å¹»ç ¯ç‰‡ 1 - Blog Dosen ITATS

METODE NUMERIK
Pertemuan ke – 5
Sistem Persamaan Linier (SPL)
(1)
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Representasi SPL
 Bentuk umum persamaan linear dengan n
peubah
a1 x1  a 2 x 2    a n x n  b
 Dimana :
a , a ,, a   : koefisien dari persamaan
dan x1, x2, . . . , xn merupakan peubah.
1
2
n
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Representasi SPL
 Dalam penyelesaian sistem persamaan linier, akan
dicari nilai x1, x2, . . . , xn yang memenuhi sistem
persamaan berikut :
f 1  x1 , x 2 ,  , x n   0
f 2  x1 , x 2 ,  , x n   0
f 3  x1 , x 2 ,  , x n   0

f n  x1 , x 2 ,  , x n   0
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Representasi SPL
 Sehingga sistem persamaan linier diatas
mempunyai bentuk umum sebagai berikut :
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Representasi SPL
 Dapat dinotasikan dengan matrik :
 a11
a 21

a31
 

a n1
a12
a 22
a32

an2
 a11
a 21

A  a31
 

a n1
an2
 a1n 
 a2n 

 a3n 
  

 a nn 
 x1 
x 
 2
 x3 
 
 
 xn 
 
a12
a 22
a32

 a1n 
 a2n 

 a3n 
  

 a nn 
=
 x1 
x 
 2
X   x3 
 
 
 xn 
 
b1 
b 
 2
b3 
 
 
bn 
 
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
b1 
b 
 2
B  b3 
 
 
bn 
 
Penyelesaian SPL untuk n  3
 Metode Grafik
 Metode Substitusi – Eliminasi
 Metode aturan Cramer dan Determinan
Matrik
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Metode Grafik
 Metode grafik merupakan salah satu metode
program linier yang hanya memuat dua
variabel yang akan dicari.
 Langkah-langkah pemecahan dengan metode
grafik adalah sebagai berikut :
Gambarkan sebuah bidang koordinat dengan kedua
variabel sebagai sumbu koordinat.
Gambarkan garis-garis fungsi persamaan.
Tentukan koordinat titik potong yang terbentuk
dari garis-garis fungsi persamaan.
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Metode Substitusi – Eliminasi
 Metode substitusi – eliminasi merupakan :
metode untuk menghilangkan salah satu variabel
yang diinginkan kemudian
dilakukan cara substitusi untuk mendapatkan nilai
variabel berikutnya.
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Metode aturan Cramer dan
Determinan Matrik
 Metode ini dikerjakan dengan menggunakan aturan Cramer dan
perhitungan nilai determinan pada matrik koefisien dari sistem persamaan
linier yang akan diselesaikan.
 2 Persamaan Linier :
a11x  a12 y  b1
 Dengan Determinan
D  a11a22  a12a21
a21x  a22 y  b2
 Dengan aturan Cramer
x
b1
a12
a11
b2
a 22
a 22 b2
D
y
b1
D
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Penyelesaian SPL untuk n > 3
 Secara garis besar terdapat dua cara untuk
memperoleh penyelesian sistem persamaan
linier, yaitu :
Eliminasi :
Eliminasi Gauss
Gauss-Jordan
Iterasi :
Gauss-Seidel
Jacobi
Successive Over Ralaxation (SOR)
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Eliminasi Gaus
 Eliminasi Gauss prinsipnya:
merupakan operasi eliminasi dan substitusi
variabel-variabelnya
sedemikian rupa dapat terbentuk matriks segitiga
atas,
akhirnya solusinya diselesaikan menggunakan
teknik substitusi balik (backsubstitution).
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Langkah Eliminasi Gauss
 Ubahlah sistem persamaan linier tersebut menjadi matrik augment, yaitu
suatu matrik yang berukuran n x (n + 1)
 a11
a 21

a31
 

a n1
a12
a 22
a32

an2
 a1n | b1 
 a 2 n | b2 

=
 a3n | b3 

|  

 a nn | bn 
 a11
a
 21
a31
 

a n1
a1,n 1 
a 2,n 1 

a3,n 1 
|  

 a nn | a n ,n 1 
a12  a1n |
a 22  a 2 n |
a32  a3n |
 

an2
 Periksalah elemen-elemen pivot.
 Elemen-elemen pivot adalah elemen-elemen yang menempati diagonal suatu
matrik, yaitu a11, a22, . . . , ann atau disingkat aii.
 Jika , bisa dilanjutkan ke langkah no.3. Namun, jika ada elemen diagonal yang
bernilai nol, aii = 0, maka baris dimana elemen itu berada harus ditukar
posisinya dengan baris yang ada dibawahnya, (Pi) (Pj) dimana j = i + 1, i + 2,
..., n , sampai elemen diagonal matrik menjadi tidak nol,
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
 Proses triangularisasi. Lakukanlah operasi berikut:
dimana j = i +1, i + 2, . . . , n.
Maka matrik augment akan menjadi :
 Hitung nilai xn dengan cara :
xn 
a11 a12
0 a
22

0 0
 


0
 0
Pj 
a ji
aii
Pi  Pj
 a1n | a1,n 1 
 a 2 n | a 2,n 1 

 a3n | a3,n 1 

|  

 a nn | a n ,n 1 
a n ,n 1
a nn
 Lakukan lah proses substitusi mundur untuk memperoleh xn-1, xn-2, .
. . , x1 dengan cara :
ai ,n 1   j i 1 aij x j
n
xi 
aii
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Contoh
 Diberikan sistem persamaan linier sebagai
berikut :
2x1 + x2 + 3x3 = 11
4x1 + 3x2 + 10x3 = 28
2x1 + 4x2 + 17x3 = 31
 Carilah solusi dari sistem persamaan linier
diatas.
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Penyelesaian
 Langkah Pertama, Persamaan pertama dari sistem dibagi koefisien pertama dari
persamaan pertama:
2x1 + x2 +
Dihasilkan :
x1 
3x3 = 11
:2
1
3
11
x 2  x3 
2
2
2
 Langkah Kedua, Persamaan yang dihasilkan langkah pertama dikalikan dengan
koefisien pertama persamaan kedua
Dihasilkan
1
3
11 

x

x

x

 1

2
3
2
2
2

4 x1  2 x 2  6 x3  22
x 4
 Langkah Ketiga, Persamaan kedua dikurangkan dengan persamaan hasil langkah
kedua. Dihasilkan :
x 2  4 x3  6
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
 Langkah Keempat,
Persamaan yang telah dinormalkan (persamaan hasil langkah
pertama) dikalikan dengan koefisien pertama dari persamaan
ketiga dan hasilnya dikurangkan pada persamaan ketiga.
Sehingga dihasilkan : 3 x  14 x  20
2
3
 Langkah kelima,
persamaan hasil langkah ketiga dibagi dengan koefisien pertama
persamaan tersebut kemudian dikalikan dengan koefisien
pertama dari persamaan hasil langkah keempat
Sehingga dihasilkan : 2 x  2
3
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
 Sehingga didapat sistem persamaan baru :
2 x1  x 2  3 x3  11
x 2  4 x3  6
2 x3  2
 x1  3 
 x    2
 Sehingga penyelesaiannya adalah :  2   
 x3  1 
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Eliminasi Gauss- Jordan
 Eliminasi Gauss-Jordan prinsipnya:
mirip sekali dengan metode Eliminasi Gauss,
matriks A mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan
matriks identitas (I).
 Merupakan metode pengembangan eliminasi gauss, hanya
saja augmented matrik, pada sebelah kiri diubah menjadi
matrik diagonal
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Gambaran umum metode eliminasi
Gauss - Jordan
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp
Soal Latihan
 3x + 2y – z = 7
2x – 3y + 2z = 3
x + 5y + z = 8
 x + 3y – z = 6
2x + y + 2z = 5
2y + z = 8
Rinci Kembang Hapsari, S.Si, M.Kom
www.rkhacademy.com/wp