estimasi total populasi dengan menggunakan - Statday

PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
(R.10)
ESTIMASI TOTAL POPULASI
DENGAN MENGGUNAKAN PENAKSIR
GENERALIZED REGRESSION (GREG)
1Agus
Muslim, 2Sutawanir Darwis, 3Achmad Zanbar Soleh
Magister Statistika Terapan, Universitas Padjadjaran, Bandung
2 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung, Bandung
3 Jurusan Statistika, Universitas Padjadjaran, Bandung
Email : [email protected], [email protected], [email protected].
1Mahasiswa
Abstrak
Salah satu penaksir total populasi dalam kegiatan survei yaitu penaksir Generalized
Regression (GREG). Estimasi total populasi dengan menggunakan GREG merupakan teknik
estimasi total populasi yang menggabungkan pendekatan model dan desain. Penaksir GREG
memanfaatkan variabel tambahan (auxiliary variable) dan menggunakan weighted least
square (WLS) dan transformasi Box Cox dalam mengestimasi total populasi.
Kata Kunci : Penaksir Generalized Regression (GREG), weighted least square (WLS)
1.
LATAR BELAKANG MASALAH
Sampel survei telah menjadi salah satu perhatian utama para peneliti dan ilmuwan
karena selain efisien dalam pembiayaan dan waktu, juga memiliki cakupan dan tingkat
ketelitian yang lebih tinggi dibandingkan dengan pencacahan lengkap/sensus (Cochran,
1977). Hal ini berimplikasi pada berkembangnya teknik-teknik penarikan sampel dan
inferensinya.
Dalam perkembangannya, teknik estimasi total populasi dikelompokkan menjadi
estimasi berbasis desain (design based) dan berbasis model (model based). Estimasi berbasis
desain adalah teknik estimasi yang lebih mengutamakan pada distribusi randomisasi yang
dilakukan saat penarikan sampel, estimasi berbasis desain menggunakan informasi tentang
desain sampling yaitu rata-rata dari penimbang sampling. sedangkan estimasi berbasis
model adalah estimasi yang didasarkan pada model statistik dari nilai observasi (outcomes)
survei yang dihasilkan, yang kemudian digunakan untuk mengestimasi nilai-nilai observasi
dari unit yang tidak terkena sampel (Kale, 2009).
Pengklasifikasian teknik estimasi total populasi yang lainnya dibedakan menjadi
penaksir langsung (direct estimator) dan penaksir tidak langsung (indirect estimator).
Penaksir langsung didefinisikan sebagai penaksir yang menggunakan nilai-nilai variabel
penelitian hanya dari domain yang sedang diteliti, sedangkan penaksir tidak langsung
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
172
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
merupakan penaksir yang memanfaatkan informasi tentang variabel penelitian yang secara
tidak langsung terkait dengan domain yang sedang diteliti (Myrskyla, 2007).
Estimasi total populasi berdasarkan pendekatan desain sampling seperti penaksir
langsung secara umum sering digunakan untuk mengestimasi total populasi, sedangkan
estimasi berdasarkan pendekatan model jarang sekali digunakan. Ada beberapa teknik
estimasi total populasi dengan menggunakan pendekatan model diantaranya yaitu
Generalized Regression (GREG). Estimasi total populasi dengan menggunakan GREG
merupakan teknik estimasi total populasi yang menggabungkan pendekatan model dengan
desain. Penaksir GREG untuk total dan rata-rata populasi diperoleh menggunakan model
regresi (Li, 2008), maka masalah yang ingin dikaji dalam penelitian ini adalah estimasi total
populasi dengan menggunakan GREG.
2.
2.1.
METODOLOGI
Penaksir langsung dengan menggunakan penarikan sampel acak sederhana
Penarikan sampel acak sederhana (simple random sampling) adalah sebuah metode
untuk memilih n unit dari N sehingga setiap elemen
dari
N Cn
sampel yang berbeda
mempunyai kesempatan yang sama untuk dipilih. Dalam prakteknya, penarikan sampel acak
sederhana dipilih unit per unit. Unit-unit dalam populasi diberi nilai 1 sampai dengan N
kemudian dipilih dengan menggunakan sebuah tabel bilangan acak atau dengan cara
menggunakan sebuah program yang menghasilkan tabel bilangan acak (Cochran, 1977).
Dalam penarikan sampel acak sederhana, untuk menaksir rata-rata sampel digunakan
persamaan sebagai berikut:
n
y
y
i 1
i
n
(1)
Sedangkan untuk menaksir total populasi digunakan persamaan:
=
(2)
Dengan n adalah banyaknya sampel, N adalah banyaknya unit dalam populasi, yi adalah
variabel y yang terpilih sebagai sampel dan
2.2.
adalah penaksir total populasi (Cochran, 1977).
Penaksir Generalized Regression (GREG)
Misal jumlah total dari populasi
T   yi
(3)
iU
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
173
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
Dimana U ={1,……,N} merupakan populasi berukuran N dan yi > 0 merupakan nilai dari
variabel yang diteliti yang berhubungan dengan unit i.
Persamaan penaksir GREG yang akan digunakan untuk mengestimasi total populasi
adalah sebagai berikut:
TˆG   yˆi , w    yi  yˆi , w  /  i ; i = 1,….,n
iU
Dengan
,
(4)
is
adalah penaksir dari
sesuai dengan model, TˆG merupakan
penaksir
GREG, dan  i merupakan peluang untuk unit ke-i terpilih sebagai sampel, karena penaksir
GREG menggunakan pemodelan regresi linear, maka ada beberapa asumsi regresi yang harus
terpenuhi yaitu error berdistribusi normal, tidak ada autokorelasi, homokedastisitas dan
tidak terjadi multikolinieritas, dalam kenyataannya asumsi tersebut tidak selalu terpenuhi,
pelanggaran terhadap asumsi regresi, akan mempengaruhi penaksiran parameter β dan yang
akan digunakan untuk menaksir total populasi melalui pendekatan GREG.
Apabila terjadi pelanggaran asumsi error berdistribusi normal, agar analisis regresi
bisa tetap dilakukan, perlu diberikan perlakuan khusus terhadap data yang ada, salah
satunya yaitu dengan melakukan transformasi terhadap variabel y yaitu dengan transformasi
Box Cox:
( )
−1
( )
=
≠0
=0
(5)
(Sembiring, 1995).
Sedangkan apabila terjadi pelanggaran asumsi homokedastisitas maka metode
penaksiran yang umumnya digunakan untuk kondisi seperti ini adalah metode weighted least
square (WLS).
WLS merupakan hasil modifikasi dari OLS, Ketika model regresi
( ) = 0 dan ( ) =
=(
maka estimator OLS
)
=
+ dengan
menjadi tidak akurat.
Persamaan dari least square normal adalah:
′
= ′
(6)
Dari persaman diatas
=
′
′
(7)
Persamaan diatas dinamakan estimator generalized least square (GLS) dari β.
Ketika error tidak berkorelasi tetapi memiliki varians yang berbeda kovarians matrik
ε menjadi:
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
174
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢0
⎣
=
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
0⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⋱
(8)
Prosedur estimasi diatas disebut weighted least square (Montgomery, 1992). misalkan
W=
, V merupakan matriks diagonal, dan W juga merupakan matrik diagonal dengan
elemen w1,w2,…,wn .berdasarkan persamaan diatas, maka persamaan normal dari weighted
least square adalah
( ′
) = ′
(9)
dan
=( ′
)
′
(10)
Berdasarkan persamaan tersebut maka nilai wi harus diketahui,sebagai ilustrasi
apabila nilai observasi yi adalah merupakan rata-rata ni, observasi sekitar nilai xi, dan apabila
semua nilai observasi asal memiliki varians konstan sebesar
, maka wi yang digunakan, wi
= ni. Ilustrasi yang lain, Kadang-kadang varians yi merupakan fungsi dari regressor, contoh
( )= ( )=
, untuk kasus ini maka digunakan penimbang wi =1/xi (Montgomery,
1992).
Apabila terjadi pelanggaran terhadap asumsi normalitas dan homokedastisitas, maka
model untuk penaksir GREG
( )
=
+
(11)
Dengan
1

 

ˆwbc    wi xi xi'    wi xi yi   
 is
  is

2.3.
(12)
Penentuan penaksir total populasi terbaik
Untuk menentukan penaksir terbaik, bisa dilakukan dengan
memperhatikan nilai
Mean square error (MSE) dari masing-masing penaksir yang ada. Penaksir yang memiliki nilai
MSE yang paling kecil dibandingkan penaksir yang lain, maka penaksir tersebut merupakan
penaksir yang paling baik. Jika
,
= 1, … . ,
MSE 
adalah estimator dari T maka:
1 m ˆ
 Ti  T
m i 1


2
(13)
(Li, 2008).
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
175
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
3.
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
HASIL DAN PEMBAHASAN
Data yang digunakan pada penelitian ini yaitu data mengenai jumlah tanaman mangga
yang menghasilkan dalam satuan pohon (variabel x) dengan produksi mangga dalam satuan
kwintal (variabel y) per kabupaten/kota penghasil mangga di seluruh Indonesia hasil
pendataan Statistik Pertanian Hortikultura (SPH) tahun 2009. Jumlah populasi dalam
penelitian ini yaitu sebanyak 438 kabupaten/kota, pemilihan sampel dengan menggunakan
penarikan
sampel
acak
sederhana
(SRS),
dengan
jumlah
sampel
sebanyak
44
kabupaten/kota.
Berdasarkan sampel melalui penarikan sampel sederhana akan diestimasi total
produksi mangga di seluruh kabupaten/kota se-indonesia dan diperoleh output sebagai
berikut:
Pengujian asumsi error berdistribusi normal dan homokedastisitas.
Grafik 1. Normal Probability Plot
Tabel 1. Output pengujian One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
Uraian
N
Mean
Normal Parameters(a,b)
Most Extreme Differences
Std. Deviation
Absolute
Positive
Negative
Kolmogorov-Smirnov Z
Asymp. Sig. (2-tailed)
Sumber: Hasil Olahan Data
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
44
-1991,3705
24706,585
02
,371
,371
-,231
2,460
,000
176
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
Berdasarkan grafik 1, terlihat bahwa error tidak tersebar pada garis normal dan hasil
pengujian kenormalan dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov, diperoleh nilai p-value
< α (0,000 < 0,05) maka Ho di tolak, dapat disimpulkan bahwa error tidak berditribusi
normal sehingga perlu dilakukan transformasi terhadap variabel y. Dengan memperhatikan
grafik 2, transformasi dapat dilakukan dengan menggunakan nilai λ antara 0,07 sampai
dengan 0,34 , dari nilai Jumlah Kuadrat Sisa (JKS) dapat disimpulkan bahwa lamda yang akan
digunakan untuk transformasi yaitu 0,3.
Grafik 2. Nilai Lamda untuk Transformasi Box Cox
Tabel 2.Nilai Jumlah Kuadrat Sisa untuk masing-masing Nilai Lamda
Lamda
[1]
0,07
0,1
0,2
0,3
0,34
Sumber : Hasil Olahan Data
JKS
[2]
2.232.109.189
2.130.631.920
1.936.558.734
1.910.583.659
1.940.302.622
Dari Grafik 3, terlihat bahwa plot fitted value terhadap residual di sekitar nol dan
sebarannya relatif mengumpul pada salah satu titik dan membentuk pola tertentu, sehingga
asumsi homokedastisitas tidak terpenuhi.
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
177
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
Grafik 3. Plot Fitted Value terhadap Residual
Berdasarkan hasil pengujian asumsi regresi tersebut dapat disimpulkan bahwa model
GREG yang akan digunakan untuk mengestimasi total populasi menggunakan model dengan
transformasi Box Cox terhadap variabel y dan menggunakan Weighted least Square (WLS).
Tabel 3. Perbandingan Nilai Estimasi Total Populasi dan MSE antara Penaksir Langsung
dengan Penaksir GREG
Total
Penaksir
Uraian
Penaksir GREG
Populasi
Langsung
Sebenarnya
[1]
[2]
[3]
[4]
Total
15.146.807
24.573.324
22.434.396
Populasi
MSE
5,31E+13
4,575E+12
Sumber : Hasil Olahan Data
Pada Tabel 3, terlihat bahwa penaksir GREG menghasilkan nilai estimasi yang lebih
mendekati terhadap total populasi sebenarnya dengan nilai MSE yang lebih kecil
dibandingkan dengan penaksir rasio, sehingga dapat disimpulkan bahwa penaksir GREG
lebih baik dibandingkan dengan penaksir rasio pada penarikan sampel acak sederhana.
30000000
20000000
10000000
15.146.806
,5
24.573.323
22.434.396
,68
0
penaksir
langsung
penaksir GREG
Nilai
Sebenarnya
Grafik 4. Perbandingan Nilai Estimasi Total populasi antara Penaksir Langsung
dengan Penaksir GREG
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
178
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
5,3109E+13
6E+13
4E+13
4,57501E+12
2E+13
0
penaksir langsung
penaksir GREG
Grafik 5. Perbandingan MSE antara Penaksir Langsung dengan Penaksir GREG
4.
KESIMPULAN
Dengan menggunakan sampel hasil penarikan sampel acak sederhana (SRS), penaksir
GREG menghasilkan nilai estimasi yang lebih mendekati terhadap total populasi sebenarnya
dengan nilai MSE yang lebih kecil dibandingkan dengan penaksir langsung, sehingga dapat
disimpulkan bahwa penaksir GREG lebih baik dibandingkan dengan penaksir langsung
(Direct Estimation).
5.
PENGHARGAAN
Penghargaan setinggi-tingginya kepada Yan Li, 2008, karena jurnalnya yang berjudul
Generalized Regression Estimators (GREG) of a Finite Population Total Using Box Cox Technique
menjadi rujukan utama dalam penelitian ini.
6.
DAFTAR PUSTAKA
BPS. 2009. Pedoman Pengumpulan Data Hortikultura. Jakarta : BPS.
Cochran,William G.1977. Sampling Techniques, 3rd. New York : John willey & Sons.
Jaya, I Gde Nyoman Mindra. 2010. Analisis Regresi. Bandung:Unpad.
Kale, Matamira B. 2009. Perbandingan Estimasi Total Populasi Penduduk Berdasarkan Model
Penelized Spline dengan Estimasi Rasio. Surabaya : ITS.
Li, Y., and Lahiri, P. 2007. Robust Model-Based and Model Assisted Predictors of The Finite
Population Total. Journal of American Statistical Association 102 : 664-673.
Li, Yan. 2008. Generalized Regression Estimators (GREG) of a Finite Population Total Using
Box Cox Technique. Jurnal of Statistics Canada, 34:hal 79-89.
Montgomery, Douglas C and Peck Elizabeth A.1992. Introduction to Linear Regression
Analysis. New York : John Wiley and sons, inc.
Myrskyla, Mikko. 2007. Generalised Regression Estimation for Domain Class Frequencies.
Research Report. Statistics Finland.
Sembiring, R K.1995. Analisis Regresi. Bandung:ITB.
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
179