basis ortogonal

Ortogonal
Yang dibahas :
• Ortogonal
• Basis ortogonal
• Ortonormal
• Matrik ortogonal
• Komplemen ortogonal
• Proyeksi ortogonal
• Faktorisasi QR
Ortogonal
• Himpunan vektor {v1, v2, ….., vk} dalam Rn disebut
himpunan ortogonal jika semua pasangan dalam
himpunan vektor tersebut adalah ortogonal yaitu jika :
vi . vj = 0 ketika i ≠ j untuk i, j = 1, 2,….., k
• Basis standar {e1, e2, ….., en} dalam Rn adalah
himpunan ortogonal.
Contoh :
Tunjukkan bahwa {v1, v2, v3} adalah himpunan ortogonal
dalam R3 jika :
v1
2
1 , v2
0
1 , v3
1
-1
-1
1
1
Jawab :
Harus ditunjukkan bahwa setiap pasang adalah ortogonal
v1 . v2 = 2(0) + 1(1) + (-1)(1) = 0
v2 . v3 = 0(1) + 1(-1) +(1)(1) = 0
v1 . v2 = 2(1) + 1(-1) +(-1)(1)= 0
Kesimpulan : {v1, v2, v3} adalah himpunan ortogonal
Teori 1. Jika {v1, v2, ….., vk} adalah himpunan vektor
bukan nol yang ortogonal, maka vektor-vektor
tersebut adalah bebas linier.
Bukti :
Jika c1, c2, …., ck adalah skalar sehingga : c1v1+ …+ ckvk=0
kemudian (c1v1+ …+ ckvk) . vi = 0 . vi = 0
Atau hal yang sama :
c1(v1. vi)+ ….. +ci(vi. vi)+ ……+ ck(vk. vi) = 0
Karena {v1, v2, ….., vk} adalah himpunan ortogonal,
semua perkalian titik pasangan vektor adalah nol
kecuali (vi. vi), sehingga persamaan dapat diringkas
menjadi : ci(vi. vi) = 0
Dengan hipotesa : vi ≠ 0 sehingga vi. vi ≠ 0, oleh karena
itu yang harus memiliki nilai = 0 adalah ci. Hal ini juga
berlaku untuk semua i = 1, ….. k, sehingga disimpulkan
bahwa {v1, v2, ….., vk} adalah bebas linier.
Basis Ortogonal
Definisi : Basis ortogonal dari subruang W dari Rn
adalah basis dari W merupakan himpunan ortogonal.
Contoh soal :
Cari basis ortogonal dari subruang W dari R3 yaitu :
x
W
y :x
z
y
2z
0
Jawab :
Subruang W adalah bidang yang berada pada R3, dari
persamaan bidang diperoleh : x = y – 2z. Maka W terdiri
dari vektor dengan bentuk :
y 2z
1
-2
y
y 1 z 0
z
0
1
1
Jadi vektor u =
1
0
-2
dan v =
0
adalah basis W, namun tidak
1
ortogonal. Untuk memenuhi syarat ortogonal, diperlukan
vektor bukan nol lain dalam W yang ortogonal pada salah
satu vektor tersebut.
x
Anggap w
y
adalah vektor dalam W yang ortogonal
z
dengan u. Karena w dalam bidang W : x-y+2z = 0, maka
u.w = 0 diperoleh persamaan : x+y = 0.
Dengan menyelesaikan SPL :
x-y+2z = 0
x+y
=0
Didapatkan : x = -z dan y = z
Jadi vektor tidak nol w dapat dituliskan dalam bentuk :
-z
w
z
z
-1
Jika diambil w
1 dengan mudah dapat dibuktikan
1
bahwa [u,w] adalah himpunan ortogonal dalam W ,
sehingga merupakan basis ortogonal W dan dim W=2.
Teori 2. Jika {v1, v2, ….., vk} adalah basis ortogonal dari
subruang W dari Rn dan w merupakan vektor
dalam W, maka skalar unik c1,…., ck dapat
ditulis : w = c1v1+ …+ ckvk
Menghasilkan : ci
w.vi
vi .vi
untuk i = 1, ……, k
Contoh soal :
Carilah koordinat w
1
2 yang menjadi basis ortogonal
3
dari B = {v1, v2, v3} dengan
2
1 , v2
0
1 , v3
1
-1
-1
1
1
v1
Jawab : c1
w.v1
v1.v1
2 2 3
4 1 1
1
6
c2
w.v2
v2 .v2
0 2 3
0 1 1
5
2
c3
w.v3
v3 .v3
1 2 3
1 1 1
2
3
Jadi : w = c1v1+ c2v2 + c3v3 = 1/6 v1 + 5/2 v2+ 2/3 v3
Sehingga koordinat w yang menjadi basis ortogonal B
adalah :
1
6
w
B
5
2
3
2
Ortonormal
Definisi : himpunan vektor dalam Rn adalah himpunan
ortonormal jika terdapat himpunan ortogonal dari
vektor satuan. Basis ortonormal untuk subruang W dari
Rn adalah basis dari W dan merupakan himpunan
ortonormal.
Catatan : Jika S= {q1,….., qk} adalah himpunan vektor
ortonormal, kemudian q1. q2 = 0 untuk i≠ j dan qi 1
Kenyataannya bahwa setiap qi merupakan vektor satuan
dengan kata lain : qi . qi = 1.
Disimpulkan bahwa : S merupakan ortonormal jika :
0 jika i j
qi .q j
1 jika i j
Contoh soal :
1. Tunjukkan bahwa S = {q1,q2} adalah himpunan
ortonormal dalam R3 jika :
1
1
3
q1
-
1
3
1
1
q1.q1
1
q2 .q2
1
2
18
3
6
1
18
1
3
4
6
1
18
3
1
6
1
dan q2
2
6
1
3
Jawab : q1.q2
6
6
0
ortonormal
1
Jika terdapat himpunan ortogonal, maka dapat dengan mudah
ditentukan himpunan ortonormalnya yaitu menormalisasi setiap
vektor himpunan ortogonal tersebut.
2. Bangun basis ortonormal untuk R3 dari vektor-vektor :
v1
2
1 , v2
0
1 , v3
1
-1
-1
1
1
Jawab : dari penyelesaian soal sebelumnya diketahui bahwa v1,
v2, dan v3 adalah basis ortogonal, jadi tinggal menormalisasi
setiap vektor diperoleh :
2
q1
q3
1
v1
v1
1
v3
v3
2
1
1
6
-1
6
1
6
-
6
1
v2
v2
1
1
2
1
1
1
1
-1
3
1
1
, q2
3
-
0
1
3
1
3
Jadi {q1, q2, q3} merupakan basis ortonormal untuk R3
0
1
2
1
2
Teori 3. Jika {q1, q2 .….., qk} basis ortonormal dari subruang
W dari Rn dan w adalah vektor dalam W, maka :
w = (w. q1 )q1 + (w. q2 )q2 +………+ (w. qk ) qk
Matrik ortogonal
Definisi : Suatu matrik Q ukuran n x n yang memiliki kolom
berbentuk himpunan ortonormal disebut:
matrik ortogonal.
Teori 4. Kolom matrik Q ukuran m x n berbentuk
himpunan ortonormal jika dan hanya jika QTQ = In
Teori 5. Matrik bujursangkar Q adalah ortogonal jika dan
hanya jika Q-1 = QT
Contoh soal :
Tunjukkan bahwa matrik-matrik berikut ini adalah
ortogonal dan carilah matrik inversnya !
A
0 1 0
0 0 1
dan B
1 0 0
cos
sin
sin
cos
Jawab :
Kolom matrik A merupakan vektor-vektor basis standar
dari R3 jelas merupakan ortonormal, sehingga A adalah
ortogonal dan
0 0 1
A
1
AT
1 0 0
0 1 0
Untuk matrik B dilakukan pengecekan sebagai berikut :
T
B B
cos
sin
sin
cos
cos 2
sin 2
sin cos
1 0
0 1
cos
sin
sin
cos
cos sin
cos sin
sin 2
1
Oleh karena itu B adalah ortogonal, dan
B
1
B
T
cos
sin
sin
cos
cos 2
sin cos
Teori 6. Ambil Q matrik nxn, maka pernyataan berikut
ini memiliki arti yang sama :
a. Q adalah ortogonal.
x untuk setiap x dalam R n
b. Qx
c. Qx.Qy x. y untuk setiap x dan y dalam R n
Teori 7. Jika Q adalah matrik ortogonal, maka elemen
baris merupakan himpunan ortonormal.
Teori 8. Ambil Q merupakan matrik ortogonal.
a. Q-1 adalah ortogonal
b. det Q = 1
1
c. Jika λ adalah nilai eigen dari Q, maka
d. Jika Q1 dan Q2 adalah matrik ortogonal nxn,
maka demikian juga untuk Q1Q2
Komplemen ortogonal
Definisi : Ambil W subruang dari Rn. Sebuah vektor v
dalam Rn ortogonal dengan W jika v ortogonal dengan
setiap vektor dalam W. Himpunan semua vektor yang
ortogonal dengan W disebut komplemen ortogonal dari
W ditulis sebagai: W
W = {v dalam Rn: v.w = 0 untuk semua w dalam W}
v
W
w
W dan W = l
Teori 9. Ambil W subruang dari Rn.
a. W adalah subruang dari Rn.
b. ( W ) W
c. W  W = {0}
d. Jika W = span (w1, ……, wk), maka v berada dalam W
jika dan hanya jika v. wi = 0 untuk semua i= 1, …….,k
Teori 10. Ambil A matrik m x n. Komplemen ortogonal dari ruang
baris A adalah ruang null A dan komplemen ortogonal
dari ruang kolom A adalah ruang null AT
(baris ( A))
null ( A) dan ( kolom( A))
null ( A T )
Jadi suatu matrik m x n mempunyai 4 subruang :
 baris (A) dan null (A) : komplemen ortogonal dari Rn
 kolom (A) dan null (AT): komplemen ortogonal dari Rm
Disebut : subruang fundamental dari matrik A mx n
null (A)
null (AT)
0
0
TA
baris (A)
Rn
kolom (A)
Rm
Contoh soal :
1. Carilah basis dari 4 subruang fundamental dari :
A
1 1 3 1 6
2 -1 0 1 -1
-3 2 1 -2 1
4 1 6 1 3
dan buktikan bahwa :
(baris ( A))
null ( A) dan ( kolom( A))
null ( AT )
Jawab :
Dengan mereduksi eselon baris dari A diperoleh :
R
1 0 1 0 -1
0 1 2 0 3
0 0 0 1 4
baris (A) = baris (R)
0 0 0 0 0
Baris (A) = span (r1, r2, r3) dengan :
r1 = {1 0 1 0 -1}, r2 = {0 1 2 0 3}, r3 = {0 0 0 1 4}
Dengan menyelesaikan persamaan homogen Rx = 0
diperoleh :
x
1
x2
x
x3
x4
x5
-s t
-2s-3t
s
-4t
t
-1
-2
s 1
1
-3
t 0
0
0
-4
1
su
tv
Null (A) = span (u, v) dengan :
-1
-2
1
-3
u = 1 dan v = 0
0
0
-4
1
Untuk menunjukkan (baris ( A)) null ( A) cukup dengan
menunjukkan bahwa setiap vektor r ortogonal dengan
u dan v.
Selanjutnya, dapat dilihat bahwa :
r3 = r1 + 2r2 dan r5 = -r1 + 3r2 + 4r4
Dengan demikian r3 dan r5 tidak memberikan kontribusi
apapun pada kolom (R), sehingga vektor kolom r1, r2
dan r4 adalah bebas linier dan merupakan vektor
satuan. Jadi basis kolom A = span{a1, a2, a3} dengan :
a1
1
2
, a2
-3
1
-1
, a4
2
1
1
-2
4
1
1
Perhitungan null(AT) dilakukan dengan reduksi baris :
AT 0
1 2 -3 4 0
1 -1 2 1 0
3 0 1 6 0
1 0 0 1 0
0 1 0 6 0
0 0 1 3 0
1 1 -2 1 0
6 -1 1 3 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Jika y didalam null(AT) dengan y1 = - y4, y2 = -6 y4 dan
y3 = -3y4 , maka dapat diperoleh hasil :
null(AT) =
- y4
1
-6y 4
6
-3y 4
span
y4
3
1
Dengan mudah dapat dibuktikan bahwa vektor tersebut
ortogonal dengan a1, a2, a3 sehingga terbukti bahwa :
(kolom( A))
null ( AT )
2. Ambil W adalah subruang R5 yang dibangun oleh :
w1
1
-3
5 , w2
0
5
-1
1
2 , w3
0
-1
4
-2
3
-1
5
Tentukan basis dari W
Jawab : subruang W dibangun oleh w1,w2 dan w3 sama dengan
ruang kolom dari :
1 -1 0
-3 1 -1
A
5 2 4
0 -2 -1
5 3 5
Teori 10 menyatakan W
Sehingga dapat dihitung :
AT 0
(kolom( A))
null ( AT )
1 -3 5 0 5 0
-1 1 2 -2 3 0
1 0 0 3 4 0
0 1 0 1 3 0
0 -1 4 -1 5 0
0 0 1 0 2 0
y didalam W jika dan hanya jika :
y1= –3 y4 – 4 y5, y2= – y4 – 3 y5 dan y3= –2 y5
Sehingga diperoleh :
-3y4 - 4y5
-3
-4
- y4 - 3y5
-1
-3
0
-2
y4
1
0
y5
0
1
W
Ada 2 vektor basis untuk
-2y5
W
span
Proyeksi ortogonal
Definisi : Ambil W subruang dari Rn dan {u1, u2 .….., uk}
merupakan basis ortogonal W. Untuk setiap vektor v
dalam Rn, maka proyeksi ortogonal v pada W didefinisikan sebagai :
u1.v
u1
u1.u1
proyw (v)
.....
uk .v
uk .uk
Komponen v ortogonal ke W adalah vektor :
perpw (v) v proyw (v)
v
v
perpu(v)
u
u2
proyu(v)
p2
p
p1 W
u1
uk
Contoh soal :
Jika W bidang dalam R3 dengan persamaan x-y+2z=0
3
dan v
Carilah proyeksi ortogonal v pada W dan
-1
2
komponen v yang ortogonal ke W !
Jawab : W terdiri dari vektor dengan bentuk :
y 2z
y
z
1
y 1
-2
z 0
0
1
Diperoleh vektor basis W :
-1
1
u1=
1
dan u2 =
1
1
0
Proyeksi ortogonal v pada W adalah :
proyw (v)
u1.v
u1
u1.u1
1
2
1
2
0
u2 .v
u2
u2 .u2
-1
2
1
3
1
v
perpw(v)
5
3
1
3
- 23
proyw(v)
W
Dan komponen v ortogonal pada W adalah :
3
5
3
4
3
perpw(v) = v – projw(v)= -1
1
3
- 43
2
- 23
8
3
Dengan mudah dapat di tunjukkan bahwa projw(v)
berada dalam W karena hasilnya memenuhi persamaan
bidang.
Demikian pula halnya dengan perpw(v) adalah
ortogonal ke W karena merupakan perkalian skalar dari
vektor normal 1 terhadap W.
-1
2
Dekomposisi ortogonal
Teori 11. Jika W merupakan subruang dari Rn dan v
adalah vektor dalam Rn , maka ada vektor-vektor unik w
dalam W dan w dalam W
dapat dituliskan :
v=w+w
Teori 12. Jika W merupakan subruang dari Rn, maka :
dim W + dim W = n
Faktorisasi QR
Teori 13. Jika A merupakan matrik mxn yang memiliki
kolom bebas linier, maka A dapat difaktorisasi sebagai
QR dengan : Q adalah matrik mxn yang memiliki kolom
ortogonal dan R adalah matrik segitiga atas yang
invertible.
Untuk melihat terjadinya faktorisasi QR, misalkan a1,…,an adalah
kolom bebas linier dari matrik A dan q1,…,qn adalah vektor
ortonormal yang diperoleh dari normalisasi matrik A dengan
menggunakan metode Gramm-Schmidt.
Untuk setiap i = 1,…..,n : Wi = span (a1,…,ai ) = span (q1,…,qi )
Sehingga jika terdapat skalar r1i,r2i…,rii dapat dituliskan :
ai = r1iq1 + r2iq2 + …..+riiqi untuk i= 1, ……, n
Diperoleh hasil :
a1 = r11q1
a2 = r12q1 + r22q2
an = r1nq1 + r2nq2 + …..+rnnqn
Dituliskan dalam bentuk matrik sebagai berikut :
r11 r12 ... r1n
A
a1 a2 .... an
q1 q2 .... qn
0 r22 ... r2 n
0
0 ... rnn
QR
Contoh soal :
Cari faktorisasi QR dari : A
1 2 2
-1 1 2
-1 0 1
1 1 2
Jawab :
Subruang W dibangun oleh x1,x2 dan x3 sama dengan ruang
kolom dari matrik A. {x1,x2, x3} adalah himpuan bebas linier,
sehingga merupakan basis dari W.
Ambil v1 = x1, selanjutnya dengan metode Gramm-Schmidt
dihitung komponen x2 yang ortogonal pada W1= span (v1)
v2
perpw1 ( x2 )
x2
v1.x2
v1
v1.v1
2
1
3
2
1
2 -1
4 -1
1
3
2
0
1
1
2
1
2
Untuk menghilangkan pecahan pada v2 dilakukan perkalian skalar tanpa merubah hasil akhirnya. Dengan demikian
3
v2 dirubah menjadi :
v2
2v2
3
1
1
Selanjutnya dihitung komponen x3 ortogonal pada W2
= span (x1 ,x2) = span (v1 ,v2)= span (v1 , v2 ) menggunakan
basis ortogonal (v1 , v2 )
v3
perpw2 ( x3 ) x3
v1.x3
v1
v1.v1
v2 .x3
v2
v2 .v2
2
2
1
2
1
1 -1
4 -1
1
3
15 3
20 1
1
- 12
0
1
2
1
Kembali dilakukan penskalaan ulang :
v3
2v3
-1
0
1
2
Akhirnya diperoleh basis ortogonal v1 , v2 , v3 untuk W
Untuk mendapatkan basis ortonormal dilakukan
normalisasi setiap vektor
q1
1
v1
v1
1
2
1
1
2
-1
- 12
-1
- 12
1
1
2
3 5
3
q2
1
v2
v2
1
3
2 5
1
3 5
5
1
5
- 6
-1
q3
1
v3
v3
1
6
0
0
1
6
2
6
10
10
10
10
6
6
3
1
Jadi Q
q1 q2 q3
3 5
2
- 12
3 5
- 12
5
1
5
2
10
10
10
10
-
6
6
0
6
6
6
6
A = QR, untuk mencari R suatu matrik segitiga atas, digunakan
kenyataan bahwa Q memiliki kolom orto-normal sehingga QTQ = I.
Oleh karena itu : QTA=QTQR = IR=R
Diperoleh hasil akhir :
1
R
QT A
2
3 5
-
-
10
6
6
1
3 5
2
10
0
-
1
5
6
2
10
6
1
5
2
10
6
3
1 2 2
-1 1 2
-1 0 1
1 1 2
2 1
0
5
0
0
1
2
3 5
6
2
2
 Diagonalisasi ortogonal dari matrik simetri
Definisi : Matrik bujursangkar A dapat didiagonalisai
ortogonal jika terdapat matrik ortogonal Q dan matrik
diagonal D sehingga diperoleh : QTAQ = D
Teori 14. Jika A dapat didiagonalisai ortogonal , maka A
adalah matrik simetri
Bukti :
Karena Q-1 = QT diperoleh QTQ = I = QQT sehingga :
QDQT = QQTAQQT = IAI = A
Tetapi juga : AT= (QDQT)T = (QT)T DTQT = QDQT = A
Setiap matrik diagonal adalah simetri, maka A simetri .
Latihan soal :
1. V=R3 dengan perkalian skalar <a,b>= 2a1b1 + a2b2 + 3a3b3
Tentukan proyeksi ortogonal a= (1,2,1), b= (1,1,1)
2. V=R3 dengan perkalian skalar <a,b>= 2a1b1 + a2b2 + a3b3
W subruang linier yang dibangun oleh {(-1,1,1), (1,1,1)}
dan v = (1,2,3)
Tentukan proyeksi ortogonal v pada W