Analisis Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Skalar adalah

Analisis Vektor
1.1 Skalar dan Vektor
Skalar adalah besaran yang memiliki satuan (positif atau negative),
namun tak memiliki arah.
Contoh skalar Antara lain :

Panjang;

Luas;

Volume;

Massa;

Waktu.
Sedangkan Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah.
Vector bukan hanya sebatas 2-3dimensi, melainkan dapat mencapai
n-dimensi untuk hal yang lebih jauh lagi.
Contoh vector Antara lain:

Berat;

Gaya;

Kecepatan;

Medan listrik;

Percepatan gravitasi;

Dan lain-lain.
1.2 Vektor Aljabar
Dalam vector, biasanya kita meng-ekspresikan A-B adalah A +
(-B); tanda atau arah dari vector kedua(B) berubah.
Vector dapat dikalikan dengan skalar. Maka hasilnya ialah,
besar/nilainya berubah, namun arahnya tetap sama jika dikalikan
dengan skalar positif, dan berubah jika dikalikan dengan skalar
negative.
Gambar 1
Penggabungan 2 vektor
Perhitungan 2 vektor dapat menggunakan sifat-sifat seperti
asosiatif, distributive, dan komunitatif yang berlaku dalam aljabar
vector.
1.3 Sistem Koordinat Kartesian
FYI, sistem koordinat kartesian adalah salah satu dari 8 atau
10 cara untuk menggambarkan keakuratan vector, panjang vector
dan arah.
Dalam sistem kartesian, kita akan meletakan 3 titik koordinat
di sudut kanan dan menamakannya titik x, y, dan z, cara ini sering
kita sebut aturan “tangan kanan”
Gambar 2
(a) Gambar 2.a contoh dari sistem koordinat kartesian Tangan
Kanan, jika jari telujuk adalah x yang melengkung menuju y,
maka ibu jari(jempol) menunjukan arah z.
(b) Lokasi dari titik P(1,2,3) dan Q(2,-2,1).
(c) Volume = dx dy dz, dimana dx, dy, dan dz adalah turunan
yang beridiri masing-masing.
1.4 Komponen dan Unit Vektor
Untuk menggambar vector dalam koordinat kartesian,
pertama-tama mari kita tentukan vector r diperpanjang
sampai tak-hingga dari titik asal. Cara yang logis untuk
menjabarkan vector ini adalah, dengan cara memberikan 3
komponen vector yang sejajar sepanjang 3 sumbu koordinat.
Yang komponen penjumlahan vektornya merupakan vector yang
di berikan. Contoh :
komponen dari vector “r” adalah x, y, dan z, maka r=x+y+z.
Gambar 3
Dari gambar 3.c dapat diketahu vector P(1,2,3) dan Q(2,2,1), dapat juga di tuliskan RP = ax + 2ay + 3az dan RQ = 2ax 2ay + az.
Dan vector RPQ dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut
:
RPQ
= RQ – Rp
= (2 - 1)ax + (-2 – 2)ay + (1 – 3)az
= ax – 4ay – 2az
sedangkan untuk F (gaya vector), kita tidak dapat menggunakan x,
y, dan z untuk meng-deskibsikan 3 komponen vektornya, maka dari
itu, digunakan lah
F = Fxax + Fyay + Fzaz , dimana komponen vektornya adalah Fxax ,
Fyay , dan Fzaz
maka besarnya F adalah
|F| = √𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 + 𝐹𝑧 2
Dan rumus untuk menentukan unit vector dalam arah vector F
adalah
𝑎𝐹 =
𝐹
𝐹
=
|𝐹| √𝐹𝑥 2 + 𝐹𝑦 2 + 𝐹𝑧 2
1.5 Medan Vektor
Medan Vector adalah fungsi vector dari vector posisi.
secara umum, besar dan arah dari sebuah fungsi akan berubah saat
kita bergerak dan nilai dari fungsi vector biasanya nilai koordinatnya
di sediakan dari soal yang diberikan.
Jika diberikan vector “r”, maka menda vector G dapat ditulis
G(r); dan medan skalar T dapat ditulis T(r).
Misalnya di laut, jika z mewakili arah atas, x utara, y barat,
dan titik asalnya adalah permukaan laut, dan dengan menggunakan
sistem koordinat tangan-kanan, maka kecepatan vector dapat
ditulis sebagai berikut
𝑣(𝑟) = 𝑣𝑥 (𝑟)𝑎𝑥 + 𝑣𝑦 (𝑟)𝑎𝑦 + 𝑣𝑧 (𝑟)𝑎𝑧
1.6
Hasil dari Fungsi Dot (  )
Hasil dari fungsi dot adalah skalar. apabila di berikan vector A
dan B, maka akan menghasilkan
𝐴B = |A| |𝐵|𝑐𝑜𝑠𝜃𝐴𝐵
dalam perkalian dot, hokum komutatif berlaku, maka dapat dituliskan
AB = BA
Dalam sistem koordinat kartesian, sudut Antara 2 vektor unit
yang berbeda adalah 90, maka :
axay = axaz = ayaz = ayax = azax = azay = 0
axax = ayay = azaz = 1
jika sebuah vector di dot-kan dengan vector yang sama, maka
AA = A2 = |A|2
1.7
perkalian cross ( x )
jika perkalian dot menghasilkan skalar, maka, hasil perkalian
cross adalah vector.
persamaan cross : A x B = aN |A| |B| sin𝜃AB , dimana N adalah
singkatan dari “normal”.
Membalikan urutan dari vector A dan B menghasilkan vector
unit yang berlawanan. Maka dari itu, hokum komutatif tidak
berlaku pada perkalian cross.
missal : B x A = -(A x B)
Dalam perkalian cross, jika diberikan 3 buah vector, maka
cross dari 2 vektor adalah vector yang 1nya lagi.
𝑎𝑥 𝑥 𝑎𝑦 = 𝑎𝑧 , 𝑎𝑥 𝑥 𝑎𝑧 = 𝑎𝑦 , 𝑎𝑦 𝑥 𝑎𝑧 = 𝑎𝑥
Dalam perkalian cross, jika sebuah vector di crosskan dengan
vector itu sendiri maka hasilnya 0.
Maka rumus cross dalam determinan dapat ditulis sebagai
berikut :
1.8
𝑎𝑥
𝐴𝑥𝐵 = |𝐴𝑥
𝐵𝑥
𝑎𝑦
𝐴𝑦
𝐵𝑦
𝑎𝑧
𝐴𝑧 |
𝐵𝑧
Sistem Koordinat Silinder
Dalam sisitem koordinat silinder, kita gunakan permukaan
bawah silinder (), bidang ɸ, dan sebuah bidang z seperti
gambar 4.a.
Gambar 4
Variable dari sistem koordinat kartasian dan silinder
berhubungan satu sama lain.
X =  cosɸ
Y =  sinɸ
Z = Z
Seperti pada gambar dibawah ini
dari sini, kita dapat membuat
variable koordinat silinder dalam
fungsi x, y, dan z.
 = √𝑥 2 + 𝑦 2
ɸ = tan−1
z = z
𝑦
𝑥
1.9
Sitem Koordinat Bola
Gambar 5
Dari gambar 5, kita bisa transformasikan skalar dari
koordinat kartesian menjadi sistem koordinat bola.
𝑥 = 𝑟 sin  cos ɸ
𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑛ɸ
𝑧=𝑧