aljabar vektor matriks

Part II
SPL Homogen
Matriks
SPL Homogen
Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel
𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 :
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 0
⋮
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0
SPL Homogen selalu konsisten, sebab
𝑥1 = ⋯ = 𝑥𝑛 = 0
merupakan solusi.
Solusi
disebut solusi TRIVIAL.
Jika SPL homogen juga mempunyai solusi selain
yang trivial, solusi yang tidak trivial ini disebut
SOLUSI NONTRIVIAL.
Contoh :
Perhatikan SPL homogen :
dan matriks “augmented” :
BEBT :


SOLUSI :

Apa ciri SPL Homogen yang memiliki solusi
nontrivial?
TEOREMA :
SPL homogen dalam m persamaan dan n
variabel dengan m<n mempunyai solusi
nontrivial.
Contoh
SPL Homogen dengan 3 persamaan dan 5 variabel :
mempunyai solusi nontrivial.
Latihan Soal
1. Selesaikanlah SPL homogen berikut dengan menggunakan Eliminasi Gauss
atau Eliminasi Gauss-Jordan !
2.
a.
b.
c.
d.
3. Selesaikanlah SPL-SPl berikut dengan menggunakan eliminasi
Gauss-Jordan.
4. Selesaikanlah SPL berikut dalam 𝑥, 𝑦, 𝑧 !
5. Tentukan nilai 𝑎 sehingga SPL berikut mempunyai solusi
tunggal, mempunyai solusi yang tak berhingga banyak, tidak
mempunyai solusi:
6. Tentukan SPL yang mempunyai solusi umum :
7. Setimbangkan reaksi kimia berikut :
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15. Carilah persamaan parabola dengan bentuk :
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑦
yang melalui titik-titik (-1,9), (1,5) dan (2,12).
16.
17. Tentukan nilai 𝐴, 𝐵, 𝐶 sehingga
5𝑥+7
𝑥 3 +2𝑥 2 −𝑥−2
18.
=
𝐴
𝑥+2
+
𝐵
𝑥+1
+
𝐶
𝑥−1
!
20.
http://www.regentsprep.org/regents/math/algebra/ae3/pracword.htm
21.
MATRIKS
DEFINISI
Matriks adalah susunan persegi panjang bilangan-bilangan.
UKURAN MATRIKS
• Matriks A dikatakan berukuran mxn jika A terdiri dari m baris dan n
kolom. Notasi 𝐴𝑚×𝑛 menyatakan bahwa matriks A terdiri atas m
baris dan n kolom.
• Entri baris ke-i dan kolom ke-j matriks A dinotasikan dengan
(𝐴)𝑖𝑗 atau 𝑎𝑖𝑗
• Matriks A dikatakan berbentuk persegi (bujursangkar) jika
banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.
KESAMAAN DUA MATRIKS
Dua matriks A dan B dikatakan sama jika A dan B
berukuran sama dan entri-entri yang seletak sama.
Contoh:
Tentukan 𝑎, 𝑏, 𝑐 sehingga 𝐴 = 𝐵 jika
OPERASI MATRIKS
JUMLAHAN
Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah dua matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 maka
𝐴 + 𝐵 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan
(𝐴 + 𝐵)𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝑗 + 𝐵𝑖𝑗
SELISIH
Jika 𝐴 dan 𝐵 adalah dua matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 maka
𝐴 − 𝐵 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan
(𝐴 − 𝐵)𝑖𝑗 = 𝐴𝑖𝑗 − 𝐵𝑖𝑗
Dua matriks yang berbeda ukuran tidak bisa dijumlahkan atau
diselisihkan.
TRANSPOS
Jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 maka transpos matriks A,
dinotasikan dengan 𝐴𝑇 adalah matriks ukuran 𝑛 × 𝑚 dengan
(𝐴𝑇 )𝑖𝑗 = 𝐴𝑗𝑖
PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR
Jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dan 𝑘 adalah skalar
(bilangan) maka kA adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan
(𝑘𝐴)𝑖𝑗 = 𝑘(𝐴)𝑖𝑗
PERKALIAN DUA MATRIKS
Jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑟 dan 𝐵 adalah matriks
berukuran 𝑟 × 𝑛 maka 𝐴𝐵 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛
dengan
(𝐴𝐵)𝑖𝑗 = 𝑟𝑘=1(𝐴)𝑖𝑘 (𝐵)𝑘𝑗
Ilustrasi perkalian matriks
Secara umum,
Contoh Perkalian Matriks
Partisi Matriks
Perkalian Matriks dengan Kolom dan Baris
Contoh:
Perhatikan bahwa
Perkalian matriks sebagai kombinasi linear
Contoh :
Menyajikan SPL dalam bentuk Perkalian Matriks
SPL dalam m persamaan dan n variabel :
dapat disajikan dalam bentuk:
yang merupakan perkalian matriks sbb :
SIFAT-SIFAT OPERASI MATRIKS
Sifat terkait transpos
Matriks-matriks khusus
• Matriks NOL adalah matriks yang seluruh entrinya sama dengan nol.
• Matriks IDENTITAS adalah matriks bujursangkar dengan
entri-entri diagonal utamanya sama dengan satu dan selainnya
nol. Notasi matriks identitas ukuran 𝑛 × 𝑛 : 𝐼𝑛
Jadi, (𝐼𝑛 )𝑖𝑗 = 1 jika 𝑖 = 𝑗 dan (𝐼𝑛 )𝑖𝑗 = 0 jika 𝑖 ≠ 𝑗
CATATAN :
perbedaan perkalian matriks dengan perkalian bilangan-bilangan real
Pandang matriks-matriks:
Jelas :
meskipun 𝐴 ≠ 0 dan 𝐵 ≠ 𝐶.
KESIMPULAN :
Juga, 𝐴 ≠ 0 dan 𝐷 ≠ 0 tetapi 𝐴𝐷 = 0.
(Perkalian matriks-matriks tidak nol bisa menghasilkan matriks nol)
Sifat Matriks Nol dan Matriks Identitas
TEOREMA :
(BEBT suatu matriks bujursangkar memuat baris nol atau merupakan
matriks identitas)
DEFINISI :
SIFAT : (ketunggalan invers suatu matriks)
Jika B dan C keduanya merupakan invers matriks A maka B=C.
SIFAT :
Jika A dan B keduanya invertibel maka matriks AB juga invertibel dan
(𝐴𝐵)−1 = 𝐵−1 𝐴−1 .
Definisi
Misalkan A matriks bujursangkar
Matriks
invertibel jika
dan
Teorema
Latihan
MATRIKS ELEMENTER DAN METODE MENCARI INVERS MATRIKS
Matriks bujursangkar A disebut matris elementer jika A dapat diperoleh
dengan cara mengenakan satu kali OBE pada matriks identitas yang
berukuran sama.
Contoh :
Jika matriks elementer E * diperoleh dengan cara mengenakan OBE* pada matriks
identitas 𝐼𝑚, maka matriks 𝐴∗ berukuran 𝑚 × 𝑛 yang diperoleh dari matriks A setelah
dikenai OBE *, sama dengan perkalian matriks E* dengan A.
𝐼𝑚
𝐴𝑚×𝑛
OBE
*
E*
OBE
*
A*=E*A
OBE pada matriks Identitas I yang menghasilkan matriks
elementer E
1.
2.
3.
Mengalikan baris ke-i dengan konstanta k yang tidak nol
Menukar baris ke-i dengan baris ke-j
Menambahkan k kali baris ke-i ke baris ke-j
OBE pada matriks elementer E yang menghasilkan matriks
identitas I
1.
2.
3.
Mengalikan baris ke-i dengan konstanta 1/k yang tidak nol
Menukar baris ke-i dengan baris ke-j
Menambahkan (–k) kali baris ke-i ke baris ke-j
Teorema : Setiap matriks elementer merupakan matriks invertibel
dan inversnya juga merupakan matriks elementer.
Contoh
Teorema:
Mencari Invers Matriks
• Ingat bahwa jika suatu matriks bujursangkar A ukuran nxn
merupakan matriks yang invertibel maka A dapat dieliminasi
Gauss-Jordan menjadi berbentuk matriks identitas 𝐼𝑛 .
Misalkan setelah A dikenai OBE ke-1, OBE ke-2 dst sampai
dengan OBE ke-k diperoleh matiks Identitas 𝐼𝑛 . Misalkan
matriks-matriks elementer 𝐸1 , 𝐸2 … 𝐸𝑘 didapat dengan
mengenakan OBE ke-1, OBE ke-2 dst sampai dengan OBE ke-k
tersebut di atas pada matriks 𝐼𝑛 . MAKA
𝐸𝑘 𝐸𝑘−1 … 𝐸1 𝐴 = 𝐼𝑛 .
Dengan mengalikan kedua ruas 𝐸𝑘 𝐸𝑘−1 … 𝐸1 𝐴 = 𝐼𝑛 dengan
𝐴−1 dari arah kanan didapat
𝐸𝑘 𝐸𝑘−1 … 𝐸1 𝐴𝐴−1 = 𝐼𝑛 𝐴−1 =𝐴−1
sehingga
𝐸𝑘 𝐸𝑘−1 … 𝐸1 = 𝐴−1
Eliminasi Gauss-Jordan
Contoh:
Sehingga diperoleh :
Jika pada proses Eliminasi di atas diperoleh baris NOL pada ruas
kiri, maka disimpulkan bahwa A tidak mempunyai invers!!!
Latihan Soal
1.
2. Tentukan matriks A jika
3.
4.
5.
6. Dengan eliminasi Gauss-Jordan, tentukan invers matriks berikut
jika ada :
7. Dengan eliminasi Gauss-Jordan, tentukan invers matriks
berikut jika ada :
8.
9.
10.
11.
12.
Teorema
Setiap SPL tidak mempunyai solusi atau mempunyai solusi
tunggal atau mempuyai tak berhingga banyak solusi.
Jika A matriks nxn dan invertibel, maka untuk setiap matrik B
ukuran nx1, SPL AX=B mempunyai solusi tunggal yaitu
𝑋 = 𝐴−1 𝐵.
Misalkan A matriks nxn.
Jika B matrik nxn dengan BA=I maka 𝐵 = 𝐴−1
Jika B matrik nxn dengan AB=I maka 𝐵 = 𝐴−1
Teorema
Matriks Diagonal dan Matriks Segitiga
Matriks bujursangkar A disebut matriks diagonal jika (𝐴)𝑖𝑗 = 0
untuk setiap 𝑖 ≠ 𝑗. (Dengan kata lain, entri-entri di luar diagonal
utama sama dengan nol)
Matriks bujursangkar A disebut matriks segitiga atas (upper
triangular) jika (𝐴)𝑖𝑗 = 0 untuk setiap 𝑖 > 𝑗.
Matriks bujursangkar A disebut matriks segitiga bawah (lower
triangular) jika (𝐴)𝑖𝑗 = 0 untuk setiap 𝑖 < 𝑗.
Sifat
Matriks diagonal A ukuran nxn mempunyai invers jika dan hanya
jika (𝐴)𝑖𝑖 ≠ 0 untuk setiap i=1,2,…,n.
Matriks segitiga (bawah atau atas) A ukuran nxn mempunyai
invers jika dan hanya jika (𝐴)𝑖𝑖 ≠ 0 untuk setiap i=1,2,…,n.
Transpos matriks diagonal berbentuk diagonal. Transpos matriks
segitiga atas berbentuk segitiga bawah dan transpos matriks
segitiga bawah berbentuk segitiga atas.
Perkalian matriks-matriks segitiga bawah (atas) berbentuk
segitiga bawah (atas).
Invers matriks diagonal (jika ada) berbentuk diagonal. Invers
matriks segitiga bawah (jika ada) berbentuk segitiga bawah.
Invers matriks segitiga atas (jika ada) berbentuk segitiga atas.
Matriks Simetris dan Sifatnya
Matriks bujursangkar A disebut matriks simetris jika 𝐴 = 𝐴𝑇 .
Contoh :
Sifat :
Jika A dan B matriks-matriks yang simetris maka
• 𝐴𝑇 simetris
• A+B dan A-B simetris
• kA simetris (k skalar)
• jika A invertibel maka 𝐴−1 juga simetris
Perkalian matriks invertibel A dengan 𝐴𝑇 ??
Jika A invertibel maka 𝐴𝐴𝑇 dan 𝐴𝑇 𝐴 juga invertibel.