elementer
bertandanya dikalikan k  determinannya adlah k kali determinan matriks
semula.
 Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil
kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.
Menghitung determinan dengan operasi baris
elementer (OBE)
Bentuk ebt A
A mempunyai inverse
A
I
Det(A)
r kali tukar baris
s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks),
Det(I) = 1
t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain
Det(I) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
1
= (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
Det(A) = (-1)r / (k1 k2 k3 … ks)
A mempunyai inverse maka
det(A) ≠ 0
Menghitung determinan dengan operasi baris
elementer
Bentuk ebt A
Mempunyai baris
nol
A TIDAK mempunyai inverse
A
r kali tukar baris
Det(A)
s kali perkalian baris dengan skalar (k1, k2, k3, …, ks),
00…0
Det(A’) = 0
t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain
Det(A’) = (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
0
= (-1)r k1 k2 k3 … ks det(A)
A TIDAK mempunyai inverse
Det(A) = 0
Contoh: menghitung determinan dengan
operasi baris elementer
B2 =
0
4
0
0
0
1
1
0
0
R2  R3
0
4
0
1
0
0
0 0
1
R1  R2
1 0
0
0
4
0
0
0
1
R2  ¼ * R2
B2 direduksi menjadi matriks identitas dengan
2 kali tukar baris,
sekali mengalikan dengan konstanta ¼
Det(B2) = (-1) 2 1/( ¼ )
= (+1) . 1/(1/4) = 1/( ¼ ) = 4
1 0
0
0
1
0
0 0
1
I
Aplikasi determinan:
Aturan Cramer
Aplikasi determinan untuk
menyelesaiakan Sistem Persamaan
Linier
Penyajian SPL dengan persamaan matriks
SPL
a11x1 + a12x2 + a13x3 +… + a1nxn
= b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…+ a2nxn
:
an1x1 + an2x2 + an3x3 + …+ annxn
= b2
matriks koefisien
a11 a12 a13 … a1n
a21 a22 a23 … a2n
A=
:
an1 an2 an3 … ann
x=
Ax = b
= bn
x1
b1
x2
b2
b =
:
:
xn
bn
Aturan Cramer
A=
a11 a12 … a1j … a1n
a21 a22 … a2j … a2n
:
an1 an2 … anj … ann
A1 =
Det(Aj) =
x1
x=
b1
x2
b =
b2
:
:
xn
bn
b1 a12 … a1j … a1n
b2 a22 … a2j … a2n
:
bn an2 … anj … ann
a11 a12 … b1 … a1n
a21 a22 … b2 … a2n
:
an1 an2 … bn … ann
Penyelesaian SPL:
xj = det(Aj)/ det(A)
j = 1, 2, …, n
Contoh:
x  y  2z  1
SPL
2x  y  z  1
A
x  y  2 z  3
1 1 2
2 -1 -1
1 -1 2
SPL dalam persamaan matriks
x
y
z
=
1
1
-3
Det(A) = 10
1 1 2
A1= 1 -1 -1
-3 -1 2
Det(A1) = -10
A2=
1 1 2
2 1 -1
1 -3 2
Det(A2) = -20
X = det(A1)/det(A) =-10/(-10) = 1
y = det(A2)/det(A) =-20/(-10) = 2
z = det(A3)/det(A) = 10/(-10) = -1
A3=
1 1 1
2 -1 1
1 -1 -3
Det(A3) = 10
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan
SPL: Ax = b
Dengan Aturan Cramer, penyelesaian dapat diperoleh dengan rumus berikut ini
xj = det(Aj)/ det(A)
j = 1, 2, …, n
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan?
Karena menggunakan determinan matriks koefisien sebagai pembagi,
maka Aturan Cramer dapat diterapkan jika matriks koefisiennya persegi
dan determinannya tidak nol (atau matriks koefisien mempunyai inverse.