Ondolan S P S

MATEMATIKA Dihimpun oleh : Ondolan S P S (alumni SMUK-3)
1.
Tentukan persamaan berikut : (x2 +x) ( x2 + x +1) = 2
2
Buktikan (a+1)(b+!)(c+1) + (a-1)(b-1)(c-1) = 2 (a+b+c+abc)
3.
Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut :
X2 + y2 = 10 dan x + y = 4
4.
Buktikan (x-y)5 + (x-y)3 = 0 jika dan hanya jika x = y
5
Titik R,S,U,V yang masing-masing ada pada sisi KL, LM,MN,dan NK
persegipanjang KLMN, membagi masing-masing ruas garis itu dalam nisbah 3 :
1.Jika bentuk datar KLMN mempunyai luas yang sama dengan A, berapa luas
RSUV ? Buktikan juga bahwa RSUV adalah suatu jajarangenjang.
6
Buktikan untuk setiap bilangan asli n jika tidak habis dibagi n maka 1996n
+1997n + 1998n + 1999n habis dibagi 5
7
Carilah penyelesaian ketidaksamaan (x3 + x2 + 1)2 > 4 x3 (x-1)2
8
Untuk n bilangan bulat berapa sehingga 11 ( 14n) + 1 adalah bilangan prima ?
9
Jika f(x) fungsi bilangan real yang tidak didefinisikan pada x = 0, dimana f(x) +2
f(1/x) = 3x.
Tentukan f(x) .
10
11
Tanggal 14 july 1998 adalah tanggal spesial dimana jika tanggal ini ditulis dalam
bentuk 14/7/98 maka dapat terlihat bahwa 14 x 7 = 98, Apakah ada tanggal lain
yang mempunyai sifat sama seperi diatas?Jelaskan. Ada berapa tanggal spesial
antara 1 Januari 1900 sampai dengan 31 Desember 1999 ?
Jika n dan k bilangan asli dan k ganjil, tunjukan bahwa :
1k + 2k + 3k + … + nk habis dibagi oleh 1 + 2 + 3 + … + n
12
Tentukan Penyelesaian (x,y) dari persamaan :
X3 + Y3 = 1 dan x4 + y4 = 1
13
Tentukan nilai minimum dari f(x) = (3 sin x - 4 cos x - 10 ) ( 3 sin x + 4 cos x 10 )
14
Dalam sebuah pesta dansa yang dihadiri oleh 30 orang, terjadilah beberapa jabat
tangan. Tidak ada orang yang bersalaman lebih dari sekali.Tunjukan bahwa selalu
ada dua orang yang berjabat-tangan dengan jumlah sama.
15
16
Jika dalam suatu segitiga ABC, sudut A adalah dua kali sudut B maka buktikan
a2 = b (b+c)
Untuk x,y,z bilangan nyata, tentukan nilai x,y,z yang memenuhi
X + yz = 2
Y + xz = 2
Z + xy = 2
17 Untuk n bilangan asli, persamaan x2 + (2n+1) x + n2 = 0 mempunyai akar-akar an
dan bn. Tentukan nilai :
1
1
1
+
+
+ ... + 1
(a3+1)(b3+1)
(a4+1)(b4+1) (a4+1)(b4+1)
(a97+1)(b97+1)
18
1
1+
1+2
+
1
……
=.....…
1
1+2+3
1+2+3+...+1997
19 Tentukan himpunan dari penyelesaian dari  x - 7  +  x + 3  = 10
20 Suatu bilangan terdiri dari 6 angka dengan angka terdepannya adalah 1. Jika
angka 1 ini dipindahkan kebelakang menjadi angka satuan, maka diperoleh
bilangan baru yang nilainya 3 kali bilangan semula. Tentukanlah bilangan itu !
21 Buktikan jika m>1 dan n >1 maka m4 dan 4 n4 tidak mungkin bilangan prima
22 Berapa hasil dari 1002 - 992 + 982 - 972 + … + 22 - 12
23 Jika a>0 dan b>0 dan c>0, dan a+b+c=2, Buktikan ab+bc<1
24 Tentukan jumlah dari : 2/3 -4 + 4/9 - 4/7 + 8/27 - 4/49 + … = ?
25 Tentukan angka satuan dari 72020
26 Jika x1999 = 1 mempunyai akar a, dimana a  1, tentukan : 1+a2+a3 +a4 +a5 + … +
a1998
27 Tentukan sin2 0 + sin2 1 +sin2 2 + sin2 3 + … + sin2 90 = ?
28 Buktikan bahwa 2n6k + 4n2k + 11 tidak mungkin bilangan kuadrat
KETERANGAN :
Soal 1-5 : Seleksi IMO 1'97; Soal 6-7 : Seleksi IMO2 '97; Soal 8-13,24-27: Soal
Olympiade Math ASEAN'98; Soal 14-15 : latihan IMO'96; Soal 16-18 :Semifinal
Komma'97;Soal 19-20:Final Komma'98;Soal 21-23 : Mat Ria Bogor'98; Soal 28:Final
Komma'97 :-) ----OSPS'99----- :-)
Soal IMO (Bandung) 2000
1. Segitiga ABC lancip, F kaki garis tinggi dari C, M tengah2 AB. Sudut MBC =
sudut ACF. BM = CF. Buktikan ABC sama sisi --> medium
2. Adakah bilangan asli m dan n yg memenuhi m^2 + (m+1)^2 = n^4 + (n+1)^4 -->
medium
3. Buktikan (ab+cd)^2 <= (a^2 + c^2)(b^2 + d^2)... kapan tanda kesamaan berlaku ? -> easy
Soal latihan
1. Point P is in square ABCD such that AP = 3, BP = 2, CP = 1. Calculate sudut BPC
!--> medium
2. A square of size 441 square units is inscribed in the right triangle ABC (siku2 di C)
with sides parallel to AC and BC. A square of size 440 square untis is inscribed in the
same triangle with sides parallel to hypotenuse. Find AC + CB --> hard
3. Prove that for any set of n postive integers, one can choose one or several of these
numbers such that their sum is divisible by n. --> easy
4. 41 rooks are placed on a 10 x 10 cehssboard. Prove that you can choose 5 of them,
such that no two attack each other. --> hard
5. Determine f, if for all real x and y, f(x)f(y) - f(xy) = x+y --> easy
6. Prove that sin^2(a+c) + sin^2(b+c) - 2 cos(a-b)sin(a+c)sin(b+c) is independent of c
--> easy
7. If x^5 = 1 and x tidak sama dengan 1, calculate (1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4) --> easy
8. The sum of three numbers in geometric progression is 39 and the sum of their
squares is 741. Find them. --> easy
9. Let S1 be the sequence 1,2,3,4,5,6,... S2 the sequence 2,3,4,5,6,... and S3 the
sequence 3,3,5,5,7,7,...
In general, S(n+1) is obtained by taking Sn and adding 1 to each integer that is
divisible by n. Find all n such taht the first n-1 integers of Sn are n. --> hard