Sesi 4.indd

K
e
l
a
s
K-13
matematika
XI
TRIGONOMETRI ATURAN SEGITIGA
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.
1.
Memahami aturan sinus dan kosinus, serta pembuktiannya.
2.
Memahami aturan sinus dan kosinus dalam penyelesaian masalah matematika maupun
masalah nyata.
3.
Memahami penerapan aturan sinus dan kosinus untuk menentukan luas segitiga.
4. Memahami masalah matematika maupun masalah nyata yang berkaitan dengan luas
segitiga.
?
1
L = ab sin C
2
EG
C
SS
LUA
IT I G A
A
b
AT
?
U RA
N SINUS
a
B
c
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
S
ATURAN KOSINU
cos C
2a
b
2
2
a
2
c=
1
+b
–
cos C =
2
+c2
cos A =
a
A
sin
b2 =
nB
1 ac si
L= 2
1 bc
L= 2
a
b
c
=
=
sin A sinB sin C
a2 + b 2 − c 2
2ab
– 2ac
b 2 + c 2 − a2
2bc
. cos B
cos B =
a2 + c 2 − b 2
2ac
A.
ATURAN SINUS
Untuk sembarang segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku
aturan sinus berikut.
a
b
c
=
=
sin A sin B sinC
Pembuktian:
Perhatikan segitiga sembarang ABC dengan sisi AB = c, sisi BC = a, dan sisi AC = b. Pada sisi
AB ditarik garis tinggi h.
C
b
a
h
c
A
D
B
Pada segitiga ADC berlaku:
sin A =
h
→ h = b ⋅ sin A
b
Pada segitiga BDC berlaku
sin B =
h
→ h = a ⋅ sin B
a
Dengan proses substitusi akan didapatkan:
b ⋅ sin A = a ⋅ sin B
b
a
=
sin B sin A
Jika proses yang sama dilanjutkan dengan menggunakan garis tinggi pada AC, maka akan
didapatkan aturan segitiga yang melibatkan semua sisi dan sudut. Syarat penggunaan
aturan ini adalah soal tersebut melibatkan dua pasang sudut-sisi yang saling berhadapan,
dengan salah satunya tidak diketahui.
2
Contoh Soal 1
Perhatikan gambar berikut!
C
8 cm
A
7 cm
10 cm
B
1
Jika nilai sin C = , maka nilai dari sin A dan sin B adalah ....
3
Pembahasan:
Berdasarkan aturan sinus berlaku:
AB
AC
=
sinC sin B
10
8
=
1 sin B
3
4
sin B =
15
Kemudian dengan menggunakan aturan yang sama, diperoleh:
AB
BC
=
sinC sin A
10
7
=
1 sin A
3
7
sin A =
30
Jadi, nilai sin A =
7
4
dan sin B =
.
30
15
3
Contoh Soal 2
Menara Pisa dibangun dengan tinggi 56
meter. Oleh karena rentannya tanah pada
fondasi, maka terjadi kemiringan. Jika
pada jarak 44 meter dari dasar menara
diperoleh sudut elevasi sebesar 55o, maka
berapakah kemiringan menara Pisa dari
posisi awalnya?
(soal aplikasi aturan sinus pada buku
“Algebra and Trigonometry edisi ketiga”
yang ditulis Cinthia Young)
56 m
55o
44 m
Pembahasan:
Persoalan aplikasi trigonometri di atas bisa disederhanakan menjadi segitiga berikut.
56 me
ter
C
x
55o
A
44 meter
B
Dengan menggunakan aturan sinus akan didapatkan persamaan:
AB
AC
=
sin C sin B
44
56
=
sin C sin 55o
44 ⋅ sin55°
sin C=
56
sin C= 0 , 6436
C = 40
0 , 06° ≈ 40°
Dengan demikian, besar sudut A = 180o – (B + C) atau ∠A = 85o. Jadi, besar
kemiringannya adalah x = 90o – A = 5o.
4
Contoh Soal 3
Pada saat yang sama, sebuah
balon terlihat oleh 2 orang
teman yang terpisah sejauh 1
mil tepat di hadapan balon. Jika
sudut elevasi dari dua orang ini
bertururt-turut adalah 20,5º dan
25,5º, maka berapakah tinggi
balon pada saat itu? (soal aplikasi
aturan sinus pada buku “Algebra
and Trigonometry edisi ke tiga”
yang ditulis Cinthia Young)
20,5o
25,5o
1 mil
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
C
x
25,5o
20,5o
A
1 mil
D
B
Oleh karena besar ∠ABC = 180o – 25,5o = 154,5o, maka besar ∠ACB =180o – (20,5o +
154,5o) = 5o
Dengan menggunakan aturan sinus pada segitiga ABC didapatkan persamaan:
AB
BC
=
sinC sin A
BC
1
=
sin5° sin20 , 5°
sin20 , 5°
BC =
sin5°
BC ≈ 4
5
Perhatikan segitiga BDC!
x
BC
x = BC ⋅ sin∠CBD
x = 4 ⋅ sin25, 5°
x ≈ 1, 7 mil
sin∠CBD =
Jadi, ketinggian balon pada saat itu mendekati 1,7 mil.
B.
ATURAN KOSINUS
Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisi a, b, c, dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku
aturan sinus berikut.
a2 = b2 + c 2 − 2bc ⋅ cos A
b2 = a2 + c 2 − 2ac ⋅ c os B
c 2 = a2 + b2 − 2ab ⋅ c os C
Pembuktian:
Perhatikan segitiga berikut!
C
b
a
h
A
c
D
B
Pada segitiga siku-siku ADC, berlaku:
h2 = b2 – AD2
.... (1)
Perhatikan segitiga siku-siku BDC
h2 = a2 – BD2
.... (2)
Dari (1) dan (2), diperoleh:
b2 – AD2 = a2 – BD2
Oleh karena BD = c – AD, maka:
b2 − AD 2 = a2 − (c − AD )2
b2 − AD 2 = a2 − c2 + 2 ⋅ c ⋅ AD − AD 2
a2 = b2 + c2 − 2 ⋅ c ⋅ AD
6
Pada segitiga ADC berlaku AD = b.cos A, sehingga persamaan di atas menjadi:
a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cos A.
Dengan cara yang sama, akan diperoleh aturan-aturan kosinus lainnya.
Contoh Soal 4
Perhatikan segitiga berikut!
C
m
10 c
A
30o
5 cm
B
Panjang sisi BC pada gambar tersebut adalah ....
Pembahasan:
C
b=
m
10 c
a
A
30o
c = 5 cm
B
Dengan menggunakan aturan kosinus akan didapatkan:
BC 2 = a2 = b2 + c2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
a2 = 102 + 52 − 2 ⋅10 ⋅ 5 ⋅ cos 30°
1
a2 = 125 − 100 ⋅ 3
2
a = 125 − 50 3
a = 5 5 − 2 3 cm
Jadi, panjang sisi BC adalah 5 5 − 2 3 cm.
7
Contoh Soal 5
Pada suatu segitiga ABC diketahui a = 8, b = 6, dan c = 7. Tentukan besar masingmasing sudutnya!
Pembahasan:
Sudut A dapat ditentukan dengan aturan kosinus berikut.
a2 = b2 + c2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
b 2 + c 2 − a2
2⋅b ⋅c
6 2 + 72 − 8 2
cos A =
2 ⋅ 6 ⋅7
cos A = 0 , 25
cos A =
∠A = cos−1(0 , 25)
∠A ≈ 76°
Sudut B juga dapat ditentukan dengan aturan kosinus berikut.
b2 = a2 + c 2 - 2 × a × c × cos B
a2 + c 2 - b 2
2×a×c
2
8 + 72 - 6 2
cos B =
2× 8×7
cos B = 0 , 6875
cos B =
∠B = cos-1(0 , 6875)
∠B ≈ 47°
Sudut C cukup ditentukan dengan menggunakan sifat segitiga berikut.
∠C = 180° − (∠A + ∠B)
∠C = 180° − (76° + 47°)
∠C = 57°
Jadi, besar masing-masing sudut adalah 76º, 47º, dan 57º.
8
Contoh Soal 6
Sinus sudut terbesar pada segitiga PQR yang memiliki ukuran sisi PQ = 6, QR = 4, dan
PR = 8 adalah ....
Pembahasan:
Sisi PQ = r = 6, QR = p = 4, dan PR = q = 8
Sudut terbesar terletak di hadapan sisi terbesar, oleh karena itu sudut yang kita cari
nilai sinusnya adalah ∠Q, dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh:
q2 = p2 + r 2 − 2 ⋅ p ⋅ r ⋅ cos Q
cos Q =
p +r −q
2⋅ p⋅r
2
2
R
2
4
8
4 2 + 62 − 82
2⋅4 ⋅6
1
cos Q = −
4
Q
cos Q =
6
P
Oleh karena yang dicari adalah nilai sinusnya, maka tidak perlu mengetahui besaran
sudutnya. Dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh:
sinQ = 1− cos2 Q
sinQ = 1−
sinQ =
C.
1
16
1
15
4
APLIKASI ATURAN KOSINUS
1.
Kapal laut A dan B berlayar dari titik M pada waktu yang bersamaan. Kapal A berlayar
dengan jurusan tiga angka 102° dan B berlayar dengan jurusan tiga angka 232°.
Jika kecepatan kapal A 30 km/jam dan kecepatan kapal B adalah 45 km/jam, maka
hitunglah jarak kedua kapal tersebut setelah berlayar selama 3 jam! (Soal pada buku
pegangan Matematika kurikulum 2013 Semester 1)
9
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi berikut!
utara
102o 232o
M
A
nB
da
pal A
ka
jarak
B
Oleh karena kecepatan A 30 km/jam, maka setelah 3 jam jarak yang telah ditempuh
adalah 90 km. Oleh karena kecepatan B 45 km/jam, maka setelah 3 jam jarak yang
telah ditempuh adalah 135 km. Di lain pihak, besaran ∠AMB = 232° − 102° = 130° .
Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh:
AB 2 = AM 2 + BM 2 − 2 ⋅ AM ⋅ BM ⋅ cos M
AB 2 = 902 + 1352 − 2 ⋅ 90 ⋅135 ⋅ cos130°
AB = 204 , 8 km
Jadi, jarak kedua kapal tersebut adalah 204,8 km.
2.
Lapangan Baseball berbentuk persegi dengan panjang setiap sisinya 90 kaki. Jika
tempat pelempar bola (pitcher) terletak 60,5 kaki dari tempat pemukul (home plate),
maka berapa jauh jarak dari pelempar bola ke basis ketiga (third base)? (Contoh soal
pada buku Algebra and Trigonometry edisi ketiga Cynthia Young)
basis kedua
90 kaki
90 kaki
basis ketiga
tempat pelempar
bola
?
?
60,5 kaki
90 kaki
90 kaki
45o
home plate
10
basis pertama
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
base kedua
90 kaki
90 kaki
base ketiga
tempat pelempar
bola
C
?
?
60,5 kaki
B
90 kaki
45
o
base pertama
90 kaki
A
home plate
Pada segitiga ABC berlaku:
BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cos 45°
1
BC 2 = 902 + 60 , 52 − 2 ⋅ 90 ⋅ 60 , 5 ⋅ 2
2
BC ≈ 64 kaki
Jadi, jarak pelempar bola ke basis ketiga adalah 64 kaki.
3.
S
Sebuah satelit (S) pada
T
orbit lingkaran di sekitar
bumi terlihat dari stasiun
pengawasan T (lihat gambar).
R
Jika jarak TS yang ditentukan
dengan radar adalah 1034 mil
dan sudut elevasi si atas ufuk
adalah 32,4o, maka berapakah
jarak satelit dari pusat bumi
(C) pada saat terlihat? (Jari-jari
bumi adalah 3964 mil). (Soal
di buku College Algebra with
Trigonometry 9th ed. - R. Barnett, et. al., McGraw-Hill, 2011)
11
horison
Pembahasan:
Perhatikan ilustrasi berikut!
32,4o
S
T
horison
R
C
Diketahui ST = c = 1034 mil, CT = s = 3964 mil, CS = t, dan besar sudut STC adalah:
∠STC = 90° + 32, 4°
∠STC = 122, 4°
Dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh:
t 2 = c 2 + s2 − 2 ⋅ c ⋅ s ⋅ cos ∠STC
t 2 = 1034 2 + 3964 2 − 2 ⋅1034 ⋅ 3964 ⋅ cos122, 4°
t ≈ 4601, 62 mil
Jadi, jarak satelit dari pusat bumi adalah 4601,62 mil.
D.
LUAS SEGITIGA
Untuk sembarang segitiga ABC, dengan panjang sisi a, b, c, dan ∠A, ∠B, ∠C, berlaku:
1
1
1
Luas ∆ABC = × ab ⋅ sinC = × bc ⋅ sin A = × ac ⋅ sin B
2
2
2
Pembuktian:
Perhatikan gambar berikut!
C
b
a
h
A
c
D
B
12
Luas segitiga di atas (L) dapat dinyatakan dengan:
1
L = × AB × CD
2
1
L = ×c×h
2
Pada segitiga ADC, berlaku:
sin A =
h
→ h = b sin A
b
1
Nilai h kita substitusikan ke rumus luas, sehingga akan didapatkan: L = c ⋅ b ⋅ sin A
2
(terbukti).
Dengan cara yang sama dan dengan menggunakan aturan sinus, maka akan diperoleh
rumus luas segitiga yang lainnya.
Contoh Soal 7
Perhatikan segitiga berikut!
C
10
60o
A
14
B
Luas segitiga di atas adalah ....
Pembahasan:
C
a = 10
60o
A
c = 14
13
B
1
L = ⋅ a ⋅ c ⋅ sin B
2
1
L = ⋅10 ⋅14 ⋅ sin 60°
2
L = 35 3 satuan luas
Jadi, luas segitiga di atas adalah 35 3 satuan luas.
Contoh Soal 8
Suatu segitiga ABC memiliki panjang sisi AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AC = 5 cm.
Luas segitiga ABC adalah ....
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut!
C
b == 5 cm
AC
cm,
a == 3 cm
AB = 2 cm, BC
A
c == 2 cm
cm, BC = 3 cm,
AB
B
1
Misalnya kita hendak menggunakan rumus L = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A .
2
Nilai b dan c sudah diketahui, namun nilai sin A belum. Dengan menggunakan aturan
kosinus, diperoleh:
a2 = b2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
cos A =
b 2 + c 2 − a2
2⋅b ⋅c
( 5) + ( 2) −( 3)
cos A =
2
cos A =
cos A =
2
2
2⋅ 5 ⋅ 2
5+2−3
2 10
2
10
14
Dengan menggunakan identitas trigonometri, diperoleh:
 2 
sin A = 1− 

 10 
sin A =
2
6 1
= 15
10 5
Dengan demikian, luas segitiga ABC adalah:
1
L = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A
2
1
1
L = ⋅ 5 ⋅ 2 ⋅ 15
2
5
1
L=
6 cm2
2
Jadi, luas segitiga ABC adalah
1
6 cm2 .
2
Contoh Soal 9
Sebuah ruang tamu berukuran 15 kaki × 25 kaki memiliki bentuk balok terbuka
dengan atap yang membentuk segitiga pada sisi kanan dan kirinya. Jika dua bagian
dari atap membentuk sudut 50º dan 33º dengan bidang datar sebagaimana dalam
gambar, maka tentukan luas dari segitiga yang terbentuk tersebut! (Soal pada buku
Algebra and Trigonometry, 3rd Edition, Cynthia Young)
a
x
b
33o
15
kak
25
i
50o
ka
ki
15
Pembahasan:
Perhatikan segitiga yang terbentuk tersebut!
C
b
A
a
50o
33o
c = 15 kaki
B
Besar sudut C
∠C = 180° − (33° + 50°)
∠C = 97°
Dengan menggunakan aturan sinus, diperoleh:
c
b
=
sinC sin B
b
15
=
sin 97° sin50°
sin50°
b = 15 ×
sin 97°
b ≈ 12 kaki
Dengan demikian, luas segitiga tersebut adalah:
1
L = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin A
2
1
L = ⋅12 ⋅15 ⋅ sin33°
2
L ≈ 49 kaki2
Jadi, luas segitiga yang terbentuk tersebut adalah 49 kaki2.
16