2-7 - WordPress.com

Matematika Teknik
MERENTANG DAN BEBAS LINIER
Sebuah vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor v1 , v 2 ,..., v n bila dapat
dinyatakan dalam bentuk :
v = k1 v1 + k 2 v2 + ... + k n vn dengan k1,k2,…,kn skalar.
{
}
Misal V ruang vektor dan S = v 1 , v 2 ,..., v n dengan v1 , v 2 ,..., v n ∈ V . Maka :
1. S dikatakan merentang / membangun V bila setiap vektor di V dapat dinyatakan
sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor di S.
2. S dikatakan bebas linier bila persamaan vektor : 0 = k1 v1 + k 2 v2 + ... + k n vn
hanya dipenuhi oleh : k1 = 0, k2 = 0,…, kn = 0. Bila ada solusi lain yang tidak nol
maka S dikatakan bergantung linier.
Bila beberapa vektor merentang suatu ruang vektor V maka himpunan
kombinasi linier dari vektor-vektor tersebut akan merupakan sub ruang dari V. Misal
himpunan
vektor
v1 , v2 ,..., vn ∈ V
merentang
ruang
vektor
V.
Maka
{
}
W = k1 v1 + ... + k n vn v1 ,..., vn ∈V merupakan sub ruang dari V.
Bila v1, v2 ,..., vn ∈ Rn maka untuk menentukan apakah vektor tersebut
n
merentang atau tidak merentang terhadap ruang vektor ℜ ditentukan dari nilai
determinan dari matriks yang dibentuk oleh vektor tersebut, yaitu komponen vektor
tersebut sebagai unsur kolom dari matriks. Bila determinan tidak sama dengan nol
maka vektor tersebut merentang dan bila determinan sama dengan nol maka tidak
merentang.
Sifat kebebasan linier dapat diturunkan langsung dari definisi, bila salah satu
vektor merupakan kombinasi linier dari vektor lain maka S bergantung linier. Sifat
{
kebebasan linier yang lain, yakni, bila S = v1 , v 2 ,..., vn
n > m maka S bergantung linier.
}
himpunan vektor di ℜ
m
dan
Soal Latihan
( 1 sd 3 ) Selidiki apakah ( 1,-2,3 ) merupakan kombinasi dari vektor berikut ? Bila ya,
tentukan skalarnya. !
1. v1 = (3,1,2), v2 = (4 ,0,5) dan v3 = (− 1,3,−4)
2. u = (2 ,3,−4), v = (1,4,2) dan w = (5,1,−9)
3. u = (1,0,1), v = ( 0,1,1) dan w = (1,1,0)
 1 2
 0 1
 4 − 2
4. Diketahui A = 
 ,B = 
 dan C = 
 . Yang mana di antara
 − 1 3
 2 4
 0 − 2
matriks berikut yang merupakan kombinasi linier dari A, B dan C ?
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika Teknik
0
a. 
0
5
b. 
3
0

0
2

9
 0 − 2
c. 

3 1 
3
5. Tentukan apakah vektor berikut merentang ℜ ?
a. v1 = (3,1,2), v2 = (4 ,0,5) dan v3 = ( − 1,3,−4)
b. u = (1,−2,0), v = ( 2,3,1) dan w = ( − 2,4,0)
c. u = (1,0,1), v = (0,1,1) , w = (11
, ,0) dan x = ( 2,1,0)
6. Tentukan yang mana merupakan kombinasi linier dari p1 , p2 , p3 , p4 dengan :
p1 = 1 + 2x − x 2
p2 = 3 + x 2
p3 = 5 + 4x − x 2
p4 = −2 + 2 x − 2 x 2
bila :
a. p = 1 + x + x 2
b. p = 1 − x 2
c. p = x − x 2
d. p = -1 - x
3
7. Tentukan vektor berikut bebas linier atau bergantung linier di ℜ ?
a. ( 1,0, -3 ) dan ( 2,1,0 )
b. ( 2,-1,0 ), ( -2,1,0 ) dan ( 1,3,-2 )
c. ( 1,0,0 ) , ( 0,-2, 1 ) dan ( 1, 2, 0 )
d. ( 2,-1,3), ( 2,1,0 ) , ( 4,2,1 ) dan ( 5,0,-1 )
3
8. Tentukan nilai a agar ketiga vektor berikut bergantung linier di ℜ bila :
( a, -
½ , - ½ ), ( - ½ , a, - ½ ) dan ( - ½ , - ½ , a )
9. Manakah diantara berikut yang bebas linier dan bergantung linier ? Jelaskan !
a. p(x) = 1 + 2x + x2 , q(x) = 1 - 2x + x2 , r(x) = -1 + 2x - x2 , s(x) = -1 - 2x + x2 ,
b. ( 1,2,3,4 ), ( -1,0,0,-2 ), ( 1,-2,0,3 ), ( 2,1,1,1 ).
{
10. Diketahui H = 2, − 3x ,5x 2
}
a. Selidiki apakah H merentang / membangun P2.
b. Selidiki apakah H bebas linier di P2.
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung