Pendekatan Metode Column Generation pada Vehicle Routing

Pendekatan Metode Column Generation pada Vehicle Routing Problem dengan
Soft Time Windows
Nurul Nafartsani1, Yudi Satria2, Helen Burhan3
1
Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia
Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia
3
Departemen Matematika, FMIPA UI, Kampus UI Depok, 16424, Indonesia
2
1
[email protected], [email protected], [email protected]
Abstrak
Optimisasi rute kendaraan untuk pengantaran barang merupakan salah satu cara untuk mengatasi masalah
transportasi logistik di daerah perkotaan. Bentuk optimisasi rute pengantaran barang yang mempertimbangkan waktu
pelayanan yang dapat berada diluar interval waktu yang sudah ditentukan dengan dikenakan biaya penalty disebut
sebagai Vehicle Routing Problem with Soft Time Windows (VRPSTW). VRPSTW merupakan masalah optimisasi
kombinatorik yang bertujuan untuk mencari rute dengan biaya minimum. Pencarian solusi dari VRPSTW disini
menggunakan metode column generation yang dikombinasikan dengan labeling algorithm. Metode column
generation mendekomposisi masalah menjadi master problem dan subroplem. Bentuk master problem dari
VRPSTW berupa set partitioning problem dan subproblem yaitu Elementary Shortest Path Problem with Resource
Constraint and Late Arrival Penalties (ESPPRCLAP).
A Column Generation Approach to Vehicle Routing Problem with Soft Time Windows
Abstract
Route optimization is one of city logistics measures to optimize logistics and the transportation systems. This type of
route optimization problem where deliveries are possible outside the time windows with some penalty cost uses the
form of Vehicle Routing Problem with Soft Time Windows (VRPSTW). VRPSTW is a combinatorial problem
which aims to find a set of routes with minimum delivery cost. Column generation method is used to obtain solution
for VRPSTW. To use column generation method to solve VRPSTW, the model formulation of VRPSTW is
decomposed into master problem and subproblem. The master problem of the VRPSTW forms a set partitioning
problem and Elementary Shortest Path Problem with Resource Constraint and Late Arrival Penalties (ESPPRCLAP)
as a subproblem.
Keywords: route optimization, vehicle routing problem, column generation
Pendahuluan
Kegiatan manusia yang sering terpusat di daerah perkotaan mengakibatkan meningkatnya
permintaan terhadap jasa transportasi, baik untuk manusia maupun untuk barang. Untuk
memenuhi kebutuhan manusia terhadap barang, dilakukan pendistribusian barang yang seringkali
menggunakan truk atau kendaraan besar. Pengangkutan barang yang dilakukan dengan kendaraan
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
besar termasuk dalam masalah sistem transportasi logistik. Beberapa masalah yang dihadapi
sistem transportasi logistik adalah perannya yang cukup tinggi dalam peningkatan kepadatan lalu
lintas, dampak buruk bagi lingkungan, keselamatan lalu lintas dan konsumsi energi yang
digunakan.
Masalah yang dihadapi oleh sistem transportasi logistik tersebut termasuk dalam masalah
city logistics. Masalah city logistics merupakan suatu proses untuk mengoptimalkan logistik dan
kegiatan transportasi dalam area perkotaan dengan mempertimbangkan biaya yang dikeluarkan
dan manfaat bagi setiap pihak yang memiliki kepentingan, tidak hanya dalam konteks biaya
tetapi juga dalam lingkungan lalu lintas, kepadatan lalu lintas, dan konsumsi energi yang
digunakan. (Taniguchi, 2008).
Berdasarkan Taniguchi (2008), pihak yang memiliki kepentingan dalam masalah city
logistics diantaranya adalah produsen, penyedia layanan logistik atau distributor, masyarakat, dan
pemerintah. Masing-masing pihak pemangku kepentingan memiliki tujuan yang berbeda-beda
dalam masalah city logistics. Masyarakat terdiri dari masyarakat yang merupakan pelanggan
layanan logistik dan yang bukan merupakan pelanggan. Masyarakat yang merupakan pelanggan
berharap agar mendapatkan barang sesuai dengan permintaan dalam waktu yang sudah
ditentukan, sedangkan masyarakat yang bukan pelanggan menginginkan agar mendapat
seminimum mungkin dampak dari pengangkutan barang dengan kendaraan besar. Pihak
pemerintah mengatur dampak kendaraan besar bagi lingkungan dan masyarakat. Penyedia
layanan logistik dan distributor yang terlibat dalam pendistribusian barang diharapkan dapat
mengurangi dampak dari penggunaan truk besar bagi lingkungan dan mengurangi biaya
operasional pengangkutan barang. Salah satu upaya yang dapat dilakukan oleh penyedia layanan
logistik adalah melakukan optimisasi rute pengantaran barang sehingga tercapai keoptimalan
dalam sistem transportasi logistik.
Masalah optimisasi rute pengantaran barang dapat dibentuk menjadi Vehicle Routing
Problem (VRP). VRP merupakan masalah optimisasi rute yang bertujuan untuk mencari rute
optimal untuk sejumlah kendaraan dalam melayani sejumlah pelanggan dengan jumlah
permintaan tertentu. Permasalahan optimisasi rute yang menambahkan kendala waktu pelayanan
yang berada dalam suatu interval waktu tertentu dikenal dengan Vehicle Routing Problem with
Time Windows (VRPTW). Salah satu bentuk variasi dari VRPTW adalah adanya keringanan dari
time windows yang berlaku, yaitu Vehicle Routing Problem with Soft Time Windows (VRPSTW).
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
Berdasarkan Qureshi (2010), masalah transportasi logistik sebagian besar menggunakan interval
waktu pelayanan yang diberi keringanan, yaitu jika kendaraan sampai lebih awal dari waktu
pelayanan pelanggan, kendaraan tersebut diperbolehkan menunggu sampai masuk waktu awal
pelayanan, tetapi apabila kendaraan tersebut terlambat maka ada biaya penalty yang harus
dibayarkan.
Pada model matematis VRPSTW, variabel yang digunakan mereprentasikan rute
pengantaran barang yang mungkin dilalui oleh kendaraan. Semakin banyak rute yang mungkin
dilalui, semakin banyak pula variabel yang digunakan dalam model masalah tersebut. Setiap
variabel bersesuaian dengan kolom pada model matematis pada VRPSTW, sehingga variabel
yang sangat banyak mengakibatkan jumlah kolom yang banyak. Salah satu metode yang dapat
digunakan untuk menyelesaikan masalah program linier dengan jumlah kolom yang banyak
adalah metode column generation (Desrosiers, J., Lubbecke, M.E., 2003). Pada skripsi ini akan
dibahas mengenai pendekatan metode column generation untuk VRPSTW.
Tinjauan Teoritis
Pada bagian ini akan diberikan beberapa teori dasar mengenai masalah program linier dan
metode column generation.
Masalah program linier didefinisikan sebagai masalah mengoptimalkan suatu fungsi linier
dengan variabel !! , ! = 1,2, … , ! yang disebut sebagai fungsi tujuan terhadap sejumlah berhingga
kendala yang berbentuk linier. Kendala disini dapat berupa persamaan atau pertidaksamaan.
Masalah program linier juga dapat diinterpretasikan sebagai pencarian sehimpunan rancangan
aktivitas untuk mengalokasikan sumber daya terhadap aktivitas tertentu (F. Hillier, G. Lieberman,
2001).
Bentuk umum masalah program linier untuk masalah meminimumkan adalah sebagai
berikut:
min ! =
!! !!
!∈!
dengan syarat (d.s.)
!!" !! ≥ !! , ! = 1,2, … , !
!∈!
!! ≥ 0, ! ∈ !
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
Karena masalah program linier melibatkan fungsi tujuan dan kendala yang berbentuk
linier, bentuk umum dari masalah program linier dapat dinyatakan dalam matriks sebagai berikut:
min ! = ! ! !
d.s.
!! ≥ !
!≥!
!!
!!
dengan c ! = [!! !! … !! ], x = ⋮ , ! = !!"
!!
!!
!
, dan b = ! .
!×!
⋮
!!
Pada masalah program linier, suatu himpunan dari nilai-nilai !! yang memenuhi semua
persamaan kendala disebut sebagai daerah layak (feasible), sedangkan solusi layak merupakan
nilai-nilai dari !! yang memenuhi semua persamaan kendala. Solusi layak yang meminimumkan
fungsi tujuan ! disebut sebagai solusi optimal dari masalah program linier tersebut.
Solusi optimal dari masalah program linier terletak pada batas daerah layak, sehingga
untuk penyelesaian masalah program linier kendala pertidaksamaan diubah menjadi persamaan.
Hasil dari perubahan kendala pertidaksamaan menjadi persamaan disebut sebagai bentuk baku
dari masalah program linier. Cara perubahan bentuk umum masalah program linier menjadi
bentuk baku adalah sebagai berikut:
1. Apabila bentuk umum masalah program linier dengan kendala pertidaksamaan yang
memiliki tanda ′ ≤ ′, pada kendala ke-! ditambahkan variabel slack !! di ruas kiri, dengan
!! ≥ 0. Kemudian pada fungsi tujuan ditambahkan 0!! .
2. Apabila bentuk umum masalah program linier dengan kendala pertidaksamaan yang
memiliki tanda ′ ≥ ′, pada kendala ke-! ditambahkan variabel surplus −!! di ruas kiri,
dengan !! ≥ 0. Kemudian pada fungsi tujuan ditambahkan 0!! .
Bentuk baku dari masalah program linier 2.4 − (2.6) adalah sebagai berikut:
min ! = ! ! ! d.s.
!! = !
! ≥ 0. Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
Selanjutnya akan dijelaskan mengenai metode column generation yang dikutip dari
(Desrosiers, J., Lubbecke, M.E., 2003). Pada masalah program linier, setiap variabel bersesuaian
dengan kolom pada matriks koefisien kendala. Sehingga, masalah program linier dengan jumlah
variabel yang banyak mengakibatkan kolom yang besar. Metode column generation merupakan
salah satu metode yang efisien untuk digunakan dalam menyelesaikan masalah program linier
dengan kolom yang besar. Ide dari metode column generation adalah menggunakan subhimpunan
dari himpunan semua kolom yang ada untuk menyelesaikan masalah dan menambahkan kolom
baru apabila kolom tersebut berpotensi memperbaiki nilai fungsi tujuan.
Pada penyelesaian dari masalah program linier dengan menggunakan metode column
generation, masalah dibagi menjadi master problem dan subproblem. Berikut adalah bentuk dari
master problem pada masalah program linier dengan himpunan kolom !.
min ! =
!! !!
!∈!
d.s.
a! !! ≥ b
!∈!
!! ≥ 0, ! ∈ !
Penyelesaian dari master problem dilakukan dengan hanya menggunakan sejumlah kolom
dari himpunan semua kolom yang ada yaitu !′ ⊆ !, dan masalah kemudian menjadi restricted
master problem (RMP). Himpunan kolom yang dipilih mebentuk basis di ruang kolom matriks
koefisien kendala pada masalah program linier tersebut. Sehingga, bentuk umum dari RMP
adalah sebagai berikut:
min ! =
!! !!
!∈!!
d.s.
a! !! ≥ b
!∈!!
!! ≥ 0, ! ∈ !!
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
Pada setiap iterasi dari metode simpleks, dicari variabel nonbasis yang akan masuk ke
basis, yaitu dengan mencari variabel dengan nilai reduced cost yang minimum. Hal tersebut juga
dilakukan untuk mencari kolom yang dapat memperbaiki nilai dari fungsi tujuan. Masalah
tersebut menjadi tujuan dari subproblem pada masalah program linier tersebut. Solusi dari
subproblem merupakan kolom yang akan masuk pada RMP yang baru.
Iterasi yang dilakukan dalam metode column generation adalah sebagai berikut:
1. Lakukan inisialisasi dengan melakukan dekomposisi masalah awal menjadi master
problem dan subproblem.
2. Pilih sejumlah kolom untuk masuk kedalam RMP, kemudian selesaikan RMP. Dari
penyelesaian RMP didapat solusi RMP !∗ dan nilai variabel dual y.
3. Selesaikan subproblem, apabila nilai reduced cost !! = !! −
!
!
!!! y !!"
dari setiap kolom
tidak ada yang negatif, maka solusi optimal dari RMP merupakan solusi optimal dari
keseluruhan masalah.
4. Apabila masih ada kolom dengan reduced cost yang negatif, tambahkan kolom tersebut
kedalam RMP.
5. Ulangi langkah 2 sampai ditemukan solusi optimal untuk keseluruhan masalah.
Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur.
Pembahasan
Untuk memodelkan masalah optimisasi rute pengantaran barang, suatu VRPSTW dapat
digambarkan dalam sebuah graf !(!, !) dengan mendefinisikan beberapa himpunan sebagai
berikut:
! = {1,2, … , !} sebagai himpunan pelanggan,
! = ! ∪ {0} sebagai himpunan simpul pada graf, dimana setiap pelanggan direpresentasikan
sebagai satu simpul dan depot direprentasikan sebagai simpul 0,
!: himpunan busur layak yang menghubungkan dua buah simpul pada graf, dan
!: himpunan kendaraan yang identik dan berkapasitas sama, dimana setiap kendaraan terletak di
depot.
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
Pada graf tersebut, didefinisikan beberapa notasi yang akan menjadi bobot dari graf
sebagai berikut.
!!" : Biaya pengantaran barang dari simpul ! ke simpul !. Biaya pengantaran terdiri dari fixed
utilization cost dan variable cost, yaitu sebagai berikut.
•
Fixed utilization cost merupakan biaya penggunaan dan pemeliharaan kendaraan, nilai
fixed utilization cost ditambahkan pada setiap nilai !!! , ! ∈ ! yaitu sebagai biaya dari
setiap kendaraan yang berangkat dari depot.
•
Variable cost merupakan biaya perjalanan pengantaran barang dari simpul ! ke simpul !.
Nilai dari variable cost bergantung pada jarak tiap simpul dan biaya yang dikeluarkan
pada perjalanan, seperti biaya tol dan biaya bensin.
!!" : Lama waktu perjalanan dari simpul ! ke simpul ! dan lama waktu pelayanan pada simpul !.
! : Kapasitas kendaraan.
!! : Permintaan dari pelanggan !. Didefinisikan juga pada simpul depot !! = 0.
[!! , !! ]: time windows dari pelanggan !. Time windows ini merepresentasikan interval waktu
mulai pelayanan yang mungkin pada pelanggan !.
!! : biaya penalty keterlambatan per unit waktu.
Nilai dari !!" dan !!" berasosiasi dengan setiap busur layak !" ∈ !, dan nilai !! dan [!! , !! ]
terletak pada tiap simpul ! ∈ !.
Pada VRPSTW, dipertimbangkan waktu mulai pelayanan yang berada di luar time
windows dari suatu pelanggan. Apabila kendaraan datang lebih awal, kendaraan diperbolehkan
menunggu sampai batas bawah time windows pelanggan. Tetapi apabila kendaraan datang
terlambat, yaitu setelah batas dari pelayanan terhadap pelanggan tersebut, pelayanan masih dapat
dilakukan sampai batas atas keterlambatan, dengan dikenakan biaya penalty. Oleh karena itu,
ditentukan batas maksimal keterlambatan waktu mulai pelayanan pada tiap pelanggan. Batas
maksimal tersebut merupakan maksimum dari selisih waktu pelayanan pada pelanggan ! terhadap
batas atas dari time windows dari depot, yaitu !! − !!! , dan perbandingan antara biaya untuk
melayani pelanggan ! dengan hanya menggunakan satu kendaraan yang khusus untuk melayani
pelanggan tersebut dengan biaya penalty, yaitu !! +
!!! !!!!
!!
. Sehingga batas keterlambatan pada
simpul ! didefinisikan sebagai berikut
!!! = min !! − !!! , !! +
!!! + !!!
!!
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
(Qureshi, A., 2010).
Setiap busur pada graf dari VRPSTW disebut sebagai busur layak apabila pada busur
tersebut berlaku pertidaksamaan !! + !!" ≤ !!! , yaitu apabila akan digunakan busur !", batas
bawah waktu pelayanan di simpul ! ditambah dengan waktu perjalanan dari simpul ! ke simpul !
dan waktu pelayanan pada simpul ! masih dibawah batas keterlambatan waktu pelayanan dari
simpul !. Hal ini menjamin bahwa apabila busur tersebut merupakan busur layak, pelayanan pada
simpul ! masih mungkin untuk dilakukan.
Hal-hal yang harus dipenuhi pada masalah optimisasi rute pengantaran barang adalah
sebagai berikut.
1. Pada setiap rute pengantaran barang yang dilalui kendaraan, barang yang diangkut oleh
kendaraan tidak boleh melebihi kapasitas yang ada. Rute pengantaran barang dengan
jumlah barang yang diangkut melebihi kapasitas yang ada merupakan rute yang tidak
layak.
2. Setiap pelanggan harus dilayani oleh satu kendaraan tepat satu kali dengan waktu awal
mulai pelayanan ada dalam time windows yang diberi keringanan pada pelanggan
tersebut, yaitu time windows dengan mempertimbangkan batas atas keterlambatan pada
suatu pelanggan.
3. Setiap kendaraan memulai dan mengakhiri perjalanan di depot yaitu simpul 0, dan hanya
melewati depot saat berangkat dan kembali. Waktu keberangkatan dan waktu kembali
dari suatu kendaraan harus ada dalam time windows dari depot. Time windows dari depot
merepresentasikan waktu operasional dari depot.
Untuk memodelkan masalah optimisasi rute pengantaran barang sebagai VRPSTW,
didefinisikan variabel keputusan yang digunakan bersesuaian dengan rute dari pengantaran
barang yang mungkin dilewati, dimana nilai dari variabel tersebut menentukan apakah rute
tersebut akan dipilih dalam solusi. Didefinisikan variabel keputusan pada VRPSTW adalah !!"#
dan !!" dimana !!"# bernilai 1 apabila busur !" bagian dari solusi dan digunakan oleh kendaraan
!, dan bernilai 0 apabila sebaliknya. Variabel !!" merupakan waktu mulai pelayanan pada simpul
! ∈ ! menggunakan kendaraan ! ∈ !.
Biaya pengantaran barang bergantung dengan waktu awal mulai pelayanan pada suatu
′
pelanggan, sehingga didefinisikan !!"#
yaitu biaya perjalanan yang mempertimbangkan
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
keterlambatan pelayanan, sehingga merupakan fungsi dari waktu awal mulai pelayanan, yaitu
sebagai berikut:
′
!!"#
=
!!" , jika !! ≤ !!" ≤ !!
!!" + !! !!" − !! , jika !! ≤ !!" ≤ !!′
Sehingga, model matematis untuk VRPSTW secara lengkap adalah sebagai berikut
′
!!"#
!!"#
min
!∈! (!,!)∈!
Dengan syarat
!!"# = 1 ∀! ∈ !
!∈!
!!
!∈!
!!"# ≤ ! ∀! ∈ !
!∈!
!!!" = 1 ∀! ∈ !
!∈!
!!!! −
!"#
!!!" = 0
∀ℎ ∈ !, ∀! ∈ !
!"#
!!!! = 1 ∀! ∈ !
!∈!
!!" + !!" − !!" ≤ 1 − !!"# !
!! ≤ !!" ≤ !!′
∀(!, !) ∈ !, ! ∈ !
∀! ∈ !, ∀! ∈ !
!!"# ∈ 0,1 , ∀!" ∈ !, ∀! ∈ !
Untuk mengaplikasikan metode column generation pada VRPSTW, bentuk masalah dari
VRPSTW dibagi menjadi master problem dan subproblem. Master problem dalam VRPSTW
adalah masalah awal, yaitu pencarian rute dengan biaya pengantaran minimum. Fungsi tujuan
dari master problem memiliki bentuk yang sama dengan fungsi tujuan dari VRPSTW dan
kendala yang digunakan hanya kendala pada persamaan pertama, yaitu setiap pelanggan harus
dilayani tepat satu kali oleh satu kendaraan.
Bentuk master problem dari VRPSTW kemudian disederhanakan dengan membuat suatu
himpunan ! yang berisi rute layak yang dapat digunakan untuk pengantaran barang, dimana
setiap rute terdiri dari busur-busur (!, !). Rute pengantaran barang pada VRPSTW berupa suatu
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
lintasan pada graf dari VRPSTW dimana lintasan tersebut dimulai dan berakhir di simpul 0 yaitu
simpul depot.
Didefinisikan variabel yang bersesuaian dengan satu rute yaitu variabel !! dimana
variabel !! bernilai 1 apabila rute ! ∈ ! bagian dari solusi dan bernilai 0 apabila sebaliknya.
Didefinisikan juga !! sebagai biaya pengantaran suatu kendaraan menggunakan rute ! dimana
nilai dari !! terdiri dari biaya pengantaran barang dari tiap busur yang dilewati rute !. Kemudian
didefinisikan juga !!" yang merepresentasikan berapa kali rute ! melewati pelanggan !.
Bentuk master problem dari VRPSTW menjadi set partitioning problem, karena akan
dicari sehimpunan rute dengan biaya minimum dimana sehimpunan rute yang dipilih tersebut
dapat memenuhi permintaan setiap pelanggan. Sehingga formulasi master problem dari
VRPSTW adalah sebagai berikut.
min
!! !!
!∈!
d.s.
!!" !! = 1 , ∀! ∈ !
!∈!
!! ∈ 0,1 ∀! ∈ !
Penyelesaian dari set partitioning master problem tersebut lebih mudah dilakukan dengan
merelaksasi bentuk dari set partitioning problem menjadi set covering problem, yaitu dengan
cara kendala pada master problem diubah menjadi kendala dengan tanda ≥.
Bentuk subproblem dari VRPSTW merupakan shortest path problem, dimana akan dicari
rute dengan nilai reduced cost yang paling minimum. Subproblem dari VRPSTW juga harus
mengatasi kendala pada model matematis dari VRPSTW. Kendala-kendala tersebut diantaranya
adalah waktu mulai pelayanan pada simpul ! yang harus berada dalam time windows simpul !,
jumlah permintaan dari pelanggan yang dikunjungi pada suatu rute harus kurang dari atau sama
dengan kapasitas kendaraan, dan setiap rute dimulai dan berakhir pada simpul 0 atau depot.
Kendala-kendala ini disebut sebagai resource constraint. Biaya penalty terhadap keterlambatan
waktu mulai pelayanan juga diberlakukan di penyelesaian dari subproblem. Selain itu setiap
pelanggan harus dikunjungi tepat satu kali oleh suatu rute, sehingga bentuk subproblem menjadi
elementary shortest path problem with resource constraint (ESPPRCLAP).
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
Penyelesaian ESPPRCLAP dilakukan untuk mendapatkan kolom baru yang berpotensi
untuk meminimumkan nilai dari fungsi tujuan. Kolom yang berpotensi untuk meminimumkan
nilai dari fungsi tujuan merupakan kolom yang memiliki nilai reduced cost yang paling
minimum. Apabila kolom dengan reduced cost yang paling minimum tersebut ditemukan, maka
dibentuk suatu variabel yang bersesuaian dengan kolom tersebut kemudian variabel ditambahkan
ke RMP yang kemudian dioptimisasi kembali.
Penyelesaian dari ESPPRCLAP menggunakan graf dari VRPSTW dengan transformasi
nilai !!" karena akan dicari rute (kolom) dengan nilai reduced cost yang paling minimum,
sehingga nilai !!" pada setiap busur diganti dengan nilai reduced cost, yaitu:
′ = !′ − !
!!"
! !"
(Qureshi, A., 2010).
Rute yang akan menjadi solusi dari ESPPRCLAP dapat digunakan oleh setiap kendaraan
karena sifat kendaraan yang identik dan berkapasitas sama. Oleh karena itu, pada formulasi dari
ESPPRCLAP setiap indeks ! yang merupakan indeks kendaraan dihilangkan. Sehingga model
matematis ESPPRCLAP untuk VRPSTW adalah sebagai berikut.
′ ! !!"
!"
min
!"∈!
Dengan syarat
!!
!∈!
!!" ≤ !
!∈!
!!! = 1
!∈!
!!! −
!"#
!!! = 0 ∀ℎ ∈ !
!"#
!!! = 1
!∈!
!! + !!" − !! ≤ 1 − !!" !
∀!" ∈ !
!! ≤ !! ≤ !!′ ∀! ∈ !
!!" ∈ 0,1 , ∀ !, ! ∈ !
Penyelesaian dari ESPPRCLAP dilakukan dengan labeling algorithm berdasarkan Irnich
dan Villeneuve (2003). Setiap lintasan (rute) pada graf yang dimulai dari depot ke suatu simpul
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
direpresentasikan sebagai suatu label yang mengandung informasi mengenai lintasan tersebut.
Penyelesaian ESPPRCLAP dengan labeling algorithm menggunakan graf awal dari VRPSTW,
dengan simpul depot direpresentasikan sebagai dua simpul. Masing-masing simpul depot
direpresentasikan sebagai simpul awal dan simpul akhir dari rute pengantaran barang oleh
kendaraan. Simpul depot yang merupakan simpul akhir dari rute merupakan simpul ke-(! + 1),
dimana bobot dari simpul tersebut sama dengan bobot dari simpul depot pada graf awal dari
VRPSTW, dan busur yang menghubungkan simpul lain dengan simpul tersebut juga memiliki
bobot yang sama dengan graf awal dari VRPSTW.
Pada iterasi labeling algorithm, suatu label dipilih berdasarkan kriteria yang menentukan
apakah lintasan yang direpresentasikan oleh label tersebut berpotensi meminimumkan fungsi
tujuan. Kriteria tersebut disebut sebagai dominance rule dan apabila label tersebut merupakan
label yang memiliki potensi, label tersebut diperpanjang ke sejumlah simpul lainnya pada graf
sampai ditemukan rute yang merupakan rute dengan nilai reduced cost yang paling minimum.
Suatu label yang berisi informasi mengenai suatu rute didefinisikan sebagai ! =
!"# ! , ! ! , ! ! , ! ! , !"# ! , !"#$ ! , ! ! , !"#$% !". , dimana:
!"# ! = simpul akhir dari rute yang direpresentasikan oleh label !,
!(!) = waktu mulai pelayanan pada !"# ! ,
!(!) = jumlah permintaan sepanjang rute yang berakhir di !"# ! ,
!(!) = biaya sepanjang rute yang berakhir di !"# ! ,
!"#(!) = matriks baris yang jumlah elemennya sebanyak simpul pada graf !, dengan elemen ke-!
bernilai 1 apabila simpul ! tidak dapat dikunjungi oleh rute, dan bernilai 0 sebaliknya,
!"#$(!) = nomor label predecessor dari label !,
!(!) = jumlah simpul yang tidak dapat dikunjungi oleh rute dari !"# ! .
Label no. = nomor yang diberikan pada tiap label.
Juga didefinisikan himpunan ! sebagai himpunan yang berisi label yang belum diproses, dan
!(!) sebagai himpunan label yang memiliki potensi untuk memberikan rute dengan nilai reduced
cost yang paling minimum.
Langkah-langkah pada labeling algorithm untuk menyelesaikan ESPPRCLAP adalah
sebagai berikut:
1. Lakukan inisialisasi yaitu dengan mendefinisikan ! = !! , dimana !! merupakan label
merepresentasikan rute yang dimulai dari simpul 0, yaitu !! = {0,0,0,0, !!× ! , 0,1,1},
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
dimana !!× ! merupakan matriks baris dengan ! kolom, dengan entri dari kolom
pertamanya adalah 1. Kemudian definisikan juga himpunan ! ! = ∅ untuk setiap ! ∈ !.
2. Pilih label !′ dengan nilai !(!′) yang paling minimum dari himpunan !, kemudian
misalkan ! sebagai !"#(!! ). Himpunan ! ! = {! ∈ !|!"# ! = !. Kemudian himpunan
! ! dikeluarkan dari himpunan !, sehingga ! = !\!(!).
3. Dominance rule diterapkan kepada semua label yang ada pada himpunan !(!). Kemudian
buat himpunan !! ! = !(!) ! yang dominan}. Elemen dari himpunan !! ! kemudian
digabungkan kepada himpunan ! ! .
4. Lakukan path extension atau perpanjang lintasan untuk setiap label ! ∈ !! ! . Untuk
setiap simpul ! yang bernilai 0 pada entri didalam !"#(!), perpanjang ! ke setiap simpul
!. Apabila ! bernilai ! + 1, yaitu simpul tambahan yang sama seperti simpul depot,
tambahkan ! kedalam ! ! + 1 . Hal ini berarti ! merupakan salah satu rute yang
memiliki nilai reduced cost yang paling minimum. Tetapi apabila ! ≠ ! + 1, tambahkan
! ke himpunan !.
5. Ulangi langkah 3, 4 dan 5 sampai dipenuhi ! = ∅. Apabila tidak ada lagi entri dari
himpunan !, maka tidak ada lagi label yang perlu diproses.
6. Lakukan tahap label filtration, yaitu dengan melihat label pada himpunan !(! + 1) yang
memiliki nilai !(!) yang negatif. Rute yang direpresentasikan pada label yang didapat
dari tahap label filtration tersebut merupakan solusi dari ESPPRCLAP.
Berikutnya akan dijelaskan mengenai aturan-aturan pada dominance rule, path extension,
dan label filtration.
Dominance Rule
Misalkan terdapat dua buah label yang berbeda !! dan !! dengan keduanya memiliki
simpul akhir yang sama, yaitu !"# !! = !"# !! . Berikut adalah kriteria !! mendominasi !! ;
! !! ≤ ! !!
! !! ≤ ! !!
! !! ≤ ! !!
! !! ≤ ! !!
Jika seluruh kriteria tersebut terpenuhi, maka !! dihapus dan tidak diperpanjang.
Perpanjangan dari lintasan yang direpresentasikan oleh label !! sudah dipenuhi oleh label !!
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
yang memiliki nilai reduced cost lebih kecil, waktu mulai pelayanan yang lebih awal dan jumlah
permintaan yang lebih sedikit.
Path Extension
Rute dengan simpul akhir ! diperpanjang ke setiap simpul lain pada ! yang mungkin
dilalui dengan memperbarui nilai !(!), !(!), dan !(!). Apabila lintasan yang memiliki label
dengan !"! !! = ! diperpanjang ke label dengan !"# !! = ! dengan menggunakan busur (!, !),
maka berlaku aturan berikut
! !! = max ! !! + !!" , !!"
! !! = ! !! + !!
! !! =
! !! + !!" , jika !(!! ) ≤ !!
! !! + !!" + !! ! !! − !! , jika !(!! ) > !! Matriks !"#(!! ) juga diperbarui dengan merubah entri ke ℎ yang menunjukkan apakah dari
simpul ! pelayanan bisa dilanjutkan ke simpul ℎ. Entri k-ℎ tersebut ditentukan dengan melihat
apakah kendala waktu mulai pelayanan dan kapasitas kendaraan terpenuhi, yaitu dengan
pertidaksamaan berikut.
! !! + !!! < !!!
! !! + !! < !
Dari pertidaksamaan tersebut, entri ke-ℎ dari matriks !"#(!! ) akan bernilai 0 apabila simpul ℎ
dapat dikunjungi dari simpul ! dan bernilai 1 apabila simpul ℎ tidak dapat dikunjungi dari simpul
!.
Label Filtration
Rute yang merupakan solusi dari ESPPRCLAP adalah rute pada !(! + 1) yang memiliki
nilai !(!) paling minimum dari semua label pada himpunan tersebut. Misalkan ! memiliki nilai
!(!) paling minimum diantara label lainnya, berarti akan ditentukan rute ! ∈ ! dengan entri
pertama dari rute tersebut adalah !"#(!). Kemudian, dicari label !′ yang memiliki nomor label
yang sama dengan nilai dari !"#$ ! . Hal ini terus dilakukan sampai didapat rute yang dimulai
dan berakhir di simpul depot. Kemudian dihitung biaya dari rute tersebut berdasarkan biaya
pengantaran barang yang sebenarnya. Selanjutnya rute ! diasosiasikan dengan suatu variabel dan
kolom ! yang memiliki nilai !!" = 1 untuk setiap pelanggan ! yang dikunjungi oleh rute !.
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
Berikut akan diberikan flowchart penyelesaian ESPPRCLAP dengan labeling algorithm.
Inisialisasi label !! ,
himpunan ! dan !!
ya
! = ∅ tidak
STOP
Label Selection !!
Tambahkan
!! pada !
Dominance Rule
tidak
!! dominan Hapus
!!
Tambahkan !! pada !!
Path Extension
Tambahkan
!! pada !!!!
!! → !! tidak
ya
! = depot
Gambar 1. Flowchart Labeling Algorithm
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
Berikut adalah flowchart penyelesaian VRPSTW dengan metode column generation.
Inisialisasi Rute: Satu
kendaraan untuk
melayani tiap pelanggan
Hitung nilai reduced
cost
STOP
Penyelesiaan
ESPPRCLAP
ya
Solusi
bilangan
bulat
kolom dengan
reduced cost
negatif tidak
Kolom baru pada
RMP
Branching
Pada variabel !!"
ya
Optimisasi RMP
Didapat: Solusi
RMP, !!
tidak
ya
Solusi
bilangan
bulat
ya
tidak
Nilai !! tidak
berubah
Gambar 2. Flowchart Metode Column Generation pada VRPSTW
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
Berikut ini akan diberikan contoh sederhana masalah optimisasi rute pengantaran barang
yang akan diselesaikan dengan metode column generation.
Misalkan terdapat suatu perusahaan distributor barang yang akan mengantarkan barang
dengan sejumlah kendaraan ke 4 pelanggan yang berada pada lokasi yang berbeda-beda dan
jumlah permintaan yang berbeda-beda. Setiap kendaraan yang mengantarkan barang memiliki
kapasitas yang sama, dan kendaraan memulai dan mengakhiri perjalanannya di depot. Setiap
pelanggan memiliki time windows waktu pelayanan yang berbeda-beda, dimana barang harus tiba
pada pelanggan dalam interval waktu tersebut. Apabila kendaraan datang lebih awal dari time
windows pada suatu pelanggan, maka kendaraan diperbolehkan menunggu sampai batas awal
time windows, dan dikenakan biaya penalty pada kendaraan tersebut apabila datang terlambat.
Tabel 1. Permintaan dan Time Windows Pelanggan
Pelanggan Permintaan
0
1
2
3
4
5
6
7
0
117
100
133
300
150
167
83
Waktu
Awal
8:30
10:15
9:10
9:00
10:10
11:00
10:20
9:00
Waktu
Akhir
20:00
15:00
16:45
16:30
16:00
15:20
16:15
17:00
Time
Windows
[0,690]
[10 5,390]
[40,495]
[30,480]
[100,450]
[150,410]
[110,465]
[30,510]
Batas
Keterlambatan
690
428
535
510
484
453
499
538
Kemudian diketahui waktu perjalanan dalam menit dan biaya perjalanan dalam 1.000
rupiah antar depot dan tiap pelanggan dan jarak antar pelanggan adalah sebagai berikut:
Tabel 2. Waktu Perjalanan
i j
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
64
60
45
49
75
48
32
1
57
0
18
28
13
26
11
24
2
72
25
0
29
27
19
31
25
3
39
26
35
0
20
45
15
11
4
51
20
24
15
0
24
7
19
5
72
26
15
45
28
0
39
24
6
44
11
29
11
10
35
0
17
7
36
23
22
9
18
21
11
0
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
Tabel 3. Biaya Perjalanan
i j
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
35
34
22
26
40
28
17
1
29
0
9
14
8
15
6
11
2
37
12
0
17
14
9
18
12
3
19
13
19
0
10
21
7
6
4
26
10
12
7
0
13
3
10
5
40
12
7
23
14
0
20
13
6
23
6
15
6
4
19
0
9
7
18
13
11
3
9
11
6
0
Diketahui juga waktu pelayanan pada tiap pelanggan berdasarkan jumlah permintaan pelanggan
dan lama waktu operasional pada depot adalah sebagai berikut:
Tabel 4. Waktu Pelayanan
0
45
1
10
2
8
3
11
4
25
5
13
6
14
7
7
Sehingga didapat nilai !!" untuk setiap (!, !) ∈ ! adalah sebagai berikut:
Tabel 5. Waktu Perjalanan dan Waktu Pelayanan
j
i
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
0 102 117 84
74 0
35 36
68 26
0 43
56 39 40 0
74 38 52 45
88 39 32 58
62 25 45 29
39 31 32 18
4
5
6
96 117 89
30 36 21
32 23 37
26 56 22
0 53 35
37 0 48
21 53 0
26 31 24
7
81
33
30
20
43
34
25
0
Dengan fixed utilization cost sebanyak 50, didapat nilai !!" untuk setiap (!, !) ∈ ! adalah sebagai
berikut:
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
Tabel 6. Biaya Pengantaran
i j 0
0 0
1 35
2 34
3 22
4 26
5 40
6 28
7 17
1
79
0
9
14
8
15
6
11
2
87
12
0
17
14
9
18
12
3
69
13
19
0
10
21
7
6
4
76
10
12
7
0
13
3
10
5
90
12
7
23
14
0
20
13
6
73
6
15
6
4
19
0
9
7
68
13
11
3
9
11
6
0
Dengan menggunakan metode column generation, tahap inisialisasi yang dilakukan
adalah pengantaran barang dengan menggunaan kendaraan sebanyak jumlah pelanggan yaitu 7
kendaraan dengan biaya pengantaran 615. Setelah dilakukan optimisasi dengan beberapa iterasi,
didapat solusi dari permasalahan adalah menggunakan 4 kendaraan dengan rute sebagai berikut.
Tabel 7. Rute Optimal
Kendaraan
Rute
1
0-4-0
2
0-3-7-0
3
0-6-1-0
4
0-2-6-0
dengan biaya minimum adalah 439. Jadi, dengan dilakukannya optimisasi, biaya pengantaran
berkurang dari 615 menjadi 439, dan jumlah kendaraan yang digunakan untuk mengantarkan
barang berkurang dari 7 kendaraan menjadi 4 kendaraan.
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan mengenai optimisasi rute pengantaran barang diperoleh
kesimpulan bahwa masalah optimisasi rute pengantaran barang dapat dimodelkan menjadi
Vehicle Routing Problem with Soft Time Windows (VRPSTW) dan penyelesaiannya dapat
dilakukan dengan mengaplikasikan metode column generation. Penyelesaian VRPSTW dengan
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014
metode column generation cukup efisien karena tidak diperlukan untuk mengetahui semua rute
yang mungkin dilewati.
Berdasarkan contoh sederhana yang diberikan sebelumnya dapat dilihat bahwa pada tahap
inisialisasi sebelum dilakukan optimisasi rute, pengantaran barang dilakukan dengan
menggunakan 7 kendaraan dan biaya pengantaran yang dikeluarkan adalah 615. Sedangkan
setelah dilakukan optimisiasi rute dengan metode column generation, pengantaran barang dapat
dilakukan dengan 4 kendaraan dan biaya pengantaran yang dikeluarkan adalah 439. Sehingga,
dengan dilakukannya optimisasi rute pengantaran barang, biaya pengantaran barang yang
dikeluarkan oleh pihak penyedia layanan logistik lebih minimum dibandingkan dengan biaya
yang dikeluarkan sebelum dilakukan optimisasi. Selain itu, jumlah kendaraan yang digunakan
untuk mengantarkan barang juga berkurang sehingga dapat mengurangi dampak kendaraan besar
bagi lingkungan dan masyarakat.
Daftar Referensi
[1] Desrosiers, J., Lubbecke, M.E. (2003). A Primer in Column Generation. Technische Universitat Berlin. 2003/48.
[2] Lubbecke, M.E., Desrosiers, J. (2002). Selected Topics in Column Generation. Les Cahiers du GERAD G2001-64, HEC Montreal.
[3] Qureshi, A.G., Taniguchi, E., Yamada, T. (2009). An Exact Approach for Vehicle Routing and Scheduling
Problems with Soft Time Windows. Transportation Research Part E 45 (2009) 960-977.
[4] Qureshi, A.G., Taniguchi, E., Yamada, T. (2010). Exact Solution for Vehicle Routing Problem with semi Soft
Time Windows and its Application. Procedia Social and Behavioral Sciences 2 (2010) 5931-594.
[5] Taniguchi, E. (2012). Concept and best practices in city logistics. Presented at International Transport Forum,
Leipzig.
[6] Taniguchi, E., Thompson, R.G. (2008). Innovations in City Logistics. New York: Nova Science Publisher.
[7] Wu, N., dan Coppins, R. (1981). Linear Programming and Extensions. McGraw-Hill Series in Industrial
Engineering and Management Science.
Pendekatan metode…, Nurul Nafartsani, FMIPA UI, 2014