SUDUT SEGITIGA PADA BIDANG NON-EUCLID

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
SUDUT SEGITIGA PADA BIDANG NON-EUCLID
( MATEMATIKA DASAR )
Sunaryo Oentara*
I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
Sebuah artikel di internet menuliskan bahwa jumlah sudut pada segitiga tidak selalu
berjumlah 1800 , penulis cukup penasaran dan mencoba membuktikan kejadian tersebut.
Ternyata ketika penulis membuat segitiga pada bidang bola jumlah sudutnya memang
berbeda, tidak berjumlah 180 0. Hal ini juga terdapat pada buku ensiklopedia matematika
& peradaban manusia terbitan departemen pendidikan Nasional. Keunikan karya tulis
ini juga karena hanya sedikit atau jarang ilmuwan yang meneliti tentang perbedaan
sudut ini. Berdasarkan hal-hal diatas yang menyebabkan penulis tertarik untuk membuat
karya tulis ilmiah dengan mengambil judil sudut segitiga pada bidang non-euclid, yang
nantinya penulis akan hubungkan dengan berbagai macam bentuk segitiga hingga dapat
dibandingkan satu dengan lainnya.
1.2. Rumusan Masalah
Adapun yang menjadi rumusan permasalahan dalam penulisan ini adalah:
a. Mengapa jumlah besar sudut segitiga pada bidang Non-Euclid tidak berjumlah
1800 ?
b. Factor-faktor apa saja yang menyebabkan jumlah besar sudut segitiga pada
bidang Non-Euclid tidak 1800 ?
c. Apakah jumlah besar sudut segitiga pada bidang Non-Euclid ini terjadi pada
semua jenis segitiga atau tiak?
d. Bagaimana jumlah sudut segitiga pada bangun ruang sisi lengkung ini?
e. Berapa jumlah besar sudut maksimal dan sudut minimal dari segitiga pada
bidang Non-Euclid?
*
Penulis adalah siswa SMA Xaverius Jambi
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
1.3. Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penulisan ini adalah untuk menambah wawasan dan
memberikan hasil maksimal serta berharap menemukan beberapa pola atau rumus
dalam segitiga non-euclid, sehingga mampu berpartisipasi dalam kemajuan ilmu
pengetahuan.
1.4. Manfaat penelitian
Adapun manfaat yang diharapkan adalah agar penulis dapat menemukan beberapa
hal penting dalam penambahan ilmu pengetahuan dalam bidang geometri khususnya
segitiga pada bidang non-euclid.
1.5. Metode Penelitian
Metode Yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode perbandingan, dimana
dalam penelitian ini akan dibandingkan beberapa segitiga dengan sudut yang kongruen
dan sebangun pada bidang Euclid dan Non-Euclid. Dengan metode pendekatan
kualitatif.
II. KAJIAN TEORI
2.1. Sudut
Sudut adalah suatu cara untuk mengungkapkan besarnya perpindahan atau
perputaran yang terjadi pada suatu garis atau objek lainnya. Sudut bias dibentuk oleh 2
buah garis lurus yang bertemu pada suatu titik, atau dalam cara lain seperti yang terjadi
pada sebuah kendaraan yang berjalan membentuk sudut. Satu putaran penuh pada saat
suatu objek berputar dari suatu titik asalnya adalah 3600, sudut siku-siku besarnya 900,
sudut yang kurang dari 900disebut sudut lancip, sudut antara 900 dan 1800 disebut sudut
tumpul. Sudut yang lebih dari 1800 disebut sudut reflex.
2.2. Garis Lurus
Bangun paling sederhana dalam geometri adalah garis. Garis hanya memiliki satu
deimensi, yaitu panjang.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2.3. Segitiga
Segitiga atau segi tiga aalah sebuah bangun yang mempunyai tiga sisi lurus dan
tiga sudut. Segitiga memiliki jumlah garis lurus yang paling sedikit yang dibutuhkan
untuk membuat bangun ruang yang tertutup.
Segitiga pada dasarnya dapat diklasifikasikan menjadi 2 yakni:
a. Berdasarkan panjangnya
-
Segitiga sama sisi adalah segitiga yang ketiga sisinya sama penang, sebagai
akibatnya semua sudutnya juga sama besarnya yaitu 600.
-
Segitiga sama kaki adalah segitiga yang dua daru tiga sisinya sama
panjang,segitiga ini memiliki dua sudut yang sama besar.
-
Segitiga sembarang adalah segitiga yang ketiga sisinya berbeda panjangnya.
Besar semua sudutnya juga berbeda.
Segitiga sama sisi
segitiga sama kaki
segitiga sembarang
b. Berdasarkan besar sudutnya.
-
Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu besr sudutnya sama
dengan 900. Sisi didepan sudut 900 disebut hipotenusa atau sisi miring.
-
Segitiga lancip adalah segitiga yang besar semua sudut <900
-
Segitiga tumpul adalah segitiga yang besar salah satu sudutnya >900
Segitiga siku-siku
segitiga Tumpul
Segitiga
Lancip
2.4. Non-euclid Geometri
Sebuah geometri non-euclidean adalah study tentang bentuk dan konstruksi yang
tidak petta langsung kesetiap system Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh rieman tensor
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri Non-Euclidean termasuk geometri
hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean.
Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk
mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua
dimensi yang kedua tegak lurus kebaris ketiga; dalam geometiri Euclidean baris tetap
pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan
dkenal sebagai parallel. Dalam geometri hiperbolik mereka “kurva jauh’ dari satu sama
lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titiktitikpersimpangan dengan tegak lurus umum. Garis ini sering disebut ultraparalels. Noneuclidean geometri dapat dipahami dengan membayangkan gambar tokoh geometris
pada permukaan melengkung, misalnya permukaan bola atau permukaan dalam
mangkuk.
III. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
3.1. Hasil penelitian
Membandingkan jumlah sudut segitiga yang kongruen pada bidang Euclid dan
Non-Euclid pada Segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, segitiga samakaki.
Langkah kerja:
a. Menyediakan peralatan utama : bola plastik, busur, spidol, dan kertas/karton.
b. Menggambar segitiga siku-siku dengan panjang 3cm dan tinggi 4 cm di bola
plastik juga dikertas/karton. Segitiga sama sisi dengan panjang 4cm dengan cara
melukis agat setepat mungkin membentuk segitiga sama sisi dibola plastik juga
di kertas/karton. segitiga sama kaki dengan panjang 4cm, 4 cm, dan 3 cm
dengan cara melukis agar setepat mungkin membantuk segitiga sama sisi di bola
plastik juga dikarton/kertas.
c. Potong segitiga pada karton dan bola
d. Mengukur sudut yang dimiliki kedua instrument tersebut
e. Membandingkan umlah sudut yang dimiliki benda tersebut.
Tabel 1.
No
1
Hasil Percobaan pada media kertas dan bola
Jenis segitiga
Segitiga siku-siku
Media
Kertas
Panjang
segitiga
3,4,5 cm
Besar sudut
900,640,360
Jumlah sudut
1800
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
2
3
Segitiga sama sisi
Segitiga sama kaki
Bola
3,4,5 cm
900,630,480
2010
Kertas
4,4,4 cm
600,600,600
1800
Bola
4,4,4 cm
660,660,660
1980
Kertas
4,4,3 cm
460,680,680
1800
Bola
4,4,3 cm
480,700,700
1880
Dari hasil diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa jumlah sudut segitiga pada
bidang non-euclid dalam hal ini bola bukan berjumlah 1800 seperti segitiga pada bidang
Euclid dalam hal ini kertas biasa sebagai bahan percobaan. Namun meskipun
demikiansudut siku-siku pada segitiga siku-siku memiliki sudut yng sama baik pada
bidang Euclid maupun non-euclid. Pada segitiga sama sisi ketiga sudutnya selalu sama
walaupun tidak berjumlah 1800. Juga demikian dengan segitiga sama kaki sudut yang
sama yag digambarkan pada bidang Euclid juga sama pada bidang non-euclid meskipun
besar sudutnya tidak identik.
Membandingkan jumlah sudut segitiga yang sebangun pada bidang Non-Euclid yang
sama, pada segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, segitiga samakaki
Langkah kerja:
a. Menyediakan peralatn utama : 2 bola plastik dengan ukuran yang sama, busur,
sspidol dan kertas/karton
b. Menggambarkan segitiga dengan ukuran:Segitiga siku-siku panjang 3 cm dan
tinggi 4 cm dibola plastik dan panjang 4,5cm dan tinggi 6 cm dibola yang
lain.Segitiga sama sisi panjang 4cm dan 5cm di bola yang lain.Segitiga sama
kaki panjang 3vm,3cm,4cm dibola plastik dan 4,5cm,4,5cm dan 6cm dibola
yang lain.
c. Memotong segitiga di kedua bola tersebut.
d. Mengukur sudut yang dimiliki kedua instrument tersebut
e. Membandingkan jumlah sudut yang dimiliki benda tersebut.
Tabel 2.
Hasil percobaan Membandingkan jumlah sudut segitiga yang sebangun
pada bidang Non-Euclid yang sama
No
Jenis segitiga
Media
Panjang
segitiga
Besar sudut
Jumlah
sudut
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
1
Segitiga siku-siku
2
Segitiga sama sisi
3
Segitiga sama kaki
Bola
3,4,5 cm
900,630,480
2010
Bola
4,5; 6;7,5 cm
900,780,560
2240
Bola
4,4,4 cm
660,660,660
1960
Bola
5,5,5 cm
720,720,720
2160
Bola
6,6,6 cm
760,760,760
2280
7,7,7 cm
1120,1120,112 0
3360
Bola
4,4,3 cm
480,700,700
1880
Bola
6;6;4,5 cm
620,720,720
2060
Dari tabel diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa semakin besar segitiga yang
dibuat meski sebangun akan menghasilkan jumlah sudut yang lebih besar.
Keistimewaan segitiga siku-siku, yakni salah satu sudutnya adalah 900 tetap berlaku
disini, demikian pula untuk segitiga sama sisi yang ketiga sisinya sama meskipun tidak
600 dan juga segitiga sama kaki yang kedua sudutnya selalu sama.
Membandingkan jumlah sudut segitiga yang kongruen pada bidang Non-Euclid yang
sama berbeda ukuran, pada segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, segitiga samakaki
Langkah kerja :
a.
Menyediakan peralatan utama; 2 buah bola plastik dengan ukuran yang berbeda,
busur,spidol dan kertas/karton.
b.
Mengambar segitiga siku-siku dengn panjang 3 cm dan tinggi 4 cmdi kedua
bola. Segitiga sama sisi panjang 4 cm dengan car melukis agar setepat mungkin
membentuk segitiga sama sisi pada kedua bola, dan segitiga sama kaki panjang
4 cm,4cm dan 3 cm pada kedu bola tersebut.
c.
Memotong segitiga di kedua bola tersebut.
d.
Mengukur sudut yang dimiliki kedua instrument tersebut
e.
Membandingkan jumlah sudut yang dimiliki benda tersebut.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
Tabel 3.
Membandingkan sudut segitiga yang kongruen pada bidang Non-Euclid
yang sama berbeda ukuran
N
o
1
2
3
Jenis segitiga
Media
Jari-jari
Panjang
segitiga
Besar sudut
0
0
Jumlah
sudut
0
2580
Segitiga siku-
2,25cm
3,4,5 cm
90 ,94 ,74
siku
3,5 cm
3,4,5 cm
900,63 0,480
2010
9 cm
3,4,5 cm
900,51 0,490
1800
2,25 cm
4,4,4, cm
1070,1070,107 0
3210
3,5 cm
4,4,4 cm
660,66 0,660
1980
9 cm
4,4,4 cm
600,60 0,600
1800
2,25 cm
4,4,3 cm
790,103 0,1030
2850
3,5 cm
4,4,3 cm
480,70 0,700
1880
9 cm
4,4,3 cm
680,68 0,440
1800
Segitiga sama
sisi
Segitiga sama
kaki
Bola
Dari tabel diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa semakin besar bidang non-euclid
yang digunakan maka semakin jumlah sudut semakin mendekati 1800 sementara
asemakin kecil bidang Non-Euclid yang digunakan maka semakin besar dan
menjauhi 1800.
Membandingkan jumlah sudut segitiga yang kongruen pada jenis bidang non-euclid
yang berbeda.
Tabel 4.
Perbandingan jumlah sudut segitiga yang kongruen pada jenis bidang
non-euclid yang berbeda.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
No
1
2
3
Bola
3,4,5 cm
900,630,480
Jumlah
sudut
2010
Kerucut
3,4,5 cm
900,510,490
1800
Tabung
3,4,5 cm
900,510,490
1800
Jenis segitiga
Segitiga siku-siku
Segitiga sama sisi
Segitiga sama kaki
Media
Panjang segitiga
Besar sudut
0
0
0
1960
Bola
4,4,4 cm
66 ,66 ,66
Kerucut
4,4,4 cm
600,600,600
1800
Tabung
4,4,4 cm
600,600,600
1800
Bola
4,4,3 cm
480,700,700
1880
Kerucut
4,4,3 cm
680,680,440
1800
Tabung
4,4,3 cm
0
0
68 ,68 ,44
0
1800
Dari hasil percobaan seperti ditnjukkan dalam tabel diatas memperlihatkan
bahwa sudut pada bangun ruang lain, seperti tabung dan kerucut adalah tetap
berjumlah 1800 berbeda dengan jumlah sudut segitiga pada bidang bola.
3.2. Pembahasan
3.2.1. Jumlah besar sudut segitiga pada bidang non-euclid tidak berjumlah 1800.
Jumlah besar sudut segitiga pada bidang Euclid yang berdmensi 2 selalu
berjumlah 1800, tetapi jumlah sudut segitiga pada bidang non-euclid tidak. Ini
dikarenakan segitiga pada bidang Non-Euclid yang berdimensi 3 tidak sama. Segitiga
pada bidang Euclid adalah pembentukan 3 garis lurus, sementara garis lurus segitiga
pada bidang Non-Euclid, sesungguhnya bvila dipotong bukan merupakan garis lurus
melainkan garis lengkung yang berbentuk seperti juring lingkaran. Oleh karena itu,
sudut segitiga pada bidang Non-Euclid lebih dari 1800.
3.2.2. Factor-faktor yang menyebabkan segitiga pada bidang Non-Euclid tidak 1800
dan jumlah besar sudut segitiga pada bidang Non-Euclid tidak 1800.
Dari beberapa penelitian yang telah dilakukan dapat ditarik kesimpulan bahwa
factor-faktor penyebab jumlah besar sudut segitiga pada bidang Non-Euclid tidak 1800
adalah:
a.
Semakin besar segitiga yang dibuatpada bidang noneuclid terutama bola,
maka kelengkungan semakin bertambah, sehingga jumlah besar sudutnya
semakin lebih dari 180 0, kebalikannya semakin kecil segitiga yang dibuat
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
pada bidang Non-Euclid maka kelengkungan semakin kecil dan jumlah
besar sudutnya semakin dekat atau sama dengan 1800.
b.
Semakin besar bidang Non-Euclid yang digunakan, terutama bola maka
semakin kecil juga kelengkungan dan jumlah besar sudut semakin kecil.
Berbalikan jika bidang Non-Euclid semakin kecil, maka bidang semakin
lengkung, sehingga jumlah besar sudut segitiga semakin besar.
Jenis segitiga tidak mempengaruhi jumlah besar sudut, tetapi jenis segitiga
tertentu memiliki keistimewaan, seperti halnya segitig sama sisi yang ketiga sisinya
sama, demikian pula pada bidang Non-Euclid, segitiga sama sisi pada bidang NonEuclid memiliki ketiga sudut yang sama, meskipun tidak sebesar 60 0. Segitiga sama
kaki yang kedua sudutnya sama pada bidang Euclidpun terjadi pada segitiga bidang
Non-Euclid, meskipun sudutnya tidak identik. Sementara pada segitiga siku-siku, pada
bidang Non-Euclid juga memiliki satu sudut siku-siku dan dua sudut yang lebih besar
dari pada segitiga siku-siku pada bidang Euclid.
Bangun ruang Non-Euclid, yaitu bola memiliki keistimewaan jumlah besar sudut
yang lebih dari 1800, sementara bidang lain seperti kubus, balok, kerucut maupun
tabung. Penyebab terjadinya hal ini dapat kita hubungkan dengan Hairy ball
theorem(teorema bola berbulu yang berbunyi:
“…diberikan vector-vektor kontiniu yang menyinggung permukaan bola
(sphere)pada dimensi tiga, maka terdapat titik pada permukaan bola yang tidak
disinggung vector”
Dari teorema diatas dapat ditarik kesimpulan bahwa bola tidak memiliki titik
sudtu, sehingga bola disebut sebagai segi-n dalam segi-n, maka tidak ada garis lurus
yang jelas jika dieuclidkan, oleh karena itu garis lurus yang digambarkan oleh bola
sesungguhnya ada garis yang berbentuk cembung dan garis lurus yang sebenarnya
adalah garis cekung pada bola.
3.2.3. Jumlah besar sudut maksimal dan sudut minimal dari segitiga pada bidang NonEuclid.
Semakin kecil segitiga yang dibuat maka kelengkungan semakin kecil, hingga
yang terkecil adalah kembali menjadi sebuah garis lurus dan tidak mungkin cembung.
Oleh karena itu jika di euclidkan maka sudut minimumnya adalah terbentuk dari tiga
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
http://www.foxitsoftware.com For evaluation only.
garis yang benar-benar lurus yang sama dengan segitiga pada bidang datar. Maka kita
dapat simpulkan bahwa sudut terkecil dalam segitiga pada bidang Non-Euclid adalah
1800. Tetapi perlu diingat bahwa semakin kecil bidang Non-Euclid semakin mustahil
kita membuat segitiga dalam bidang tersebut.
IV. PENUTUP
4.1. Kesimpulan
Jumlah besar sudut segitiga pada bidang non-euclid tidak 1800, hal ini dipengaruhi
oleh kelengkungan yang dimiliki oleh benda tersebut. Besar sudut segitiga pada
bidang bidang Non-Euclid dipengaruhi oleh besar segitiga dan bidang NonEuclidnya yang digunakan. Aturan beberapa jenis segitiga seperti segitiga sama
kaki, sama sisi dan siku-siku pun dimiliki oleh segitiga tersebut jika dilukiskan
pada bidang non-euclid, meskpun jumlah besar sudutnya lebh dari 1800 itupun
berlaku hanya pada bidang Non-Euclid dengan segi-n. dari asil penelitia juga
didapatkan bahwa segitiga pada bidang Non-Euclid memiliki jumlah besar sudut
minimal 1800 dan jumlah besar sudut maksimal 900 0.
4.2. Saran
Dalam penulisan karya ilmiah ini, penulis banyak menemukan kesulitasn terutama
dalam hal mencari bahan Non-Euclid yang tepat sebagai media untuk penglukisan
segitiga pada bidang non-euclid. Karena harus mencari bidang Non-Euclid lain
seperti kerucut plastic, yang memiliki jari-jari yang sama dan tingginyapun harus
sama dengan diameter lingkaran dan penulis juga mengalami kesulitan dalam
penglukisan segitiga karena untuk menghasilkan ukuran yang tepat penulis tidak
bias dengan mudah mengukur menggunakan oenggaris, karena kelengkungannya
dari bidang Non-Euclid tersebut. Penulis juga berharap agar karya ilmiah ini dapat
dilanjutkan dan dikembangkan demi kemajuan ilmu pengetahuan.
DAFTAR PUSTAKA
www.wikipedia.com
Wahyudin dan Sudrajat, 2003, Ensiklopedia Matematika & Peradaban Manusia,
Departemen Pendidikan Nasional: Jakarta.